UNIVERSIDADE DA MADEIRA
Departamento de Gestão e Economia
MICROECONOMIA I
1º Semestre 2004/2005
CADERNO DE EXERCÍCIOS
0. Modelos Económicos. Optimização
1. Suponha que y = 5000 − 10 Py é a função que traduz a procura de rebuçados de uma
cidade.
a) Determine a quantidade máxima de rebuçados que as pessoas dessa cidade estão
dispostas a consumir, bem como o preço máximo que estão dispostas a pagar. Calcule
o declive da função. Represente a função graficamente.
b) Volte a responder à alínea anterior no caso do declive ser agora −16. E se for −5 ?
c) Voltando a tomar o declive inicial, como se comportará a função procura se as pessoas
passarem a estar na disposição de consumir 3000 rebuçados a um preço de 250 u.m.?
qual o novo zero da função? Represente graficamente.
2. A função que traduz a oferta de bolachas é dada por y = 0,5 Py − 20.
a) Determine o preço mínimo que os produtores estão dispostos a receber. Qual o zero
da função? Calcule o seu declive. Represente a função graficamente.
b) Volte a representar a função num gráfico, supondo que o seu declive se altera para 0,8
e para 0,2.
c) Retomando a inclinação inicial, identifique o seu novo comportamento se a ordenada
passar a ser 20.
3. Tome a seguinte escala da procura, em momentos distintos:
Py
1500
1000
750
300
0
−120
y 1 (momento 1)
−250
0
125
350
500
560
y 2 (momento 2)
−375
−125
0
225
375
435
a) Represente graficamente a função que descreve o comportamento da procura no
momento 1.
b) Determine em cada ponto o declive da procura. Trata-se de uma função linear? Se sim,
qual a sua forma algébrica?
c) Responda à questão da alínea b) em relação à escala da procura do momento 2.
d) Reescreva a escala da procura para um declive de −5 e represente-a num gráfico.
4. A despesa total que uma família faz com um certo bem – por exemplo, o bem Y – pode ser
calculada através do produto entre o preço e a quantidade consumida desse bem. A função
procura do bem Y é: Py = 100 − 2y .
1
a) Encontre a função despesa total.
b) Calcule os zeros, os pontos de estacionaridade e os pontos de inflexão da função.
c) Determine as funções de efeito médio (despesa média) e efeito marginal (despesa
marginal). Caracterize os conceitos.
5. O custo total de certa empresa pode ser traduzido pela seguinte relação funcional:
CT = y 3 − 2y 2 + 2y + 10 .
a) Calcule os respectivos zeros, os pontos de estacionaridade e os pontos de inflexão.
b) Calcule as funções custo total médio, custo variável médio, custo fixo médio e custo
marginal.
c) Represente graficamente as funções atrás designadas.
6. Tomemos a função custo total CT = y 3 − 2y 2 + 2y + 5 .
a) Calcule as funções custo total médio e custo variável médio.
b) Determine os pontos de estacionaridade das funções calculadas na alínea anterior.
c) Represente as funções graficamente.
7. Uma empresa opera com custos iguais a CT = y 3 − 2y 2 + 2y + 10 e vende o bem Y a 20
u.m.
a) Escreva a função lucro.
b) Verificando as condições de 1.ª e 2.ª ordem, encontre o máximo da função lucro.
c) Em diagrama próprio, represente as funções de custo total, receita total e lucro.
8. Admita um mercado traduzido pelas funções procura e oferta: y D = 5000 − 10 Py e
y S = 0,5 Py − 20 , respectivamente.
a) Determine o equilíbrio e represente-o graficamente.
b) Volte a responder à alínea anterior nas seguintes situações:
i.
A procura mantém-se e a oferta desloca-se para y S = 0,5 Py .
ii.
A procura desloca-se para y D = 4000 − 10 Py e a oferta mantém-se.
iii. A procura roda para y D = 5000 − 20 Py e a oferta roda para y S = Py − 20 .
2
9. A curva da procura do bem Y é: Py = 200 − 0,2y . Os produtores deste produto estão
dispostos a produzir qualquer quantidade a 50 u.m.
a) Qual o equilíbrio neste mercado?
b) Qual o efeito sobre o equilíbrio de um aumento da procura para Py = 300 − 0,2y ?
c) Tendo em conta a função procura da alínea anterior, qual o equilíbrio se os produtores
descerem o preço para 40 u.m.?
d) Admita a flexibilização da função oferta para Py = 10 + 0,3 y e que os consumidores
deste bem estão dispostos a consumir 100 unidades independentemente do preço.
Calcule o equilíbrio neste mercado.
e) Represente graficamente as várias situações.
3
1. Teoria do Consumidor
1.1.
A restrição orçamental do consumidor
10. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é gasta
exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro.
a) Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo, sabendo
que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10 euros.
b) No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100 euros.
Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8 espectáculos de
teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a restaurantes mais baratos,
onde o preço médio da refeição é 15 euros? Qual é, neste caso, o custo de
oportunidade para o Paulo de ir a um jantar?
c) Dadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe a mesada
para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de Agosto (os avós não
sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo nesta
situação.
d) Suponha que o Paulo pode beneficiar de 10% de desconto no preço dos bilhetes de
teatro se adquirir o cartão jovem. Sabendo que o cartão jovem custa 10 euros, deverá
o Paulo comprá-lo?
e) Descreva o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo se o cartão jovem lhe
possibilitar 2 entradas gratuitas em espectáculos de teatro, adicionalmente ao desconto
mencionado na alínea anterior.
f)
Durante as férias, o Paulo fez um curso de Verão no qual tirou muito boas notas.
Consequentemente, os pais decidiram levantar-lhe as restrições aos jantares e
subsidiarem-lhe as idas ao teatro em 5 euros; no entanto, mantiveram a redução da
mesada. Admitindo que o Paulo não tem cartão jovem, determine de novo, analítica e
graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo.
11. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que garante aos
seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos de chamadas por
mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de 15 cêntimos.
a) Escreva e represente a restrição orçamental de um consumidor representativo que tem
um rendimento M para gastar em minutos de chamadas telefónicas (T) e num bem
compósito (C) cujo preço é igual a 1.
b) Suponha que a companhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura de
preços:
i.
diminuir para 20 o número de minutos oferecidos com a assinatura mensal;
ii.
aumentar o preço unitário de chamadas acima dos 30 minutos para 20 cêntimos.
4
Represente graficamente as restrições orçamentais correspondentes às duas
alternativas.
12. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no hipermercado, aos
preços p C = 5 e p P = 10 . Para chegar ao hipermercado, a Ana demora 45 minutos. Para
adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos, enquanto que para a aquisição de
uma unidade de P são precisos mais 75 minutos.
a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, admitindo que esta tem
um rendimento de 150 unidades monetárias e o seu tempo disponível para compras é
de 51 horas.
b) A Ana muda de emprego e passa a não ter tempo para ir ao hipermercado. No seu
prédio, há um supermercado onde a Ana não perde tempo e onde enfrenta os preços
p C = 10 e p P = 15 . Neste novo emprego, além das 150 unidades monetárias, A Ana
recebe 10,5 unidades de A, que não pode vender. Represente o novo conjunto de
possibilidades de escolha.
13. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma pastelaria.
O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de autocarro (B) e outros
bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos outros bens é de 10 euros. O
tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1 hora na viagem Santana – Funchal e 15
minutos para adquirir uma unidade de X.
a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João.
b) Nos dias em que o João tem de fazer mais de duas viagens entre Santana e o Funchal,
fica de mau humor. Isto reduz-lhe a clientela da pastelaria, implicando uma redução do
rendimento diário do João de 50 euros. Represente de novo o conjunto de
possibilidades de escolha.
c) Depois da quarta viagem, o João chega a casa depois do supermercado fechar. Isso
obriga-o a fazer as compras num outro supermercado, onde o estacionamento custa 1
euro.
d) Suponha agora que, a partir da segunda passagem, o João passa a ir na carrinha da
pastelaria. Nesse caso, o tempo necessário para a viagem é de meia hora e o custo do
combustível 1 euro. Represente novamente o conjunto de possibilidades de escolha do
João, considerando um rendimento de 200 euros.
14. Se o preço do bem 1 duplicar e o do bem 2 triplicar, a recta da restrição orçamental tornase mais ou menos inclinada?
5
1.2.
Preferências
15. Qual o significado económico atribuído à convexidade das curvas de indiferença?
Exemplifique a sua resposta.
16. O Pedro é praticante de bowling, mas depois de dois jogos sucessivos já não joga mais
nenhum. Será a atitude do Pedro consistente com os axiomas que regem as preferências?
17. Suponha que o mapa de indiferença de um consumidor que escolhe entre dois bens, X1 e
X 2 , apresenta um ponto de saciedade x*.
a) Represente as curvas de indiferença.
b) Discuta a importância da hipótese da monotocidade.
18. Suponha que é oferecida à Lúcia a possibilidade de escolha entre uma «viagem a
Moçambique e um passe de três meses para a Expo 98» e «três viagens a Moçambique e
um passe de um mês para a Expo 98». Diga, das seguintes respostas, aquelas que violam
os axiomas e hipóteses que regem as preferências:
a) «São tão diferentes, não consigo escolher.»
b) «Não me importo, escolha por mim.»
c) «Qualquer cabaz que escolha, sei que me arrependerei.»
19. Defina curva de indiferença e represente graficamente os mapas de indiferença para os
seguintes casos:
a) Dois bens económicos.
b) Um bem e um mal económico.
c) Um bem económico e um bem neutro.
20. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando em
cada um se se tratam de preferências bem comportadas.
a) O Gonçalo bebe sempre um café com um copo de água.
b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso.
c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas bebe toda
a Coca-Cola que lhe servirem.
d) O Pedro é indiferente entre jogar uma hora de futebol ou uma hora de ténis.
6
e) A D. Catarina bebe sempre cada chávena de chá com 1 pacote de açúcar.
f)
A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de 4
torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem.
21. A Helena gosta mais de caju que de amêndoas e prefere amêndoas a avelãs. Gosta tanto
de nozes como de castanhas e prefere castanhas a amêndoas. Considerando que as suas
preferências são transitivas, quais os frutos secos que prefere:
a) Nozes ou avelãs?
b) Avelãs ou caju?
c) Amêndoas ou nozes?
22. Para o Alexandre, o café e o chá são substitutos. Do mesmo modo, ele acha que tostas e
manteiga são complementares (se puder escolher, ele utiliza uma colher de manteiga para
cada tosta).
a) Desenhe a curva de indiferença entre café e chá.
b) Desenhe a curva de indiferença entre tosta e manteiga.
23. Represente as curvas de indiferença, convexas e diferenciáveis ao longo do seu domínio,
associadas às seguintes coordenadas (x, y ) :
ƒ
pontos A e B, respectivamente, (10, 20) e (20, 15), pertencentes à curva de indiferença
U0 ;
ƒ
pontos C e D, respectivamente, (15, 20) e (20, 15), pertencentes à curva de indiferença
U1 .
Comente o esquema de preferências encontrado.
24. O César é consumidor de gasolina e bife, com preferências bem-comportadas. O seguinte
quadro dá-nos as combinações de gasolina e bife (ou cabazes) a partir das quais o César
deriva igual satisfação numa dada semana.
Gasolina
Bife
A
1
6
B
2
3
C
3
2
D
4
1,5
a) Desenhe estes cabazes num gráfico e ligue-os.
b) Se o César estiver no cabaz A, quantas unidades de bife estará disposto a ceder a fim
de obter uma unidade adicional de gasolina?
c) E se estiver no cabaz C?
7
d) À medida que o César se move do cabaz A para o cabaz D, a quantidade de bife que
ele está disposto a ceder por mais gasolina cresce, diminui ou mantém-se constante?
Compare com as respostas das alíneas b) e c).
e) O que se pode dizer acerca da satisfação relativa que o César obtém dos cabazes B e
D?
f)
Como representaria no mesmo gráfico os cabazes A ′ , B ′ , C ′ e D ′ que dão o mesmo
nível relativo de satisfação, mas um nível absoluto maior do que os cabazes A, B, C e
D?
g) As duas curvas de indiferença intersectar-se-ão em algum caso? Explique.
h) Que outras propriedades satisfazem as curvas de indiferença do César?
8
1.3.
Função utilidade
25. A função de utilidade de um indivíduo no consumo dos bens X e Y é: U = x 0,3 y 0,7
a) Qual a utilidade marginal deste consumidor no consumo de cada um dos bens?
b) Determine a curva de nível (curva de indiferença) para um nível de satisfação de 100 e
de 200. Represente graficamente.
26. Represente o mapa de indiferença associado às seguintes funções de utilidade:
a)
U = 0,2 x 1 + 0,1 x 22
b)
U = −3 + x 1 + x 2
c)
U = 2 x 10,5
d)
x

U = min 1 , x 2 
2

Caracterize o esquema de preferências encontrado em cada caso.
27. Que tipo de preferências é representado por uma função de utilidade na forma
U=
x 1 + x 2 ? E uma na forma U = 13 x 1 + 13 x 2 ?
28. Que tipo de preferências é representado por uma função de utilidade na forma
U = x 1 + x 2 ? Será a função de utilidade V = x 12 + 2 x 1 x 2 + x 2 uma transformação
monotónica de U?
29. Considere a função de utilidade U =
x 1x 2 . Que tipo de preferências representa? Será a
função de utilidade V = x 12 x 2 uma transformação monotónica de U? Será a função de
utilidade W = x 12 x 22 uma transformação monotónica de U?
30. Numa situação de bens substitutos perfeitos, a utilidade de um consumidor é igual à
quantidade total dos bens consumidos. Represente graficamente para o caso de um
consumidor que consome dois bens.
9
31. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás de cidade e de electricidade é
dada pela seguinte função de utilidade:
U = 2 x 0,5 y 0,5
x = n.º de litros gás/dia
y = n.º Kw/hora
a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor atingir o
nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente?
b) Admita que este consumidor se encontra actualmente a consumir 5 litros de gás por dia
e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de sacrificar, se quisesse
consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o mesmo nível de satisfação?
32. O António tem uma função de utilidade U = x 1 x 2 .
a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem 1 e 12 unidades do bem 2. Se
passar a consumir 8 unidades do bem 2, quantas unidades terá de consumir do bem 1
de modo a que a sua utilidade de mantenha constante?
b) Calcule a TMS 1,2 (x 1, x 2 ) . O que acontece ao valor desta taxa quando o António
aumenta o consumo do bem 1?
c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do António são
descritas por U = x 1 + ln x 2 .
d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António?
Considere o quadro abaixo e a função utilidade inicial.
Ana
Filipa
V = 1000 x 1x 2
W = x 1x 2
Sofia
Z = −1 / (x 1 x 2 + 1)
Margarida
F = x 1x 2 −10000
Teresa
G = x1 / x 2
Bernardo
H = x 1 (x 2 + 1)
10
1.4.
A escolha óptima do consumidor
33. A Alice tem a seguinte função de utilidade individual: U = 3 x 10,5 x 02,5 , onde U representa a
sua utilidade total e x1 e x2 as quantidades consumidas de gasolina e livros. O rendimento
monetário mensal da Alice é de 500 euros e os preços dos bens são, respectivamente, de
20 euros e 25 euros.
a) Indique a expressão da restrição orçamental e diga qual o seu significado.
b) Calcule as quantidades óptimas de gasolina e livros que a Alice deverá consumir.
c) Qual o nível de satisfação proporcionado pelo consumo destes dois bens?
d) Qual a taxa marginal de substituição e o seu significado no ponto de maximização da
utilidade?
e) Determine e interprete o multiplicador de Lagrange.
f)
Represente graficamente a escolha óptima da Alice.
34. Seja U = x 0,25 y 0,5 a função de utilidade da Teresa que tem mensalmente 300 u.m. para
gastar nos bens X e Y. Os preços destes bens são, respectivamente, 3 e 5 u.m.
a) Qual a recta do rendimento da Teresa? E o seu conjunto de possibilidades de
consumo?
b) Calcule as quantidades óptimas adquiridas pela Teresa. Prove que se trata de
quantidades que maximizam a utilidade da Teresa. Prove que a Teresa esgota o seu
rendimento neste cabaz óptimo.
c) Calcule o multiplicador de Lagrange no cabaz óptimo e interprete-o.
d) Represente graficamente o equilíbrio inicial.
35. A Joana tem a seguinte função de utilidade: U = 10 x 0,5 y 0,5 e aufere 100 euros por semana
que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente: PX = 2 e
PY = 1, ambos denominados em euros.
a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do bem Y.
Qual a TMS Y,X nesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com os preços
relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas tenderá ela a
fazer? Explique a lógica do seu raciocínio.
b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana? Prove que ela maximiza aí a sua utilidade.
c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana?
d) Faça a representação gráfica das várias situações aqui analisadas.
11
36. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição avaliada
( )
na combinação de consumo x0 é TMS 1,2 x 0 = 0,5 . Sabendo que p 1 / p 2 = 1 , diga se este
cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de resposta negativa, indique que tipo de
trocas ele estará disposto a efectuar.
37. Um consumidor tem preferências representáveis pela função utilidade U = x 1 + 0,25 x 2 .
Adquire os bens aos preços p 1 = 1 e p 2 = 2 e dispõe de 100 unidades monetárias de
rendimento.
a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo.
b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem 1, de acordo
com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem. Qual é a
escolha óptima do consumidor?
c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de
racionamento, o preço do bem 1 sobe para 3 unidades monetárias.
38. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade U = 2 x 1 x 2 , em que x1 e x2 são,
respectivamente, as quantidades consumidas dos bens X1 e X2, num dado período de
tempo.
a) Determine os consumos óptimos de X1 e X2, sujeitos à restrição orçamental:
5 x 1 + 4 x 2 ≤ 100 .
b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito a um sistema de racionamento. Os
preços das senhas de X1 e X2 são 3 e 6, respectivamente, existindo um racionamento
total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos. Poderá resolver-se a
questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange? Porquê? Serão ambas as
restrições activas no cabaz óptimo?
c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios.
39. A função de utilidade do Francisco é U = a + 100b − b 2 . Sabendo que o seu rendimento é
M=500 e que enfrenta preços de mercado (p a , p b ) = (1, 4 ) , qual o cabaz óptimo de consumo
do Francisco?
40. Suponha que um consumidor tem a seguinte função utilidade U =
x 12 + x 22 .
a) Se p 1 = 3 , p 2 = 4 e M = 50 , qual é a escolha óptima do consumidor?
b) Represente graficamente a solução encontrada. Comente.
12
1.5.
Análise de estática comparada
41. A curva de Engel relaciona:
a) a procura de um factor com o seu preço;
b) as quantidades adquiridas de um bem com o rendimento do consumidor;
c) as quantidades adquiridas de um bem com o respectivo preço;
d) o rendimento de um consumidor particular com o rendimento per capita do país onde
reside.
42. Perante uma determinada variação no preço de um bem, o chamado efeito de substituição:
a) tem sempre o mesmo sinal independentemente do tipo de bem;
b) é sempre maior que a unidade;
c) depende do nível inicial de rendimento;
d) nenhuma das alíneas anteriores está correcta.
43. A curva consumo-rendimento mostra:
a) a taxa à qual um consumidor pode substituir um bem por outro à medida que o
rendimento se altera;
b) a influência de alterações nos preços relativos no óptimo do consumidor;
c) a resposta do consumidor a alterações no rendimento real quando os preços relativos
se mantêm constantes;
d) a influência de alterações no consumo sobre o rendimento real;
e) alíneas a) e b).
44. A procura de um bem inferior será negativamente inclinada
a) se o efeito rendimento superar o efeito substituição;
b) se o efeito substituição superar o efeito rendimento;
c) se os dois efeitos se anularem reciprocamente;
d) nenhuma das anteriores.
45. A curva de Engel será sempre positivamente inclinada
a) se o bem for inferior a todos os níveis de rendimento;
b) se o bem for normal a níveis baixos de rendimento e inferior a níveis suficientemente
altos de rendimento;
c) se o bem for normal a todos os níveis de rendimento;
13
d) se o bem for inferior a níveis baixos de rendimento e normal a níveis suficientemente
altos de rendimento.
46. Um bem inferior, por definição, é aquele
a) que não será comprado pelos consumidores, a não ser a preços muito baixos;
b) cuja quantidade consumida irá diminuir se o seu preço diminuir;
c) cuja utilidade marginal é zero ou negativa;
d) cuja quantidade consumida irá diminuir se o rendimento do consumidor aumentar;
e) que não é descrito por nenhuma das alíneas anteriores.
47. Quando o preço de um bem inferior baixa, tudo resto se mantendo constante,
a) os efeitos substituição e rendimento reforçam-se mutuamente para provocar um
aumento na quantidade procurada do bem;
b) os efeitos substituição e rendimento reforçam-se mutuamente para provocar uma
diminuição na quantidade procurada do bem;
c) o efeito substituição tende a fazer crescer a quantidade procurada do bem, ao contrário
do efeito rendimento, que tende a reduzi-la;
d) o efeito substituição tende a fazer diminuir a quantidade procurada do bem, ao
contrário do efeito rendimento, que tende a aumentá-la.
48. Um bem de Giffen
a) é um bem inferior;
b) é um bem muito substituível por outros;
c) é um bem para o qual o efeito rendimento e o efeito substituição têm o mesmo sinal;
d) nenhuma das anteriores está correcta
49. Mostre que um bem de Giffen é necessariamente inferior.
50. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X, Y, relativo a um determinado consumidor.
Apresente uma interpretação gráfica da decomposição do efeito–preço em efeito–
substituição e efeito–rendimento numa situação em que o preço do bem X diminui. O bem
X é um bem normal. Efectue as explicações que entender necessárias para acompanhar a
leitura do gráfico. Reporte-se exclusivamente à abordagem que Hicks faz sobre esta
questão.
14
51. Seja U = x 10,5 x 02,5 a função de utilidade da Maria. Determine:
a) A curva consumo-rendimento.
b) A curva consumo-preço do bem X1.
c) A curva de Engel do bem X2.
52. A taxa à qual o Mário gosta de trocar o bem B pelo bem A é
b
. Estes bens podem ser
a
adquiridos aos preços Pa = 2 e Pb = 5 .
a) Sabendo que o Mário pretende gastar 500 u.m. no consumo dos dois bens, calcule as
quantidades compradas dos dois bens.
b) Qual o valor do efeito substituição e do efeito rendimento de uma alteração do preço do
bem A para 2,5, supondo que a função de utilidade do Mário é U = a b ?
c) Faça a representação gráfica dos cabazes óptimos inicial e final, salientando os efeitos
referidos.
53. A Manuela tem 10 u.m. para gastar em fruta. As suas preferências no consumo de dois
tipos de fruta são: U = 2 t 12 t 2 e os preços são, respectivamente, 1 u.m. e 0,5 u.m., para as
frutas tipo 1 e tipo 2.
a) Determine as curvas consumo-preço e consumo-rendimento consistente com as
preferências da Manuela.
b) Calcule os níveis de consumo óptimo da Manuel antes e depois de uma alteração do
preço das frutas tipo 1 para 0,8 u.m.
c) Represente num gráfico as duas situações óptimas, identificando as curvas que
determinou na alínea a), antes da alteração do preço.
54. U = x y é a função utilidade de um consumidor.
a) Determine a curva consumo-rendimento, dados os preços Px = 2 e Py = 4 .
b) Admitindo que o rendimento monetário deste indivíduo é de 100 u.m., calcule a curva
consumo-preço.
c) Calcule o óptimo deste consumidor, tomando os valores das alíneas anteriores.
Represente o óptimo num gráfico e identifique as curvas consumo-rendimento e
consumo-preço.
15
55. A Inês apresenta a seguinte função de utilidade: U = 0,5 x 2 y 0,5 . Sabe-se que p y = 3 e o
bem x é importado.
a) Devido a um aumento do rendimento monetário de 25%, a procura de x passou a ser
de 7,5 unidades e o bem-estar do consumidor atingiu o nível u = 44,47 . Represente
graficamente a situação inicial e a situação final. Determine, justificando, o rendimento
inicial do consumidor e o preço do bem x.
b) O Governo decidiu lançar um imposto aduaneiro sobre a quantidade do bem x, de
modo a manter o nível inicial das importações de x. Calcule o montante do imposto.
c) Separe, justificando, o efeito-rendimento e o efeito-substituição resultantes do aumento
de px. Ilustre graficamente.
16
1.6.
Teoria da preferência revelada
56. Um estudo de mercado numa supermercado de Lisboa revelou que, nos três primeiros
meses de 2001, o número de quilos de carne (x) e o número de quilos de peixe (y),
adquiridos pela família Malaquias, evoluiu de acordo com a seguinte tabela:
x
10
6
4
1º mês
2º mês
3º mês
y
4
12
8
Px
16
18
20
Py
20
16
18
a) Represente graficamente os três cabazes, incorporando na representação gráfica a
restrição orçamental correspondente a cada cabaz.
b) Verifique os axiomas da preferência revelada.
57. Numa análise de mercado, verificou-se que o Carlos adquiriu o cabaz (x 1, x 2 ) = (1, 2) aos
preços (p 1, p 2 ) = (1, 2) e o cabaz (y 1, y 2 ) = (2, 1) aos preços (q1, q 2 ) = (2, 1) . Verifique se o
seu comportamento é consistente com os axiomas da preferência revelada.
58. Numa dado momento, o comportamento da Sara pode representar-se na seguinte tabela
de observações:
1º cabaz
2º cabaz
x1
Quantidades
x2
2
2
2
1
x3
PX1
Preços
PX 2
PX3
2
2
2
1
2
3
2
2
a) Verifique a consistência do comportamento da Sara à luz dos axiomas da preferência
revelada.
b) Verifique, de novo, a consistência do seu comportamento, se constatar o seguinte:
3º cabaz
x1
Quantidades
x2
x3
PX1
Preços
PX 2
PX3
4
2
1,5
2
1,5
5
(
)
59. Num dado momento, constata-se que o Roberto adquire o cabaz x 10 , x 02 = (40, 20 ) aos
preços
(P
1
1
X1 , PX 2
(P
0
, PX0
X1
2
) = (4, 12) ;
e
adquire
o
cabaz
(x , x ) = (36, 8)
1
1
1
2
) = (4, 10) . Diga se estas escolhas são consistentes. Justifique.
17
aos
preços
60. Num dado momento, observámos as escolhas da Amélia que sintetizamos na seguinte
tabela:
Quantidades
x1
x2
20
26
28
1º cabaz
2º cabaz
3º cabaz
Preços
10
4
2
PX1
PX 2
2
3
4
6
5
3
Diga se estas escolhas são consistentes com a teoria da preferência revelada.
61. Considere os índices de quantidades de Paasche e Laspeyres, definidos como:
∑i=1p it x it
n
∑i=1p it x i0
n
Pq =
∑i=1p i0 x it
n
∑i=1p i0 x i0
n
e Lq =
onde 0 designa o ano base e t o ano corrente. Qual das seguintes combinações é
inconsistente com o axioma fraco da preferência revelada:
a)
Pq < 1 e L q < 1
b)
Pq > 1 e L q > 1
c)
Pq > 1 e L q < 1
d)
Pq < 1 e L q > 1 ?
18
1.7.
A restrição orçamental com dotações: oferta de trabalho
62. A Lurdes dispõe diariamente de 16 horas para repartir entre trabalho e lazer.
U = C − (12 − L )
2
representa as suas preferências entre um bem compósito de consumo
(C), cujo preço é 1 u.m., e lazer (L). A Lurdes conta com um rendimento diário de 200
euros.
a) Qual será a escolha óptima de lazer da Lurdes, se ela puder trabalhar tantas horas
quantas quiser, mas não receber qualquer salário por hora de trabalho?
b) Admita agora um salário horário de 10 euros. Determine a escolha óptima da Lurdes.
c) Qual será a nova escolha de horas de trabalho, se o rendimento diário diminuir para 50
euros diários?
63. A Ângela é professora e pode escolher entre ensinar numa escola ou dar explicações. Se
optar pela escola, receberá 130 euros e trabalhará 10 horas, por dia. Se escolher dar
explicações, pode fazê-lo tantas horas quantas quiser e receberá, em média, w por hora de
explicação. A função de utilidade da Ângela é dada por U = L3 M , em que L e M designam,
respectivamente, lazer e rendimento.
a) Se a Ângela escolher dar explicações, quantas horas trabalhará por dia?
b) Determine o nível de utilidade associado a cada uma das opções. Conclua quanto à
escolha da Ângela.
64. O Ministério da Justiça pretende tornar a Justiça mais célere. Para tal, propõe-se pagar 100
euros por cada hora extraordinária aos juízes, os quais recebem uma remuneração-base
de 2000 euros associada a 8 horas diárias de trabalho. U = C + 6 ln(L ) traduz as
preferências do juiz representativo, sendo C e L um bem compósito de consumo e horas de
lazer por dia, respectivamente. O preço do bem compósito é de 100 euros e o juiz dispõe
de 16 horas diárias para afectar entre trabalho e lazer.
a) Represente graficamente a restrição orçamental do juiz.
b) Quantas horas extraordinárias irá trabalhar o juiz?
c) O Ministério da Justiça decide reduzir a remuneração-base para 1800 euros e
aumentar a taxa por hora extraordinária para 200 euros. Calcule a nova solução? Que
impacto terá esta medida no bem-estar dos juízes? E na despesa do Ministério?
19
65. O Jorge é agricultor e tem um rendimento que resulta da sua própria produção de dois
bens, abóboras (A) e nabos(N), cujos preços de mercado são, respectivamente, 2 e 1. Ele
produz 10 abóboras e 20 nabos e as suas preferências são representadas pela função de
utilidade U = A 2 N 2 .
a) Determine as funções de procura líquidas e brutas de ambos os bens e indique as
respectivas quantidades transaccionadas.
b) No ano seguinte, o Jorge passa a usar um novo fertilizante, pelo que a sua produção
aumenta para 20 abóboras e 30 nabos. Determine as novas quantidades
transaccionadas.
c) Uma praga de gafanhotos estraga a cultura de abóbora, elevando o preço de mercado
para 5. A produção do Jorge não foi afectada. Responda novamente à alínea b).
20
1.8.
Excedente do consumidor
66. U = (x 1 x 2 )
0,5
representa as preferências de um consumidor que dispõe de um rendimento
de 200 u.m. e enfrenta preços de mercado p 1 = 4 e p 2 = 1.
a) O preço do bem 1 sobe para 5. Calcule a perda de excedente para este consumidor.
b) É possível, através de uma transferência lump-sum, repor o bem-estar do consumidor.
Calcule o montante dessa transferência.
c) Ao nível de preços inicial, quanto seria necessário retirar ao consumidor, de forma
lump-sum, para que este ficasse com a mesma utilidade que após a subida de preço?
d) Que montante mínimo seria necessário transferir para o consumidor de modo que este
pudesse consumir o mesmo cabaz aos novos preços?
e) Responda novamente às alíneas anteriores, considerando a seguinte função utilidade:
U = x 2 + ln x 1 .
67. A Leonor consome dois bens, CDs de música clássica (bem x) e livros de Filosofia (bem y).
Ela tem um rendimento anual de 500 u.m., a sua função de utilidade é U = y + 20 x 0,5 e o
preço de y é igual a 1 u.m.
a) As preferências da Leonor são bem comportadas?
b) Determine as funções de procura individuais. Assumindo que cada CD custa 2 u.m.,
calcule o cabaz óptimo.
c) A loja onde a Leonor compra os CDs lança uma campanha, baixando o preço dos
mesmos para 1 u.m. Decomponha o efeito da diminuição de preço em efeito
substituição (à Hicks) e efeito rendimento.
d) Calcule as variações compensatória e equivalente associadas à diminuição de preço
referida.
e) O gestor da loja, preocupado com as receitas, convence a administração que a
redução de preço só deve ser feita a quem pagar a assinatura de um cartão de cliente.
A administração diz que só aceita propostas que não impliquem perda de bem-estar
para os clientes. Apresente o valor máximo para a assinatura que acompanha a
redução do preço dos CDs. Justifique, recorrendo às medidas de bem-estar referidas
na alínea d).
68. A Beatriz consome 2 bens, arranjos de cabelo (bem x) e arranjos de unhas (bem y). As
suas preferências são identificadas pela função de utilidade U = y + 50 ln x . Actualmente,
ela consome o cabaz (x, y ) = (25, 50 ) e o preço de y é 1 u.m.
21
a) Determine as funções procura da Beatriz. Calcule o seu rendimento e o preço do
arranjo de cabelo.
b) O cabeleireiro decide mudar a tabela de preços. Passa a cobrar 2 u.m. nos primeiros
25 arranjos de cabelo e 1u.m. nas idas adicionais. Represente graficamente o
problema e encontre a nova solução.
c) Assuma os preços iniciais. O cabeleireiro decide baixar o preço de todos os iarranjos
de cabelo para 1 u.m. Decomponha o efeito total sobre o consumo de arranjos de
cabelo, que resulta da alteração de preços, em efeito substituição e efeito rendimento
(à Slutsky).
d) Determine a variação no excedente do consumidor que resulta da alteração de preços
da alínea c).
e) Assuma os preços iniciais. O cabeleireiro decide só aceitar quem tem cartão de cliente,
pelo qual se pagam 30 u.m., e baixa o preço dos arranjos de cabelo para 1 u.m. Em
que sentido varia o bem-estar da Beatriz com esta alteração de preçário?
69. Considere uma economia constituída por dois tipos de consumidores, A e B. Os
consumidores do tipo A têm preferências que podem ser descritas pela função de utilidade
U = y + 10 ln x . Os consumidores do tipo B têm preferências que podem ser descritas pela
função de utilidade U = x y 4 .
a) Determine as funções procura dos bens x e y para cada um dos tipos de consumidores
(ignore as soluções de canto para o tipo A).
Suponha que y é o bem numerário e que os rendimentos dos consumidores tipo A e B são,
respectivamente, 200 e 100 euros.
b) Admita que o preço de x passou de 1 para 2 euros. Decomponha o efeito total da
variação do preço em efeito substituição e efeito rendimento (à Slutsky) para um
consumidor tipo B.
c) Considere ainda o aumento de preço referido em b). Mostre que: i) a variação
compensatória (à Hicks) para o consumidor do tipo A é igual a 10ln2 euros; ii) a
variação no excedente do consumidor do tipo B é igual a 20ln2 euros.
d) Admita que o aumento de preço das alíneas anteriores foi acompanhado por: i) um
aumento do rendimento do consumidor A de 10ln2 euros; ii) um aumento do
rendimento do consumidor B de 20ln2 euros. Face a esta alteração simultânea de
preço e rendimento, o que acontece ao bem-estar do consumidor tipo A? E ao do tipo
B? Justifique, recorrendo aos resultados da alínea c).
22
1.9.
A procura de mercado
70. A turma do 7º ano do Colégio S. Pedro de Brilho é constituída por 15 alunos que reagem
da mesma maneira quando procuram Bobicaus. Se a procura individual for y i = 40 − 2PY ,
determine a procura de Bobicaus da turma.
71. Supondo 100 consumidores do bem X, dos quais 750 com uma função procura individual
xi =
15
45
e 250 com x i =
, qual será a função procura agregada?
PX
PX
72. Determine a função procura do mercado do bem X dadas as seguintes funções procura
individuais:
x i = 10 − 0,1PX
i = 1,K,10
PX = 30 − 2 x j
j = 1,K,5
x t = 25 − 3,06 PX
t = 1,K,25
73. A Maria e o António são os únicos consumidores do refrigerante Bilaranjus, numa pequena
aldeia perto de Monfortinho. As suas curvas da procura são dadas, respectivamente por:
PXM = 12 − 0,5 x M e PX A = 10 − 0,5 x A . Qual é a curva da procura do mercado para o
refrigerante Bilaranjus na pequena aldeia?
74. O Pedro e o Carlos são irmãos com preferências musicais idênticas. A procura individual
de CDs pode ser expressa pela função PX = 15 − x i .
a) Determine a função procura agregada dos dois.
Suponha que cada CD custa 3 u.m.
b) Calcule a elasticidade-preço da procura individual
c) Calcule a elasticidade-preço da procura agregada
d) Compare e analise os resultados obtidos nas alíneas b) e c).
75. O Dr. Barata e o Dr. Figueiredo são advogados na mesma localidade mas optam por
estratégias de mercado completamente diferentes. O Dr. Barata acredita que maiores taxas
horárias não vão originar menores receitas, enquanto o Dr. Figueiredo prefere praticar
23
taxas mais baixas. Discuta as circunstâncias em que cada uma das estratégias é a mais
correcta do ponto de vista da maximização das receitas.
76. Apresente argumento microeconómicos para:
a) a subsidiação da actividade agrícola num ano de boas colheitas;
b) a não-subsidiação desta actividade num ano de mas colheitas.
Use a análise gráfica.
77. Considere as funções procura de jornais desportivos nas cidades de Lisboa e do Porto:
x L = 450 − 2 PX e x P = 675 − 1,5 PX .
a) Sabendo que PX = 150 , diga, justificando, em que cidade a procura de jornais é mais
sensível ao preço.
b) Determine a função procura agregada e calcule a elasticidade procura-preço.
c) Considere, agora, as funções procura de jornais dos quiosques de Lisboa e do Porto:
x LQ = 4500 − 20 PX e x PQ = 6750 − 15 PX . Resolva de novo as alíneas a) e b). Comente
os resultados obtidos.
78. Considere a seguinte função procura linear: y = 10 − 2PY .
a) Represente a função e indique em que zonas a procura é elástica, rígida e unitária.
b) Identifique o ponto da recta que corresponde ao máximo da despesa total.
79. Uma curva da procura é inelástica se
a) a receita total se mantiver constante quando o preço baixa
b) a receita total baixar quando o preço baixa
c) a receita total aumentar quando o preço baixa
d) a receita total for independente do preço.
80. Se a curva da procura for linear, à medida que nos movemos ao longo dela, no sentido
descendente, o valor absoluto da respectiva elasticidade
a) mantém-se constante
b) aumenta
c) diminui
d) aumenta e depois diminui
e) nenhuma das acima mencionadas.
24
81. Seja a função de utilidade U = x 0,25 y 0,25 . Para a compra de X e Y, o consumidor individual
dispõe de um nível de rendimento M. Calcule:
a) A elasticidade procura-preço do bem X.
b) A elasticidade procura-preço do bem Y.
c) A elasticidade procura-preço cruzada do bem X em relação ao bem Y.
d) A elasticidade procura-preço cruzada do bem Y em relação ao bem X.
e) A elasticidade procura-rendimento do bem X.
f)
A elasticidade procura-rendimento do bem Y.
g) Verifique que ε XX + ε XY + η X = 0 , onde ε XX , ε XY e η X representam, respectivamente,
a elasticidade procura-preço directa do bem X, a elasticidade procura-preço cruzada
entre o bem X e o bem Y e a elasticidade procura-rendimento do bem X.
25
2.
Teoria da Produção e Custos
2.1.
Tecnologia
82. A produtividade marginal do trabalho é
a) o número adicional de unidades de trabalho necessárias para produzir uma unidade
adicional do produto
b) o número adicional de unidades do produto que resultam da utilização de mais uma
unidade de trabalho
c) o número de unidades de trabalho que têm que ser recrutadas para produzir o actual
volume de produção
d) nenhuma das anteriores.
83. Verdadeiro ou falso: Se uma fábrica contrata um novo trabalhador e, em consequência,
chega à conclusão que a produtividade média dos seus trabalhadores aumentou, então é
porque a produtividade marginal do novo trabalhador é menor que a produtividade média
dos trabalhadores da fábrica antes da chegada do novo trabalhador?
84. Na seguinte tabela de produção de uma empresa, observam-se as quantidades de produto
obtidas ao aplicar-se diferentes quantidades de trabalho por mês, dado um stock fixo de
capital.
L
Q
1
1000
2
2200
3
3300
4
4000
5
4600
6
5000
7
5000
8
4500
a) Calcule a produtividade média e a produtividade marginal do trabalho.
b) Represente graficamente as curvas do produto total, produtividade média e da
produtividade marginal do trabalho.
c) Para que quantidades de factor as funções de produto total e produtividade média do
trabalho atingem o seu valor máximo?
d) Verifique se a função de produtividade marginal cumpre a lei dos rendimentos
marginais descrescentes.
85. Na seguinte tabela de produção de uma empresa, observam-se as quantidades de produto
obtidas ao aplicar-se diferentes quantidades de trabalho por mês, dado um stock fixo de
capital.
L
Q
1
1000
2
2000
3
3500
4
4000
26
5
4000
6
3500
7
3000
8
2000
a) Calcule as produtividades média e marginal do trabalho.
b) Represente graficamente as curvas da produtividade total, produtividade média e
produtividade marginal do trabalho.
c) Para que quantidades de factor as funções de produto total e produtividade média do
trabalho atingem o seu valor máximo?
d) Verifique se a função de produtividade marginal cumpre a lei dos rendimentos
marginais descrescentes.
86. A função de produção de uma empresa é caracterizada pela tabela seguinte:
k =1
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
l=1
4
10
15
20
23
25
l=2
10
13
17
22
24
26
l=3
12,5
16
19
23
25
27
l=5
17,5
21
23
25
27
28
l=4
15
19
21
24
26
28
l=6
20
23
25
26
27
28
a) Suponha que o capital é fixado em 3. Qual é a produtividade marginal do trabalho?
b) Considere que o capital está fixado em 1. É decrescente a produtividade marginal do
trabalho?
c) Esta função de produção apresenta rendimentos constantes à escala para todos os
valores de K e L. Verdadeiro ou falso?
87. A função de produção de uma empresa é caracterizada pela tabela seguinte:
k =1
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
l=1
100
141
173
200
224
245
l=2
141
200
245
282
316
346
l=3
173
245
300
346
387
424
l=5
224
316
387
447
500
548
l=4
200
282
346
400
447
490
l=6
245
346
424
490
548
600
a) Tendo em atenção a tabela anterior, determine os rendimentos á escala desta empresa
para o conjunto de valores L e K.
b) Sabendo que os dados constantes da tabela correspondem a uma função produção
Q = 100 K 0,5 L0,5 confirme que esta função de produção exibe rendimentos constantes à
escala.
c) Se, alternativamente, a função produção em estudo fosse Q = 50 K 0,4 L0,3 quais os
rendimentos de escala que lhe corresponderiam? E se a função produção fosse
Q = 100 K 0,5 L1,5 ?
27
88. A empresa Eficientis tem a seguinte função de produção: Q = L2 K − L3 , em que K e L são
factores de produção e Q é a quantidade produzida. A empresa encontra-se a produzir na
dimensão K = 18 .
a) Determine a expressão analítica do produto total, produtividade média e produtividade
marginal do factor L.
b) Represente graficamente as funções mencionadas, acompanhadas do respectivo
estudo, e explicando os zeros e andamento de tais funções.
c) Faça a leitura geométrica da produtividade média e produtividade marginal do factor L
a partir do gráfico da produção total.
d) Estabeleça as relações entre as funções produto total, produtividade média e
produtividade marginal do factor L.
e) A partir de que nível de utilização do factor L se começa a verificar a lei dos
rendimentos marginais decrescentes? Justifique.
f)
Qual o volume de produção para o qual é máxima a produtividade média do factor fixo?
89. Seja a função de produção y = 10 + 12 x − x 2 , onde y é o produto físico total e x a
quantidade consumida do factor variável.
a) Determine as expressões algébricas das funções de produtividade média e marginal do
factor x.
b) Calcule a elasticidade da produção do factor X para x = 5 .
c) Determine a quantidade de X que maximiza a receita líquida, sabendo que o preço do
factor é 4 e o preço do produto é 2. Calcule a receita líquida máxima
90. Uma função de produção Cobb-Douglas é dada por f (x 1, x 2 ) = A x 1α x β2 . O tipo de
rendimentos à escala desta função vai depender dos valores de α+β. Relacione-os com os
diferentes tipos de rendimentos à escala.
91. Considere a expressão genérica da função de produção do tipo Cobb-Douglas com dois
factores, trabalho (L) e capital (K): y = ALα K β .
a) Determine as expressões algébricas da produtividade média e da produtividade
marginal de ambos os factores.
b) Verifique se se trata de uma função homogénea. Quais as condições que se têm de
verificar para que o processo de produção que ela traduz admita rendimentos
constantes, decrescentes ou crescentes à escala?
c) Calcule as expressões da elasticidade da produção relativamente a cada factor.
d) Calcule a taxa de crescimento da produção.
28
92. Considere a seguinte função de produção: y = f (K, L ) = 3KL .
a) Defina rendimentos à escala e relacione este conceitos com o grau de homogeneidade
da função de produção.
b) Calcule as produtividades marginais de ambos os factores. Como se comporta a
produtividade marginal do trabalho quando a quantidade de capital aumenta?
93. Caracterize as seguintes funções de produção quanto a rendimentos à escala e
produtividades marginais:
a)
y = 4K 0,5 L0,5
b)
y = αK 2 + β L2
c)
y = min {aK, bL}
d)
y = 4K + 2L
e)
y = K 0,5 L0,6
29
2.2.
Minimização de custos
94. Explique porque é que a curva de custo marginal intersecta as curvas de custo total médio
e custo variável médio nos respectivos pontos mínimos.
95. Se o custo médio for decrescente, então o custo marginal será
a) crescente
b) decrescente
c) maior que o custo médio
d) nenhuma das anteriores
96. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras:
a) Os custos fixos médios nunca aumentam com o output.
b) Os custos médios totais são sempre maiores ou iguais aos custos médios variáveis.
c) O custo variável nunca sobe enquanto os custos marginais estão a decrescer.
97. Os custos de uma empresa são mostrados parcialmente na tabela abaixo. Complete os
espaços que estão em branco, arredondando às décimas.
Y
0
1
2
3
4
5
6
7
CT
32
CF
CV
CTMe
–
CFMe
–
CVMe
–
CMg
–
18
40
116
50
40
55
400
98. Complete o seguinte quadro:
Y
0
1
2
3
4
5
6
CT
24
CF
CV
CTMe
–
CFMe
–
CVMe
–
CMg
–
16
50
108
52
39,2
47
30
99. Represente graficamente as curvas CT, CV, CF, CTMe, CVMe, CFMe e CMg no curto
prazo para a função de produção Q = 3KL , onde K é constante em 2 unidades no curto
prazo, com r = 3 e w = 2 .
100. Considere a seguinte função de produção: y = 10KL .
a) Encontre as quantidades óptimas dos factores produtivos L e K necessários á
produção de 1024 unidades de produto, tendo em conta que a empresa os adquire
às taxas de 2 u.m. e 5 u.m., respectivamente.
b) Determine o custo por unidade de produto.
c) Suponha que a empresa introduz uma série de inovações de forma que a função de
produção se altera para y = 15KL . Se a empresa pretender manter o mesmo nível
de produção, terá de alterar as quantidades dos factores produtivos? Se sim, para
quanto?
d) Verifique se o custo unitário é afectado.
101. Uma empresa utiliza dois factores produtivos, K e L, no seu processo de produção.
Represente graficamente o mapa de isoquantas da empresa se esta descobrir que,
independentemente da quantidade produto que produzir e da forma como variam os
preços dos factores produtivos, minimiza sempre os seus custos:
a) Adquirindo apenas um ou outro dos dois factores produtivos.
b) Adquirindo metade das unidades de capital em relação à quantidade de unidades de
trabalho.
102. Considere a seguinte função de produção y = 10 x 10,5 x 02,5 , sendo y a quantidade do
produto e x1 e x2 as quantidades consumidas de factores.
a) Apresente a expressão das isoquantas que se podem obter a partir desta função de
produção. Qual seria o aspecto deste mapa de isoquantas? Justifique.
b) Deduza a expressão geral da taxa marginal de substituição técnica relativa ás
isoquantas deste mapa.
c) Sabendo que os preços são, respectivamente, PX1 = 1 e PX2 = 4 , calcule o máximo
produto que se pode obter com um custo de 32 u.m. Qual o valor da taxa marginal de
substituição nesse ponto?
d) Se os preços se mantiverem constantes, qual a combinação de factores que
minimizará o custo para uma produção de 80? Qual é o custo nesse ponto?
31
103. Suponha que a «Empresa de Transportes» tem de transportar por ano uma certa carga e
um certo número de passageiros. Para o fazer, e de acordo com o itinerário padrão e as
escalas a cumprir, pode utilizar as seguintes combinações de aviões e mecânicos:
60
1000
n.º de aviões
n.º de mecânicos
61
920
62
850
63
800
64
760
65
730
66
710
a) Se a empresa utilizar 60 aviões e 1000 mecânicos, quantos homens poderá
dispensar se adquirir mais um avião e quiser manter a sua produção? Que nome dá
ao valor encontrado, na teoria económica?
b) Se o custo adicional anual resultante da utilização de mais um avião for de 250000
u.m. e cada homem tiver um custo de 6000 u.m., é rentável para a empresa adquirir
o 61º avião? Justifique.
c) Que combinação de aviões e mecânicos minimizará os custos da empresa?
d) Suponha que o custo anual de um avião baixa para 200000 u.m. e o salário/homem
sobe para 7000 u.m. Qual a nova combinação de aviões e mecânicos que minimiza o
custo anual?
104. Considere um produtor que utiliza dois factores produtivos, X1 e X2. A sua função
produção é y = (4 x 1x 2 − 0,2 x 1 )
0,5
.
a) Supondo que o preço de X1 é igual a 2 e o de X2 igual a 4, qual a via de expansão
deste produtor?
b) Suponha, agora, que os preços de X1 e X2 são variáveis em função das respectivas
quantidades adquiridas: PX1 = 0,5 x 1 e PX 2 = 10 x 2 . Qual a nova via de expansão?
105. Considere a função de produção: y = f (x 1, x 2 ) , sendo y o nível de produto e x1 e x2 os
níveis consumidos dos factores. Sabendo que a produtividade média do factor X1 é dada
por
x 
y
= 4 2 
x1
 x1 
0,5
, calcule:
a) A expressão da função de produção.
b) As produtividades marginais de ambos os factores.
c) A expressão da taxa marginal de substituição técnica de X2 por X1 e da isoquanta
para y = 50 .
d) Admitindo que os preços de X1 e X2 são, respectivamente, PX1 = 2 e PX2 = 4 ,
determine a função custo marginal desta empresa.
32
106. O custo total de uma empresa é dado por CT = y 3 − 8 y 2 + 100 y + 512 . Represente
graficamente a estrutura de custos desta empresa.
107. Considere a seguinte função de produção: y = K + L .
a) Represente um mapa de isoquantas para y = 1, y = 5 e y = 10 . Comente.
b) Encontre o valor da taxa marginal de substituição técnica entre K e L.
c) Dada uma recta de isocusto CT = w L + r K , indique quais serão as quantidades dos
factores produtivos contratados pela empresa.
108. Suponha uma empresa com a função de produção: y = K 0,25 L0,25 , que contrata capital e
trabalho, às taxas, respectivamente, de 4 u.m. e 2 u.m.
a) Obtenha as funções procura dos factores produtivos supondo que o custo total pode
ser qualquer um.
b) Para CT = 1000 u.m., qual a elasticidade da procura de cada factor no ponto onde
esta empresa maximiza a sua produção?
c) Obtenha as várias funções custo de longo prazo.
d) Considere que o capital é fixado a um determinado nível, K , e obtenha as funções
de custo de curto prazo.
109. A produção de uma determinada empresa pode ser descrita pela seguinte função de
produção: y = 100 K 0,25 L0,5 .
a) Determine as expressões das funções procura condicionadas de ambos os factores.
b) Obtenha a função custo de longo prazo.
c) Determine o efeito de um aumento de y no custo marginal de longo prazo.
33
3.
Mercados
3.1. Mercados de concorrência perfeita
110. Diga se os seguintes casos podem ser considerados mercados de concorrência perfeita:
a) Pastéis de nata: «Compro os pastéis de nata no teu bairro, e não no meu, porque
são mais doces.»
b) Jogos de futebol: «A TVI é o único canal de televisão que passa os jogos do
campeonato espanhol.»
c) Camisas: «Na minha fábrica tenho duas costureiras e três máquinas de corte e
costura. Outras empresas têm duas máquinas e duas costureiras.»
d) Padarias: «Todos os padeiros da minha terra estão ricos e a Câmara não me
autoriza a abrir a minha própria padaria.»
111. Uma empresa tem funções custo total e receita total dadas, respectivamente, por
CT = q 3 − 6q 2 + 15q + 100 e RT = 51q .
a) Em que estrutura de mercado nos encontramos? Justifique.
b) Qual o volume de produção de equilíbrio?
c) Calcule os montantes de lucro total e lucro unitário.
d) Quanto produzirá a empresa quando o preço de mercado for igual a 4 u.m.?
1
2
112. y = 5K 3 L 3 é a função de produção de uma empresa que utiliza capital (K) e trabalho (L)
para produzir um bem final Y.
a) Caracterize a tecnologia em termos de rendimentos à escala.
b) Se o objectivo da empresa for a minimização dos custos de longo prazo, quais serão
as funções de procura condicionadas de factores.
c) Suponha que os preços dos factores trabalho e capital são, respectivamente, w = 4 e
r = 2 e que a empresa opera num mercado concorrencial. Calcule a oferta individual
da empresa. Comente o resultado.
d) Se nesta indústria existirem mais 90 empresas tecnologicamente idênticas, qual será
a oferta agregada do bem Y?
e) Sabendo que a procura é dada por y = 100 − p , calcule o equilíbrio de mercado.
34
113. Uma
empresa
num
sector
concorrencial
tem
uma
função
custo
total
de
2
CT = 0,2Q − 5Q + 30 . Se o preço for de 6:
a) Que quantidade é que a empresa deverá vender?
b) Que lucro é que a empresa obtém a esse preço?
c) Deverá a empresa encerrar?
114. A função lucro de uma empresa que actua num mercado perfeitamente competitivo é
dada por: π = Py − 2y 3 + 20 y 2 − 80 y − 10 .
a) Calcule a função oferta de curto prazo.
b) Determine e represente o limiar de encerramento e de rentabilidade.
c) Sabendo que a procura de mercado é y D = 1000 − 10P e que existem 20 empresas
no mercado, calcule o preço de equilíbrio.
115. A indústria produtora do bem y é constituída por um grande número de pequenas
empresas de diferentes dimensões cujas funções de custo total pertencem à família de
curvas: c (y ) = 0,04 y 3 − 0,9 y 2 + (11 − k )y + 5k 2 , onde k é o parâmetro definidor da
dimensão da empresa. Nesta indústria existem 3 tipos de empresas, a produzir nas
seguintes dimensões: k 1 = 1 ; k 2 = 1,1875 e k 3 = 3 .
a) Obtenha a expressão analítica das funções oferta de curto prazo para cada um dos
tipos de empresas.
b) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio de curto prazo, sabendo que a
procura e oferta agregadas são dadas por:
yd =
1
(72,62 − P) e y s = 1 (P − 58,25 )
0,005664
0,002
c) Determine os níveis de produção individuais dos três tipos de empresas.
116. A empresa típica num mercado de concorrência perfeita apresenta uma função custo
total de curto prazo definida por: CTCP = 8 y 3 − 180 y 2 + 2000 y + 1000 .
a) Obtenha a função oferta de curto prazo desta empresa.
b) Se o preço de mercado for 800 u.m., qual a produção que maximiza o seu lucro?
Represente graficamente este equilíbrio, bem como o limiar de rentabilidade e de
encerramento de cada empresa.
c) Se o custo de longo prazo for CTLP = 8 y 3 − 190 y 2 + 2200 y , qual será o nível de
produção e o preço de equilíbrio no longo prazo?
35
d) Se a procura de mercado for y = 21375 − 8,863P , o que pode afirmar sobre o
número de empresas a operar no mercado?
e) Suponha uma alteração nos gostos dos consumidores, de tal forma que a procura de
mercado se altera para y = 19000 − 8,863P . Analise o novo equilíbrio de longo prazo
supondo que os custos de longo prazo se mantêm constantes.
117. Suponha um sector que funciona de acordo com os princípios da concorrência perfeita e
em que existem empresas com diferentes estruturas de custos:
ƒ 30 empresas do tipo A: CT = 3 y + 6 y 2
ƒ 40 empresas do tipo B: CT = 5 y + 10 y 2
ƒ 10 empresas do tipo C: CT = 9 y − 3 y 2 + 0,5 y 3
Obtenha a curva da oferta desta indústria.
118. A procura agregada num sector concorrencial é y D = 1200 − 200P e a curva do custo
total de cada empresa é CT = y 3 − 2y 2 + 4 y .
a) Determine a curva da oferta individual de cada empresa, o número de empresas e o
equilíbrio no longo prazo.
b) A expansão da curva da procura para y D = 1600 − 200P foi acompanhada pela
criação de barreira à entrada. Determine o equilíbrio de mercado.
c) Compare graficamente esta situação, do ponto de vista do excedente do consumidor
e do produtor, com a que se verificaria sem barreiras à entrada.
119. Suponha que a procura de viagens de táxis numa dada cidade é dada por:
y D = 1000 − 5P , onde y é medido em quilómetros por ano e P é o preço em u.m. por
quilómetro. A curva da oferta de longo prazo é dada por y S = 4P − 80 .
a) Se esta indústria for perfeitamente competitiva, mostre que o número de viagens de
equilíbrio é y = 400 . Qual será o preço de equilíbrio?
b) Para a situação de equilíbrio, determine o excedente do consumidor e o excedente
do produtor.
c) Suponha que a Câmara Municipal dessa cidade decide controlar o trânsito, limitando
o número de viagens para y = 300 . Nestas condições, qual o valor da perda social
líquida?
d) Em relação à alínea anterior, como é que o excedente do consumidor e do produtor é
afectado, se P = 140 e P = 95 ? Compare os resultados obtidos.
36
120. Certa indústria, perfeitamente competitiva, é composta por 10000 produtores, cada qual
apresentando a seguinte função custo total: CT = 0,5q 2 + q + 2 . A curva da procura de
mercado é dada por Q = 70000 − 10000P .
a) Deduza as curvas de oferta de curto prazo da empresa e da indústria. Ilustre
graficamente.
b) Qual a quantidade produzida por cada empresa perfeitamente concorrencial e pela
indústria? Determine o lucro económico de cada empresa.
c) Admita que CMg = 0,5q + 0,5 é a função de custo marginal de cada empresa no longo
prazo e que está vedada a entrada no mercado a novos produtores. Determine o
equilíbrio de mercado.
d) Suponha agora que são permitidas as importações deste bem, cujo preço de
importação é 0,5. Que sucederá, no longo prazo, a esta indústria nacional?
37
3.2.
Mercado de monopólio
121. “Os mercados de concorrência perfeita permitem alcançar situações de equilíbrio mais
favoráveis para a procura do que os mercados de monopólio, no que se refere à
quantidade globalmente transaccionada de bens ou serviços e respectivo preço. Assim,
não se entende porque motivos os consumidores (representados em organizações
fortes) ou o próprio Estado (na defesa do bem-estar social), não conseguem transformar
em indústrias competitivas esses monopólios.” Comente.
122. Que tipo de condições económicas e tecnológicas conduz à formação de monopólios?
123. Uma empresa monopolista maximizadora do lucro:
a) pratica um preço pelo menos igual ao custo marginal;
b) opera sempre na zona rígida da curva da procura;
c) nunca opera numa zona inelástica da curva da procura;
d) as afirmações a) e b) estão correctas
e) as afirmações a) e c) estão correctas.
124. Mostre matematicamente que um monopolista estabelecerá sempre um preço acima do
custo marginal.
125. Verdadeiro ou falso: Colocar um imposto de quantidade sobre um monopolista causará
sempre uma subida do preço no montante do imposto.
126. Determine o lucro máximo, o correspondente preço e a quantidade de um monopolista
cujas
funções
procura
e
custo
total
são,
respectivamente:
P = 3000 − 5 y
e
CT = 200 + 10 y 2 .
127. uma empresa monopolista utiliza um factor de produção, L, que adquire ao preço fixo de
5 u.m., para produzir o bem Y. As funções procura do bem e de produção são,
respectivamente: P = 50 − y e y = 2L . Determine os valores de P, y e L que maximizam
o lucro do monopolista.
38
128. Considere uma empresa que é um monopólio no mercado do produto final. Esta empresa
enfrenta uma procura dada pela expressão P = 100 − y e possui uma função custo total
representada por CT = 10 + y 2 .
a) Tendo como objectivo a maximização do lucro, que quantidade deverá este
monopolista produzir? E qual o preço que deverá praticar?
b) Determine a quantidade e o preço no caso do monopolista optar por uma estratégia
de maximização do valor das vendas, com o objectivo de afastar potenciais
concorrentes.
c) Suponha, agora, que o monopolista deseja fixar o valor do lucro m pelo menos 1000
u.m. usando a estratégia na alínea anterior, diga qual a quantidade a produzir pelo
monopolista.
129. As curvas de custo total e da procura de um monopolista são dadas, respectivamente,
por: CT = 200 + 2y e P = 180 − 4 y .
a) Determine o lucro do monopolista.
b) Suponha que o monopolista é obrigado a praticar o preço correspondente ao
mercado de concorrência perfeita. Qual seria a variação líquida no bem-estar dos
consumidores?
130. Um monopolista enfrenta a seguinte procura: P = 104 − 0,004 y . Inicialmente, a sua
tecnologia era traduzida pela função custo total: CT0 = 0,02 y 2 + 72 y , mas, devido à
adopção de uma política redutora de custos essa tecnologia foi substituída, passando o
custo total a ser representado por: CT1 = 0,04 y 2 + 12 y .
a) Determine a produção e o preço praticado pelo monopolista, antes e depois da
inovação tecnológica.
b) Analise os efeitos daquela alteração no mercado, evidenciando os ganhos e perdas
do monopolista e dos consumidores.
131. Admita
um monopolista
CT1 = y 12 + 5 y 1 + 10
e
com duas
fábricas, cujas
CT2 = y 22 + 10 y 2 + 30 ,
onde
funções custo total
y1
e
y2
são:
representam,
respectivamente, a quantidade produzida nas fábricas 1 e 2. A procura do produto é dada
por: y = 500 − 2P .
a) Determine a quantidade produzida em cada fábrica que leva à maximização do lucro
deste monopolista.
39
b) Considere que o governo lança um imposto específico de 3 u.m. por unidade.
Calcule a nova solução de equilíbrio.
132. Suponha um monopolista com duas fábricas que discrimina a venda do seu produto em
dois mercados. As procuras que enfrenta são: PA = 92 − y A e PB = 80 − y B , onde yA e
yB são, respectivamente, as quantidades vendidas no mercado A e no mercado B. As
duas fábricas apresentam tecnologias diferentes, dadas pelas seguintes funções custo
total: C1 = 8 y 12 + 4 y 1 e C 2 = 4 y 22 + 20 y 2 , onde y1 e y2 são as quantidades produzidas na
fábrica 1 e 2, respectivamente.
a) Determine a produção em cada fábrica, a quantidade vendida em cada mercado e os
preços praticados.
b) Calcule o lucro total.
133. Suponha um monopolista com a seguinte função custo total: CT = 20 + 7 y . A procura
neste mercado é dada por: y = 110 − 0,9P .
a) Calcule o lucro máximo deste monopolista.
b) Admita que o monopolista pode segmentar os seus consumidores em dois mercados
distintos, representados pelas seguintes funções: P1 = 100 − 2y 1 e P2 = 150 − 2,5 y 2 .
i.
Prove que os lucros obtidos com discriminação de preços são superiores ais
obtidos com preço único.
ii.
Prove que, no mercado onde o preço é superior, a elasticidade procura-preço é
menor.
c) Se o Estado resolver tributar em 20% as vendas no mercado 1, qual será o novo
preço a praticar em cada mercado?
40
3.3.
Mercado de oligopólio
134. As empresas Bordados Maravilha e Bordados Espanto são as únicas produtoras de
bordados (Q). A curva de custos é a mesma para ambas e igual a CT = 0,5Q 2 . A procura
de bordados é dada por P = 100 − 0,5Q . Admitindo que as empresas têm um
comportamento Cournot, determine o equilíbrio da indústria.
135. Num determinado mercado existem apenas dois produtores e a curva da procura é
P = 200 − 2Q . As curvas de custos de cada um dos produtores são: c 1 = 6q12 e
c 2 = 2q 22 . Determine:
a) O equilíbrio de Cournot.
b) O equilíbrio de Stackelberg.
136. Num determinado mercado de oligopólio, a curva da procura é P = 200 − 2Q e as curvas
de custos de cada um dos produtores são: c 1 = 2q12 e c 2 = 12q 2 . Determine:
a) O equilíbrio de Cournot.
b) O equilíbrio onde a empresa 2 assume a liderança do mercado.
137. Considere duas empresas num mercado de oligopólio que enfrentam a seguinte curva da
procura: P = 60 − Q . As empresas operam com os seguintes custos: c A = q 2A + 4q A e
c B = 1,5qB2 + 5qB .
a) Sabendo que as empresas se comportam à Cournot, determine:
i.
Preço e quantidades de equilíbrio.
ii.
Bem-estar dos consumidores.
iii. Bem-estar dos produtores.
iv. Bem-estar social.
b) Sabendo que a empresa A se comporta como líder, determine:
i.
Preço e quantidades de equilíbrio.
ii.
Bem-estar dos consumidores.
iii. Bem-estar dos produtores.
iv. Bem-estar social.
41