Indutância
Aula 2
30 de março de 2011
1 Resumo da aula anterior
armazenada no elemento indutivo:
1
Na aula anterior estudamos o circuito RL e viUB = Li2
(4)
2
mos que a corrente no circuito, quando a fem
Vimos que resulta natural definir a densidade
externa está ligada está dada por
de energia magnética está dada por
(
)
R
E
i(t) = −
1 − e− L t
(1)
UB
B2
R
=
(5)
V ol
2µ0
A diferença de potencial através da indutância
é
∆V = −E e− L t
R
2 Propriedades magnéticas
(2)
da matéria
O sinal negativo reflete o fato de que a corrente
experimenta uma queda no potencial quando Conforme foi estudado no curso de Física III,
passa pelo indutor. Definimos a constante a origem do magnetismo em ultima instancia
de tempo indutiva do circuito como:
são as correntes elétricas, então pq. há matérias magnéticos se por eles não circula uma
L
τL =
corrente elétrica. Na verdade sim há correntes
R
elétricas associadas a todos os materiais, DeveQuando a bateria se desliga e se coloca o
mos lembrar que todo átomo é constituído por
circuito em curto, a corrente está dada por
uma serie de elétrons que se movem em torno
E R
do núcleo, consequentemente há uma corrente
i(t) = e− L t
(3)
R
elétrica associada a esse movimento de carga
e assim um momento magnético. Além dessa
A diferença de potencial, por sua vez é
corrente, cada elétron tem associado uma ouR
tra corrente vinculada à um movimento propri∆V = −E e− L t
edade da partícula que não tem analogia clásO sinal positivo confirma o razonamento ante- sica (alguns gostam de associar ao giro do elérior que levou a esperar um aumento do poten- tron no seu eixo), essa propriedade é conhecida
cial através da indutância em nessa condições, como spin. Agora, porque alguns materiais são
parecido ao associado a uma bateria.
magnéticos, outros são não magnéticos e até há
Também vimos como quantificar a energia alguns que podem ser convertidos em magné1
Figura 1: Corrente superficial resultado da
soma de todas as correntes internas.
Figura 2: Material com forma toroidal magnetizado uniformemente.
ticos, se todos eles tem elétrons? A resposta
é que o magnetismo macroscópico está associado a uma luta de dois efeitos competitivos, o
campos aplicados exteriormente ou os campos
de origem atômicos que tendem a alinhar os dipolos magnéticos e a agitação térmica que provoca movimentos ao azar das partículas, produzindo uma distribuição completamente aleatória de momentos magnéticos correspondente
a um momento neto igual a zero1 .
posição de uma “plano” específicos de átomos,
por tanto, esperamos ter inúmero planos similares ao longo do corpo. Observe que podemos
considerar que cada cela (que supomos contem
uma corrente fundamental, como um átomo)
possui um pequeno momento magnético:
∆µm = im ∆A
onde ∆A é a área de cada cela. Vamos definir
uma grandeza que mede o momento magnético
associado a um dados volume
Assim, para entender a origem do magnetismo em um material magnético ou magnetizável devemos considerar as correntes atômicas existentes no material. Consideremos que
temos um material onde todos os dipolos estão alinhados (lembremos que o momento dipolar magnético de uma espira se define como
~ onde A
~ é a o vetor área que tem di~µ = iA,
reção dada pela regra da mão direita), dessa
forma as corrente todas giram no mesmo sentido. Como se pode observar na figura 1 o resultado dessa configuração é uma corrente elétrica superficial im , assim podemos considerar
esta corrente como a fonte do magnetismo do
material, assim o momento magnético associado a essa corrente é
µm = im A
~ = lim ∆~µm = d~µm
M
∆V →0 ∆V
dV
(7)
essa grandeza recebe o nome de magnetização associada ao elemento de volume. É evidente que, o momento dipolar total, independente da configuração atômica, é igual a
˚
~µm =
~ dV
M
A fim de encontrar uma relação entre im e
M (M pode ser medido em lab. “facilmente”)
consideremos uma bobina toroidal de N voltas, construída sobre um núcleo feito de um
material que pode adquirir uma magnetização
(isto é, os campos internos vencem a agitação
térmica). Pelos fios da bobina circula uma corrente i, e pela superfície do material magnetizável temos a corrente de magnetização atômica im devido aos dipolos magnéticos. No in-
(6)
onde A é a área transversal. Vale lembrar que
essa corrente superficial é resultado da super1
O primeiro a supor que o magnetismo tem origem
em correntes internas dentro do material foi Ampère.
2
terior do toro teremos dois campo, o campo M dentro da integral (o M independe do caB e o campo M . A partir da equação 6 e minho de integração nesse exemplo)
7 podemos encontrar uma relação entre im e
˛
M . Para isso vamos considera um elemento do
~ · d~s
im = M
c
toro, como mostra a figura 2
M=
Agora, aplicando a lei de Ampère a todo o toro
dµm
Adim
dim
=
=
dV
A (rdθ)
rdθ
˛
~ · d~s = µo it
B
2
A quantidade de corrente distribuída sobre a
C
superfície depende da quantidade de momenonde it é a corrente total dentro do contorno
tos que contribuem e essa quantidade está direampereana de integração, evidentemente
tamente relacionado com a largura do elemento
do toro. Si em todo o toro temos uma corrente
it = i + im
im então num elemento ds = rdθ teremos
assim
dθ
rdθ
im =
im
dim =
2πr
2π
˛
~ · d~s = µo it
B
˛
dessa forma
M=
1
rdθ
(
dθ
im
2π
)
=
~
B
· d~s = N i + im
C µ0
˛
˛ ~
B
~ · d~s
· d~s = N i + M
µ
c
C 0
im
2πr
ou
onde
im = 2πrM
C
(8)
)
˛ (~
B
~ · d~s = N i
−M
µ0
C
~ são paralelos, da figura
Observe que de 7 ~µ e M
~ são paralelos, consequente- se definimos a campo magnetizante (ou inten2 observamos ~µ e B
~ eB
~ são paralelos, de fato eles sempre sidade magnética) como
mente M
são paralelos. Observando a equação 8 perce~
~ ≡ B −M
~
H
bemos que ela é o produto de um campo vezes
µ0
o comprimento do toro:
podemos escrever
˛
im = M (2πr)
˛
= M ds
~ · d~s = ic
H
(9)
C
c
onde ic é a corrente com origem nas cargas moveis encerrada no contorno ampereana de inte~ , a unidade de H
~
gração. Similarmente à M
é A/m. Ainda que esse resultado tenha sido
obtido para o caso do toroide, ele é completamente geral.
dando um caráter vetorial obtemos e colocando
2
Quantidade significa o número de “loop” que existem nessa seção fina do toroide. Ao longo de todo
ele esperamos que exista um número infinito desse
“loops”. Isso é muito similar ao que acontece com
a diferença entre o campo gerado por um solenoide,
B = 1/2 (N /l) µ0 i, enquanto que para uma espira é
B = 1/2µ0 i/R, isto é, no caso da espira temos que ele
aumenta com N .
~ tem uma oriAssim vemos que o campo H
3
~
gem física totalmente diferente de o campo B.
~ é produto das correntes resultanO campo H
tes do movimento das cargas (“correntes verdadeiras”) em um meio condutor, enquanto o
~
campo B
(
)
~ = µ0 H
~ +M
~
B
Tabela 1: Susceptividades magnéticas
Substancia
χm
Alumínio
2, 3 × 10−5
Bismuto
−1, 7 × 10−4
Cobre
−1, 0 × 10−5
Ouro
−3, 6 × 10−5
Chumbo
−1, 7 × 10−5
Magnésio
1, 2 × 10−5
Platina
2, 9 × 10−4
Prata
−2, 6 × 10−5
Agua
−0, 88 × 10−5
CrK(SO4 )2 · 12H2 O 2, 32 × 10−5
Cu(SO4 ) · 5H2 O
1, 43 × 10−4
Gd2 (SO4 )3 · 58HO
2, 21 × 10−4
M nF2
4, 59 × 10−4
CoCl2
3, 38 × 10−4
F eCl2
3, 10 × 10−4
F eCl3
2, 40 × 10−4
N iCl2
1, 71 × 10−4
Ferro (doce)
≈ 5000
resulta da contribuição das correntes verdadeiras e as correntes atômicas. Uma forma de entender está diferença é dizendo que o campo
~ é um campo de origem externa aplicada ao
H
~ é o campo medido
material, enquanto que B
~ é o campo próprio
no material, entanto que M
do material.
É importante ter claro que a lei de Ampère
~ · d~s em torno
9 só garante que a integral H
de uma trajetória fechada será somente determinada pelas corrente verdadeiras que estão dentro da corrente contudo, é possível que
~ afete o vetor H
~ mas não a integral H
~ · d~s.
M
Por exemplo, num ímã permanente não há nenhuma ampereana que englobe uma corrente
~
real e mesmo assim há campo H.
~ é muito intenso. Mas existem matecampo H
riais como o o Ferro, Níquel, Cobalto onde não
é valida a relação 10, nem mesmo para valores
pouco intenso de campo, mas desses materiais cuidaremos mas à frente. Agora suporemos
É razoável supor que deve existir alguma re~ e M
~ . Sabemos que o número que temos materiais magneticamente lineares,
lação entre H
nessa situação
de momentos magnéticos atômicos dependem
~ aplicado. A forma
da intensidade do campo H
(
)
mais simple que podemos supor para essa re~ = µ0 H
~ +M
~
B
lação é um comportamento linear
~
= µ0 (1 + χm ) H
~ = χm H
~
~
M
(10)
= µH
onde a constante
De fato, experimentalmente se observa que
para uma ampla faixa de condições e para
diversos materiais essa relação é válida. A
constante χm é uma grandeza que carateriza
o material e recebe o nome de susceptividade magnética do material. Para alguns
materiais a relação linear que define a susceptibilidade magnética deixa de ser válida se o
µ = (1 + χm ) µ0
se conhece como permeabilidade magnética (absoluta) do material. As vezes resulta
útil também falar da permeabilidade relativa
do material
Km =
4
µ
1 + χm
µ0
elétron na sua orbita circular. Utilizando conceitos clássicos de que o momento magnético é
o produto da corrente pela área dentro da circunferência percorrida pelo elétron, determine
o momento magnético orbital do átomo de hidrogênio. Qual é a relação entre o momento
magnético à quantidade de movimento angular do elétron?
Esses resultados explicam o porque quando temos um solenoide de ar (µ = µ0 ) o campo
é menor do que quando colocamos dentro do
solenoide um núcleo magnetizável onde µ =
(1 + χm ) µ0 . Contudo, em geral a susceptividade magnética é pequena na maioria dos materiais, uma excepção é o ferro que ainda que
não se comporte de forma linear, a susceptividade efetiva é muito maior do que qualquer
material (ver tabela 1). A razão deste comportamento tão díspar observado para o ferro
e outros materiais ferromagnéticos é que
os dipolos magnéticos atômicos tendem a se
alinhar uns com outros quando sujeitos a um
campo externo.
Exemplo 2
Uma bobina toroidal fina, tem raio médio de
10 cm e uma área transversal de 3, 0 cm2 , com
3142 voltas de fio condutor (50 voltas/cm ao
longo da circunferência média). Suponha que
a bobina está enrolada sobre a superfície de um
núcleo paramagnético toroidal de susceptibilidade χm = 4, 59 × 10−4 . Se faz fluir uma corrente constante de 3, 5 A nas espiras. Encontre
(a) a intensidade magnética H dentro da bobina, (b) a magnetização M,(c) a indução magnética B dentro da bobina e (d) a corrente superficial total de magnetização im . Qual seria
a indução B si não tivesse o núcleo paramagnético?. Suponha agora um núcleo ferromagnético com permeabilidade relativa de 1200 com
comportamento linear.
Há outras substancias com susceptividade
magnética positiva pequena e independente da
intensidade magnética aplicada (para campos
pequenos). Em tais materiais os dipolos se alinham ao campo externo aplicado porém não se
influenciam mutuamente de forma significativa
como no caso dos ferroelétricos. Essa substancias recebem o nome de materiais paramagnéticas.
Da tabela 1 observamos que há substancia
com susceptividade negativa. Nesse materiais,
de foma similar ao que acontece nos materiais paramagnéticos, os momentos são independente entre si, a tendencia dos momentos magnéticos é de se alinhar na direção oposta. Esse
materiais recebem o nome de materiais diamagnéticos.
Exemplo 1
Em um átomo de hidrogênio se pode considera
que um elétron gira na volta de um próton num
orbita circular de raio r = 0, 528×10−10 m com
velocidade angular constante ω. A atração eletrostática entre o elétron e o próton é proporcional à força centrípeta necessária para reter o
5