Departamento de Matemática
TEOREMA DAS 27 RETAS
Aluno: João Miranda Carnevale
Orientador: Marcos Craizer
Introdução
Foi feito um estudo de conjuntos focais de superfícies. Foram utilizados os softwares
Maple e Geogebra para auxiliar na visualização de superfícies regradas. Além disso, foi feito
um estudo visando o histórico teorema das 27 retas em superfícies cúbicas.
Ao final, foi feito um estudo que compreende diversos temas, que tinha como objetivo,
auxiliar na revisão do texto [2] para o mini-curso que seria apresentado no III Colóquio de
Matemática da Região Sudeste, pelo professor Marcos Craizer com o título: “Evolutas de
Curvas e Superfícies”. Alguns dos tópicos abordados foram: conjunto de simetria central,
conjunto de simetria da distância afim, evolutas na geometria afim, evoluta de áreas e um
estudo sobre singularidades do tipo A3 e A4 em pontos não-umbílicos.
Objetivos
A partir dos conceitos de geometria diferencial e algébrica de superfícies, nosso
objetivo era estudar as superfícies regradas, procurando entender o estranho fenômeno que
possibilita superfícies algébricas de grau exatamente 3 conterem 27 retas, contando as
multiplicidades e as retas complexas, enquanto as de grau 2, as cônicas, contém infinitas retas
e as de grau maior que 3 normalmente não contém nenhuma reta. Após o teorema, estudamos
também a estrutura dessas 27 retas e exemplos onde as 27 retas são reais.
Metodologia
1) Um problema auxiliar
Antes de abordar o teorema das 27 retas, tivemos que estudar o problema das tangentes
duplas. Onde deduzimos a partir das fórmulas de Plükler que toda curva plana de grau 4
possui exatamente 28 tangentes duplas. Um exemplo onde essas tangentes duplas são reais é o
da curva definida por: P(x,y)=(4x² +y² -1)(x² +4x² -1) + α, onde α é maior que 0.
2) Demonstração
Tomando uma superfície algébrica de grau 3. Escolhendo um ponto base contido na
superfície, e um plano que não passa pelo ponto base, construímos uma curva formada pela
intercessão do plano com a reta que passa pelo ponto base e que também tangencia a
superfície.
Percebemos e demonstramos que curva criada é uma curva algébrica de grau 4, e,
portanto, possui 28 tangentes duplas, contando as reais e complexas com multiplicidade.
Agora, tomando um plano que contém uma dupla tangente e contém o ponto base. Esse plano
tangência a superfície em dois pontos, P e Q, então a reta que passa por P e Q (está contida no
plano e) também tangencia a superfície nesses dois pontos, fazendo um contato de ordem 4
com a superfície de grau 3. Portanto, pelo Teorema de Bézout a reta está contida na
superfície.
Nesse momento, parece que descobrimos 28 retas contidas na superfície, porém uma
delas é na verdade uma miragem. Ela acontece quando fazemos P e Q igual ao ponto base, o
que cria uma tangente dupla na curva, mas não cria uma reta fazendo um contato de ordem 4
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com a superfície, não resultando numa reta contida na superfície, portanto ficamos com
exatamente 27 retas contidas na superfície. Mais detalhes podem ser encontrados em [1].
Conclusões
Após a demonstração do histórico teorema, encontramos alguns exemplos de superfícies onde
as 27 retas são reais. Um deles é a superfície dos pontos que satisfazem:
4(x³+y³+z³)=(x+y+z)³+3(x+y+z). E chegamos a alguns resultados sobre a configuração das 27
retas com dois teoremas:
Teorema: Se duas das 27 retas são coplanares, então existe uma única reta na superfície
coplanar a essas duas.
Teorema: Seja L1 uma das 27 retas, da superfície cúbica S:
i) Existem precisamente 10 retas em S, coplanares com L1: L2, L3, ..., L11. E essas 10
retas formam pares coplanares
ii) Cada uma das 16 retas restantes: L12,...,L27, é coplanar a exatemente uma reta de
cada par formado.
iii) Duas retas das 16 L12,...,L27, são coplanares se, e somente se, existir uma reta entre
L2,...,L11 coplanar as duas ao mesmo tempo.
Referências
1 – FUCHS, Dmitry; TABACHNIKOV, Serge. Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on
Classic Mathematics. AMS, American Mathematical Society. 233 p.
2 – CRAIZER, Marcos. Evolutas de Curvas e Superfícies. Rio de Janeiro: SBM, 2015. 56 p.