TEORIA DAS ELEIÇÕES
Fundamentos e ensino da Álgebra
Trabalho realizado por:
Ana Sofia Conceição Castanheira
Catarina Soares Dias
Cláudia Maria Ferreira Sebastião
José Alberto Almeida Serra dos Santos
Introdução
No mundo actual é frequente encontrar, em revistas e jornais, artigos relacionados
com vários tipos de eleições;
Uma eleição é um processo pelo qual as sociedades ou grupos democráticos tentam
resolver os muitos conflitos de opinião entre os seus membros através de uma única
escolha do grupo, escolha essa feita através do voto;
O processo eleitoral divide-se em dois momentos, a votação e a contagem dos votos;
O cerne do processo democrático encontra-se na contagem dos votos, ou melhor ainda,
na maneira como se descobre a voz colectiva de um grupo, a partir dos votos individuais
de cada membro desse grupo;
O processo não é complicado quando se trata de escolher uma de entre apenas duas
hipóteses;
A situação é muito diferente se a escolha envolver três ou mais alternativas pois não
existe um processo razoável e totalmente justo, para a partir da votação obtida, retirar
o vencedor da eleição. É daqui que surge a necessidade da existência de uma teoria das
eleições;
No capítulo um do nosso trabalho abordaremos os diferentes métodos de votação,
desenvolvendo alguns aspectos teóricos ilustrados com muitos exemplos;
No capítulo dois teremos como objecto de estudo os sistemas de votação ponderada:
este assunto será desenvolvido de forma análoga ao capítulo anterior;
Numa sociedade democrática todas as pessoas são iguais - princípio uma pessoa - um
voto;
Em qualquer sociedade diversificada e pluralista os eleitores, sejam eles pessoas,
organizações ou instituições, não são iguais e é por vezes necessário reconhecer as suas
diferenças, atribuindo diferentes pesos a cada um dos seus votos - princípio uma pessoa
- x votos;
A qualquer arranjo formal no qual os eleitores não estejam em pé de igualdade no que
respeita ao número de votos que controlam dá-se o nome de sistema de votação
ponderada;
No capitulo três descreveremos, embora de forma sucinta, a forma como se processam
os actos eleitorais em Portugal, com especial relevo para o método usado na conversão dos
votos obtidos, no número de assentos parlamentares de dado partido;
No capítulo quatro faremos uma exposição acerca da forma como este tema, é hoje
abordado no ensino secundário: quais os objectivos e conceitos leccionados, qual o tipo de
exercicíos e exemplos propostos e a maneira como contextualizam este assunto.
CAPÍTULO I
MÉTODOS DE
VOTAÇÃO
Condições de Arrow
Não à ditadura: a preferência de um só indivíduo não deve vir a ser uma
classificação de grupo, sem que sejam consideradas todas as outras preferências
individuais.
Soberania individual: a cada indivíduo é permitido ordenar as escolhas de qualquer
maneira e este pode ainda indicar empates.
Unanimidade: se cada indivíduo prefere uma escolha a outra, a classificação de
grupo deve ser a mesma.
Liberdade de alternativas irrelevantes: a classificação de grupo entre um par de
escolhas não depende das preferências individuais relativamente ás restantes.
Classificação única de grupo: o método de produzir a classificação de grupo deve
levar a um único resultado, sempre que é aplicado ao mesmo conjunto de
preferências. A classificação de grupo também deve ser transitiva.
Arrow, Kenneth J.
1921-….
Teorema da impossibilidade de Arrow:
Para eleições envolvendo mais do que dois candidatos é
matematicamente impossível encontrar um método, democrático e
justo, para determinar o vencedor.
Em suma, a imparcialidade, a justiça total e consistente são impossíveis
numa democracia.
Boletins de voto
Os métodos que iremos estudar, têm por base eleições cujos boletins de voto são por
ordem de preferências, ou seja, actos eleitorais em que é pedido ao eleitor para
ordenar todos os candidatos pela sua preferência;
Uma forma lógica de organizar este tipo de votos, é agrupar os boletins que são
idênticos e elaborar uma tabela de preferências, onde de uma forma simples e
compacta se resume a quantidade de diferentes votos e a posição de cada candidato;
Existem dois tipos de boletins de voto por ordem de preferência.
Existem duas particularidades a ter em conta quando trabalhamos com boletins de
voto por ordem de preferência:
A transitividade da preferência individual
Se um eleitor prefere A a B e B a C então segue-se automaticamente que este leitor
prefere A a C;
A eliminação de candidatos
A preferência relativa a um eleitor não é afectada pela eliminação de um ou mais
candidatados.
Método da pluralidade
O método da pluralidade é talvez o método mais usual e simples para encontrar o
vencedor de uma eleição. Este método apresenta como vencedor de uma eleição o
candidato (ou candidatos em caso de empate) que obtiver o maior número de colocações em
primeiro lugar. Neste método a única informação retirada dos boletins de voto diz respeito
à escolha do primeiro lugar.
Outro dado relevante é o facto deste método ser uma extensão natural do princípio da
regra da maioria: numa eleição entre dois candidatos, o que tiver maioria (mais do que
metade) dos votos vence.
Este método caracteriza-se também por satisfazer o critério da maioria e o de Pareto.
Critério da maioria:
Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em
primeiro lugar, então essa opção deverá ser considerada a
vencedora da eleição.
pluralidade
maioria
maioria
pluralidade
Critério de Pareto:
Se relativamente a dois candidatos X e Y todos os votantes
preferirem X a Y, então Y não deverá ganhar.
PARETO, VILFREDO
1848 - 1923
Lacunas do Método da Pluralidade
Não tem em conta as restantes escolhas dos eleitores, para além da
primeira.
Transgride um princípio básico de justiça designado por critério de
Condorcet.
CONDORCET, MARIE JEAN
ANTOINE NICOLAS DE CARITAT
1743-1794
Critério de Condorcet:
Critério ganhador: Se houver uma opção, a qual comparada par a par é
sempre preferida pelos eleitores, então essa opção deverá ser considerada
vencedora da eleição. Um candidato nesta situação designa-se por candidato
condorcet.
Critério perdedor: Se houver uma opção que perde no confronto par a par
com qualquer outra, então essa opção não deve ser a vencedora da eleição.
Outras das limitações da pluralidade é o facto de poderem surgir votos estratégicos
que possam alterar os resultados. Uma votação é considerada estratégica quando um
eleitor muda a verdadeira ordem das suas preferências no boletim de voto, no sentido
de manipular o resultado da eleição contra um dado candidato.
Método da contagem de Borda
Neste método a cada posição da tabela de preferências é atribuída uma pontuação. Por
exemplo, dada uma eleição com n candidatos distribuímos os pontos do seguinte modo:
1 Ponto ao último lugar;
2 Pontos ao penúltimo lugar;
.
.
.
n Pontos ao primeiro lugar;
BORDA,JEAN CHARLES
1733-1799
Depois soma-se os pontos de todos os candidatos e ordenam-se os mesmos de acordo com o
número total de pontos obtidos por cada um. Sai vencedor o candidato que obtiver a
pontuação máxima.
Considera toda a informação que provém da ordem de preferências do eleitor, ao
contrário do método da pluralidade que apenas valoriza a primeira opção do eleitor;
Satisfaz o critério de Pareto;
Satisfaz ainda o critério perdedor de condorcet;
É ainda satisfeito o critério da monotonia.
Critério da monotonia:
Se a opção X vence numa eleição e numa reeleição as únicas alterações, nas
preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o
vencedor da eleição.
Lacunas do Método de contagem de Borda
Viola o critério da maioria;
Transgride o critério ganhador de condorcet;
Método de Copeland
O método de Copeland assenta no seguinte procedimento:
Compara-se cada candidato com cada um dos outros;
Associamos a cada candidato o valor G - número de candidatos que ele vence - e o
valor L - número de candidatos que o venceu.
Associamos a cada candidato o valor G – L.
Ganha o candidato para o qual G – L é máximo.
Neste método surgem empates frequentes;
Satisfaz o critério ganhador de Condorcet;
Entra em contradição com as contagens de Borda.
Método da pluralidade com eliminação
Este método consiste em eliminar progressivamente os candidatos menos aptos, um por um,
até obter um vencedor.
1º Passo:
Tal como no método da pluralidade contam-se os votos em primeiro lugar de cada candidato;
Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais um) dos votos em
primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate) que tenha o menor número de
votos em primeiro lugar;
2º Passo:
O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são agora excluídos da tabela de preferências;
Uma vez retirado da lista de preferências um candidato, na sua coluna, os candidatos abaixo
colocados movem-se para cima um lugar. Contam-se novamente os votos em primeiro lugar;
Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais um) dos votos em
primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate) que tenha o menor número de
votos em primeiro lugar;
O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a maioria dos votos em
primeiro lugar, o qual é considerado vencedor;
satisfaz o critério da maioria.
Lacunas do Método da pluralidade com
eliminação
Transgride o critério da monotonia e o critério ganhador de Condorcet;
Apesar das lacunas apresentadas o método em questão é utilizado em diferentes
situações do mundo real, sobretudo em eleições com número reduzido de candidatos
(normalmente 3 ou 4 e raramente mais do que 6)
Variantes do método da pluralidade com
eliminação
 método da pluralidade com Runoff ( método da corrida final)
 método de Coombs
Método da pluralidade com Runoff
1º Passo:
Contam-se o número de votos em primeiro lugar e se porventura um deles obtiver a
maioria, metade mais 1 dos votos é anunciado como vencedor da eleição.
Se isto não acontecer eliminam-se todos os candidatos com a excepção dos dois que
acumularem mais votos em primeiro lugar.
2º Passo:
Os candidatos eliminados no passo anterior são excluídos da tabela de preferências.
Procede-se a uma nova contagem, sendo vencedor da eleição o candidato que obtiver a
maioria dos votos em primeiro lugar.
Método de Coombs
Este método assemelha-se em tudo ao método da pluralidade com
eliminação, mas neste eliminamos a cada passo o candidato com maior
número de votos em último lugar.
1º Passo:
Contam-se os votos em primeiro lugar e os votos em ultimo lugar;
Se houver algum candidato que tenha a maioria (metade + 1) dos votos
em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que
tem maior número de votos em ultimo lugar;
2º Passo:
O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são excluídos da tabela
de preferências;
Se houver algum candidato que tenha a maioria (metade + 1) dos votos
em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que
tem maior número de votos em último lugar.
O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a
maioria dos votos em primeiro lugar, o qual é considerado vencedor;
COOMBS, CLYDE F.
1912 - 1988
O MÉTODO DA COMPARAÇÃO PAR A PAR
O método da comparação par a par consiste em comparar todos os candidatos dois a
dois.
Dados dois candidatos X e Y, é atribuído numa comparação par a par, 1 ponto ao
vencedor, que é o candidato que se encontra com melhor posição num maior número de
colunas da tabela de preferências.
Em situação de empate é atribuído ½ ponto a cada um dos candidatos.
Será declarado vencedor da eleição o candidato que após terem sido realizadas todas
as comparações par a par, obtiver maior número de pontos.
Neste método é frequente ocorrerem casos de empate, ou se aceita a existência de
mais do que um vencedor ou, caso contrário, usa-se um método pré-determinado de
desempate.
É satisfeito o critério ganhador de Condorcet;
Satisfaz o critério da maioria;
Satisfaz também o critério da monotonia;
Lacunas no método da comparação par a
par
O método da comparação par a par não satisfaz um princípio básico de justiça
designado por critério da independência.
Critério da independência:
Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros candidatos
é removido, sendo os boletins de voto contados de novo, então X continua a ser o
vencedor da eleição.
RANKINGS
Métodos de Ranking extensivos ou
alargados
Métodos de Ranking recursivos
Métodos de Ranking extensivos ou alargados
Método da pluralidade alargado
Segundo este método é eleito para a primeira posição do ranking o candidato que
obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar.
A segunda posição do ranking será ocupada pelo candidato, que à excepção do
candidato já eleito, obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar.
Por sua vez, a terceira posição do ranking será ocupada pelo candidato, que à
excepção dos já eleitos, obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar.
E assim sucessivamente.
Método da contagem de Borda alargado
A cada candidato está associado um número de pontos, sendo o candidato eleito o que
obtiver um maior número de pontos. Logo o ranking será elaborado em função dessa
pontuação, ou seja, a posição do ranking aumenta à medida que os pontos também
aumentam.
Método da pluralidade com eliminação alargado
O primeiro candidato que é eliminado ocupará a ultima posição, o segundo candidato
eliminado, será por sua vez, colocado no penúltimo lugar do ranking e assim
sucessivamente até ser colocado na primeira posição o último candidato a ser eliminado.
Método de comparação par a par alargado
A base para se elaborar o ranking com recurso a este método, é o número de
comparações par a par ganhas por cada candidato, isto é, o número de pontos que cada um
ganhou após essa comparações.
Portanto, aquele que mais comparações tiver ganho será o candidato a ocupar a primeira
posição do ranking, seguindo-se o candidato, que à excepção do candidato já colocado,
ganhou mais comparações. E assim sucessivamente até obter o ranking de todos os
candidatos.
Métodos de ranking Recursivo
Considerando que numa dada eleição, é utilizado o método X e a aproximação recursiva
para elaborar o ranking de candidatos, este é obtido seguindo os seguintes
procedimentos:
Começamos por aplicar o método X de forma a encontra o vencedor da eleição
ocupando este o primeiro lugar do ranking;
De seguida, este é retirado da lista de preferências, sendo desta forma obtida uma
nova lista;
A esta é aplicado o mesmo método X para determinar o vencedor, ocupando este o
segundo lugar do ranking;
E assim sucessivamente até estarem ordenados todos os candidatos da eleição.
CAPÍTULO II
MÉTODOS DE
VOTAÇÃO COM
PESO
Terminologia e notação
Em todo o sistema de votação ponderada intervêm três elementos:
Os Jogadores, que são os próprios eleitores. De agora em diante usaremos o termo
“eleitores” quando se trata de um sistema de votação uma pessoa - um voto e o termo
jogadores quando nos referimos a um sistema de votação uma pessoa - x votos. O número
de jogadores será designado pela letra N e os respectivos jogadores por P1, P2, ... ,
PN;
O Peso dos seus votos, que consiste no número de votos que cada jogador possui e que é
representado por W1, W2, ... , WN, respectivamente.
Quota, que consiste no número mínimo de votos necessário para aprovar uma moção
( proposta apresentada para ser discutida em assembleia ). Representamos quota pela letra
q.
w1  w2  ...  wN
 q  w1  w2  ...  wN
2
Ditadores: Jogadores que possuem um peso de voto superior ou igual à quota;
Jogadores Neutros : Os que ficam submetidos aos ditadores;
Jogador com poder de veto: é aquele que, apesar de não ser ditador mas tendo maior
número de votos que qualquer um dos outros, tem o poder de impedir que uma moção seja
aprovada;
Mesmo que todos os outros jogadores votem juntos nunca conseguirão aprovar uma
moção contra a vontade deste jogador, dado que não têm votos superiores à quota.
A notação usada para representar um sistema de voto com peso é a seguinte:
[ q : W1, W2, ... , WN ]
O Índice de Poder de Banzhaf
Conceitos fundamentais:
John Banzahaf
Coligação : grupo de jogadores que unem forças e votam em conjunto ( a expressão
“coligação” é também usada para grupos de um só elemento );
Peso da coligação : número total de votos controlados por uma coligação;
Coligações vencedoras : coligações que têm votos suficientes para aprovar uma moção.
As outras coligações são designadas por coligações perdedoras. Uma coligação que
contém todos os jogadores e portanto que é sempre a vencedora, é chamada Grande
Coligação ;
A notação usada para representar uma coligação genérica de N jogadores é:
{ P1, P2, ... , PN }.
Jogador crítico: jogador que ao abandonar a coligação, transforma uma coligação
vencedora em perdedora.
O princípio chave desta teoria é que o poder de um jogador é proporcional ao número
de coligações em que esse jogador é crítico: quanto mais vezes ele for crítico maior
poder detém.
Para determinarmos o indicador de poder de Banzhaf de um qualquer jogador P num
sistema de votação ponderado, genérico, com N jogadores, seguimos os seguintes
passos:
Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações possíveis;
Passo 2: Determinar quais as coligações vencedoras;
Passo 3: Em cada coligação vencedora identificar os jogadores críticos;
Passo 4: Contar o número total de vezes que o jogador P é crítico ( seja esse valor
representado por B);
Passo 5: Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos (seja este
número T);
O índice de poder de Banzhaf do jogador P é dado pela fracção:
B
T
Quantas coligações seriam possíveis formar com N jogadores?
A resposta a esta questão assenta nas noções de conjunto e subconjunto. Todo o
subconjunto do conjunto dos jogadores pode ser identificado como uma coligação à excepção
do conjunto vazio.
Assim deduzimos que podemos obter o número total de coligações fazendo a diferença entre
o número de subconjuntos do conjunto dos jogadores e a unidade.
Matematicamente:
Número total de subconjuntos de
um conjunto com N elementos
N  N 
N
  + + … +  +
   
 
 N   N 1 
1
N
 
 
0
N
-1=2 -1
Conjunto
Vazio
APLICAÇÕES
DO ÍNDICE DE
PODER DE
BANZHAF
O ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK
A principal diferença entre os dois índices apresentados, centra-se em torno do conceito
de coligação sequencial, e além disso, as coligações são formadas por todos os
jogadores.
Três jogadores, P1,P2,P3 formam seis coligações sequenciais distintas:
< P1, P2, P3 > ( significa que P1 iniciou a coligação juntando-se-lhe o jogador P2 e por fim
o jogador P3 )
< P1, P3, P2 >
< P2, P1, P3 >
< P2, P3, P1 >
< P3, P1, P2 >
< P3, P2, P1 >
A seguinte notação < > será um indício que se está a trabalhar com coligações
sequenciais, isto é, com coligações onde nos interessa a ordem de listagem dos
jogadores.
Num sistema de voto ponderado com N jogadores, há no total N! coligações
sequenciais diferentes contendo todos os jogadores.
Jogador pivotal : Jogador que ao juntar-se a uma coligação perdedora, a torna
vencedora.
O poder de cada jogador depende do número de vezes em que ele é pivotal
relativamente a todos os outros jogadores.
Coligação sequencial
Ganha
Perde
Primeiro
Jogador
Segundo
Jogador
Jogador
… Pivotal
Restantes
Jogadores
O ÍNDICE DE PODER DE
SHAPLEY-SHUBIK
Passamos agora a apresentar a descrição formal do procedimento para encontrar o
Índice de Poder de Shapley- Shubik para qualquer jogador num sistema de voto
ponderado genérico com N jogadores:
Passo 1: elaborar uma lista de todas as coligações sequenciais contendo os N
jogadores; há N! destas coligações.
Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar um jogador pivotal; há 1 em cada
coligação.
Passo 3: Contar o número total de vezes em que o jogador P é pivotal e designar
esse número por S.
O Índice de Poder de Shapley- Shubik de um certo jogador P é dado pela fracção
S/N!
APLICAÇÕES DO
ÍNDICE DE PODER
DE SHAPLEYSHUBIK
CAPÍTULO IV
TEORIA DAS
ELEIÇÕES NAS
ESCOLAS
Hoje em dia os conceitos matemáticos são desenvolvidos mais numa "perspectiva
cultural" do que numa perspectiva de "formação estritamente técnica".
Seguidamente apresentamos a forma como é exposta a teoria matemática das eleições
na escola.
De entre os vários sistemas de votação existentes, são apenas seleccionados para
exposição lectiva os seguintes:
Maioritário;
Por ordem de preferência ou preferencial;
Proporcional;
Aprovação.
Sistema Maioritário
é feita a distinção entre maioria absoluta e maioria simples;
são expostos alguns exemplos que permitem ao aluno verificar que os resultados de uma
votação podem ser diferentes, dependendo do sistema de votação utilizado;
são feitas referências históricas do estudo desta teoria, nomeadamente a Condorcet e
a Kenneth Arrow;
é apresentado o Paradoxo do voto (designado também por Paradoxo de Condorcet)
através de exemplos;
é referido que a regra da maioria não avalia a intensidade das preferências
pois cada indivíduo só tem direito a um voto: não considera, por isso, os
interesses das minorias.
Sistema por ordem de preferência ou preferencial
É definido este tipo de sistema;
Abordam-se alguns métodos tais como: o método de Borda, o método de Runoff.
são apresentados alguns exemplos;
são feitas ainda algumas referências históricas.
Sistema Proporcional
Define-se este tipo de sistema;
É apresentado o Método de Hondt da seguinte forma:
1º passo: Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no
respectivo círculo eleitoral.
Hondt
2º passo: O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1,
2, 3, 4, 5, ... até ao número de mandatos a atribuir (se necessário) sendo os quocientes
alinhados pela ordem decrescente da sua grandeza numa sequência de tantos termos
quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;
3º passo: Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da sequência
estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos
os seus termos na sequência;
4º passo: No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes da
sequência serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido
menor número de votos.
são apresentados alguns exemplos;
são feitas ainda referências históricas a Victor d’Hondt;
abordam-se também mais dois métodos proporcionais:
 O Método Hagenbach-Bischof ;
 O Método de Sainte-Lague ;
Sistema de Aprovação
É descrito o sistema e são anunciadas algumas vantagens;
são apresentados também alguns exemplos;
É referido que numa eleição usando o Sistema de aprovação, a adição ou exclusão de
candidatos ou alternativas não altera a pontuação total dos outros candidatos ou
alternativas;
No final do capítulo, é finalmente referido o famoso Teorema de Arrow;
FIM