•1~ CEFET-MG CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Apostila ANÁLISE DE CIRCUITOS.EM CORRENTE AL TERNADA r 2° módulo ‘ti ( ~jJ ~- Curso: Eletrôn ica / o rganização: Prof. José Antônio Rosa Belo Horizónte 2006 - 2 TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS DEFINIÇÕES GERAIS Tensão e Corrente Variáveis: são aquelas cujos valores variam com o tempo. Tensão e Corrente Periódicas: são as variáveis cujos valores repetem periodicamente ao longo do tempo. Tensão e Corrente Alternadas: são as periódicas com polaridade variáveis. Um sinal alternado ( tensão ou corrente) recebe a denominação genérica de CA (corrente alternada) ou AC ( alternate current). Ondas são as tensões ou correntes alternadas periódicas. * Forma de Onda é o gráfico que representa a onda. Geradores de CA ou Alternadores são sistemas elétricos que produzem um sinal CA por meios eletromecânicos. Geradores de Áudiofreqüência (AF), Geradores de Rádiofreqüência (RF) e os Conversores CC-CA são équi~ámehto~ eletrônicos que produzem um sinal CA a partir de um sinal CC (corrente contínua). Símbolos: Gerador de Tensão QA + Anãlise de circuitos em corrente Alternada Gerador de Corrente CA Obs.: Embora a tensão alterne a sua polaridade e a corrente alterne seu sentido periodicarnente são representadas por setas unidirecionais, considerando que todo circuito possui um ponto de referência para as Prof.: José Antônio Rosa _________________________________ ~ í~ (c. ~€ ~ç CEFET-MG CENTRO FEDERAL bE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Apostila r ~ ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE AL TERNADA 2° módulo ~ ~ ç:J Curso: Eletronica Organização: Prof. José Antônio Rosa Belo Horizónte 2006 - 2 TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS DEFINIÇÕES GERAIS Tensão e Corrente Variáveis: são aquelas cujas vaiares variam com o tempo. Tensão e Corrente Periódicas: são as variáveis cujos valores periodicamente ao longo do tempo. Tensão e Corrente Alternadas: são as periódicas com polaridade variáveis. Um sinal alternado repetem ( tensão ou corrente) recebe a denominação genérica de CA (corrente alternada) ou AC ( alternate current). Ondas são as tensões ou correntes alternadas periódicas. Forma de Onda é o gráfico que representa a onda. Geradores de CA ou Alternadores são sistemas elétricos que produzem um sinal CA por meios eletromecânicos. Geradores de Áudiofreqüência (AF), Geradores de Rádiofreqüência (RF) e os Conversores CC-CA são equi~ámerilo~ eletrônicos que produzem um sinal CA a partir de um sinal CC (corrente contínua). Símbolos: Gerador de Tensão QA + Gerador de Corrente CA Dbs.: Embora a tensão alterne a sua polaridade e a corrente alterne seu sentido periodicamente são representadas por setas unidirecionais. considerando que todo circuito possui um ponto de referência para as tens6ns Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 3 Exemplos de formas de onda de tensões periódicas. v(t) Dente de Serra ~:~! -T 04 A ,4~ ,I~ 1 , 1’ , ., 2Tt ,A~ , Triangular ~ ‘, , 1 1 -T -T12 ‘ ~ 1 O T/2 T t 3T12 2T v(t) 1 ~ 1 9 -T12 Q uad rad a 1 TI T/2 t ST/2 v(t) —— %~ Senoidal ‘ ( -T 3T/4 -TI2~ T r o As formas de onda das tensões senoidal e quadrada são negativas, ou estão abaixo do eixo dos tempos para metade de cada período. Durante este tempo, as tensões correspondentes têm polaridades opostas às polaridades de referência. Acima do eixo dos tempos, elas possuem as mesmas polaridades que as referências (positivas). As formas de onda de corrente seguem às de tensão. Análise de Circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 4 ONDAS COSSENOIDAIS E SENOIDAIS Ondas Senoidais Sistema básico de um alternador ou gerador de CA para gerar uma tensão senoidal condutor A da bobina N Eixo de E anéis coletores condutor 8 da bobina. 5 Principio de Funcionamentq. O enrolamento e consequentemente os condutores giram (desenho à seguir), acionados por energia mecânica, com velocidade angularrn em [rad Is]. O ângulo e varia com. o tempo t, em [si, conforme a expressão e = cot. Portanto afluxo magnético (p), também varia com o tempo. v(t) 84 =1800 B graus radianos. O valor da tensão alternada induzida segundo a lei de Faraday é proporcional a variação do fluxo magnético v=_N~!l. Logo a tensão induzida varia de zero quando o condutor ‘A” está na horizontal, para um valor máximo, quando o condutor está na vertical. No tempo t= O s o condutor está na horizontal (referência) e a tensão induzida v é zero. Ela começa aumentar até atingir o ri-iáximo no tempo t t2. De t2 até t4 v decresce até zero, pois o condutor “A” girou 180°. A partir de t4 v inverte sua polaridade em relação a referência e decresce até atingir seu valor máximo negativo em t6 com 8 270°. A partir de t6 v cresce e retorna a zero em t8 com e = 360°, completando-se assim um ciclo. A partir daí inicia-se um novo ciclo. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 5 Parâmetros: Ciclo —> é a menor parte que não se repete em uma forma de onda periádica. Período (T) da onda Freqüência (f) —* é o tempo de duração de um ciclo da onda. é o número de ciclos por segundo, ou seja, o número de vezes por —> segundo que~ ~ A unidade de freqüência é ciclos por segundo, chamado de hertz. [Hz]. Relação entre período e freqüência. f=1/T -2— Os valores da tensão induzida varia segundo a expressãc{ v(t) Vm ou Vp seri —> = = Vm senø = Vm sen~wt) valor máximo ou valor de pico ou amplitude: indica um onda senoidal. cot é o argumento. co é a freqüência radiana, velocidade angular ou freqüência angular. Unidade no SI: [rad Is]. t As freqüências f e co estão relacionadas por co = 2icf. ~iT~.\ ~- ) ~ Cor~versão de radianos em graus e graus em radianos~ - ~ 1 [radj radiano é o ângulo subentendido por um arco na circunferência de um círculo, se o arco tem um comprimento igual ao raio. irad -r 360° 27tr ~ 1 rad - = 360°I2it = 180°Iit = 5730 Logo ic[rad]180° Exemplos: 1) vi = 20 sen (377t) IV]. Argumento = 377t Valor de pico ou amplitude é Vm= Vp 20V, porque o valor máxima de sen 377t é um. Freqüência radiana ou freqüência angular ou velocidade angular co = 377 rad/s o que corresponde a f = co/2n =~f377/2n 60 Hz. Período T= 1/60 = 16,7ms. 2) v2 = 20 sen (377t 30°) [V]. argumento = 377t ÷ 30° Obs.: Para somar os dois termos devem ser convertidos na mesma unidade graus ou radianos. + - Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa -~ 6 Fase de um Sinal Alternado Um sinal alternado não precisa ser, necessariamente, zero no instante t = O. Isso significa que ele pode iniciar o seu ciclo adiantado ou atrasado de um intervalo ál, chamado de fase iniciaLou simplesmente fase e. Logo as expressões para esses sinais [v(t) Vm sen co:;t +0v) Exemplos: Sinal adiantado v(t) Vm ou Li~o ( O positivo = lp s~ (wt ei) - Sinal atrasado ( O negativo Á i(t) Ip Dv -vm ei -Ip Relação entre fases, Diferença entre fases ou Defasagem Duas ondas senoidais ou cossenoidais de mesma freqüência têm relação entre fases determinadas pela diferença angular entre os seus argumentos, para isso as amplitudesdeven, possuir o mesmo sinal e serem ambas senoidais ou ambas cossenoidais. Exemplos de formas de ondas defasadas a) vl(t) = 20 sen (377t) lvi. 20 ~tí 99Õ o 16,7 2t [ms] cot [radj 360° [graus] -20 900 b) v2(t) = 20 sen (377t 180* 2700 ~ 300) ~~/J 20 16,7 c) t[msj v3(t)= 20 cos (377) [V].= 20 sen (377ti-90°) [V]. 20 o 12,5 16,7 t [ms] -20 Análise Prof.: José Antônio Rosa 7 Exemplos: 1) v2 = 20 sen (377t+30°)V e vi = 20 sen(377t)V.(ver formas de onda figuras aebanterior. ~ ~ ~o ~ ~b Ambas possuem a mesma f~qüência angular co= 377 rad Is e, portanto a mesma freqüência f~ = 377 / 2t. Logo a relação entre fases entre v2 e vi é dada por (377t+30°- 377t) = 30°, ou estão •1 -~ defasadas, Os 300 é o ângulo de defasagem. Diz-se que v2 está avançada ou avança vi de 300, ou vi está atrasada ou atrasa v2 de 300 3Q0 2) v3 = 20 cos (377t)V e vi acima) = 20 sen (377t)V (ver formas de onda figuras a e c v3 = 20 cos (377t)V = 20 sen (377t + 90°)V logo o ângulo de defasagem Conclusão: v3 avança vi de 900 ou vi atrasa v3 de 90°. = 90°. Observações1 Quando a diferença de fase for 0° as ondas estão em fase. Quando vi e v2 estão defasadas de 180°, o ângulo de defasagem ~ de 180°, como mostrado abaixo. Pela relação trigonométrica sen(x ± 180°) = - sen x. Ondas Cossenoidais • São indicadas por cos. • Possuem formas de onda do mesmo formato que as formas de onda senoidais mas estão avançadas 90° ou n12 radianos. Ver gráfico figura “c anterior. Observa-se, comparando as formas de onda das figuras “c” e “a” anteriores, que os valores da onda cossenoidal v3 ocorrem um quarto de período mais cedo do que aqueles correàpondentes da onda senoidal vi. “ • Alguns autores denominam de ~L~óides às ondas senoidais, cossenoidais e senoidais e cossenoidais defasadas. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 8 Exemplos: 1) a) Calcular os períodos das tensões periódicas de freqüências: f=12kHz~T — — f 4,2 = MHz 238ns 4,2 x 106 2) b) =83,3us 12x Calcular as freqüências da corrente periódica que tem T= 5045. 1 =20kHz 50 x 10—6 3) Calcular o período e a freqüência de uma tensão periádica que tem 12 ciclos em 46 ms. ~= .4) 12 46 < 1 o~ =261Hz T=~_=3,83ms Achar a expressão para a forma de onda periódica mostrada a seguir v(t) A forma de anda passa por zero e cresce positivamente. Logo é uma senoidal defasada 12 -1 v = Vm sen(cot+O) V. 55 = 4 x l5ms = notempot= -5 ms tem-se V(-Sms)= 12 sen(105 .~—5x103+ 9)= 0, logo (-O,525÷9)=Oentão ~ 9=0,525 rad.=~.r=(18o° 0,S25)/wr,~r=3oo__~6 ~4:. ~ 12 s&i ( 105t + 300) ~ \-~ Cp ( - 60 ms. lOSrad/s / 60x10 Portanto v(t) = O valor máximo ou de pico ou amplitude Vm=12V s~i -12 co =27;. f (1/4)T= l5ms ~ T t(ms) - ~ ~jjz 12 sem (105 t + n16) V. V e zC,s~;ïí~J ~ .~ :~ ~ - ~j . C ) . ‘Cc’.JL Análise de Circuitos em Corrente Alternada 1’ - ~] 4~ Prof.; José Antônio Rosa ~. 9 VALORES MÉDIOS E EFICAZES Valor Médio - É o quociente entre a área de uma onda periádica e o tempo durante um período. A área é aquela compreendida entre a forma de onda e o eixo dos tempos. As áreas ~ deradas positivas e abaixo negativas. A área total é a soma algébrica das duas. Logo, o valor médio de uma onda senoidal e cossenoidal é zero em um período. Mas para alguns fins, no cálculo do valor médio dessas ondas usa-se 2/ir ou 0,637 do valor dcp, que corresponde a média de um PP-~JtiYQA média de uma função periódica y(t) de período T é dada pela expressão: 21910 3’med +5~Y(t.~1t Exemplo: 1) Calcqlar o valor médio de uma t~nsão senoidalLQ~fflQ?4?4Q2!i~SO42, que tem um pico de 12V. Essa onda consiste apenas em meios ciclôs positivos da tensão senoidal. Ela é zero durante os semiciclos negativos. Pela definição: Para um sinusóide completo teremos: Vn,ed = (2/ir) 12 = 7,64V. Para metade do sinusóide teremos Vmed 7,64V/2 = 3,82V. 12V . - 2) Calcular os valores médios das formas de onda a seguir: a) vi [VI 5 o T 2T A forma de onda da tensão senoidal está sobre uma tensão constante de 3V. O valor médio é o valor da área hachúrada [área sob o sinusóide mais área sob o retângulo (3V x T)] dividido pelo período T. Visto que a área sob o sinusóide é zero, o valor médio é constante 3 V sob o retângulo. b) O valor médio é a área sob a forma de onda (hachurada) dividida pelo período. Logo: De t=Os até T/2 a área será (T/2) x 8 = 4T v2[V1 8 Vmed=4, De t=T/2 até T a área será T/2 xi 1 o Análise de circuitos em corrente Alternada t = O,5T. Portanto a área total será: 4,ST. Logo o valor médio (4,5T) 1 T 4,5 V Prof.: José Antônio Rosa I0 Valor Eficaz, Efetivo ou RMS de Corrente ou Tensão Periódicas Símbolos: Vef, Vrms ou V e lef, lrms ou 1. O valor eficaz ou RMS’ (Root Mean Square ou Raiz Média Quadrática) corresponde ao valor de uma tensão ou corrente alternadas, que se fosse aplicado a uma resistência elétrica, dissiparia uma potência média, em watt, igual ao valor numérico de uma tensão ou corrente contínuas aplicado à mesma resistência. j1T Considere uma,função temporal periódica y(t) Seu valoreficaz é: Yrms=41__1y2(t).cit vTo Para sinais alternados senoidais ou cossenoidais, a expressão do valor eficaz pode ser convertida para o domínio angular, considerando o período T equivalente a 2t rad, ou seja: i Yrms= I—f y2(e)•de. Considerando a tensão v(9)= Vm.cos(e), a fórmula de seu ~2it ~ valor eficaz pode ser deduzida: v=. /-J_21tv ~2u0 2 ~cos2(Q).d0= /Vm2 (2it m ~2~tÇ2 sen4icOsen0’~ 4 2 4) JV2 V2n ~ Os valores eficazes de sinais alternados de tensão e correntes senoidais e cossenoidais são os valores indicados, respectivamente, pelos voltímetros e amperímetros de CA. Exemplo: 1) Calcular a tensão de pico numa tomada elétrica cujo valor medido é 120V. 120V ~ o valor eficaz da tensão senoidal na tomada. v±.V/r~V =V-~=12O.~~v~17ov Exercícios propostos: __i~1) Calcular os períodos das tensões periódicas que têm freqüências de: a- 0,2Hz b-I2KHz c 4,2MHz Resp: a) 5s;. b) 83,3gà; c) 238 ns 2) Calcular as freqüências das correntes periódicas que possuem períodos de: a- 5Ops 42ms c-lh a) 20kHz; b)23,8 Hz; c) 0,278mHz b 3)Calcular o período e a freqüência de uma tensão periádica com 12 ciclos em 46ms. Resp.: 261 Hz 4) Encontre o período, a freqüência e o número de ciclos mostrados para a onda mostrada abaixo: v(V 12 t(ms) 12 Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa j 11 5) Dado o gráfico de uma tensão em função do tempo a seguir, pede-se: a) período em ms; b) freqüência em Hz; c) o valor de pico ou máximo em vo.lts; d) o valor eficaz Vef ou Vrms em volts; e) a potência média dissipada sobre um resistor de 11(0 em mW; f) o valor da tensão no tempo t = 3Oms. Resp.: 2092V v(V) 6) Converter os seguintes ângulos em graus para ângulos em radianos: a- 490 b- 1300 a) 0,855 rad; b) -2,27 rad c) 7,59 rad 7) Converter os seguintes ângulos em radianos para ângulos em graus: a- 3-~—rad bc- 4rad Resp.: a) 10° b) -32,2° c- 4350 — 0,562rad c) 229 8) Encontre o período e a freqüência das correntes senoidais que possuem as sebuintes freqüências radianas: a- 9mad/s b- 0,O42rad/s c- l3Mrad/s Resp.: a) 0,222s; b) iSca c)0,483~s 9) Encontre a amplitude e a freqüência de: a- 42,lsen(377t + 30°) Resp.: a) 60Hz b) 159 kHz 10) Calcular a freqüência de uma onda senoidal de tensão que tem um• pico de 45V e que aumenta continuamente de 0V em t = O seg. Para 24V em t = 46,2niseg. Resp.: 1,94 Hz 11) Uma onda cossenoidal de tensão fem um pico de 20V em t = O seg. e se esta tensão demora um mínimo de 0,123 seg. para diminuir de 20V para 17V, calcular a tensão em t = 4,12 seg. Resp.: 193V 12) Se 43,7V é a tensão de pico induzida no condutor de um alternador, calcular a tensão induzida depois que o condutor girou através de um ângulo de 430 em relação a sua posição horizontal. Resp.:29,8V Se o condutor de um alternador está girando em 400Hz e se a tensão induzida tem um pico de 23V, calcule a tensão induzida 0,23 mseg depois que o condutor passar por sua posição vertical. Resp.: 19,2V 2 13) 14) Calcule: a- v 200x sen[33931 +~]. V e b- 1 Resp.: a) -172V; 15) = b- —6,39 cos(i o5 t 20°) 67 x cos(3016t — — 42°). mÁ em É =1,lms b) -56,9 mA. Esboce um ciclo de v 30 x sen(754t + 60°). V para o período iniciando em Oseg. Indique as três unidades da abscissa tempo, radianos e graus. — 16) Calcular as relações de fases para os seguintes pares de senóide: 17) a- V= 6xsen(30t—40j’Vi i =sen[301_}mÁ b- vl=._8xsen(40t_80°>V v2=_lOxsen(40t_50°).V c- i1=4xcos(70.t—40°)~fl1A i2=_óxcos(70t+80°).mA. d- v = 150 cos(377t +45°)V, e 1 4,55 sen(377t ÷ 45°)A Análise de Circuitos em Corrente Alternada , Resp.:v avança i em 20° Resp.: vi atrasav2 em 30° Resp.: ii avançai2em 60°. Resp. : v avança i em 90°. Prof.: José Antônio Rosa 12 ANÁLISE MATEMÁTJCA.DE SINAIS ALTERNADOS Revisão de Álgebra Complexa e Fasores Os números complexos são formados pelos números reais e os números imaginários. Números Imaginários são como os reais comuns. Os números imaginários foram inventados quando se tornou necessário ter números que fossem raízes quadradas de números negativos. Utiliza-se a representação do número imaginário ji=~/ET Togo j2=~CT. a letra i senda Regras para operações matemáticas com números imaginários. • Soma e subtração. j3 • Multiplicação e divisão. Imaginário x Imaginário Real x Imaginário = + j9 = j1 2; j12,5-j3,5=jg,o Real : j2 j6 = . = -12; j4 (-j3) . Imaginário: 3 j5 = JI 5; . Imaginário! Imaginário = Real: j8 /j4=2; Real / Imaginário e Imaginário [Real = = j6,25-j8,4=-j2,15 12; -j5 (-j4) =j5 j4 = -20 . . -j5,5 .(4)=-j22,0 ~20) 1 (-uDO) Imaginário: = -0,2 016)14=14; 20/(j5)=-4 Potenciação j2 = -1~ pois j2 = = —1; j3 = j2~ ~1 -i i4 =yil)=y-i)=1 Números Complexos na Forma Retangular Exemplos: 3 t + j4; 6 j8 - ~‘ Real Imaginária Essa é a melhor forma para somar e subtrair números complexos. Representação no Plano Complexo. 2° Quadrante -4 1° Quadrante + Números complexos conjugados. 4 j2 conjugado de 4-j2 ou vice-versa 4~j2 ~- 3° Quadrante -2 - j3 Análise de circuitos em corrente Alternada 4° Quadrante Prof.: José António Rosa 13 Operações Matemáticas • somaesubtração:(3+j4)+(2+j6)5+i1O;(3+i7)-(4-i2)-l +j9 • Multiplicação:(2+j4)x(3+j4)6+i8+i12-16-1O+J20 (3+j4)(3-j4) = 9 + 16 = 32 + 42 = 25 • Divisão: 1O+j24 (10+j24)x(è—j4) 6+j4 (6 +j4)(6 —j4) 156 +j104 — 62+42 — 156 +j104 52 3 +j2 Números Complexos na Forma Polar e Exponencial = Módulo do N°. Complexo O = Ângulo e = 2,718 n° de Euler (base do logarítmo natural ou neperiano) A A ze —. forma polar t forma exponencial A e~9 = Exemplos: 4 e~5° = II 4/45°; 8e~60° — = —8/60° As formas polar e exponencial são as melhores formas para multiplicar e dividir. Representação no Plano Complexo Ae~° =AZ9 7 e~30~ = 7/30° Eixo Imaginário x +jy= 6,06 +j3,5 y Eixo real 7 x Relações Trigonométricas coso=(x/A) =~x=A cose =7. cos3O°=~x=6,06 . senø=(yIA)=’ y=A.senO=7.sen30°~’y3,5 A2 =x2 ~y2 ~A=4x2 tgO= sen O cos O ÷~2 tg9=~:. tg9=X~ o tg’ Análise de circuitos em corrente Alternada = sendo y” imaginário e “ “x” real. Prof.: José Antônio Rosa 14 Conversão da forma polar ou exponencial na forma retangular Identidade de Euler: Ae~° =A/9—A.cosø+jA.senø Ex’ A e~0 =A /0 =A.cosü +jA.senø (forma geral) 7 e~30° = 7/30° = 7. cos 3Q° + j7 sen3O° = 6,06 + j3,5 Conversão da forma retangular em polar ou exponencial 1 3,5 converter nas formas polar e Exemplo: Dada a forma retangular 6,06 ÷ exponencial. Módulo: A=Jx2 ~2 Ângulo: tge=X~e=tg_1(X)~e=tg~~j]:.e=ioo Logo 6,06 +j 3,5 x +j y = = :.A=,J6,062 ~352 .‘.A~~J4~:.A=7 7/30°=7e~30° AL0=A&° formageral Operações Matemáticas • Multiplicação: Sejaniosn°.complexos: Ae Be ~= AB ~j(9+P) Exemplo: (3/25°) x • Ae~0 ~. e AZO • BL~ (4L~6O0 = = A.azo + f3 3.4 L25°+(-60°) = 12L-35° Divisão: Ae3e÷BaeJ1~=~e ~(~ç~) A/O ~~/9~J3 B B/~B Exemplo: (81/45°) (3/16°) (81+3) L45°-16°) 27 /29° Os números complexos conjugados partes reais iguais e imaginárias iguais em módulo e sinais contrários ( ângulos iguais em módulo e sinais contrários). - 4L jS ._~ X~ -j5 .., N~ 6+j5=7,81 /39,80 ~39,80 6-j5 7,81/-39.8° Análise de circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 15 Representações Temporal, Fasorial e Complexa de um Sinal CA Um sinal alternado senoidal pode ser convertido diretamente nas representações fasorial e complexa equivalentes. Mas, se a sua expressão for cossenoidal, ela deve ser convertida em senoidal por meio da identidãdõ tii~onométrica cos x =sen(x+9Q°) antes das conversões. Exemplos: Temporal: Forma de Onda: Expressão : v(t) = 20. ‘~J5 sen(377t+30°) V v(t)[V] 20j~ 14,14 [rns] -20 Fasor E’ um número complexo associado a uma onda senoidal defasada. - Usaremos V e 1 em negrita ou “e para os simbolos fasoriais de tensão e corrente. O fasor correspondente a onda v(t)~ 20. 45 sen(377t+30°) V será V = 20 /30° V. o módulo do fasor é o valor(eficaz(rms) do sinal alternado senoidal e seu ângulo é a fase da onda senoidal defasada. Exemplo: A expressão senoidal para a corrente de freqüência f = 120 Hz representada pelo fasor 1 = 0,439 /-27° A será i(t) = 0,621 sen(754t 27°) A, pois, 1 =lmi -.J~ =0,439 ~ lm=0,439. -.J~ =0,621 A e ~=2.~.f=2.~.120~ ~-754rad/s - Notações: o o o o o o o o • • • 1 = 1 = 1 representam o módulo do fasor Alguns autores utilizam o valor de pico para o módulo dos fasores tensão e corrente, que correspondem às ondas cossenoidais. VeV* representam o conjugado de um n°. complexo. • É errado expressar 3/30° 34’~sen(ot+30°), mas 3/30D= 3J~sen(øt+30°). Fasores podem ser expressos na forma polar, retangular (algébrica) ou em qualquer uma das formas de números complexos. Nem todos os números complexos são fasores. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José António Rosa 16 Fasorial: Diagrama Fasorial ou Diagrama do Fasor Tensão Eficaz: Fase: co = 377 radls 20V 30° adiantada rad/s 20V ref Complexa: V = 20/30° co = 377 rad/s Im 20V ‘~Re Adição e Subtração entre Sinais CÁ. Consideremos duas tensões senoidais de mesma freqüência: via). = 141 .sen (377t + W4)V = 99 sen (377t + 5W6)V v2a) o O O O o o o o o o o o o o o Vi = 100V; 01 = 45° V2 =70V;02=150° Vi=1 00/ 45°[V] V2=70/150 °[Vj Essas operações podem ter resoluções descritas à seguir: Temporal Gráfica É necessário que os gráficos das formas de onda estejam em escala para que as formas de onda resultantes possam obtidas pela adição e pela subtração de diversos valores instantâneos, como rfrnstram as figuras a seguir: Adição Gráfica: va(t) = vi(t) + v2(t) - v(t) N 150 vi 100 50 t(ms) -50 -100 -150 Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 17 Subtração Gráfica : vb(t) = vi(t) v2(t) - v(t) [V vb 150 100 50 t(ms) o -50 -100 -150 -200 • Temporal Analítica Para realizar essas mesmas operações analiticamente, é necessário utilizar identidades trigonométricas, tornando os cálculos muito trabalhosos. A seguir são mostrados os resultados após os desenvolvimentos matemáticos: Va(Q = vi(t) + v2a,) ~ Va = 141 seri(377t + it/4) Adição analítica: 5it/6) =~ Va = 150,2 sen(377t ÷ 1,48 mci) = 150,2 sen(377t + 84,6°) V + 99sen(377t Subtração analítica:vb(t) = via) v2(t) ~ Vb = 141 sen(377t irJ4) 99sen(377t 192,5 sen(377t + 0,27 rad) = 192,5 sen(377t + 15,21°) V - - - + + 5it/6) ~ vb = Resolução por Composição Fasorial Adição Gráfica: Va = VI + V2 Vay Va vi V2 150’ v2x Subtração Gráfica: Vb = VI - Vax Ref. Vi V2 vi VI Vb V2 150’ Ref. vbx V2y -v2 Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 18 Resolução por Números Complexos Consideremos os fasores Vi e V2 na forma complexa. Adição analítica: Va 60,62 + 135) = Va => = 10,08 ±j105,7 VI Va + = V2 ~ Va = 100/45° + 70/160° ~ Va = 70,7+ j70,7 -(-60,62 + j35) = 70,7-bj70,7 + (- 106,18/84,6°f’.’]. Subtração analítica: Vb = VI Vb = 131,32 + j35,7 - V2 =~ Vb = 100/45° 70/150° ~ Vb z~ - Vb = 136,09/1 5,21°[V]. Convertendo Vb em vb(t): vb(t) rad)tV] = 192,5 sen(377t+15,21°) [VJ = 192,5 sen(377t+Q,27 Observações: • -. As operações podem ser realizadas com mais segurança e de modo mais prático por meio dos números complexos. • Após os cálculos as forma~ de onda poderão ser representadas, para se ter noção do que será visualizado no osciloscópio. • A adição e subtração de sinais alternados ( tensão e corrente ) de mesma freqüência co produzem como resultado a mesma grandeza elétrica e com a mesma freqüência co. Portanto, os operadores e o resultado da operação podem ser rêpresentados em um mesrho diagrama fasorial. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 19 RESPOSTAS DO RESISTOR, CAPACITOR E INDUTOR EM CORRENTE ALTERNADA Resistor A seguir é representada a resposta temporal do resistor quando submetido a uma tens ão v(t) = Vm sen (cot+O°) V O resistor quando submetido a uma tensão alternada possui um comportamento ôhmico resistivo e não reage às vailações da tensão como acontece com o capacitor e indutor. A sua resistência é uma constante R em ohms [Qj, independente da velocidade de variação da tensão aplicada, ou seja, de sua freqüência. iR(t) + vR(t) v(t) Temporal v(t) Devido a isso, a tensão e a corrente estão sempre em fase no resistor, ou seja, O°v = 09. Vm t iR(t) A corrente iR(t) no resistor acompanha a tensão da fonte v(t) ou vR(t), como mostram as figuras ao lado. lRm T vR Portanto, num circuito puramente resistivo, a defasagem e°v e°i= o~. - t Análise de circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 20 Análise Matemática do Comportamento do Resistor em CA. Se um resistor de R ohms tem uma tensão v = Vm sen (cot a lei de Ohm teremos i = vIR = (Vm/R) sen (ot + 0°). (VmIR) = + 90) sobre ele, segundo Im é o valor máximo ou de pico da corrente sobre o resistor. A potência instantânea dissipada pelo resistor é: p = v.i = [Vm sen(cot÷0)]x [Im sen(cot+e)]= Vm ~Im sen2(o~t +0). A potência de pico é pm = Vm Im ocorre sempre que sen2(cot + 0) = ±1. Temos sen2x=(1—cos2x)/2. Logo a expressão da potência instantânea é: Vm.Im 2 — Vm.Im 2 .eos(2o~t+20) O valor medio e Pmed= Vrnlm 2 pois a potencia media do 2° termo e igual a zero. . . Capacitor O capacitor e o indutor reagem às variações de corrente e tensão sobre eles. Por isso são, considerados dispositivos reativos. São, ainda, duais pois têm comportamentos opostos em relação à variação da tensão e corrente. A oposição (reação) às variações de corrente no capacitor e no indutor é denominada reatância X, cuja unidade é o ohm [~2]. No capacitor, a reatância Xc surge devido à capacidade de armazenamento de cargas, de modo que a tensão entre as suas placas não atinge o valor máximo instantaneamente. Quando ocorre uma variação de tensão sobre o capacitor inicialmente varia a corrente e em seguida varia tensão. Quanto mais brusca a variação da corrente, menor é a reatância capacWva Xc. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 21 A seguir é representada a resposta temporal do capacitor quando submetido a uma tensão v(t) = Vm sen (oat+O°) V. ic(t) + + vc (t) Temporal A corrente do capacitor está adiantada em relação a tensão em 900, ou a corrente avança a tensão em 90~. v(t) Vm t ic(t) A corrente ic(t) no capacitor acompanha a tensão da fonte v(t), como mostram as figuras ao lado. cm vc Portanto, num circuito puramente capacitivo, a defasagem 0°v 001= - 90°L.4_ ~9Q0• T/2 Análise de Circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 22 - Análise Matemática do Comportamento do Capacitor em CA. Se um capacitor de C farads tem uma tensão v uma corrente dada por ic(t) = dt = c. d[Vm . = Vm sen (cot + 9°) sobre ele, terá senQnt + e)] dt ic(t) = (DCVm. cos(0t + o) = cOCVm.SenQnt + o + 9o°) O valor máximo ou de pico da corrente sobre o capacitor (Im). coCVm~ .YE!~ = ~ (Vmflm) é o valor da reatância capacitiva ‘Xc’. ‘m (DC A expressão da reatância capacitiva é x0 = —1-- ou = Unidade ohm [C2]. = (DC oC O sinal negativo refere-se a defasagem da corrente em relação a tensão. A potência instantânea absorvida pelo ‘capacitor é: • p =•v.i = [Vm sen(oyt + O)] x [Im cos(cot + 9)] = Vm Im sen (cot + O). cosQot + e) mas 2sen(x).cos(x)=sen2x. Vrn~Im Logo p = vi = 2 .sen (2cot+20). ou p = VRMSJRMS sen (2cot+29) A potência média absorvida pelo capacitor é zeiã~ Em um período o capâcitor libera a mesma energia que ele absorve Indutor A oposição (reação) às variações de corrente no indutor é denominada reatância X, cuja unidade é o ohm [C2j. No indutor, a reatância XL surge devido a oposição às variações de corrente que circula no mesmo, com o objetivo de opor às variações do campo magnético no seu interior. Quando ocorre uma variação de tensão sobre o indutor, inicialmente varia a tensão e em seguida varia a corrente. Quanto mais brusca for a variação da tensão, maior é a reatância indutiva XL. Análise de Circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 23 A seguir é representada a resposta temporal do indutor quando submetido a uma tensão v(t) = Vm sen (cot+9°) V. 1L(t) + + vL(t) v(t) Temporal v(t) vm A corrente no indutor está atrasada em relação a tensão em 900, ou a tensão avança a corrente em 900. 1L(t) t T12 A tensão vL(t) no indutor acompanha a tensão da fonte v(t), como mostram as figuras ao lado. vL t Portanto, num circuito puramente indutivo, a defasagem e0v 9°i 900. - Análise de Circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 24 • Análise Matemática do Comportamento do Indutor em CA. Se um indutor de L henry tem uma corrente i terá uma tensão dada por: = Im sen (0t + 0°) passando por ele, - vL(o=L.~_=L.[md~~ VL (t) = Lci)I~.cos(o)t + e)= wLlmsen(wt + e +90°) O valor máximo ou de pico da tensão sobre o indutor (Vm) é: V V,~ =úLIm~—~-=cL, (Vm/Im) é o valorda reatânciaeapasltWa’XL’. ~- A expressão da reatância indutiva é XL = coL. Unidade ohm [fli. A potência instantânea absorvida pelo indutor é: p =v.i = [Vm cos(cot + 0)]x [Im sen(cot + 0)] = Vm Im sen (cot + e). cosQot + o) mas 2sen(x).cos(x) = sen2x. Vm•Im Logo p = vi = 2 sen (2cot + 20). ou p = VRMS ~‘RMS sen (2wt + 20) . Um indutor excitado senoidalmente absorve potência média zero, pois o valor médio de uma senóide é zero. Quando a senóide for positiva o indutor absorve energia e quando for negativa o indutor devolve a energia absorvida ao circuito e funciona como fonte. Num período ele libera tanta energia quanto absbrve. Exercícios resolvidos: 1) a) b) A tensão sobre um único componente de um circuito é v = 40 sen(400t V e a corrente-que passa por ele é i = 34,1 sen (400t + 10°) mA. Identificar o componente. Calcular o seu valor. + 10°) Solução: a) A corrente e a tensão estão em fase, logo o componente é um resistor. b) R=Vm/lm (é-) ~ R= 4Q 34,1x103 ~ R=1,17kQ. /‘ Análise de circuftos em Corrente Alternada •- Prof.: José Antônio Rosa 25 2) a) b) a) b) A tensão sobre um resistor de 62 (2 é A corrente que circula sobre o resistor. A potência média absorvida por ele. Im = (Vrfl/R) ~ Im = 30/62 ~ Pmrl = (1/2). (Vm2/ R) ~ Pm 3) Calcule a corrente eficaz que passa sobre um capacitor de 0,1 iF e que tem 200V eficaz em 400Hz sobre ele. 1m (Vm /Xc) ~ 1 =(lm 1 ~.J5J) ~ 1 = [(Vm)/(1/coC)] + (Vm/~J~). coC ~ 1 = 4) = v = = 30 sen(377t + 300) V. Calcular: Im = 0,484A =,i = 0,484 sen(377t + 30°)A (1/2). (302)162 ~ Pm = 7,26W. 200 x 2jt.400 x 0,1 x106 ~ 1 = 50,3 mA. A tensão v = 30 sen (200irt+30°)V está sobre um capacitor que tem reatância de 62 (2. Mostrar a expressão da corrente. Im = Vm/Xc Im = 30/62 =‘lm = 0,484 A ~‘ A corrente está adiantada em relação a tensão em 90°, logo a expressão da corrente será: = 0,484 sen (2007tt+30°+90°)A ~ i = 0,484 cos(200ict+30°)A 5) Calcular a tensão eficaz sobre um indutor de 30 mH que tem um corrente de 40 mA e 60 Hz passando por ele. A corrente eficaz é 4OmA. Vm=XL.lm =~(Vm/4~)Om/.~h).oxL V=l.coi V 6) = 4ox10~.2..n.G0.30x103 ~ V 0,452V = A tensão v = 30 sen (200itt + 30°) V está sobre um indutor que tem uma reatância de 62 (2. Determinar a expressão da corrente no indutor. Vm=XL. lm Im=Vm/XL =, 1m30/62 =~‘ Im =0,484A. No indutor a corrente está atrasada em relação a tensão em expressão da corrente será: = 7) 0,484 sen (200itt + 30°-90°) = 90°, portanto a 0,484 sen (200~’tt 60°) A - Abaixo estão escritos três pares de expressões de tensão e corrente de três circuitos diferentes alimentados por tensões alternadas. Cada um deles tem ou resistor ou capacitor ou indutor. Identifique e escreva o circuito resistivo puro, indutivo puro ou capacitivo puro, por meio de seus pares de expressões e justifique. Circuito a) v = 150 sen(377t -it/6)V ei 4,55 sen(377t + 60°)A. Diferença entre fases: (377t 30°) (377t + 60°) 900. v atrasa i e.m 90° ~ Circuito Capacitivo Puro - - - Circuito b) v = 150 cos(377t +45°)V e i 4,55 sen(377t + 45°)A. Passando v para a forma senoidal: v = 150 sen(377t + 45°+90°) 150 sen(377t + 135°) Diferença entre fases: (377t + 135°) (377t + 45°) 90°. v adianta i em 90° ~ Circuito Indutivo Puro - Circuito c) v 150 cos(377t +itI4)V e i = 4,55 cos(377t + 45°)A. Diferença entre fases: (377t + 45°) (377t + 45°) = 0° v em fase com i.~ Circuito Resistivo Puro - Anãlise de Circuitos em Corrente Alternada . Prof.: José Antônio Rosa 26 Exercícios Propostos 1) calcule a potência média absorvida por um componente de uni circuito que tem uma tensão v = 10V aplicada sobre ele quando uma corrente i = 5 + 6cos33t A circula por ele. Resp.: 50W. calcule os valores máximo e mínimo da corrente. Resp. lmax 2) = 1 lA, mm. = -1 A. Calcule a condutância de um resistor que tem uma tensão v= 50,lsen(200itt + 30°)V sobre ele quando uma corrente = 6,78 sen(200tt + 30°)mA circula por ele. Resp.:1 35 jiS 3) Calcule a corrente sobre um resistor de 33 kQ, se a tensão sobre ele é v150 cos(377t+45°)~~’~ Resp.:i = 4,55 cos(377t +45°)mA. 4) Calcular a potência média absorvida por um resistor de 910 f2 que uma tem uma corrente = 9,76 sen(754t 36°) passando por ele. Resp.:43,3 mW - 5) Calcular a leitura de um amperímetro de corrente alternada que está em série com um resistor de 4700 e que tem uma tensão v = 150 cos(377t + 30°)V sobre ele. Resp.: 226 mA. 6) Calcular a freqüência na qual um capacitor de 0,1j.tF e um indutor de 120 mH têm a mesma grandeza de reatância. Resp.:1 45kHz 7) calcular a capacitância de um capacitor que solicita 150 rnA quando ligado a uma fonte de tensão de 400 Hz e 100V. Resp.:0,597 1.zF 8) a) v = Calcular as correntes que passam por capacitor de 0,5 1.tF para as tensões do capacitor de: 190 sen(377t + 1 5°)V; b) v = 200 cos(1 000t 40°)V Resp.:a) i - = 35,8 cos(377t + 1 5°)mA b) i = 0,1 cos(l000t + 50°) A 9) Calcular as tensôes sobre um capacitor de 2p.F para as correntes de a) i = 7 sen(754t + 1 5°)mA e b) i = 250 cos( 10~ t 30°)mA. Resp.: a) v = 4,64 sen (754t-75°)V, b) v = 125 sen(103t -30°) V - 10) Calcular a corrente rms que passa por um indutor de 80 mH que tem l2OVrms e 60Hz sobre ele. Resp.:3,98 A 11) Calcular as correntes que passam num indutor de 500 mH para as tensões no do indutor de: a) v = 170 sen(400t + tI6)V e b) v = 156 cos(1 000 + 1 0°)V. Resp.:a) i = 0,85 sen(400t 60°)A, b) i = 0,312 sen(l000t + 10°) - Análise de circuitos em corrente Alternada - Prof.: José Antônio Rosa 27 IMPEDÂNCIA- ANÁLISE DE CIRCUITO SÉRIE EM CA Na análise de um circuito de corrente alternada, os fasores da tensão e da corrente são usados com resistências e reatáncias, da mesma maneira que a tensão e a corrente são usadas com resistências na análise de um circuito de corrente contínua. O circuito original de corrente alternada no domínio do tempo é transformado em um circuito no domínio da freqüência. Características de um circuito no domínio da freqüência: > Usa -se fasores de tensão e corrente ao invés de correntes e tensões senoidais. ~ Troca-se as indutâncias e capacitâncias pela suas respectivas reatâncias indutivas e iDy!s~. ~ As resistências permanecem inalteradas. ~ Na análise de circuitos CA, resistências e reatâncias combinam-se da mesma maneira com que os resistores se combinam numa análise de circuito de corrente contínua. > Todos os conceitos da análise de circuitos em CC se aplicam a análise de àircuitos CA no domínio da freqüência, mas são usados números complexos ao invés de números reais. Elementos de circuito no domínio da freqüência Resistores No domínio do tempo: iR(t) =Im sen(cot + O) A + + vR(t) v(t) = Vm sen(cot + O) V = Rim sen(ot + O) V No domínio datreqüência: Relação entre o fasor tensãb e o fasor corrente: • R.Im~90 v~Ji • ~X=R iEzeo 1 Representação Fasorial VR V Ref. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa — 28 • Indutores: No domínio do tempo: 1m sen(cot + O) A v(t) = Vm cos(o* + + vL(t) v(t) e) V = = XLIm cos(cot + O) V ~ XLIm sen(cnt + O+9O°)V No domínio da freqüência: Relação entre o fasor tensão e o fasor corrente no indutor: . No circuito v(t) = VL(t) ~ V . = Vi xLImZOO900 ‘Ji~ VL= XLIm ZO0+9O0~~O0 Im = X~Z9O°Ç2 = coLZ9O°fl —* forma polar IL mas coL/90°fl = b~JcÜLQJX coL(cos900 + —* jsen9O°) = joLf2 = JXL forma retangular IL Representação Fasorial VLj Ref. IL a Capacitores: No domínio do tempo: 1m cos(cot + e) A v(t) Vm cos(cot + O) V Análise de Circuitos em corrente Alternada coCVm sen((cot + e + 9Q0) A + vC(t) Vm sen (cot + O) V Prof.: José Antônio Rosa 29 No domínio da freqüência: Relação entre o fasor tensão e o fasor corrente no capacitor: Vm~90 • ‘C 1m790 90° 7= = mas Xc + XcZ 90°Q — — 0)0 =YE.~ï~0c_0o_90o=-Y!L~_9o~ ~ Im Vm 90°0 = = = — 90°Q ~ forma polar —1—(cos—90° ÷jsen— 9oj= _~_L0 coO coC = —jXc —jXcfl ~ forma retangular = Representação Fasorial Ic ) ~‘(p r Ref. =..900 vc’’ co Observações: a) A fase das reatáncias indutiva e capacitiva corresponde à defasagem p provocadas por elas entre a tensão e a corrente fornecidas pela fonte como mostraram as representações temporal e fasorial anteriores. b) Em circuito CA enquanto o indutor adianta a tensão, o capacitor a atrasa e suas reatâncias possuem fases contrárias. c) A reatância indutiva aumenta com a freqüência, enquanto a reatância capacitiva diminui. d) Devido a esses motivos, o indutor e capacitor são ditos de comportamentos duais. Essa dualidade propociona inúmeras aplicações desses dispositivos. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 30 Exemplo de análise de circuito em série em CÁ. R=6Q L=2H j8f2 +VR + ____ v40 ..Jisen(4t+20°)V Vc_r -j4K2 C1l16F Circuito no Domínio da Freqüência Circuito no Domínio do Tempo XLtjo)L XLJ4x2 ~‘ Xc-jl/(coC) =~ XLj8Q ~ Xc=-j1 /[fx(1/1~)] Xc-j40 =~ Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff (LVK): V \ = Vr~ + VL ÷ Vc e substituindo VR 40/20° = logo 1 (40/20°) ÷ (7,21 /33,7°) = = 61 +j8 I-j4l =(6+j4)I 6 1, ~‘ VL=j81, Vc=-j41 40/20° = ~ 7,21 /33,7°l, 5,547 /-13,7° A~ VR33,3/~13,7°V~ Portanto,VR = 6 VL = 8/90° ~5,547 /-13,7° ~ VL=44,4/76,3°V Vc = 4 /-9O°~5,547 /-13,7° Vc x5,547 /-13,7° = r~ tem-se: = 22,2 2-103,7v~ IMPEDÂNCIA Conceito : A impedância Z ou z, em ohm [O], de um dispositivo ou circuito é um número complexo que reflete a oposição total oferecida a passagem da corrente alternada e a defasagem total provocada entre a tensão e a corrente. Símbolo: Z ou Z A impedância possue um parte real denominada resistência R e uma parte imaginária denominada reatância X. Z = R + jX (forma retangular) Z (forma polar) Análise de circuitos em corrente Alternada Z /(p Prof.: José Antônio Rosa 31 Im Z=4R2+X2=~...móduhdeZ te JX Z/’ z ~ L /)(p Re (p=arctgj—I=’ fasedeZ ÇR) R=Zcosç e X=Zsenq R Enquanto o módulo de Z é responsável pela oposição à corrente alternada, a fase cp é responsável pela defasagem da tensão em relação à corrente. Conhecendo em detalhes uma impedância torna possível prever o comportamento elétrico de um dispositivo ou circuito, bem como da fonte de alimentação. A resistência é devida a oposição natural dos materiais à passagem da corrente. Refere-se ao resistores. A reatância é a reação, isto é, oposição à variação, da corrente, sendo uma característica dos indutores e capacitores. o nbme impedância tem origem no verbo impedir e significa a oposição tanto à passagem quanto à variação da corrente, sendo uma característica geral~~ de t~ualquer circuito elétrico em CA formado, em principio, por resistores, indutores e capacitores. A componente resistiva R da impedância, somente assume valores positivos. A componente reativa x é resultado da soma das reatâncias indutiva JXL e capacitiva -jXc, ou seja, jX = j (XL Xc) e pode assumir valores positivos ou negativos. Através do sinal do ângulo de fase da impedância pode-se concluir: - • Se a Fase for positiva significa jX> O ~ XL >Xc~ sendo o circuito indutivo, logo a tensão de entrada adianta à corrente de éntrada • Se a Fase for negativa significa que jX < O ~ XL < Xc, séndo o circuito capacitivo, logo a tensão de entrada atrasa à corrente de entrada. • Se a Fase for zero significa que jX = O z~ XL = Xc, sendo o circuito resistivo, logo a tensão de entrada está em fase com a corrente de entrada. • Representação no plano complexo. Im ~ Impedância Indutiva 1 Q<~<9QO (p zNJ Impedância Capacitiva ..9Q0 < (p < O Análise de Circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 32 • Lei de Ohm parã Circuito CA Considerando o Circuito CA A Lei de Ohm aplicada ao circuito é dada por: 1 ou 1 + . • VouV ZouZ • V z=— . Considerando a tensão complexa genérica e a corrente complexa genérica, a lei de Ohm resulta: vze Z= v V=_z(ev_ei)~zzzP, Z Vil ~ módulo da impedância Z . lZG~ • = p =.( 0v-O i)~fase da impedância Z. Associação Série de Impedâncias. A corrente 1 é a mesma em todas as impedâncias em série, mas a tensão V se subdivide entre elas, de modo que, pela Lei de Kirchhoff para as tensões CA: V VI = + V2 +V3.+..+ Vii Logo a impedância equivalente Zeq = ZI + Z2 + Z3 + + Zn Divisor de Tensão . e • +V1 ouVi ~1 4 li ou Zi ±1 VOuVH Zl+Z2 + Z2ouZ2 . ~ou~ Z2 V2=( Zi+ Z2 • Associação Paralela de Impedâncias. (1/Zeq )= (1/ZI)+ (1/Z2) + (1/Z3) + ...Z+ ( 1/Zn) Para dois componentes em paralelo, Zeq e (ZI . Z2) 1 ( ZI + Z2) Divisor de Corrente. • • Ii =( 1. 4’ 12 • • Z2 • • Zj+Z2 ). 1; • 12 ( • z~ • z1+z2 Z2 ouZ2 Análise de Circuitos em corrente Alternada ProL: José Ant6nio Rosa 33 Exemplo: No circuito série mostrado anteriormente a impedância total será ZT= 6 +j (8-4) ~ ZT= 6 +j4f2 = 721 /33,7° £2. O fasor corrente será dado por 1 = = V/ Z 1 =~ = (40/20°) 1(7,21 /33,7°) ~ 5,547 /-13,27° A Diagrama de Impedâncias A seguir está representado o diagrama da impedância ZT anterior. 1° quadrante ( circuito indutivo j4 o 6 ) ~R[f2] 4° quadrante ( circuito capacitivo) Triângulo de Impedância Contem os vetores que representam R, jX e Z. - Exemplo: 1)z = 6+j8 = 10/53,1°Q 2) z=6 -j8 O = 10/-53,1°O 6≤2 z -jS j8Q Z= 10Z53,1°C2 jX Z= 1OZ-531°Q R Exemplo. 1) Dados v = 311 sen ( 2.500t + 170°) V e i a) b) c) Os diagramas de fasores. O diagrama de impedância. Calcular os componentes do circuito. a) • Fasores: V = 311 —/170° 220/170°V, = 15,5 sen (2500t 145°) A. - • 155 l=—~--/—145°=11/—145°A co 2.500 rad/s v ref. -7 145° - Anãlise de circuitos em corrente Alternada ProL: José Antônio Rosa 34 b) = 220/1700 ~ Z 20L315°Q ~ Z = = 20/—45°Q = 14J4—j14J4 O 11/—145° jX[ü] 14,140 R[üJ 450 •~~J.~gqo -j14,14[01 e z c) A corrente está adiantada em relação a tensão. Logo o circuito é capacitivo RC. R = 14,14 O Xc 1/ wC = C1/(2500. 14,14) • = 14,14 O ~ C ~ = lI(oXc)=~~ C28,3,uF Exercícios propostos 1) a) b) Obs: Considere um circuito com v utilizando os eixos abaixo: o diagrama de fasores; o diagrama de impedância. = 50 sen(2000t - 25°) V e i = 8 sen(2000t + 5°) A. Trace traçado sem escalas; o traçado dos ângulos e dos módulos podem ser aproximados; o valor dos módulos devem ser escritos junto aos fasores. lrn 900(_2700) 180°(-180°) R(Q) jX(fl) Ref 0° 90°(270°) Um circuito C.A tem uma impedância total Z a) a defasagem entre a tensão e a corrente provocada pela impedância; b) escreva se o circuito é indutivo, capacitivo ou resistivo. = 20 ii 00 ((2). Determine: 2) + 3) Estão em série um resistor de 300(2, um indutor de 1H e um capacitor de 11.tF. Calcule a impedância na forma polar e escreva se o circuito é indutivo capacitivo ou resistivo para: a) co= 833 rad/s; b) co 1000 rad/s c) co 1200 rad/s Resp. a) 474Z-50,8°f2, capacitivo; b) 300Z0°≤2, c) 474Z50,7°Q, indutivo. Análise de circuitos em Corrente Alternada ProL: José Antônio Rosa 35 4) 1, ia caiga tem uma tensão de 240/75° V e uma corrente de 20/60°A numa freqüência de 60 Hz. Calcular os elementos em série que a carga poderia ser. Resp.: resistor de 1160 e um indutor de 824 mH. 5) Dois elementos de um circuito em série solicitam uma corrente de i = 16 sen(200t + 35°) A em resposta a uma tensão aplicada de v = 80 cos(200t)V. Determine os dois elementos. Resp.: resistor de 2,870 e um indutor de 20,5 mH. 6) Para o circuito mostrado à seguir, calcular os fasores 1, VR e Vc e as quantidades senoidais correspondentes se a freqüência é de 50 Hz. Calcular a potência média liberada pela fonte. 200 + Vc 240/30°V Resp.: l=7,5/81,3°A Pmed Vc1 87/-8,66°V VR 150/81 ,3°V vR 212sen(314t+ 81,3°)V = 10,6 sem(314t + 81 ,3°)A vc = 26Ssem(314t -8,66°)V = 1,12kW 7) Uma fonte de tensão de 340 sen(l000t + 25°)V, um resistor de 20, um indutor de 1H e um capacitor de 1 LIF estão em série. Calcule a corrente do circuito e as quedas de tensão do resistor, do indutor e do capacitor. Resp. vR = 340 sen(l000t + 25°)V = 170 sen(1 000t + 25°)A vc =170 sen(l000t 65°)kV vL =170 sen(l000t + 65°)kV - 8) Um tensão que tem um fasor de 200/40° V é aplicada sobre um resistor e um capacitor que estão em série. Se a tensão rms do capacitor é de 120V, determine o fasor tensão do resistor. Resp.: 160Z-3,13° V 9) Calcule a corrente 1 para o circuito mostrado. 1 -j200 Resp.: 1 = 9,52/458° A 3500 + v 10) Use o divisor de tensão duas vezes para calcular V no circuito do exercício n.° 9. Resp.: V 81,20/6,04° V/ Análise de Circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 36 ADMITÂNCIA ANÁLISE DE CIRCUITO PARALELO EM CA - Exemplo de análise de circuito em paralelo em CA. 1(t) = lc 1000~2 10 ‘Ji~sen5000tA + R=1000fl —~-— c = 0,2 ~aF e L=0,5H’ Circuito no Domínio do Tempo XL = Circuito no Domínio da Freqüência j ~L = j (5.000 x 0,5 ) = j 2.6000 Xc=-j(1/o)C)=-j(1/5000x0,2x106)=-jl0000 Aplidando a Lei das Correntes de Kirchhoff temos: 1 10/00= .3, IL + + lc i ‘1~] .3’ + __ =Vx[__ ( i +1 + 1.000 j2.500, —j1.000 1.000 ~j2.500 —j1.000jj 10400 10/0° [o,ooi +j0,0006j 1166x103Z31° logo IR + 1ozoo=~x[o.oo1+(_J4x1o—4÷i1o_3)~ . = 10/00 = Vx [0,001 + j 0,00061—e =8,6x10~Z—31° V e V =8,6Z—31°kV v=8,6.-&sen(5000t-31°)kV=12,l6sen(S000t-31°)kV ADMITÂNCIA — A admitância é o inverso ( recíproco ) da impedância: -~ c YouY= 1 /Z[siemensjou[S]. Portanto seV=Z.I=>I=V/Z A admitância em CA corresponde a condutância em CC. Expressão geral : Y = G + jB Y Yflp —* —÷ A parte real G é a condutância. Forma retangular Forma polar Expressão: G A parte imaginária B é a ~Liscetância. ~ -1 -~ Análise de Circuitos em Corrente Alternada = 1 1R Capacitiva: jBc = .j wC Indutiva : -iBL = ii 1 wL - ~1 Prof.: José Antônio Rosa L_.í~ 37 Para o circuito dci exemplo anterior • 1 (1 1 +1 + 1.000 ~J 2.500 —i 1.000 G Y = 0,001 Se 6 = 0,0006S 0,001 + j0,0006 5 = Admitância expressa na forma polar: 3ç~C2 q, ~=4G2+s2ztg1(B/~) •~AA • Dmódulodaadmitância Y =~G2 +B2. O ângulo de fase da admitância p v = = tg1 (%) 4(o,ooi)~ +(o,0006)2z tg_1(0.000,%’001) -r .Y=1,166x1C3 /31° 5 Sendo a admitância a recíproca da impedância o ângulo de fase da admitância é o negativo do ângulo de fase da impedância. Através do sinal do ângulo de fase da admitância pode-se concluir: • Se a Fase for positiva significa que o circuito é capacitivo. • Se a Fase for negativa significa que o circuito é indutivo. • Se a Fase for zero o circuito é r~sistivo. • Representação no plano complexo. N -- Im Admitância capacitiva ‘1’ O<cp<9O° cp~ Y ~l Admitância indutiva à -9O°<cp<O • Assoàiação de admitâncias em paralelo. Logo a admitância equivalente Yeq Anãlise de circuitos em corrente Alternada Y1 + Y2 + Y3 + + Yn Prof.: José Antônio Rosa 38 Divisor de Corrente. e -* 1. e + 12 Y2 ou ~=(-~‘~ )‘T; YT Y2 Associação Série de Admitâncias. e I2(~~)I YT - ‘4 (1/Yeq)(1/Y1)+(1/Y2)+(1/Y3)+ +( 1/Yn) Para dois componentes em série, Yeq=(Y1 .Y2)I(Y1 +Y2) • Pode -se traçares diagramas de admitâncias e os triângulos de admitâncias. • Exemplo: Usar o divisor de corrente para calcular a corrente 5/30°S do circuito representado a seguir. 1 =4Z30°A = 6/-70° YT = (2,05 j5,64) + 5/30° + Y’r= 16,24+j 9,28 lY2 = D D D o O O O no ramo, de 9/450 S YT - lY2 + 7/50° + 9/450 ~ ( 4,33 + j2,5) = + ( 3,5 + j6,06 ) + (6,36 + j6,36) ~ 18,7 / 29,7° 5 ( ‘(2/ YT) x 1 ~ 1Y2 = ( 5/30°)/18,7/ 29,7°) x 4/ 30° =~ lv2=1,07/30,03°A Análise de circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 39 Exercícios propostos: 1. Um resistor de lkD, um indutor de 1 H e um capacitor de 14F estão em paralelo. Calcular a admitância total na forma polar em a) 500 radls, b) l000radJs, c) 5000 rad/s. a) 18/-563° mS b) 1/0° mS c)4,9 /782° rnS 2. Um indutor e um resistor em paralelo têm uma admitância de 100z-30° mS em 400 Hz. Calcular a indutância e a resistência. Resp. 796 mH, 11,5 (2. 3. Dado o circuito paralelo à seguir, calcular: a) a admitância de entrada Y em [S]; b) a corrente 1 em [A]. c) a corrente sobre indutor usando o divisor de corrente. V=120/0°Çy 4 5(2 ~3J2r21-J4o 4. Dois elementos em um circuito paralelo têm uma admitância de 2,5 /30° mS em 400Hz. Calcule os dois elementos. Resp.: resistor de 4620 e um capacitor de 0497 psF. Análise de Circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 40 POTÊNCIA EM CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA Absorção de Potência Im sen((cot ) A 1(t) v(t) Vm sen(cot + p) = V ZLpQ A potência instantânea absorvida pelo circuito representado acima será: p = v.i = Vm sen(cot + p) x Im sen(cot) Das relações trigonométricas temos: cos(a b) - cos(a + b) cos( a b - cosa. cosb = = + sena senb . cosa cosb sena senb . - . ) cos (a + b) = 2 sena senb - logo sena~ senb=[cos(a-b)-cos(a p = + b)1/2 ,se a=wt+9 eb—ojt então, (Vm Irn)/2 [cos Qp) cos (2cot+ p). - Vm•lm Mas, 2 = Vm Im . — - = Vrms Irms entao a potencia nstantanea pode ser expressa por: p = Vrms.lrms [cos ~ cos (2cot - + cp)] Potência Complexa 5 - Símbolo: S ou 5 Unidade: volt amperê [VA] - Consideremos um gerador V = V Z 9v, fornecendo uma corrente 1 impedânciaZR±jX ouZZ/±9. = 1 / Gi a uma 1=1/ei + VR VV/Ov. + Vx Análise de circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 41 A Potência Complexa pode ser obtida multiplicando o fasor . corrente de entrada 1 * pelo conjugado do fasor tensão V ouV. Desenvolvendo a expressão da potência complexa, temos: . . * . s=v ~ . S = V~ S = vi Irn,sZ — cp OU cos(—p) + JV .I~ sen(—w) z~ S = VI. coe p — jV .1. sen cp OU . 5 =P—jQ Outras expressões para a Potência Complexa: Y A fase de S corresponde numericamente à fase p da impedância invertido ou a defasagem entre .V e 1 com o sinal invertido. com o sinal O módulo de S é o produto dos módulos de V e 1, ou seja, Vrms e Irms. A componente real de S é a potência ativa P Portanto: PVrms.lrms.cosw A componente imaginária de S é a potência reativa Q. Portanto rJ=-Vrms.lrms.senQ 1 O módulo de S é a potência aparente N. Portanto: Portanto: S=NZ-q HiI = N = Vrms. lrms 1 1 Potência Média, Ativa, Real, ou Útil P - A potência média, é conhecida como potência ativa ou potência real circuito sendo simbolizada por P. ou útil de um O valor médio de p Vrms.lrms [cos ~ cos (2cot + p)], é igual a soma dos valores médios dos dois termos. O primeiro termo é uma constante, mas o valor médio do segundo termo é zero por ser cossenoidal, portando a potência média será: - vrms.irms cos ~ 1 Vrms lrms tensão eficaz corrente eficazdedeentrada entrada Unidade: watts [W 1 cp ângulo de defasagem entre tensão e corrente. Para um circuito que não possui fontes independéntes é o mesmo ângulo da impedância. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 42 Quando o circuito for resistivo puro, p ~P • =~ • (~ = Vrms.lrms cos cp = = 00 = = Vrms.lrms cos cp = 00 = 1 90° ~ cos = 900 VI. = O W. Portanto o circuito não absorve potência média. Quando o circuito for capacitivo puro, p P ~ cos Vrms.lrms ou Simplesmehte P Quando o circuito for indutivo puro, p ~P • Vrms.Irms cos = = = -90° ~ cos ~9O° = O W Portanto o circuito não absorve potência média. . Fator de Potência O cos cp é chamado de fator de potência de símbolo FP O cp chama-se ângulo do FP sendo o ângulo da impedância. O ângulo do fator de potência tem sinais diferentes para circuitos indutivos e capacitivos, mas como cos p = cos (-p), conclui-se: • Para circuitos indutivos o FP é chamado de fator de retardamento da pot4nçia, FP indutivo ou atrasado. • Para circuitos capacitivos o E? de potência é chamado de fator de avanço da potência, FP capacitivo ou adiantado. • Potência Ativa P - A potência ativa P, em watt [Wj, é obtida do produto da corrente pela parcela da tensão de entrada em fase com elá. Portanto: P = V.l cos q, mas como VR = V. cos Portanto: . ~. P=VRJ_j ou PR.l2 ou J PV2R,.R Diagrama Esquemático 1=1 v Vx • A parcela ativa da potência total fornecida pela fonte CA é consumida pela componente resistiva da impedância. • A potência ativa é convertida em calor por efeito Joule, sendo utilizada para realizar trabalho. • A potência ativa total fornecida pela fonte CA é a soma das potências ativas dissipadas pelas componentes resistivas do circuito. • A potência ativa pode ser medida por um instrumento chamado wattímetro. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antõnio Rosa 43 Potência Reativa O - Símbolo Q Unidade: volt ampère reativo [VAR 1 É obtida pelo produto da corrente com a parcela da tensão em quadratura com ela. - r~ = - - Vrms = tensão eficaz de entrada Irms = corrente eficaz de entrada = ângulo do fator de potência sen p = Fator Reativo FR, sendo positivo para cargas indutivas e negativo para as cargas capacitivas. Vrms.lrms sen - Diagrama Esquemático ..__~ 1=1 +ç~_ VR P~4 “ v • A reatância indutiva armazena energia sob a forma de campo magnético. Sendo p positiva, provoca um atraso na corrente, logo no armazenamento de energia. Portanto, a potência reativa indutiva é negativa e expressa por: Q=-VL.IL • + X Vx A impedância usa pequena parte da potência reativa. fornecida pela fonte para armazenar energia em sua reatância e a outra parte é devolvida à fonte. Conclui-se que a potêncip reativa Q é totalmente perdida, pois não realiza trabalho útil. ou Q=~XL.lL2 ou Q=-VL2IXL A reatância capacitiva armazena energia sob a forma de campo elétrico. Sendo cp negativa, provoca um avanço na corrente, logo no armazenamento de energia. Portanto, a potência reativa capacitiva é positiva e expressa por: FQ=+vc.lc ou Q=÷Xc.1c2 ou Q=÷Vc2lXc • A potência reativa total fornecida pela fonte CA é a soma algébrica das potências reativas dissipadas pelas componentes reativas do circuito. • Alguns autores representam a potência reativa por PREAT ou PQ Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 44 Potência Aparente N - Símbolo N Unidade: volt ampère [VA] - A Potência AØarente total fornecida por uma fonte é obtida pelo produto da tensão total da fonte pela corrente fornecida N Vrms = tensão eficaz de entrada lrms = corrente eficaz de entrada Vrms.lrms = Outras expressões para N: Diagrama Esquemático N=Z.12 —.4. 1 ou N=V2/Z = + X Vx • A potência aparente é o módulo da potência cornplex S. N = 1 S 1 • Alguns autores representam potência aparente por PAP ou 5. a Triângulo das Potências As equações das potências média, reativa e aparente podem ser obtidas geométricamente pelo triângulo das potências. Circuito Indutivo V D D D Icos P = V. 1 co: lsenw Q-V.lsenp Atrasado N • = V.l Circuito Capacitivo N=V.I o o o o o Q = V. 1 sen cp Adiantado 1 sen p 1 cosp N=4 P2 ~ p-arctg(Q/P) Análise de circuitos em corrente Alternada P = PN.coscp V. 1 coscp Q-N.senç ProL: José Antônio Rosa 45 Resumo: Potência Complexa S [VAI • - S=V*.l;S=(V2/Z)Z~p; SZ.12L-p Potência Aparente N [VA • N - Potência Média; Ativa; Real ou • P V .1 cosp; P = = ViU ; P = Potência Reativa Q[ VAR • Q 1 S 1; N = V. 1; N = J2 Z; N = V2 / Z = - = - V. 1 sen cp Q = Xc. • Fator de Potência FP FP = 12; Útil P [W] R.12; P - = V2R!.R; P = parte real de S 1 Q = ~J2/ X; Q = parte imaginária de S - RIZ; FP = P/N ; FP =cosç Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 46 Exemplo: Dado um circuito de impedância Z = 3 i-j4 [O] e uma tensão aplicada V = 100/ 30° [V]. Traçar o triângulo das potências. Solução: Cálculo a corrente: = 20 / -23,1°[A]. 1 = V/Z = 100/ 30°! 6 / 53,1° =~ Método 1 P = R.12 = (20)2. 3 = 1.200 [W] Q = X.i2 = (20)2. 4 = 1.600 [VAR] (atrasada) N = Z.12 = (20)2. 5 = 2.000 [VA] FP = RJZ = 3/5 = 0,6 atrasado Método 2 N = V.l = 100 20 = 2.000 [VA] P = N.cosw 2.000. cos 53,1 °= 1.200 [W] Q N.sernp = 2.000. sen 63,1.° = 1.600 [VAR] (atrasada) F.P = cosp = cos 53,1° =0,6 ( atrasado) . Método 3 S = V~. 1 N = 2.000 [VA]; FP = = 100/ -30° .20 / -23,1° P/N ~ FP P = = 2.000/ -53,1°[VA) 1.200[W]; = 1.200! 2.000 =~ Q FP = = = 1.200 -i 1.600 [VA] 1.600 [VAR] atrasada 0.6 (atrasado). Método 4 VR = 1 R = 20/ -23,1° (3) = 60/ -23,1°[V] Vx = 1 jX = 20/ -23,1° (4/ 90°) = 80/ 66,9°[V} P Q N . . . . (VR2/ R = = (Vxy/ ix = (V)2/Z = 1.200 [W] 5Q2/3 = 802/4 = 1002/5 = 1.600 [VAR] atrasada 2.000[VA] Triângulo das Potências P \. = 1.200 [WL )w=53,1° Q = - 1.600 [VAR] (atrasado) N=2.000[V2}\\~ Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 47 Exercícios Propostos 1) A potência instantânea absorvida por um circuito é p =10+8 sen (377t + 40°)W. Calcular as potência média, mínima e máxima absorvida. Resp. 10W, pmin 2) = 2W, pmax 18W Calcular o fator de potência e a potência média absorvida para cada par de tensão e corrente das cargas: a) v = 170 sen(SOt -40°) V, = 4,3 sen (50t + 10°)A. Resp.: 0,643 avançado, 235W b) v = 340 cos(377t 50°) V = 6,1 sen (377t 3) Considerando o circuito à seguir, calcular: a) as potências ativa P [WJ, reativa Q - [VAR] e aparente N [VA]; + 30°)A Resp.:0,985 atrasada, 1.037W Resp.: 300W, 400VAR, 500 VA, 0,6 atrasado b) o fator de potência FP. c) Construir o triângulo das pctências. 30 + j6í2 V =50/- 90°V f60 Hz - 4) Sobre um circuito quando aplicada uma tensão v corrente i = = 200 sen (cot + j 20 11 0°)V, circula uma 5 sen (cd + 20°)A. Calcular as potências, P , Q e N. Resp.: 0W, 500VAr atrasada e 500 VA 5) Duas impedâncias ZI fasor V = 4/-30°≤2 e Z2 = 5Z60°0 estão em paralelo e submetidas ao 20/0°V. Calcular os FP’s e as potências S, P, Q e N de cada braço e totais. Resp.: S1 6) = 100/30°VA; S280/-60° VA; ST 173,89/43,3°VA Calcular o fator de potência de um motor de indução de 5 HP, completamente carregado, que opera com um rendimento de 85% e solicita 15A de uma linha de 480V. Resp.: 0,609 atrasado o o o Análise de circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 48 CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA Nas aplicações residenciais e industriais comuns, as cargas são indutivas e a corrente é atrasada em relação à tensão aplicada. A potência média ou ativa, fornecida à carga, é uma medida do trabalho útil por unidade de tempo que a carga pode executar. Essa potência é fornecida pelas concessionárias de energia elétrica, sendo usualmente transmitida por intermédio de linhas de distribuição e transformadores. Os transformadores são especificados em KVA e utilizados na maioria das vezes com tensão fixa, portanto os KVA indicam a corrente máxima permitida. Teoricamente um transformador poderia ser totalmente carregado com uma carga indutiva ou capacitiva pura e, consequentemente a potência média ou ativa fornecida seria nula. Essa situação não é desejável pelas concessionárias, pois elas arrecadam pela potência média fornecida. No consumo de uma grande quantidade de potência ativa é desejável um elevado fator de potência, pois, para uma potência ativa P tt’ansmitida, quanto maior for o FP menor será a corrente ‘i’, já que: , 1= ~ V•cosp __ V•FP Para aumentar, ou seja, corrigir o fator de potência instala-se capacitores sobré a linha, ou em paralelo com a carga, para fornecer os VAR’s consumidos pela carga indutiva. Esses capacitores fornecem a corrente aos indutores da carga, cuja corrente sem os capacitores, teria de ser suprida pela linha de transmissão Método para correção do fator de potência. 1. Calcular a Potência Reativa Inicial consumida pela carga Q/1 Qi = P tg pi, sendo pi o ângulo inicial da impedância da carga. - ‘ 2. Calcular o ângulo final da impedância cpf’ para o fator de potência final desejado ‘FPf’: pf cos’(FPf). ‘ 3. Calcular a Potência Reativa Final mesma.. Logo: Qf = P tg cpf - Qf. A potência média ou ativa permanece a . 4. Calcular a Potência Reativa que deve ser fornecida pelos capacitores zlQ. AQ = Qf Qi o resultado é negativo pois Qf < Qi, portanto para o cálculo do item 5 considera-se 1 ~Q 1. - - 5. Cálculo da Capacitância Total Ct necessária para fornecer o AQ: - V coCtVrms2 coCt /0) rms Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 49 6. Cálculo do número ( N ) de capacitores de determinada capacitância necessários para fornecer a Capacitância Total Ct será: - C - N Ct / C = Corrigir para 0,9 atrasado o fator de potência do circuito que Exemplos: 1) possui o triângulo de potências mostrado a seguir. Calcular a potência aparente Nf após a correção e a capacitância total necessária, sabendo-se que: v = 100. .ji .sen(377t + 30°)V. P 1.200W = Cálculo de Qi pi = cos1(P/N1)~’ cpl Qi = P tg pi Qi . = = cos1(1.200/2.000) 1.200 tg 53,1° Qi . = cpi = 53,1° 1.598,25 VAR. > Cálculã de pf O Fator cos(pf = 0,9 de ~ cpf = Potência cos1 0,9 Final desejado (~f = 25,84°. é FPf = 0,9. Logo >~ Cálculo de Qf. A Potência P = Qf = P tg cpf ~. . 1.200 W não altera. Qf = 1.200 tg 25,84° . =~ Qf = 581 VAR. > Cálculo da Potência fornecida pelos Capacitores. AQ = Qi Qf - = 1.598,25 581 > Cálculo de CT. O fasor tensão V Ct =~/ / coVrms 2 - = => AQ = 1.017,25 VAR 100 Z30°V. _1.01725/ /377.1002 z,Ct =269,8jiF Usando capacitores de C = lOOpF o número (N) de capacitores necessários será: N = CT/C N =269,8/10=> N~3 capacitores Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José António Rosa 50 Cálculo da Potêndia Aparente Final )> P = - Nf fornecida pela rede de alimentação. Nf. FPf=~ Nf= P/ FPf :.Nf= 1.200/0,9 Nf 1.333 VA. Comparando as Potências Aparentes Ni e Nf pode-se concluir sobre as correntes elétricas fornecidas pela rede de alimentação antes e depois da correção do FP: li = Ni / V lf = Nf / V Ii = 2.000/100 If = 1.333/100 li =~ = 20 A lf = 13,33 A. Portanto a mesma Potência Média de 1.200 W pode ser fornecida com uma redução de corrente de 6,67 A, que representa 33,4%. 2) a) b) . Um transformador de 25 KVA fornece 12 KW a urna carga com o FP = 0,6 atrasado. Calcular a porcentagem da carga. nonimal fornecida pelo. transformador. Desejando-se completar a carga total do transformador, com cargas de fator de potência unitário, calcular a potência ativa adicional em KW poderá se acrescentada. Calcular o fator de potência após acrescida a carga. Solução: a) Pi = Ni coswi . =~‘ Ni = 12/0.6=> Ni = 20 KVA. Como a caga nominal que pode ser fornecida pelo transformador é Nn então (20/25). 100 = Com 0,6 teremos = cos 0,6 = 53,13°. Q = Ni.sencpi =~ Q = 20 sen53,13° Q=16KVAR Q não se altera. Logo para Nf =Nn = 25 KVA tem-se: _______________________ Pi AQ =Nn Portanto a carga adicional será: à? c) O FPf = Pf/Nn O (Pf = 25 KVA, 80% b) ~; = =~ FPf cos1 077 = = Pf- P1 FP = 1 Pf=gNfl2_Q2=g252_162 = Pf =19,2KW 19,2-12 = 7,2 KW. 19,2/25 =~FPf = 0,77 atrasado. 39,83°. Conclui -se que o FP pode, também, ser melhorado acrescentando -se cargas com fator de potência unitário. Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 51 Exercícios propostos: 1) Calcular a capacitância CT necessária para corrigir para 0,95 atrasado o FP do circuito mostrado. + V=1 20/0° 2) Um transformador de 250 KVA está operando a plena carga com fator de potência total de 0,5 atrasado. O FP é melhorado acrescentando-se capacitores em paralelo com a carga até que o novo FP seja de 0,9 atrasado. Calcular: a) A potência reativa capacitiva necessária. Resp.: 61 KVAR b) A capacitância total necessária sabendo que a tensão eficaz no secundário do transformador é 220V e a freqüência 60 Hz. Resp.: 8.5501.tF c) A potência aparente final Nf. Análise de Circuitos em Corrente Alternada Resp.: 138,9 kVA ProL: José Antônio Rosa 52 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Introdução Quase toda energia elétrica é gerada e distribuída por meio de circuitos trifásicos. Os geradores de tensão trifásicos em C.A, também chamados de alternadores trifásicos, produzem três tensões senoidais idênticas, exceto por uma defasagem de 120°. A energia elétrica gerada é transmitida sob três ou quatro fios. Geração de Tensão Trifásica A figura a seguir mostra uma seção transversal de um alternador trifásico com um estator estacionário e um rotor que gira no sentido anti-horário. O rotor tem um enrolamento de campo no qual circula uma corrente CC produzindo um campo magnético. Os pólos do campo magnético girante do rotor, passam junto aos três enrolamentos do estator, induzindo em cada um deles, uma tensão alternada. O três enrolamentos do estator estão distanciados entre si de 120°, portanto as tensões trifásicas estão defasadas entre si de 1200 conforme mostra a figura a seguir. vaa’ = Vm sen(cot); vbb’ = Vm sen(cot -120°) ; vcc’ = Vm sen(cot vaa’ Vbb’ + 120°) Vcc’ C enrolamento do estator (bobina) Fonte cc enrolamento de campo As ondas atingem seus valores máximos ou de pico com distância de um terço do período ou 120°. Seqüência de fases - É a ordem na qual as tensões ou correntes atingem os seu valores máximos. Na seqüência considerada positiva ABC, a tensão na bobina A (vaa’) atinge o máximo em primeiro lugar, seguida pela bobina B (vbb’) e depois pela C (vcc’) ver diagrama de fasores à seguir. - Invertendo o sentido de rotação do rotor ou trocando a marca de dois enrolamentos a seqüência de fase torna-se CBA ver diagrama de fasores à seguir. - Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 53 Diagrama de Fasores . Seqüência ABC Vaa’ = Vz0°; v cc’ Vbb = VZ—120° Vcc’ = . = O VZ120° • . Vaa’ 120° Vaa’ Ref. 120 . Soma Vaa’-i- Vbb’+ Voo’ •__ ..\!. Vbb’ Vaa’ ~* Vbb’ -120° Soma Seqüência CBA • . . Vaa’+Vbb’+Vcc’ =0 . = VZO°;. Vbb’ = VZ120°; V~’ = VZ—120° Vbb’ e Vaa’ 120° Vaa’ Ref. 1; •__ ..\/• Vbb’ ‘* Vcc’ -120° Vcc’ Ligações dos Enrolamentos dos Alternadores As ligações das extremidades dos enrolamentos A’, B’ e C’, ou A, 3 e O resulta na ligação estrela (Y). As ligações dos enrolamentos A e C’, A’ e B B’ e C resulta na ligação deita ou triângulo (A). IL A lc c’ A —~* IL Ligação Estrela Y - IA -jc Ligação Triângulo ou Deita - A O ponto comum às três bobinas na ligação Y é chamado de Neutro (N). As tensões sobre as bobinas são chamadas Tensões de Fase (VF) e as tensões entre os terminais (extremos) das bobinas são chamadas Tensões de Linha. (VL). As correntes sobre as bobinas são chamadas Correntes de Fase (iF) e as Correntes que saem dos terminais das bobinas são chamadas Correntes de Linha (IL). Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 54 Na ligação Y: ~ As tensões Vr são VAN, VBN e VcN. > As correntes de fase IF ( IAN, IBN e IcN ) são as mesmas correntes de linha IL (IA, IBe IC). > As tensões VL é a soma fasorial das tensões VF. VBc c B VAB VCA A Pela representação fasorial acima observa-se qL.ie existe um ângulo de 3Q° entre os fasóres tensão Vsc e VBN sendo VBc = VCN + VBN. Para circuitos equilibrados os módulos VAN = VcN = VBN, portanto VAB = VAC = Vsc. Logo o triângulo BCN é isósceles, consequentemente vale as relações abaixo. c B No triângulo retângulo CDN V80/ r cos3o°= /2 ~~J3_ V3~ VcN VBc~J~.VcN > As tensões de linha VL são ~ 2 ou 2VcN VcN VL=,J~.VF vezes as tensões de fase VF. Na ligação A: ~ As tensões de fase Vr ( VAN, VBN e VcN ) são as mesmas tensões de linha VL (VAB, VcA e VBc). ~ As correntes IL são a soma fasorial das correntes Ir. Aplicando-se a LCK em um dos nós da ligação A, tem se IA = IcA lAR. O diagrama fasorial está representado à seguir - - IA ~o12Oo3oG ~ Existe um ângulo de 33Õ entre cada corrente IF e a corrente de linha IL mais próxima, nesse exemplo IA e IAB. o o o o Análise de circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 55 Para circuitos equilibrados os módulos IAB = lBC = ICA, portanto IA = IB = Ic. Logo o triângulo é isósceles, consequentemente vale as relações abaixo. IA/2 No triângulo retângulo A/ r cos30°=-~~-=$-~-= A AB 2 2•’AB A = ‘J~~AB OU = 1AB ~J~.lp > As correntes de linha IL são 4’ã~ vezes as correntes de fase lF. CIRCUITO EQUILIBRADO Y O circuito trifásico equilibrado comporta-se como três circuitos interligados mas separados. A diferença nas respostas dos três circuitos é uma diferença de ângulos de 1200. O método de análise comum consiste achar a tensão ou corrente desejada numa fase, e usá-la com a seqüência de fase para obter as tensões ou correntes correspondentes nas outras duas fases. A escolha de umá tensão de referência com ângúlo de fase nulo determina os ângulos de fase de todas as outras tensões dos sistema. -. Exemplo: Um sistema CBA trifásico a quatro condutores, 208 V (tensão de linha), alimenta uma carga equilibrada em estrela, constituída por impedâncias 20/ -30° Q Calcular as correntes de linha e traçar o diagrama de fasores. Solução para a seqüência CBA Para determinar as fases das tensões considera se para Vsc na referência. - vcA\ VAB vcN ~VBN VBc=VL/O° V VcA=VLZ12O°V VAN=VL/ ‘15 /(240°÷30°)V=VL/ Ref. 1 1 VAN ‘1 ‘i, 1 VL /2400 V VBN=VL/ VcN=VL/ ‘15 .J5 ‘15 /-90°V ‘15 /30°V z120°+30°V=VL/ ‘IS /150°V /(O°+30°)V=VL/ vAB Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 56 Cálculo das correntes de linha: 208/ 20/—30° z 8 _________ 20L—30° z •Ic • ‘A ~ ?A=~N±= • ;~ ~ • /—90° VcN 120/150° • =—;--~ I~ — 20/—30° = 120 -Z—60° • IA =ftO/—60°A =- 120 /600 ~ = 6,0/ 60°A ~ Ic=6,0/180°A z As correntes de linha retornam pelo condutor neutro. Aplicando a LCK no ná N: IN lN + = IA + IB 0: + lc = O ~. IN = - (IA + Is + lc) ~ lr~i = - ( 6,0/-60° + 6,0/ 60°+6,0/180°)=’ Conclusão: Em circuitos trifásicos com cargas equilibradas a corrente do condutor neutro é igual a zero. Diagrama de fasores: VCA 18 VcN VBN VcN VBN ref. 30° VAN VAN VAS Observações: - As correntês de linha são iguais às correntes de fase As correntes de linha estão equilibradas e adiantadas em relação as tensões de fase de 30°, pois as cargas (impedâncias) são capacitivas. - Exercício: Resolver o mesmo sistema considerando a seqüência ABC. Ângulo de fase das tensões para ABC. VAB k~ 1 VAB=VL/120°V 1 ‘ VBc=VL/0° V VCA=VL/240°V VANVLb,Jã/(1200_300)=VLb,J~/(900)V 1 .°JtJ%%\~ \ Vsc vcN Ref. VLI ~ /(0°- 30°) VcN=VLJ 4ã~ /(240°-30°)=VL/ VBN = VL/ J~ /- 30°V ~ /-150°V VcA Análise de Circuitos em Corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 57 CIRCUITO EQUILIBRADO A Exemplo: Um sistema ABC trifásico à três condutores, 110V, alimenta uma carga em triângulo, constituída por três impedâncias iguais de 5Z45°Ç2. Calcular as correntes de linha IA, IB e lc. Traçar o diagrama de fasores. IA )1 A VCA 110/240° B c Ic Cálculo das correntes de fase: — — z isc = Veo • = 110/120° 5/45° 110/O 5/450 = — 22/75° A 22/ 45° A — = = (5,7 + 12125 )A (15,56—j15,56)A z VcA IcA = • = 110~2400—22/195°A 5/45~ .(—21,25—j5,69)A z Aplicação da lei das correntes de Kirchhoff lA lB = lAR— lcA =22/75°—22Z195°~38j 1/45° A — • AB + lBc = —22/75° + 22/ 45° = 38,1 IZ 75° A — — . lc =IcA—I~c =22/195°—22Z—45°=38,11/165°A Diagrama de Fasores: VAB As correntes de linha estão equilibradas e defasadas de 120° e de módulos 1J~ das correntes de fase. VF VL eL ,Ji IF IA Vsc IB VCA Análise de circuitos em corrente Alternada Prof.: José Antônio Rosa 58 POTÊNCIA TRIFÁSICA A potência total absorvida por uma carga trifásica é a soma das potências individuais absorvidas nas impedâncias totais de cada uma das fases, ou seja, é soma das absorvidas pelas cargas monofásica~. As potências ativa, reativa e aparente, desenvolvidas nas cargas monofásicas, já foram analisadas anteriormente. Resta anahsá-Ias em sistemas trifásicos formados por cargas em estrela e triângulo. Relembrando, as cargas indutivas possuem potência reativa negativa, enquanto as cargas capacitivas possuem potência reativa positiva. Potências Ativas, Reativas e Aparente Cada impedância da carga trifásica possui uma fase pF e está submetida a uma tensão de fase VF e uma corrente de fase IF. IF ZF~F Assim as potências ativa e reativa das fases ou absorvidas pelas impedâncias são dadas por PF = VF.IF.coswF e QF = - VF.IF.sen pF As potências ativas e reativas totais absorvidas pela carga trifásica são dadas pela soma das respectivas potências nas impedâncias: PTPF1+PF2+PF3 QT QFI + QF2 + QF3 Finalmente a potência aparente total e o fator de potência total da carga trifásica são dados por NT=JPT2+QT2 _____________________ Anáise de Circyitos em corrente Alternada e FP~=~ NT Prof.: José Antônio Rosa