CURSO DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
AULAS 9 e 10 – TRIGONOMETRIA BÁSICA
ALUNO(A): ____________________________________________________
PROFESSOR: FIDELIS ZANETTI DE CASTRO
DATA: ___/___/_______
01 - A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma
extensão, além de mesma altura. Se AB = 2 m e BĈA = 30° , então a medida da extensão de
cada degrau é:
a)
2 3
m
3
b)
2
3
c)
3
m
6
d)
3
m
2
e)
3
m
3
02 - Determine os valores de θ , 0 ≤ θ ≤ 2π , de maneira que o determinante seja nulo.
cos θ
0
senθ
senθ
cos θ
0
senθ
cos θ
senθ
03 - Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e
C são retos; os ângulos CD̂B e AD̂B medem, respectivamente, 45° e 30°; o lado CD mede
2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
a) √6 e √3.
b) √5 e √3.
c) √6 e √2.
d) √6 e √5.
e) √3 e √5.
04 –
a) Demonstre a identidade:
π

2sen x −  = senx − cos x .
4

b) Determine os valores de m ∈ ℜ para os quais a equação:
2 ( senx − cos x ) = m 2 − 2 admite
soluções.
05 - Determine todos os valores de x, 0 ≤ x ≤ 2π, para os quais se verifica a igualdade
(senx + cos x )2
= 1.
06 - Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120°. Se os outros dois
ângulos, x e y, são tais que
a) 5°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
cos x 1+ 3
=
, a diferença entre as medidas de x e y é
cos y
2
07 - Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120°. Se os outros dois
ângulos, x e y, são tais que
cos x 1+ 3
=
, a diferença entre as medidas de x e y é
cos y
2
a) 5°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
08 - Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos
pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 20m da margem, na direção
da reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40m de C, do qual
ainda pode ver as árvores.
Tendo verificado que os ângulos DĈB e BD̂C medem, respectivamente, cerca de 15° e 120°,
que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação √6 = 2,4?
09 - Sabe-se que h é o menor número positivo para o qual o gráfico de y = sen( x − h ) é
 2h 
Então, cos   é igual a:
 3 
a) - √3/2.
b) - √2/2.
c) -1/2.
d) 1/2.
e) √3/2.
10 - O seno do ângulo da base de um triângulo isósceles é igual a 1/4. Então, a tangente do
ângulo do vértice desse triângulo é igual a
a) - √13/2
b) √13/5
c) - √15/3
d) √14/7
e) - √15/7
11 - Se (cos x). (sen x) = √2/3 e tg x = √2, com 0<x<π/2, determine o único valor de
a) cos x;
b) sen x + sec x.
12 - Considere as funções f ( y ) = 1 − y 2 , para y ∈ IR, -1 ≤ y ≤ 1, e g(x) = cos x, para x ∈ IR. O
número de soluções da equação (f o g)(x) = 1, para 0 ≤ x ≤ 2π, é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
13 - Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45°. Um posto de
gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia
retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia B, indo
através de C, em quilômetros, é
a) √(2)/8.
b) √(2)/4.
c) √(3)/2.
d) √2.
e) 2√2
14 - Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O
percurso feito pelo táxi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, está esboçado
na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel, BCF é um triângulo
retângulo com o ângulo reto em C, o ângulo no vértice B mede 60° e DE é paralelo a BC.
Assumindo o valor √3=1,7 e sabendo-se que AB=2km, BC=3km, DE=1km e FH=3,3km,
determine
a) as medidas dos segmentos BD e EF em quilômetros;
b) o preço que a pessoa pagou pela corrida (em reais), sabendo-se que o valor da corrida do
táxi é dado pela função y=4+0,8x sendo x a distância percorrida em quilômetros e y o valor da
corrida em reais.
15 - Se x é a medida de um ângulo em radianos e π/2<x<3π/4, então
a) cos x > 0.
b) cos 2x < 0.
c) tgx > 0.
d) sen x < 0.
e) sen 2x > 0.
16 - Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante
60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao
oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C,
de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram,
aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B
é
a) 30√3.
b) 40√3.
c) 60√3.
d) 80√3.
e) 90√3.
17 - Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em °C) do solo em uma
determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura
começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois
(t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função H(t) = 15 + 5 sen [(π/12)t + 3π/2], onde
t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da observação de H(t) a temperatura (em
°C) no instante t.
a) Resolva a equação sen[(π/12)t + 3π/2] = 1, para t∈[0,24].
b) Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu no
primeiro dia de observação.
18 - Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de ciências exatas, observou o
fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo era
periódico e podia ser aproximado pela expressão: P(t) = 21/2 + 2cos [(π/6)t + 5π/4], onde t é o
tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água
(em metros) no instante t.
a) Resolva a equação, cos [(π/6)t + 5π/4] = 1, para t>0.
b) Determine quantas horas após o início da observação ocorreu a primeira maré alta.
19 - (Vunesp 02) Três cidades, A, B e C, são interligadas por estradas, conforme mostra a
figura.
As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é de terra e será asfaltada. Sabendo-se que
AC tem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30°, e que o triângulo ABC é retângulo em C,
a quantidade de quilômetros da estrada que será asfaltada é
a) 30√3
b) 10√3
c) (10√3)/3
d) 8√3
e) (3√3)/2.
20 - Para medir a largura AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento: localizou um
ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse
60°; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o ângulo CBD fosse de 90°.
Medindo AD=40 metros, achou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio.
21 - Calcule a área de um triângulo em função de um lado ℓ e dos dois ângulos α e β a ele
adjacentes.
22 - Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um
ponto B, cobrindo a distancia AB=1.200 metros. Quando em A ele avista um navio parado em
N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60°; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de
45°.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.
23 –
a) Utilize a fórmula sen2α+cos2α=1 e a formula do cosseno da soma de dois ângulos para
deduzir as seguintes fórmulas do arco metade:
sen
α
2
=±
1 − cos α
2
e
cos
α
2
=±
1 + cos α
2
b) Especifique os intervalos de variação de α nos quais se deve usar o sinal "mais" e nos quais
se deve usar o sinal "menos" em cada uma das fórmulas a seguir.
sen( x + y ) = 0
24 - Encontre todas as soluções do sistema 
sen( x − y ) = 0
que satisfaçam 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤
π.
25 - Ache todos os valores de x, no intervalo [0, 2π], para os quais senx + cos x =
2+ 3
.
2
26 - A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo
do outro.
a) Calcule os comprimentos dos catetos.
b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.
27 - Considere a função S(x) = 1 + 2sen x + 4(sen x)2 + 8(sen x)3 para x ∈ R.
a) Calcule S(π/3).
b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈ [-2π,2π].
28 - Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB=2km, BC=1km e a medida do
ângulo ABC seja de 135°.
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
29 - Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja
soma é 15.
a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
c) Sendo α e β os outros dois ângulos do referido triângulo, com β>α, mostre que
sen 2 β − sen 2α <
1
.
4
30 - Considere a equação trigonométrica sen2θ - 2 cos2θ + 1/2 sen(2θ) = 0.
a) Mostre que NÃO são soluções dessa equação os valores de θ para os quais cos θ = 0 .
b) Encontre todos os valores de cos θ que são soluções da equação.
31 - No quadrilátero ABCD onde os ângulos A e C são retos e os lados têm as medidas
indicadas, o valor de senB é:
a) √5/5
b) 2√5/5
c) 4/5
d) 2/5
e) 1/2
32- Um losango está circunscrito a uma circunferência de raio 2cm. Calcule a área deste
losango sabendo que um de seus ângulos mede 60°.
33 - Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T=(0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semi-reta
Ot forma um ângulo α com o semi-eixo Ox (0°< α <90°) e intercepta a circunferência
trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente. A área do triângulo TAB, como
função de α , é dada por:
a) (1 - sen α ) . (cos α )/2.
b) (1 - cos α ) . (sen α )/2.
c) (1 - sen α ) . (tg α )/2.
d) (1 - sen α ) . (cotg α )/2.
e) (1 - sen α ) . (sen α )/2.
34 - (Fuvest 93) O valor máximo da função f(x)=3cosx+2sen x para x real é:
a) √2/2
b) 3
c) 5√2/2
d) √13
e) 5
35 - A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos
de 90° e 60°, respectivamente, como é mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que a
distância entre seus centros é igual a √3+1, determine os raios dos círculos.
36 - O valor de (tg 10°+ cotg 10°)sen 20° é:
a) 1/2
b) 1
c) 2
d) 5/2
e) 4
37 a) Calcule sen15°.
b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1.
38 - Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen50° é:
a) 0,2
b) 0,4.
c) 0,6.
d) 0,8.
e)1,0.
39 - O menor valor de
1
, com x real, é:
3 − cos x
a) 1/6.
b) 1/4.
c) 1/2
d) 1.
e) 3.
40 - Os números reais sen (π/12), sen a, sen (5π/12) formam, nesta ordem, uma progressão
aritmética. Então o valor de sen a é:
a) 1/4
b) √3/6
c) √2/4
d) √6/4
e) √3/2
41 - (Fuvest 96) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:
a) sen x
b) 2 sen (x/2)
c) 2 sen x
d) 2 sen 2x
e) sen 2x
42 - Considere a função f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x).
a) Resolva a equação f(x)=0 no intervalo [0,π].
b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação y=8/5?
Explique sua resposta.
43 - ABC é um triângulo retângulo em A e o segmento CX é bissetriz do ângulo BCA, onde X é
ponto do lado AB. A medida do segmento CX é 4cm e a do segmento BC, 24cm. Calcule a
medida de AC.
44 - Qual das afirmações a seguir é verdadeira ?
a) sen 210° < cos 210° < tg 210°
b) cos 210° < sen 210° < tg 210°
c) tg 210° < sen 210 ° < cos 210°
d) tg 210° < cos 210° < sen 210°
e) sen 210° < tg 210° < cos 210°
45 - Nos triângulos da figura, AC = 1cm, BC = 7cm, AD = BD. Sabendo que
sen( a − b ) = sena ⋅ cos b − senb ⋅ cos a , o valor de sen x é
a) √2/2
b) 7/√50
c) 3/5
d) 4/5
e) 1/√50
46 - No cubo de aresta 1, considere as arestas AC e BD e o ponto médio, M, de AC
a) Determine o cosseno do ângulo BAD.
c) Determine o cosseno do ângulo BMD.
d) Qual dos ângulos, BAD ou BMD, e o maior? Justifique.
47 - Ache todas as soluções da equação sen3x cos x - 3 senx cos3x = O no intervalo [0,2π).
48 - As retas r e s são paralelas e A é um ponto entre elas que dista 1 de r e 2 de s. Considere
um ângulo reto, de vértice em A, cujos lados interceptam r e s nos pontos B e C,
respectivamente. O ângulo agudo entre o segmento AB e a reta r mede α.
a) Calcule a área do triângulo ABC em função do ângulo α.
b) Para que valor de α a área do triângulo ABC é mínima?
49 - O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo α radianos é igual ao
perímetro de um quadrado de lado R. Então α é igual a
a) π/3
b) 2
c) 1
d) 2π/3
e) π/2
50 - Se α é um ângulo tal que 0 < α < π/2 e senα = a, então tg(π-α) é igual a
a) −
b)
c)
a
1− a 2
a
1− a 2
1− a 2
a
1− a 2
d )−
a
1+ a 2
e)−
a