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Geometria e origami uma combinação perfeita.
Autor: Tereza Cristina Umburanas Nascimento Novak
NRE: Guarapuava
Escola: Colégio Estadual Edite Cordeiro Marques EFM
Disciplina: Matemática (x) Ensino Fundamental ( ) Ensino Médio
Disciplina da relação interdisciplinar 1: História
Disciplina da relação interdisciplinar 2: Artes
Conteúdo estruturante: Geometria
Conteúdo específico: Geometria plana
Sinopse: Esse folhas propõe trabalhar a Geometria enquanto conteúdo
estruturante das Diretrizes Curriculares de Matemática para o ensino
fundamental. Propondo um encaminhamento para a geometria de uma
maneira agradável, não perdendo a qualidade, desencadeando um
processo interdisciplinar explorando a partir desse trabalho, aprendendo a
ver nestes algo além de linhas e ângulos e percebendo as múltiplas
significações de suas formas e a grande variedade de ação ou movimento
potencial que existe no objeto dobradura.
Quem já não brincou de aviãozinho... ou se divertiu construindo
barcos, chapéus de soldado e balões de papel?
Essa brincadeira com papel, muito comum recebe o nome de
dobradura. É muito difundido entre os japoneses, que fazem dela uma
arte, a partir de uma simples folha de papel.
Você pode não acreditar, mas o origami e a geometria tem algo em
comum. Além de trabalhar com a geometria plana, ela estabelece uma
linguagem simbólica de fácil compreensão e aprendizado pelo movimento
das mãos em contato com papéis.
Será que a técnica do origami contribui para a aprendizagem da
geometria?
Mas qual o significado da palavra Origami?
Sugestão de vídeo:
De onde vem o papel? (DVD 01 MEC)
Pesquisa.
Onde surgiu o papel?
Quais os tipos de papel para dobrar?
Atividade 01
Explorando uma folha de papel A4, não podendo utilizar lápis, cola,
régua ou tesoura, para suas criações.
Qual o significado de uma folha de papel?
Dê vida a esta folha.
A partir de sua criação, o que podemos explorar nos diferentes
componentes curriculares?
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Você sabia que o origami do tsuru é um dos origamis mais
conhecidos do mundo? E é o símbolo do origami e serve como base para a
confecção de vários outros origami.
Qual o significado da palavra tsuru?
Tsuru ou grou é uma ave migratória, no mundo todo há somente
quatorze espécies diferentes, dentre estes há somente três tipos que
migram para o Japão. E os antepassados japoneses, vendo que essas aves
vinham sempre na mesma estação, não viam somente como sinal de
estação de prosperidade, mas sentiam como sendo os mensageiros da
felicidade.
Segundo Kanagae (1988), quando uma pessoa se encontra
hospitalizada ou doente, oferece-se mil origami de tsuru para que esta
pessoa se restabeleça o quanto antes. Ao fazer um origami do tsuru a
pessoa deposita nela toda a fé e a esperança na recuperação do doente.
Pesquisa.
Qual a história da menina de Hiroshima, Japão?
Onde entra a matemática com a técnica de origami?
É sabido que o uso de dobraduras no ensino não é novo. Foi
Friedrich Froebel (1782-1852) educador alemão que iniciou este estudo.
Ao dobrarmos o papel executamos verdadeiros atos geométricos ao
construirmos: retas, ângulos, polígonos. Revemos conceitos de Geometria
Euclidiana Plana e espacial.
Das civilizações antigas, os povos chineses, egípcios, assírios,
babilônios e especialmente os gregos deram grandes contribuições ao
estudo das formas.
Na Grécia, entre os séculos V e III a.C., vários pensadores se
dedicaram ao estudo das formas e do espaço. Hoje seus nomes aparecem
ligados às suas descobertas nesta área do conhecimento chamada
Geometria.
O pensador grego que mais se destacou em Geometria foi
Euclides(século III a.C.). Ele reuniu as descobertas já feitas,
complementou-as e as organizou de forma sistemático em uma obra
chamada Os elementos, escrita em doze volumes.
A importância do trabalho de Euclides para a Geometria foi tanta
que os conhecimentos reunidos em Os elementos, e depois somados aos
que derivaram deles, passaram a ser conhecidos como Geometria
euclidiana.
No mundo de hoje, as inúmeras obras de engenharia, arquitetura,
artes plásticas, etc. mostram a imensa quantidade de formas que o
homem desenvolve partindo dos conhecimentos de Geometria.
Dividir um número ao meio é um conceito importante na aritmética,
mas saber que a divisão de uma figura não é um resultado único na
geometria pode provocar uma saudável inquietação:
8: 2 = 4
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As mais simples formas geométricas.
Utilizando-se uma folha de papel, faça uma pequena marca com o
lápis, o que teremos?
Ainda nesta folha, vamos dobrá-la o que formamos?
E esta folha o que representa?
Alguns postulados ou axiomas são aceitos facilmente, sem qualquer
prova ou demonstração, pois se impõem pela simplicidade ou clareza
daquilo que afirma.
Analisando alguns dos postulados ou axiomas da geometria,
podemos compreende-los utilizando origami, pois os axiomas dizem que:
Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem à reta e
pontos que não pertencem à reta.
Dados dois pontos distintos existe uma única reta que contém estes
pontos.
Atividade 02
Dobrando uma folha vamos verificar estes postulados ou axiomas?
Usando régua e compasso podemos traçar linhas retas, construir um
ângulo e sua bissetriz, obter retas perpendiculares, retas paralelas e
desenhar muitas outras figuras.
Pesquisa:
O que são retas paralelas e perpendiculares?
O que é um ângulo?
Qual o significado de bissetriz?
Qual a diferença entre quadrado e retângulo?
Como fazer estas construções com origami?
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Através da construção do tangram com dobraduras, verificaremos
esses conceitos. Mas, afinal o que é um tangram?
Utilizando uma folha de papel, recorte um quadrado. Nomeie os
vértices desse quadrado ABCD.
Atividade 03
Você sabe o que é um vértice?
Dobre o quadrado unindo BD.Abra e risque essa linha de dobra com
lápis colorido.
O que representa esta linha?
Quantas diagonais possuem um quadrado?
Em nossa sala de aula existe diagonal?
Através das diagonais encontramos dois ângulos de mesma medida,
e juntos formam um ângulo de 90°.
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Quanto mede cada ângulo?
A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta que tem origem no vértice
do ângulo e o divide em dois ângulos de mesma medida.
Dobre o quadrado pela outra diagonal AC e “vinque” apenas a linha
que, partindo do vértice A, encontra a diagonal BD já traçada.
Abra risque essa linha e nomeie o ponto de encontro das diagonais
de O.
A partir dessa dobra obtivemos duas peças do Tangram: os
triângulos grandes AOB e AOD.
Dobre as duas diagonais do quadrado AC e BD e nomeie a
intersecção dessas diagonais de ponto O. Verifique que esse ponto divide
as diagonais em dois segmentos de mesma medida.
O que significa intersecção?
Através de uma dobra horizontal (onde o ponto D é levado sobre A
e, C sobre B), que os segmentos AO e OD são congruentes.
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O que são segmentos congruentes?
Podemos ainda explorar o fato das diagonais serem perpendiculares
entre si, dobrando as linhas das diagonais o que formamos?
Atividades 04
Quanto mede os ângulos com vértices em O?
Qual a soma desses quatro ângulos?
Observe que os quatro ângulos com vértices em O têm a mesma
medida e, como a soma dessas medidas é 360°, quanto mede cada um
deles?
Com as informações de que os segmentos AO, BO, CD e DO têm a
mesma medida e os ângulos formados pela intersecção das diagonais são
congruentes e retos, constatamos que os quatro triângulos AOB, BOC,
COD e DOA são congruentes, isósceles e retângulos.
Por que triângulos isósceles e retângulos?
Dobre de maneira que o vértice C “encontre” o ponto O. Abra e
risque a linha de dobra.
Formamos mais uma peça do Tangram, o triângulo médio.
Nomeie os outros vértices desse novo triângulo, sendo E e F.
Através de dobras compare e verifique que as medidas dos
segmentos DF e FC são iguais, bem como as medidas dos segmentos BE e
EC.
Verifique também que os segmentos CE e CF são congruentes e são
os catetos do triângulo retângulo isóscele CEF (retângulo em C).
A figura restante é um quadrilátero (DBEF), do qual serão obtidas as
outras quatro peças do Tangram.
Dobre novamente a diagonal AC e faça um vinco até o encontro do
segmento EF. Nomeie o ponto de intersecção de G. Risque essa linha de
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dobra. Dobre, então, de modo que o ponto E toque o ponto O. Vinque
dobra entre o ponto G e a diagonal BD. Abra e risque esse segmento.
Obtivemos um triângulo pequeno e o paralelogramo.
Para obter o quadrado e o outro triângulo pequeno, você deve
dobrar o quadrado de maneira que o vértice D toque o ponto O. Vinque
essa dobra do ponto F até a diagonal BD.
Formamos o quadrado e o outro triângulo pequeno.
Dê a classificação do triângulo e verifique que o quadrilátero
formado é um quadrado, comparando a medida de seus lados e ângulos
através das dobras nas duas diagonais.
Construímos o tangram.
Este quadrado representa uma região plana.
Vamos medir essa superfície?
Qual é o seu perímetro?
Pesquisa:
Qual o significado de superfície?
O que é um perímetro?
Superfície e área têm o mesmo significado?
Recorte então as peças obtidas. Você terá 7 peças: 2 triângulos
grandes, 2 triângulos pequenos, 1 triângulo médio, 1 quadrado e 1
paralelogramo.
Cada uma dessas peças representa uma região plana.
Vamos medir essas superfícies?
Será que a construção de uma casa tem algo em comum com a
construção do tangram?
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Qual a área do terreno de sua casa e qual a área da parte
construída?
Quantos cômodos existem em sua casa?
Qual a área de seu quarto?
Quanto mede o perímetro do terreno onde você reside? E da sua
sala de aula?
Atividade 05
Calcule o perímetro de cada polígono do Tangram construído.
Existe uma unidade de área padrão para medi-las. Qual é esta
unidade?Qual é a área do estado do Paraná?
Para medir grandes superfícies, a unidade metro quadrado é muito
“pequena”. Empregamos então um dos múltiplos do metro quadrado:
- decâmetro quadrado(dam)²
-hectômetro quadrado(hm)²
-quilômetro quadrado(Km)²
Quando mede a área de uma folha de seu caderno?
Para medir pequenas superfícies, empregamos os submúltiplos do
metro quadrado:
-decímetro quadrado(dm)²
-centímetro quadrado(cm)²
-milímetro quadrado(mm)²
Que unidade você usaria para medir a área de sua sala de aula e da
folha de seu livro de matemática?
Pegando uma folha vamos construir um quadrado, através de
dobradura. Vamos medir a área deste quadrado.Traçamos as diagonais,
encontrando um ponto de intersecção. Dobrando cada vértice até o centro
do quadrado, obteremos um novo quadrado. Quanto mede este novo
quadrado. Esta medida representa quanto do quadrado anterior?
Criaremos mais peças com o origami. Vamos construir um dadinho
colorido?
Materiais: 6 folhas de papel espelho cortados num quadrado perfeito nas
cores laranja, rosa, azul, amarelo, verde e salmão.
1- Dobre o papel ao meio e desdobre. Dobre as laterais, alinhando-as à
marca central.
2- Dobre os cantos em sentido contrário como mostra o desenho da letra
b.
3- Desdobre tudo e dobre os dois cantos menores que estão marcados
com um vinco.
4- Alinhe a lateral com o canto dobrado à marca do centro.Faça o mesmo
com o outro canto contrário.
5- Encaixe os cantos soltos dentro da bolsa formada pela dobradura.
6- Vire o papel e vinque as pontas, dobrando-as para formar um quadrado.
Faça mais cinco peças iguais, repetindo a ordem e o sentido das
dobraduras.
Montagem do cubo
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7- Encaixe as pontas dos módulos dentro das diagonais (bolsas) dos outros
módulos.
8- Vá encaixando até formar o cubo.
9- Faça quantos quiser e nas cores que preferir.
Fonte: Revista Feito à Mão Especial Origami, ed. 87, p.29
Fonte: Revista Feito à Mão Especial Origami, ed. 87, p.29
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Fonte: Revista Faça & Aconteça Origami, nº 27, p.18
Acabamos de construir um dadinho, muito bonito, mas na
matemática chamamos este de cubo, pois forma uma figura espacial.
Atividades 06
Por que chamamos de cubo?
Quantas dimensões têm este cubo?
Como são chamados cada canto do cubo?
E as linhas de encontro de cada lado?
E como chamamos os lados em um cubo?
Você sabia?
O origami e suas seqüências de dobras são atualmente estudados
na engenharia computacional, criando uma área de pesquisa conhecida
como computacional origami. Ela é a intersecção entre a ciência da
computação e a matemática do origami.
E então, já descobriu porque a geometria e o origami são uma
combinação perfeita?
Se você gostou do trabalho com origami, não pare por aí, construa
vários origamis com seu professor e colegas.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
GÊNOVA, Carlos A. Brincando com origami aprendendo com
dobraduras, São Paulo, ed. Global, 2002.
IEZZI, Gelson; Dolce Osvaldo; Machado Antonio, Matemática e
Realidade, São Paulo, Atual, 2005.
IMENES, Luiz Márcio, Geometria das Dobraduras, São Paulo, Ed.
Scipione, 7ª edição.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de
Educação. Diretrizes Curriculares da rede pública de educação
básica do estado do Paraná. Curitiba 2006.
REVISTA Feito à Mão Especial Origami, São Paulo, Nova Sampa
Diretriz Editora Ltda, ed. 87.
REVISTA Faça & Aconteça ORIGAMI, São Paulo, Editora Minuano Ltda,
ed.27
Documento Consultado On-line
Construindo
tangram
com
dobraduras
disponível
http://educar.sc.usp.br/experimentoteca.Acesso em 11/10/2007.
em: