10 1
100
101
102
103
104
105
2:0
Tempo de Estabelecimento
do Sistema Sub-amortecido de 2a Ordem sem Zeros
1:5
1:0
0:8
0:6
Seja
0:5
ωn2
0:4
H(s)
=
,
(1)
0:2
s2 + 2ξωn s + ωn2
0:0
com 0 ≤ ξ < 1 a0:01
função de transferência de um SLIT sub-amortecido de 2a ordem sem zeros.
0:02
A resposta no
0:04tempo à entrada escalão unitário do sistema (1) é:
"
#
0:06
0:08y(t) = 1 − p 1 e−ξωn t sin ω p1 − ξ 2 t + Ψ u (t) ,
(2)
−1
n
0:1
1 − ξ2
em que
Ψ = arctan
p
1 − ξ2
.
ξ
O tempo de estabelecimento definido para a vizinhança de ±5 % do valor final da
resposta, ts , representa o menor instante de tempo para o qual a condição
ts
1:0
|y(+∞) − y(t)| ≤ 0.05 |y(+∞)| , ∀t ≥ ts
(3)
1:1
1:5
é satisfeita. O tempo
de estabelecimento pode ser medido em função da constante de tempo
2:0
3 5T
4
T = !1
4T
n
2
3T
4
2 2T
T0:2
0:3
0:4
0:5
0:6
0:7
0:8
0:9
1:0
Figure 1: Tempo de estabelecimento, em função de ξ para o sistema sub-amortecido.
T = 1/ξωn , como se representa na Figura 1. Note-se que o tempo de estabelecimento atinge
um mı́nimo absoluto para ξ ≃ 0.7, crescendo quase linearmente para valores mais elevados de ξ.
Para 0 < ξ < 0.7, ts é aproximadamente três vezes a constante de tempo T .
Para estabelecer este resultado, que é claramente observado na Figura 1, defina-se a função
∆y(t) =
|y(+∞) − y(t)|
|y(+∞)|
que representa o desvio relativo de y(t) em relação ao valor final da resposta à entrada escalão
unitário. Determinando este desvio para os instantes de máximo e de mı́nimo da resposta y(t),
i.e., particularizando (2) para os instantes
tn ≃
obtém-se
∆y(tn ) =
nπ
, n∈N ,
ωa
|y(+∞) − y(tn )|
= e−ξωn tn .
|y(+∞)|
A expressão anterior mostra que, para os instantes de máximo e de mı́nimo da função y(t),
instantes tn , o desvio relativo ∆y(tn ) evolui segundo a função exponencial que caracteriza o
1
decaimento da sinusoide amortecida que constitui o regime transitório da resposta do sistema à
entrada escalão unitário. Considere-se a função contı́nua definida por esta exponencial
∆y M (t) = e−ξωn t .
Na Figura 2 representa-se o desvio ∆y(t) a que se sobrepôs a função exponencial ∆y M (t) (a
tracejado). Como se pode observar, a função ∆y M (t) representa, para quase todos os instantes de
∆y(t)
1
0.05
0
ts taprox
s
t
Figure 2: Desvio ∆y(t).
tempo, um majorante ao desvio ∆y(t). Um valor aproximado para o tempo de estabelecimento
é dado pelo instante de tempo para o qual a função contı́nua ∆y M (t) é igual a 0.05, i.e.,
∆y M (t) = e−ξωn t = 0.05 ⇐⇒ ts ≃
3
.
ξωn
(4)
A aproximação anterior, sendo tanto melhor quanto maior for a frequência de oscilação da
resposta do sistema, só é válida quando
ts > tp .
Em particular, considerando ωn fixo, é fácil verificar que a expressão (4) não é válida para
ξ > 0.7 ,
i.e., a resposta seja de tal forma amortecida que a sobre-elevação seja inferior a 5 %. Este
resultado é concordante com o observado na Figura 1.
A expressão (4) permite verificar que, tal como para o sistema de 1a ordem, o tempo de
estabelecimento de um sistema de 2a ordem é aproximadamente igual a três vezes o módulo da
parte real dos polos (neste caso, do par complexo conjugado).
2