NIVELAMENTO 2007/1
MATEMÁTICA BÁSICA
Núcleo Básico
da Primeira Fase
1
Instituto Superior Tupy
Nivelamento de Matemática Básica
ÍNDICE
1. Regras dos Sinais ............................................................................................................... 3
2. Operações com frações ...................................................................................................... 3
2.1 Adição e Subtração .............................................................................................. 3
2.2 Multiplicação ....................................................................................................... 3
2.3 Divisão ............................................................................................................... 4
2.4 Potenciação ........................................................................................................ 4
2.5 Radiciação .......................................................................................................... 4
3. Seqüência de Operações ..................................................................................................... 4
4. Produtos Notáveis .............................................................................................................. 4
4.1 Quadrado da soma de dois termos ....................................................................... 4
4.2 Quadrado da diferença de dois termos .................................................................. 5
4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos ..................................................... 5
5. Fatoração .......................................................................................................................... 6
6. Equação do 1º Grau ............................................................................................................7
6.1 Resolução de uma equação do 1º grau ................................................................. 7
7. Equação do 2º Grau ............................................................................................................7
7.1 Resolução de uma equação do 2º grau ................................................................. 7
8. Equações Irracionais .......................................................................................................... 9
9. Sistemas de Equações do 1º Grau ....................................................................................... 10
9.1 Método da Substituição ........................................................................................ 10
9.2 Método da Adição ................................................................................................ 10
10. Trigonometria no Triângulo Retângulo ............................................................................... 12
10.1 Teorema de Pitágoras ........................................................................................ 12
10.2 Relações Trigonométricas ................................................................................... 13
Anotações:
Acadêmico(a): _______________________________________________ Turma: _____________ 1º semestre de 2007.
2
Instituto Superior Tupy
Nivelamento de Matemática Básica
1. REGRAS DOS SINAIS
1.1 Adição e Subtração
•
Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é,
devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.)
dos denominadores;
Sinais iguais:
Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal.
•
Adicionamos ou subtraímos os numeradores
conservamos o denominador comum;
Sinais diferentes:
Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior.
•
Simplificamos o resultado sempre que possível.
Regra:
Exemplos:
Exemplos:
a) 6 + 3 = 9
a)
8 3 16 + 15 31
+ =
=
5 2
10
10
b)
1 2
6
15 + 20 − 36
1
+
=
=−
−
2 3
5
30
30
c)
1 4 1 9−8+3
4 ÷2 2
− + =
=
=
2 9 6
18
18 ÷2 9
b) − 6 − 3 = −9
c) 6 − 3 = 3
d ) − 6 + 3 = −3
1.2 Multiplicação e Divisão
Regra:
Sinais iguais:
Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo.
2.2 Multiplicação
Sinais diferentes:
Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo.
Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte
forma:
Exemplos:
a ) (+ 6 ) ⋅ (+ 3) = 18
b) (− 6 ) ⋅ (− 3) = 18
c) (+ 6 ) ⋅ (− 3) = −18
•
Multiplicam-se os numeradores entre si;
•
Multiplicam-se os denominadores entre si;
•
Simplifica-se
possível.
d ) (− 6 ) ⋅ (+ 3) = −18
Exemplos:
e) (+ 6 ) ÷ (+ 3) = 2
a)
f ) (− 6 ) ÷ (− 3) = 2
g ) (+ 6 ) ÷ (− 3) = −2
b)
h) (− 6 ) ÷ (+ 3) = −2
2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
2.1 Adição e Subtração
Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da
seguinte maneira:
3
a
fração
resultante,
sempre
3 7 3 ⋅ 7 21
⋅ =
=
2 5 2 ⋅ 5 10
(− 3) ⋅  5  = (- 3) ⋅ 5
3
1⋅ 3
=-
15 ÷3
5
=- = −5
3 ÷3
1
que
e
c)
Observações:
 7  2  1
− ⋅+ ⋅−  =
 9  7  6
 7 ÷ 7   2÷ 2   1 
 ⋅  −
 −
 ⋅  +
 =
 9   7 ÷ 7   6÷ 2 
1
 1   1  1 
− ⋅+ ⋅−  = +
27
 9   1  3 
•
Elevando um número ao expoente par, o resultado
será positivo, conforme o exemplo a.
•
Elevando um número a um expoente ímpar, o
resultado terá o sinal do próprio número, conforme o
exemplo c.
2.5 Radiciação
Observação:
Para obter a raiz de uma fração, extrai-se as raízes do
numerador e do denominador.
Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os
fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes
de efetuá-la, conforme o exemplo c.
Exemplos:
2.3 Divisão
16
=
25
a)
Para dividir duas frações, procedemos da seguinte
forma:
•
Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da
segunda fração;
•
Simplifica-se o resultado sempre que possível.
b)
c)
Exemplos:
a)
2
3
2 7
14
÷
=
.
=
5
7
5 3
15
5
1
 5
 5 1
== −  ÷ 20 =  −  .
80 ÷5
16
 4
 4  20
2.4 Potenciação
−
3
3
1
1
=
2
8
4
∉»
9
•
Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de
um número negativo, conforme o exemplo c.
•
» → conjunto dos números reais
3. SEQÜÊNCIA DE OPERAÇÕES
Para elevar uma fração a um certo expoente, eleva-se o
numerador e o denominador a esse expoente.
As expressões numéricas e algébricas devem ser
resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação:
Exemplos:
1º → Potenciação e Radiciação;
2
2
a)
2
4
 2
−  = + 2 = +
9
3
 3
b)
 10 
 
 23
0
1
=
8
Observações:
÷5
b)
3
16
4
=
5
25
2º → Multiplicação e Divisão;
3º → Adição e Subtração.
100
1
=
= 1
0 =
23
1
Essas operações são assim realizadas:
1º → Parênteses;
2º → Colchetes;
−3
3
c)
 3
+ 
 2
d)
52
25
 6
 5
−  = −  = + 2 = +
6
36
 5
 6
=+
-2
3º → Chaves.
2
8
=+
3
27
3
4. PRODUTOS NOTÁVEIS
2
Certos produtos aparecem com bastante freqüência no
cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo.
Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz,
4
significa: produto → “resultado da multiplicação”, e
notável → “que se destaca”. O único problema é que, às
vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes
Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação
entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos
poderão ser calculados usando-se a propriedade
distributiva (conhecida como “chuveirinho”), ou então,
de forma mais direta, através de algumas regras que
veremos a seguir.
Exemplos:
a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
b) (3a – 5)2 = (3a)2 – [ 2.(3a).(5) ] + (5)2 =
9a2
–
30a
+ 25
4.3 Produto da Soma e Diferença de dois Termos
•
4.1 Quadrado da Soma de dois Termos
O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos
segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.
Veja:
(a + b )2 = (a + b ) ⋅ (a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2
(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b 2
2
Portanto:
(a + b)
= a
2
+ 2ab + b
Primeiro
termo
2
Logo podemos estabelecer a seguinte regra:
Quadrado
do 2º termo
“O produto da soma pela diferença de dois termos
é igual ao quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do segundo termo”.
2 vezes o 1º pelo 2º termo
Segundo
termo
(a + b).(a – b) = a2 – b2
Portanto:
Exemplos:
Quadrado
do 1º termo
a) (x + y).(x – y) = x2 – xy + yx – y2
Logo: (x + y).(x – y) = x2 – y2
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra:
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo mais duas vezes o
produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do
segundo termo”.
b) (3a – 5).(3a + 5) = (3a)2 – (5)2 = 9a2 – 25
Exemplos:
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
2
a) (x + y)
=
(x)
2
2
x
+ [ 2 . (x) . (y) ] + (y)
+
2xy
2
+ y2
1) Calcule os quadrados e os produtos:
a) (a + 5)2
2
b) (3a + 2) = (3a)
2
+ [ 2 . (3a) . (2) ] + (2)
9a2 +
12a
2
f) (x + 3).(x – 3)
2
b) (x + 1)
+ 4
g) (2x – 1).(2x + 1)
2
c) (2x + 3y)
h) (7 + a).(– a + 7)
2
i) (¾ – 4y).(4y + ¾)
2
j) (m2 – ½).(m2 + ½)
d) (a – 2)
4.2 Quadrado da Diferença de dois Termos
e) (x – 1)
Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser
enunciado da mesma maneira que o quadrado da
soma de dois termos.
Então temos:
•
Respostas:
a) a
d) a
(a − b )
2
= (a − b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − ab − ab + b 2
2
2
+ 10 a + 25
b) x
− 4a + 4
h ) 49 − a
2
i)
e) x
9
2
2
+ 2x + 1
− 2x + 1
− 16 y
2
j) m
16
Portanto:
2
2
(a – b) = a – 2ab + b
2
c) 4 x
f) x
4
−
2
1
4
2) Simplifique as expressões:
Logo podemos estabelecer a seguinte regra:
“O quadrado da diferença de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes
o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado
do segundo termo”.
5
a)
(a – 2)2 – 2(a + 2) =
b)
(y + 5)2 – y(y + 10) =
c)
(a + b)2 + (a – b) 2 =
d)
(x – 3)2 + (x + 3) 2 =
e)
(x + y)(x – y) + (x + y)2 – 2xy =
2
+ 12 xy + 9 y
−9
g ) 4x
2
2
−1
Qual o produto de (41).(39)?
Respostas:
a) a 2 − 6a
c ) 2a 2 + 2b 2
b) 25
d ) 2 x 2 + 18
Transformando a multiplicação para um produto notável,
temos:
e) 2 x 2
(40 + 1).(40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
Agora tente você!
1) Efetue as operações:
2
Calcule (101).(99) utilizando um produto notável.
2
a) (2x + 1) + (2x – 1) =
RESUMINDO:
b) 3(y2 – 1)2 + 2(2y + 2)2 =
c) (2xy + 3)(x2 – 2) – (x – 1)2 =
(a + b )2 = (− a − b )2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b )2 = (− a + b )2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b )(. a − b ) = (a − b )(. a + b ) = a 2 − b 2
d) (2x + 1)2 + 2x(x – 1)2 =
e) (ab + 1)2 + ab(ab + 2) =
f) (4ay – 1)2 – 4(ay – 1)2 =
Respostas:
2
a) 8x + 2
4
2
b ) 3 y + 2 y + 16 y + 11
3
d ) 2x + 6x + 1
2 2
e) 2 a b + 4 ab + 1
5. FATORAÇÃO
3
2
c ) 2 x y − 4 xy + 2 x + 2 x − 7
2 2
f )12 a y − 3
Fatorar uma expressão é reescrevê-la em fatores
(partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores)
podem apresentar números e/ou variáveis que devem
ser escritas com os menores números possíveis, e, as
variáveis (letras), com o menor expoente natural
possível.
2) Nos exercícios abaixo, obtenha os produtos notáveis:
a) (3m2 + 4n)2 =
e) (3a2 – 2b6)2 =
b) (7y2 + 3y4)2 =
f) (1 + x5)2 =
c) (b4 + c5)2 =
g) (– x + 3)2 =
d) (x2 – 3)2 =
h) (– x – 2y)2 =
Observe a igualdade abaixo:
5a + 5b = 5(a + b)
Como 5a + 5b poder escrito 5(a + b), dizemos que
expressão 5a + 5b foi fatorada, tendo como fator
comum o número “5”, que foi colocado em evidência.
Respostas:
4
2
2
a ) 9m + 24m n + 16n
4
2
d ) x − 6x + 9
2
g ) x − 6x + 9
4
6
8
b) 49 y + 42 y + 9 y
4
2 6
12
e ) 9a − 12a b + 4b
2
h) x + 4 xy + 4 y
8
4 5 10
c ) b + 2b c + c
5
10
f )1 + 2 x + x
Exemplos:
2
a) ab + ac = a(b + c) → fator comum “a”
b) 6x2 + 2x3 = 2x2(3 + x) → fator comum “2x2”
3) Calcule os seguintes produtos notáveis:
c) 10m + 20m2 = 10m(1 + 2m) → fator comum “10m”
2
2
a)
1

 2 xy −  =
4

b)

b2
 3ab −
3

c)
1 2
3
 a b − 2ab  =
3


d)
2
1 2 1 2
 x − y  =
6 
4
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
1) Fatore as expressões:
2

 =

e)
 1 4m 2 
 +
 =
7 
5
6a 3 − 12a 2 + 18a
2
3
4
b) 15 x − 20 x − 30 x
3
4
5
c) 5a − 12a + 20a
2
2
d) 3 x y − 9 xy
e) 2( x − y ) − x ( x − y )
f) 3 x ( a + b) + 6(a + b)
a)
2
Respostas:
1
1 4 2 4 3 4
2 2
2 2
3 b4
2 6
a ) 4 x y − xy +
b) 9a b − 2ab +
c) a b − a b + 4a b
16
9
9
3
1 4 1 2 2 1 4
1
8 2 16 4
d) x −
x y +
y
e)
+
m +
m
16
12
36
25 35
49
Respostas:
a) 6a(a2 – 2a + 3)
d) 3xy(x – 3y)
CURIOSIDADE:
b) 5x2(3 – 4x – 6x2) c) a3(5 – 12a + 20a2)
e) (x – y)(2 – x)
f) 3(a + b)(x + 2)
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
Quando não se dispõe de uma máquina de calcular,
podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis
para facilitar alguns cálculos específicos. Veja:
1) Simplifique as expressões dadas:
6
a)
4a + 4b
4
e)
15 x 3 y − 11x 2 z
x2
b)
10ax − 25ay
5a
f)
− 3a 2 b 2 + 7 a 3b
7 a − 3b
c)
12 xy − 18 y
3
g)
− 8 x 2 y − 4 xy 3
− 2x − y 2
d)
7m − 7n
m−n
2 ⋅ (2 x + 1) − 1 ⋅ (4 x − 9 ) 3 ⋅ (3 − 4 x )
=
6
6
4 x + 2 − 4 x + 9 9 − 12 x
=
6
6
4 x − 4 x + 12 x = 9 − 9 − 2
12 x = −2
x=−
Respostas:
a) a + b
d) 7
2 ÷2
12 ÷ 2
Logo, temos:
b) 2x – 5y
⇒ x=−
1
6
 1
S = − 
 6
c) 2y(2x – 3)
f) a2 b
e) 15xy – 11z
g) 4xy
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
6. EQUAÇÃO DO 1° GRAU
1) Resolva as equações a seguir:
Equação do 1° grau é toda equação que se reduz à
forma ax + b = 0, onde a e b são números reais,
com a ≠ 0.
a)
4( x − 2 ) = 4 + 2( x − 1)
b)
5[− x + 2( x + 4 )] = 2(3 x + 19 )
c)
1 x
2x 1
− =−
+
6 2
3 4
d)
2m − 5 m − 1 13m + 3
+
=
8
2
4
e)
4 x + 1 2( x + 1) 5(3 x + 2 )
+
=
3
3
4
Vejamos alguns exemplos:
a)
b)
9 x − 7 = 5 x + 13 ⇒
9 x − 5 x − 7 − 13 = 0 ⇒
4 x − 20 = 0
2x + 1 4x − 9 3 − 4x
−
=
⇒
3
6
2
2(2 x + 1) − (4 x − 9) 3(3 − 4 x)
=
6
6
4 x + 2 − 4 x + 9 = 9 − 12 x ⇒
12 x + 2 = 0
⇒
Respostas:
a)
{5 }
b)
{2}
c)



1
2



d)
 3
− 
 4
e)
 6
− 
 7
6.1 Resolução de uma Equação do 1° Grau
Resolver uma equação do 1° grau é determinar o valor
de “x” (variável) que satisfaz a igualdade.
7. EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Equação do 2° grau é toda equação que se apresenta na
forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números
reais, com a ≠ 0.
Vejamos alguns exemplos:
a)
9 x − 7 = 5 x + 13
9 x − 5 x = 13 + 7
4 x = 20
20
x=
⇒
4
Temos então que:
Vejamos alguns exemplos:
a)
b)
c)
d)
x=5
S ={5 }
3x2
2x2
–x2
4x2
– 7x + 2 = 0
– 10x = 0
+5=0
=0
a=
a=
a=
a=
3;
2;
–1;
4;
b = –7; c = 2
b = 10; c = 0
b = 0;
c=5
b = 0;
c=0
7.1 Resolução de uma Equação do 2° Grau
b)
2x + 1 4x − 9 3 − 4x
−
=
3
6
2
A resolução de uma equação do 2º grau pode ser obtida
através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula
de BHÁSKARA:
7
ax 2 + bx + c = 0
b)
3 p − 10 p 2 = 0
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
c)
y + 12 y + 20 = 0
d)
x 2 − 64 = 0
e)
10 x 2 − 60 x + 80 = 0
2
2
A expressão b − 4 ⋅ a ⋅ c , chamada de discriminante
da equação, é geralmente representada pela letra grega
∆ (lê-se: delta).
2
∆ = b − 4 ac
Então:
Logo, se
∆ ≥ 0,
f)
y
10
=
2 y −1
g)
9 y 2 + 5 = 1 − 12 y
h)
x
x +1 5
+
=
x +1
x
2
podemos escrever:
x=
−b± ∆
2a
∆ <0,
Observe que, quando
a equação não admite
raízes reais.
Exemplo:
i)
a) Resolva a equação 2x2 + 7x + 3 = 0
Respostas:
Valores:
Fórmula:
a = 2;
x=
b = 7;
c=3
− b ± b 2 − 4ac
2a
a) V =
{3 , −5}
b) V =
 3
0 , 
 10 
e) V =
{4 , 2}
f )V =
{5 , −4}
i) V =
{
Substituindo os valores, temos:
x=
− 7 ± 72 − 4⋅ 2⋅3
2⋅2
x=
− 7 ± 49 − 24
4
3 3, −
3
c) V =
g)V =
{− 2 , −10}
− 2 
 
 3
{− 2 , 1}
}
a)
5.( x + 3) − 2.( x − 1) = 20
b)
5 x − 2.( x + 3) = −3.( x − 4)
−7+5
2
=−
4
4
∴ x1 = −
1
2
c)
1+
−7−5
12
=−
4
4
∴ x2 = −3
d)
4x − 1 − 2x + 1
=
2
3
e)
x 5.( x − 3) x − 3 1
+
+
= x
3
12
4
2
f)
2.( x + 3) 5
1
+ .(2 x − 1) + = 5 x
3
2
6
Logo, o conjunto-solução,
conjunto-verdade é:
h) V =
{8 , −8}
1) Determine o conjunto-solução das equações abaixo:
Então:
x1 =
d)V =
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
(Equação do 1º Grau)
− 7 ± 25 − 7 ± 5
x=
=
2⋅2
4
x2 =
x 2 − 12 = 2 3 x − 3
também
chamado
de
 1

V = − , − 3
 2

1
3 7
+x= +
2
8 8
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
2) Resolva as equações, apresentando o conjunto
verdade:
1) Determine o conjunto-verdade das equações:
a)
x 2 + 2 x − 15 = 0
8
−2=4−
a)
3
2a − 1
10
x −1 4
−
=
2
3x
2 x 2 3x
b)
c)
3x
4
+
= −3
x+2 x+2
d)
n −1
1
8
−
= 2
2
18n 9n
n
e)
x−2 x−3
−
=1
4
2
f)
x + 1 2x − 5
+
=3
x −1 x − 3
f) {–1/7, 0}
l) {2, 5}
1b) S = {3}
1c) S = {–1/4}
1e) S = {4} 1f) S = {1/2} 2a) V = {3/4}
2c) V = {–5/3}
2d) V = {2}
q) {0}
i) { ± 62 / 2 }
n) {3}
j) {± 3}
o) {0, 5}
r) S = ∅
s) {5, 11/12}
8. EQUAÇÕES IRRACIONAIS
É toda equação que apresenta, pelo menos uma, variável
no radicando.
Veja os exemplos:
1d) S = {5/16}
a)
2b) V = {23/11}
2e) V = {0}
h) {± 4}
m) { − 2 2 , 2 }
p) {2/3, 3/4}
Respostas:
1a) S = {1}
g) {0, 9}
2f) V = {7/3}
x − 2 = 5x
b)
x2 − x + 2 = 0
Para se resolver uma equação do tipo irracional, normal–
mente isolamos o termo que possui a variável no radican
do e, em seguida, elevamos os 2 membros da equação a
uma potência conveniente.
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
(Equação do 2º Grau)
1) Determine o conjunto-solução das equações:
Exemplo:
Encontre o conjunto-solução da equação irracional dada
1 +
x+5 = x.
a)
4x 2 − 5x − 6 = 0
b)
10 x 2 − 7 x + 1 = 0
por:
c)
x 2 − 12 x + 36 = 0
d)
x 2 − 3x + 5 = 0
Resolução: Para se resolver a equação dada, deve–se
observar que todas as raízes (soluções) encontradas, de–
e)
− 2 x 2 − 5x = 0
f)
7x 2 + x = 0
vem dar sentido a expressão
g)
x 2 − 9x = 0
h)
i)
− 4 x 2 + 62 = 0
l) 0,1x
2
j)
x +5 ≥ 0.
2 x 2 − 32 = 0
x+5 ,
Pode–se dizer também que a condição de
existência (CE) da equação em questão é
Logo: CE:
− 3x 2 + 27 = 0
x + 5 ≥ 0.
x ≥ −5
Continuando:
− 0,7 x + 1 = 0
ou seja,
1 +
x+5 = x
x + 5 = x −1
m)
x2 + 2 x − 4 = 0
(
n)
x −1
2
4x
+
= 2
x+2 x−2 x −4
o)
x−2 x−3
+
=1
x +1 x −1
x + 5 = x2 − 2x +1
x + 5 − x 2 + 2x −1 = 0 ⇒
− x 2 + 3 x + 4 = 0 .( –1)
x 2 − 3x − 4 = 0
p)
6 17
−
+ 12 = 0
x
x2
x1 = 4
q)
2
1
+
= −1
x −1 x +1
Para garantirmos a veracidade da solução, sempre
devemos fazer uma verificação de todos os valores
encontrados:
r)
x+
s)
3 x − 1 9 x + 3 x 2 − 4 (x − 1)
−
=
−
7
16
7
4
x+5
)
2
= (x − 1)
2
Aplicando a fórmula de Bháskara, encontraremos:
2
5
5
=5+
x−5
x−5
e
x2 = – 1
1 +
x1 + 5 = x1
1 +
x2 + 5 = x2
1 +
4+5 = 4
1 +
−1 + 5 = −1
1 +
9 = 4
3 = 4 −1
3 = 3
1 + 4 = −1
1 + 2 = −1
3 = − 1 (Absurdo!)
2
Respostas:
a) {2, –3/4} b) {1/2, 1/5} c) {6} d) {x ∉ »} e) {0, –5/2}
Portanto, o conjunto-solução será:
9
S = { 4 }.
Observação Importante:
Note que:
i)
 x , se x ≥ 0
x 2 = | x | , e que: | x | = 
− x , se x < 0
Como exemplo:
x + 6 + x +1 =
7x + 4
Respostas:
x 2 = 7 ∴ x = 7 ou x = −7 .
1a) S = {4}
1b) S = {9}
1c) S = {1}
1d) S = {9}
1e) S = {1}
1f) S = {1/2}
1g) S = {1}
1h) S = {±1}
1i) S = {3}
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
1) Determine o conjunto-verdade que satisfaz cada uma
das equações:
9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
x 2 − 9 = x + 11
a)
Resolver um sistema de equações do 1º grau é
determinar o par ordenado (x, y) para o qual, as duas
equações são verdadeiras. Vamos recordar dois métodos
de resolução: o método da substituição e o método da
adição.
2
b)
x − 3x + 3 = 1
c)
x−3 = x−5
d)
x+2 = 4−x
x = 12 − x
e)
9.1 Método da Substituição
Vejamos um exemplo:
f)
x
4− x
=
4− x
2
a) Resolva o sistema:
g)
7x − 3 − x = 1
Resolução:
x+y=5
1a) V = {– 4, 5}
1b) V = {1, 2}
1e) V = {9}
1c) V = {7}
1f) V = {2}
1g) V = {1, 4}
x–y = 3
12 − 4 x
c)
( x + 8) .
( x + 3) = 6
d)
x −5 + 2 =
e)
1− x4 − x2 = x
→
5–y–y = 3 →
–y–y = 3–5
→
– 2y = –2
→
2
2
y =
→
→ y =1
Substituindo y = 1 em x = 5 – y , temos:
x = 5 – (1)
2 1+ 2x + 1 = 7
3+ x =
(5 – y) – y = 3
2y = 2
1) Encontre o conjunto-solução das equações irracionais:
b)
x = 5 – y
→
Substituindo “x” por (5 – y) em II, temos:
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
(Equações Irracionais)
a)
I
II
Isolando o valor de “x” em I:
Respostas:
1d) V = {2}
x + y = 5

x − y = 3
x = 5–1
→
x = 4
→
Então, encontramos o par ordenado que gera a solução:
S = { (4 , 1) }
9.2 Método da Adição
2x − 2
Vejamos um exemplo:
a) Resolva o sistema:
7 + 4x −1 = 2 2
f)
x + y = 9

x − y = 5
I
II
Resolução:
g)
h)
4
3
3
2 − 2x −1 = 1
Adicionando membro a membro as equações, de modo
que a soma de uma das variáveis torne-se nula:
x3 + x 2 −1 − x = 0
10
x + y = 9
+
x − y = 5
2 x = 14
x=
14
2
→
g)
 3y
 x − 2 = 1
 4

= −2
 x + y
h)
x
 =2
y
x + 2 = 3y − 2

para x ≠ − y e x ≠ 2
x=7
Substituindo x = 7 em I, temos:
x+y=9
para y ≠ 0
7+y=9
y=9–7
→
y=2
Assim, temos o par ordenado que gera a solução:
i)
S = { (7 , 2) }
7
 2x + 1
=

5
 y+3
x − y = 1

para y ≠ −3
Respostas:
 3 1 
a ) S = {(5,1)} b) S = {(7,−1)} c) S = {(3,2 )} d ) S = {(10,2 )} e) S =  , 
 2 2 
f ) S = {(2,4 )} g ) S = {(− 1,−1)} h) S = {(8,4 )} i ) S = {(3,2 )}
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
1) Determine a solução para cada um dos sistemas
abaixo:
a)
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
(Sistemas de Equações do 1º Grau)
x + y = 6

3 x − 2 y = 13
b)
2 x + y = 13

x − y = 8
c)
3
 x
=

x
+
y
5

x − y = 1

d)
x
 =5
y
x − 3 y = 4

e)
3
 3
=

2
x + y
x − y = 1

f)
1
 x
x + y = 3


 4 = −2
 x − y
1) Resolva os sistemas de equações:
para x ≠ − y
a)
2 x + 3 y = 8

5 x − 2 y = 1
c)
0,1x + 0,5 y = 0,35

3,1x − 2 y = 2,1
2) Se o par
(a, b ) é a solução do sistema
3x + 2 y = 4

2 x + 5 y = −12
para y ≠ 0
 x − y = 2( x − y ) − 2
4 x − 3 y = 7
b) 
, calcule o valor de
a+b .
3) Resolva o sistema abaixo:
 a − b a + 3b 7
 2 + 3 = 6

 2a + b − 1 (a − 2b ) = −1
2
 3
para x ≠ − y
para x ≠ ± y
4) Resolva o sistema:
11
1
2
 x − y + 2 = 0

x − y + 3 = x + y
 3
2
5) Se o par ordenado
( x, y )
abaixo, calcule o valor de
10. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
é a solução do sistema
x2 − y 2 .
10.1 Teorema de Pitágoras
 2x + 1 y + 2
 x − 4 = y −1 +1


 3x − 1 = 2 y + 8 + 1
 x − 3
y +1
Em todo triângulo retângulo temos que:
"O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos".
Respostas:
1a) S = {(1, 2)}
2) S = {0}
1b) S = {(1, –1)}
3) S = {(2, –1)}
1c) S = {(1, 1/2)}
4) S = {(8,2)}
5) S = {45}
•
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #
(Problemas envolvendo
Equações do 1º e 2º Graus)
1) A soma do quádruplo de um número com 63 é igual a
211. Qual é esse número?
Podemos escrever:
2) Quando diminuímos 8 anos da idade de Helena,
Ou ainda:
obtemos
3
5
(hip)2 = (cat)2 + (cat)2
a2 = b2 + c2
de sua idade. Qual é a idade de Helena?
3) Se adicionarmos um número natural com o seu
sucessor e multiplicarmos o resultado por 5, vamos obter
635. Qual é o número natural considerado?
Observações:
• Um triângulo é dito “retângulo” quando possui um
ângulo reto (90º).
4) Se do número 2 subtrairmos o quíntuplo do inverso
de um número, obteremos a fração
2
.
3
• A hipotenusa sempre será o maior lado de um triângulo
retângulo, figurando sempre à frente do ângulo reto.
Qual é o
número?
Exemplo:
5) Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se
ao resultado dessa divisão o dobro do inverso do número
e obtém-se 1. Qual é esse número?
1) Calcular o valor de “x” no triângulo retângulo abaixo:
6) Uma sala retangular tem 3m a mais de comprimento
que a largura. Se a área da sala é de 54m2, qual é o seu
perímetro?
7) Juntos, dois terrenos quadrados ocupam uma área de
296 m2. O lado de um dos terrenos tem 4m a mais que o
lado do outro. Qual é área de cada terreno?
•
8) Diminuindo 3m de cada lado de um terreno
quadrado, obteremos um novo terreno de área 196m2.
Qual é a área do terreno original?
x 2 = 32 + 4 2
⇒ x 2 = 9 + 16 ⇒
x 2 = 25 ⇒ x = 25 ⇒
9) Se do quadrado de um número subtrairmos 12,
obteremos o próprio número. Qual é esse número?
x=5
Respostas:
1) 37
2) 20 anos
3) 63
6) 30 m
7) 196m2 e 100m2
15
4) 4
8) 289 m2
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
5) – 2
1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores
de “x” para cada caso:
9) 4 ou –3
a)
12
•
2) Usando o teorema de Pitágoras, calcule:
•
a)
b)
•
•
b)
c)
•
•
•
•
c)
d)
•
•
Respostas:
1a) 35
1b) 9
1c) 3
1d) 3
1e) 7,5 1f ) 5
1g) 38,75
2a) x = 3 5 , y = 2 5 2b) x = 6, y = 4,8 2c) x = 8, y = 4,8
e)
•
10.2 Relações Trigonométricas
Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos:
f)
•
•
O cálculo do Seno (sen), Cosseno (cos) e Tangente
(tg) de um ângulo agudo:
g)
sen θ =
•
13
Cateto Oposto CO
=
Hipotenusa
H
cos θ =
tg θ =
CO
H
1 x
⇒
=
2 6
sen 30 o =
Cateto Adjacente CA
=
Hipotenusa
H
sen 30 o =
Cateto Oposto
CO
=
Cateto Adjacente CA
x
6
⇒
1⋅ 6 = 2x ⇒ 2x = 6 ⇒
O que determina se o cateto é oposto ou adjacente é a
sua posição em relação ao ângulo escolhido.
x=
6
2
⇒
x=3
Observações:
•
Num triângulo a soma dos seus ângulos internos
mede 180o.
•
A área (superfície) do triângulo é dada por:
2) Calcular a medida da altura do prédio, sabendo que
existe um observador a 3m do prédio observando sob
um ângulo de 60º.
3m = cateto adjacente ao ângulo de 60 o
Dados: 
S=
base x altura
2
⇒ S=
 x = cateto oposto ao ângulo de 60 o
b⋅h
2
As razões trigonométricas podem ser obtidas através de
tabelas trigonométricas ou em calculadoras.
ângulo
seno
cosseno
1
= 0,500
2
3
≅ 0,866
2
45o
2
≅ 0,707
2
2
≅ 0,707
2
60o
3
≅ 0,866
2
1
= 0,500
2
30
o
tangente
3
≅ 0,577
3
1
3 ≅ 1,732
tg 60 o =
x
3
tg 60 o =
x
x
⇒ 1,732 = ⇒
3
3
⇒
3=
x
3
⇒ x=3 3m
ou
90o
1
0
Exemplos:
Resposta:
1) No triângulo retângulo da figura abaixo, calcular a
medida x.
A altura do prédio é de
x = 5,196 m
3 3m ou 5 ,196 m.
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##
1) Em cada caso, calcule sen α, cos α e tg α.
a)
•
Dados:
6 = hipotenusa

 x = cateto oposto ao ângulo de 30 o
•
14
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de
30° em relação ao plano horizontal. Quando percorrer,
em linha reta, 5.000m, qual será a altura atingida pelo
avião?
b)
•
c)
•
6) Do alto de uma torre de 50 m de altura, avista-se a
praia sob um ângulo de 45° em relação ao plano
horizontal. Para transportar material da praia até a
torre, um carroceiro cobra R$ 0,10 por metro. Quanto
ele recebe para cada transporte que faz?
2) Uma pessoa de 1,70 m de altura vê o topo de um
prédio segundo um ângulo de elevação de 60°.
a) Qual a altura do prédio, se a distância da pessoa a ele for
30m?
b) Qual a distância da pessoa a ele, no caso de um prédio ter
40m de altura?
7) Na construção de um telhado, foram usadas telhas
francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação
ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa,
foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do
teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se
encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa.
(sen 20° = 0,342;
cos 20° = 0,939; tg 20° = 0,363)
3) A distância de uma pessoa a uma árvore é de 45m.
Essa pessoa tem 1,80m de altura e o ângulo de elevação
segundo o qual ela vê o topo da árvore é de 25°.
Determine a altura dessa árvore.
(tg 25º = 0,466;
sen 25º = 0,422;
cos 25º = 0,906)
4) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada
numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de depressão
de 30°. Qual é a distância da torre até a praia?
15
8) Determine o valor de “x” na figura abaixo:
Respostas:
1a) sen α = 0,45 / cos α = 0,89 / tg α = 0,50
1b) sen α = 0,60 / cos α = 0,80 / tg α = 0,75
1c) sen α = 0,83 / cos α = 0,55 / tg α = 1,50
2a) 53,66m
2b) 22,11m
5) h = 2500m
9a) x = 2 , y = 4
•
6) R$ 5,00
3) 22,77m
7) x = 5,05m
4) 86,60m
8) x = 3
9b) x = 28,39
Para refletir....
“Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade
matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a
atividade matemática é nula ou quase nula”.
(Jacques Chapellon)
9) Nas figuras abaixo, calcular o valor de “x” e “y”:
a)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas)
• GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto.
Matemática: uma nova abordagem. v.1. São Paulo:
FTD, 2000.
•
Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios
envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no
início do livro).
• GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito;
GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da
Matemática: teoria e aplicação. 7ª série. São Paulo:
FTD, 1992.
b)
Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios
envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações
algébricas, equação do 1º grau e sistema de equações
do 1º grau.
•
• GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy.
Aprendizagem e Educação Matemática, 7. São
Paulo: FTD, 1990.
Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios
envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações
algébricas, equação do 1º grau e sistemas de equações
do 1º grau.
• GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy.
Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São
Paulo: FTD, 1990.
Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios
envolvendo equações do 2º grau e trigonometria no
triângulo retângulo.
ANOTAÇÕES E LEMBRETES:
16