Indutância
Aula 2
2 de agosto de 2011
1 Resumo da aula anterior
armazenada no elemento indutivo:
1
Na aula anterior estudamos o circuito RL e viUB = Li2
(4)
2
mos que a corrente no circuito, quando a fem
Vimos que resulta natural definir a densidade
externa está ligada está dada por
de energia magnética está dada por
)
(
R
E
(1)
i(t) = −
1 − e− L t
UB
B2
R
=
(5)
V ol
2µ0
A diferença de potencial através da indutância
é
∆V = −E e− L t
R
2 Propriedades magnéticas
(2)
da matéria
O sinal negativo reflete o fato de que a corrente
experimenta uma queda no potencial quando Conforme foi estudado no curso de Física III, a
passa pelo indutor. Definimos a constante origem do magnetismo em ultima instancia são
de tempo indutiva do circuito como:
as correntes elétricas, então pq. há matérias
magnéticos se por eles não circula uma corL
τL =
rente elétrica. Na verdade sim há correntes
R
elétricas associadas a todos os materiais, DeQuando a bateria se desliga e se coloca o
vemos lembrar que todo átomo é constituído
circuito em curto, a corrente está dada por
por uma serie de elétrons que se movem em
E R
torno do núcleo, consequentemente há uma
i(t) = e− L t
(3)
R
corrente elétrica associada a esse movimento de
carga e assim um momento magnético. Além
A diferença de potencial, por sua vez é
dessa corrente, cada elétron tem associado uma
R
outra corrente vinculada à um movimento pro∆V = −E e− L t
priedade da partícula que não tem analogia
O sinal positivo confirma o razonamento ante- clássica (alguns gostam de associar ao giro do
rior que levou a esperar um aumento do poten- elétron no seu eixo), essa propriedade é concial através da indutância em nessa condições, hecida como spin. Agora, porque alguns mateparecido ao associado a uma bateria.
riais são magnéticos, outros são não magnétiTambém vimos como quantificar a energia cos e até há alguns que podem ser convertidos
1
Figura 1: Corrente superficial resultado da
soma de todas as correntes internas.
Figura 2: Material com forma toroidal magnetizado uniformemente.
em magnéticos, se todos eles tem elétrons? A
resposta é que o magnetismo macroscópico está
associado a uma luta de dois efeitos competitivos, o campos aplicados exteriormente ou
os campos de origem atômicos que tendem
a alinhar os dipolos magnéticos e a agitação
térmica que provoca movimentos ao azar das
partículas, produzindo uma distribuição completamente aleatória de momentos magnéticos
correspondente a um momento neto igual a
zero1 .
essa corrente superficial é resultado da superposição de uma “plano” específicos de átomos,
por tanto, esperamos ter inúmero planos similares ao longo do corpo. Observe que podemos
considerar que cada cela (que supomos contem
uma corrente fundamental, como um átomo)
possui um pequeno momento magnético:
∆µm = im ∆A
onde ∆A é a área de cada cela. Vamos definir
uma grandeza que mede o momento magnético
associado a um dados volume
Assim, para entender a origem do magnetismo em um material magnético ou magnetizável devemos considerar as correntes atômicas existentes no material. Consideremos que
temos um material onde todos os dipolos estão
alinhados (lembremos que o momento dipolar magnético de uma espira se define como
~ onde A
~ é a o vetor área que tem di~µ = iA,
reção dada pela regra da mão direita), dessa
forma as corrente todas giram no mesmo sentido. Como se pode observar na figura 1 o
resultado dessa configuração é uma corrente
elétrica superficial im , assim podemos considerar esta corrente como a fonte do magnetismo
do material, assim o momento magnético associado a essa corrente é
~ = lim ∆~µm = d~µm
M
∆V →0 ∆V
dV
(7)
essa grandeza recebe o nome de magnetização associada ao elemento de volume. É evidente que, o momento dipolar total, independente da configuração atômica, é igual a
˚
~µm =
~ dV
M
A fim de encontrar uma relação entre im
e M (M pode ser medido em lab. “facilmente”) consideremos uma bobina toroidal de
N voltas, construída sobre um núcleo feito de
µm = im A
(6) um material que pode adquirir uma magnetização (isto é, os campos internos vencem a
onde A é a área transversal. Vale lembrar que agitação térmica). Pelos fios da bobina circula
uma corrente i, e pela superfície do material
1
O primeiro a supor que o magnetismo tem origem
em correntes internas dentro do material foi Ampère. magnetizável temos a corrente de magnetiza2
ção atômica im devido aos dipolos magnéti- dando um caráter vetorial obtemos e colocando
cos. No interior do toro teremos dois campo, o M dentro da integral (o M independe do camcampo B e o campo M . A partir da equação inho de integração nesse exemplo)
6 e 7 podemos encontrar uma relação entre im
˛
e M . Para isso vamos considera um elemento
~ · d~s
im = M
do toro, como mostra a figura 2
c
M=
dµm
Adim
dim
=
=
dV
A (rdθ)
rdθ
Agora, aplicando a lei de Ampère a todo o toro
˛
~ · d~s = µo it
B
A quantidade de corrente2 distribuída sobre a
C
superfície depende da quantidade de momenonde it é a corrente total dentro do contorno
tos que contribuem e essa quantidade está direampereana de integração, evidentemente
tamente relacionado com a largura do elemento
do toro. Si em todo o toro temos uma corrente
it = i + im
im então num elemento ds = rdθ teremos
assim
dθ
rdθ
im =
im
dim =
2πr
2π
˛
~ · d~s = µo it
B
dessa forma
M=
1
rdθ
(
dθ
im
2π
˛
)
=
~
B
· d~s = N i + im
C µ0
˛
˛ ~
B
~ · d~s
· d~s = N i + M
µ
0
c
C
im
2πr
ou
onde
im = 2πrM
C
(8)
)
˛ (~
B
~ · d~s = N i
−M
µ
0
C
~ são paralelos, da
Observe que de 7 ~µ e M
~ são paralelos, conse- se definimos a campo magnetizante (ou intenfigura 2 observamos ~µ e B
~ eB
~ são paralelos, de fato eles sidade magnética) como
quentemente M
sempre são paralelos. Observando a equação 8
~
~ ≡ B −M
~
percebemos que ela é o produto de um campo
H
µ0
vezes o comprimento do toro:
podemos escrever
im = M (2πr)
˛
˛
~ · d~s = ic
H
(9)
= M ds
C
c
onde ic é a corrente com origem nas cargas
moveis encerrada no contorno ampereana de
~ , a unidade de
integração. Similarmente à M
~ é A/m. Ainda que esse resultado tenha sido
H
obtido para o caso do toroide, ele é completamente geral.
2
Quantidade significa o número de “loop” que existem nessa seção fina do toroide. Ao longo de todo
ele esperamos que exista um número infinito desse
“loops”. Isso é muito similar ao que acontece com
a diferença entre o campo gerado por um solenoide,
B = 1/2 (N /l) µ0 i, enquanto que para uma espira é
B = 1/2µ0 i/R, isto é, no caso da espira temos que ele
aumenta com N .
3
~ tem uma
Assim vemos que o campo H
origem física totalmente diferente de o campo
~ O campo H
~ é produto das correntes reB.
sultantes do movimento das cargas (“correntes
verdadeiras”) em um meio condutor, enquanto
~
o campo B
Tabela 1: Susceptividades magnéticas
Substancia
χm
Alumínio
2, 3 × 10−5
Bismuto
−1, 7 × 10−4
Cobre
−1, 0 × 10−5
Ouro
−3, 6 × 10−5
Chumbo
−1, 7 × 10−5
Magnésio
1, 2 × 10−5
Platina
2, 9 × 10−4
Prata
−2, 6 × 10−5
Agua
−0, 88 × 10−5
CrK(SO4 )2 · 12H2 O 2, 32 × 10−5
Cu(SO4 ) · 5H2 O
1, 43 × 10−4
Gd2 (SO4 )3 · 58HO
2, 21 × 10−4
M nF2
4, 59 × 10−4
CoCl2
3, 38 × 10−4
F eCl2
3, 10 × 10−4
F eCl3
2, 40 × 10−4
N iCl2
1, 71 × 10−4
Ferro (doce)
≈ 5000
(
)
~ = µ0 H
~ +M
~
B
resulta da contribuição das correntes verdadeiras e as correntes atômicas. Uma forma
de entender está diferença é dizendo que o
~ é um campo de origem externa aplicampo H
~ é o campo
cada ao material, enquanto que B
~ é o campo
medido no material, entanto que M
próprio do material.
É importante ter claro que a lei de Ampère
~ · d~s em torno de
9 só garante que a integral H
uma trajetória fechada será somente determinada pelas corrente verdadeiras que estão den~ afete
tro da corrente contudo, é possível que M
~ mas não a integral H
~ · d~s. Por exo vetor H
emplo, num ímã permanente não há nenhuma
ampereana que englobe uma corrente real e
~
mesmo assim há campo H.
É razoável supor que deve existir alguma re~ e M
~ . Sabemos que o número
lação entre H
de momentos magnéticos atômicos dependem
~ aplicado. A forma
da intensidade do campo H
mais simple que podemos supor para essa relação é um comportamento linear
~
~ = χm H
M
ais a relação linear que define a susceptibilidade magnética deixa de ser válida se o campo
~ é muito intenso. Mas existem materiais
H
como o o Ferro, Níquel, Cobalto onde não é
valida a relação 10, nem mesmo para valores
pouco intenso de campo, mas desses materiais cuidaremos mas à frente. Agora suporemos
que temos materiais magneticamente lineares,
nessa situação
(
)
~ = µ0 H
~ +M
~
B
~
= µ0 (1 + χm ) H
~
= µH
(10)
onde a constante
De fato, experimentalmente se observa que
para uma ampla faixa de condições e para diµ = (1 + χm ) µ0
versos materiais essa relação é válida. A constante χm é uma grandeza que carateriza o se conhece como permeabilidade magmaterial e recebe o nome de susceptividade nética (absoluta) do material. As vezes remagnética do material. Para alguns materi- sulta útil também falar da permeabilidade rel4
ton num orbita circular de raio r = 0, 528 ×
10−10 m com velocidade angular constante ω.
A atração eletrostática entre o elétron e o próton é proporcional à força centrípeta necessária
para reter o elétron na sua orbita circular.
Utilizando conceitos clássicos de que o momento magnético é o produto da corrente pela
área dentro da circunferência percorrida pelo
elétron, determine o momento magnético orbital do átomo de hidrogênio. Qual é a relação
entre o momento magnético à quantidade de
movimento angular do elétron?
ativa do material
Km =
µ
1 + χm
µ0
Esses resultados explicam o porque quando
temos um solenoide de ar (µ = µ0 ) o campo
é menor do que quando colocamos dentro do
solenoide um núcleo magnetizável onde µ =
(1 + χm ) µ0 . Contudo, em geral a susceptividade magnética é pequena na maioria dos materiais, uma excepção é o ferro que ainda que
não se comporte de forma linear, a susceptividade efetiva é muito maior do que qualquer
material (ver tabela 1). A razão deste comportamento tão díspar observado para o ferro
e outros materiais ferromagnéticos é que
os dipolos magnéticos atômicos tendem a se
alinhar uns com outros quando sujeitos a um
campo externo.
Exemplo 2
Uma bobina toroidal fina, tem raio médio de
10 cm e uma área transversal de 3, 0 cm2 , com
3142 voltas de fio condutor (50 voltas/cm ao
longo da circunferência média). Suponha que
a bobina está enrolada sobre a superfície de
um núcleo paramagnético toroidal de susceptibilidade χm = 4, 59 × 10−4 . Se faz fluir uma
corrente constante de 3, 5 A nas espiras. Encontre (a) a intensidade magnética H dentro
da bobina, (b) a magnetização M,(c) a indução magnética B dentro da bobina e (d) a
corrente superficial total de magnetização im .
Qual seria a indução B si não tivesse o núcleo paramagnético?. Suponha agora um núcleo ferromagnético com permeabilidade relativa de 1200 com comportamento linear.
Há outras substancias com susceptividade
magnética positiva pequena e independente da
intensidade magnética aplicada (para campos
pequenos). Em tais materiais os dipolos se alinham ao campo externo aplicado porém não se
influenciam mutuamente de forma significativa
como no caso dos ferroelétricos. Essa substancias recebem o nome de materiais paramagnéticas.
Da tabela 1 observamos que há substancia
com susceptividade negativa. Nesse materiais,
de foma similar ao que acontece nos materiais paramagnéticos, os momentos são independente entre si, a tendencia dos momentos magnéticos é de se alinhar na direção oposta. Esse
materiais recebem o nome de materiais diamagnéticos.
Exemplo 1
Em um átomo de hidrogênio se pode considera que um elétron gira na volta de um pró5