Exercı́cios - Sequências de Números Reais (Solução)
Prof Carlos Alberto S Soares
1) Discuta a convergência da sequẽncia
sen(n2 )
.
n
2
)
Calcule, se existir, lim sen(n
.
n
2)
Solução 1 Observe que sen(n2 ) é limitada e 1/n → 0, portanto lim sen(n
n
= 0.
2) Seja uma sequência (xn ) tal que existam a, b ∈ R, sendo 0 < a < xn < b a partir de um
1/n
certo n0 . Mostre que xn → 1.
1/n
Solução 2 Temos a1/n < xn < b1/n e daı́ o resultado segue. É interessante notar que se (xn )
1/n
é uma sequência tal que xn → a com a > 0 teremos xn → 1. De fato,neste caso, existem c e
b tais que a partir de um certo n0 teremos 0 < b < xn < c e daı́ segue.
3) Sendo r1 , r2 , . . . , rk números reais distintos, construa uma sequência que possua k subsequências convergentes, cada uma para cada um desses números.
Solução 3 O exercı́cio pode ser resolvido de várias maneiras. Uma delas, que acredito seja
bem simples, seria tomar Zk = {0, 1, . . . , k}. Construa agora uma sequência (xn ) tal que para
os ı́ndices n em i, xn seja igual a ri .
4) Construa uma sequência que tenha subsequência convergindo para cada número inteiro.
∪
Solução 4 Basta escrever N como uma união enumerável de subconjuntos disjuntos ∞
i=1 Ni
e construir uma sequência (xn ) tal que para os ı́ndices n ∈ Ni todos os termos sejam iguais a i.
Escrever N como uma união disjunta, pode ser feita facilmente usando, por exemplo, potências
de primos.
6) Seja (xn ) uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que
r < 1. Mostre que xn → 0.
Solução 5 Existe n0 tal que se n ≥ n0 teremos
xn =
xn+1
xn
xn+1
xn
→
xn+1
xn
→
≤ r. Note que
xn xn−1
xn +1
. . . 0 xn0
xn−1 xn−2
xn0
e portanto xn ≤ rn−n0 xn0 e como xn > 0 o resultado segue.
7) Seja (xn ) uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que
r > 1. Mostre que xn não é limitada e portanto é divergente.
Solução 6 Análogo ao anterior.
8) Seja (xn ) uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que (xn )1/n →
r < 1. Mostre que xn → 0.
Solução 7 Existe n0 tal que se n ≥ n0 teremos
x1/n
≤r
n
e portanto
xn ≤ rn .
Daı́, o resultado segue.
9) Seja (xn ) uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que (xn )1/n →
r > 1. Mostre que xn não é limitada e portanto é divergente.
Solução 8 Análogo ao anterior.
10) Determine, se existirem, os limites das sequências abaixo:
(a) (an /n!) (b) (bn /n) (c) sen(n)
Solução 9 Exercı́cios a e b podem ser feitos facilmente usando os exercı́cios 6 e 7. No ı́tem
(c) note que para cada k natural existe nk ∈ N tal que
2kπ + π/6 < nk < 2kπ + π/2
e sendo sen(nk ) limitada, possui uma subsequência convergindo para um número entre 1/2 e
1. Da mesma forma, existem naturais nk tais que
2kπ + π < nk < 2kπ + 3π/2
e portanto sen(nk ) possui uma subsequência convergindo para um número entre −1 e 0. Logo
sen(n) é uma sequência divergente.
11) Se 0 < a ≤ b e se xn = (an + bn )1/n , mostre que xn → b.
Solução 10 Note que para todo natural n teremos
bn < an + bn < 2bn
e portanto b < (an + bn )n < 21/n b e daı́ o resultado segue.
12) Seja x1 ∈ R tal que x1 > 1 e xn+1 = 2 −
1
.
xn
Mostre que (xn ) é monótona e limitada.
Solução 11 A soluç é simples bastando mostrar, por indução, que 2 > xn > 1 para todo n e
que xn+1 − xn ≤ 0. Sendo (xn ) monótona e limitada, segue que (xn ) converge e usamos limite
em ambos os membros para mostrar que seu limite é igual a 1.
2
13) Sejam y1 = 1 e yn+1 = (2 + yn )1/2 . Mostre que (yn ) é monótona e limitada. Determine,
justificando, seu limite.
Solução 12 Note que 0 < yn < 2, ∀ n ∈ N. Teremos ainda que
2
yn+1
− yn2 ≥ 0 ⇔ yn+1 − yn ≥ 0 ⇔ −1 ≤ yn ≤ 2
e daı́ o resultado segue. O limite determina-se como no exercı́cio anterior.
14) Mostre que um polinômio p(n) = ak nk +ak−1 nk−1 +. . .+a1 n+a0 tende a ±∞ conforme
seja ak positivo ou negativo respectivamente.
Solução 13 p(n) = nk (ak +
ak−1
n
+ ... +
a1
nk−1
+
a0
)
nk
daı́ o resultado segue.
15) Seja p(n) como no exercı́cio anterior, com ak > 0. Mostre que existe n0 tal que p(n) > 0
para todo n ≥ n0 . Desta forma, fica definida a sequência
√
xn = n+n0 p(n + n0 ) → 1.
Mostre que xn → 1.
Solução 14 Note que
p(n)
→ ak > 0
nk
e portanto, pelo comentário que se segue ao exercı́cio 2, teremos que
√
n p(n)
→1
nk
e como
√
n
p(n) =
√
n
p(n) √
n
nk
k
n
o resultado segue.
16) Mostre que
1
1+na
→ 0 se a ̸= 0
Feito em sala!
17) Mostre que se xn → a e xn → b, então a = b
Unicidade do limite! Feito no livro.
18) Mostre que (1)xn → a ⇔ (2)xn − a → 0 ⇔ (3) |xn − a| → 0
Direto da definição!
19) Mostre que se xn → a, ent ão |xn | → |a|. Dê um exemplo mostrando que a recı́proca
não é verdadeira.
Já discutido em sala!
3
20) Mostre que se sendo (xn ), (yn ), (zn ) sequências e k ∈ R tais que yn → a, zn → b, xn → c
e yn ≤ xn ≤ zn se n ≥ k. Então a ≤ c ≤ b.
Feito no livro!
∪
∪
21) Sejam xn → a, yn → a, zn → a e N = N1 N2 N3 . Definimos

 xn se n ∈ N1
yn se n ∈ N2
wn =

zn se n ∈ N3
Mostre que wn → a.
Solução 15 Dado ϵ > 0 existem números naturais n1 , n2 , n3 tais que |xn − a| < ϵ desde que
n > n1 , n ∈ N1 , n > n2 , n ∈ N2 e n > n3 , n ∈ N3 . Logo, se n ∈ N e n > max{n1 , n2 , n3 }
teremos |xn − a| < ϵ.
22) Seja tn tal que 0 ≤ tn ≤ 1 ∀n ∈ N. Se xn → a e yn → a, mostre que zn → a onde
zn = tn xn + (1 − tn )yn .
Solução 16 zn − a = tn xn − tn yn + yn − a = tn (xn − yn ) + yn − a. Como tn é limitada e
xn − yn → 0, teremos tn (xn − yn ) → 0 e, como, yn − a → 0 o resultado segue.
23) Verifique a convergência das sequências:
(a) an , 0 < a < 1 (b) bn , b > 1 (c)nan , 0 < a < 1 (d)
cn
,
n!
c > 0 (e)
bn
,
n
3n
b > 1 (f) 232n
Exercı́cios que podem ser feitos facilmente usando os exercı́cios 6, 7, 8 ou 9!
24) Mostre que se xn → ∞ e (yn ) é limitada inferiormente( existe k tal que yn > k ∀ n),
então (xn + yn ) → ∞.
Solução 17 Teremos xn + yn ≥ xn + k e daı́ o resultado segue.
25) Mostre que se xn → ∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N, então xn yn → ∞
Análogo ao anterior!
26) Mostre que se xn > 0 para todo n, então xn → 0 se, e somente se,
1
xn
→∞
Feito em sala!
27) Sejam (xn ) e (yn ) sequências de termos positivos.
(a )Mostre que se existe c > 0 tal que xn > c para todo n e yn → 0, tem-se
(b) Mostre que se (xn ) é limitada e yn → ∞, então
xn
yn
→ 0.
Análogo aos anteriores!
28) Enuncie e demonste resultados análogos aos anteriores para −∞.
29)
4
xn
yn
→∞
(a) Mostre que se a, b ∈ R e n é um número natural então
)
)
n (
n (
∑
∑
n
n
i n−i
(a + b) =
a b
=
an−i bi
i
i
n
i=0
(
onde
n
i
i=0
)
=
n!
i!(n−i)!
(b) Mostre que se a, b ∈ R e n é um número natural, teremos
an − bn = (a − b)(
n−1
∑
an−1−i bi )
i=0
30) Seja (xn ) uma sequência tal que xn → a > (<)l. Mostre que existe n0 tal que
xn > (<)l ∀ n ≤ n0 .
Feito no livro e discutido em sala!
31)Discutir a convergêcia das seguintes sequências:
(a)a + aq + aq 2 + . . . + aq n (b) nan , 0 < a < 1 (c)
1
,
np
Alguns feitos em sala e outros exercı́cios anteriores!
√√
32) Mostre que n n n → 1.
Feito em sala!
5
p > 0 (d)
√
n
p, p > 0 (e)
√
n
n (f)sen(n)