matA10 – álgebra
Se a  b e n ímpar, então a  b
n
Monotonia da potenciação
Se 0  a  b e n par, então 0  an  bn
n
Se a  b  0 e n par, então an  bn  0
Raiz de índice n
Ao número real b dá-se o nome de raiz índice n de a e
representa-se por: n a
Dado um número real a e um número natural n
 Se n ímpar, b  : bn  a e b é único
 Se n par e a   , então b   : bn  a e b é único
 bn  0  b  0

Se n ímpar: bn  a  b  n a
Se n par: bn  a e b  0  b  n a


n
0 0
Propriedades dos radicais
Radicais equivalentes
n
Potência de um radical
Multiplicação de radicais
a p  nk a pk
n
n, p, k  , n  1 e a  0
 a
a  n b  n a  b, n  1
n
Se n é par, então a  0 e b  0
n
a:nb 
n
a
b

n
a
n p
np
Racionalização de denominadores
a
b
p

a b
n
n p
b  b
p
n
a ; n, p 
e n 1
Se n é par ou p é par, então a  0
Se n é par, então a  0 e b  0
n
e n 1
Radical de radical
a
, n  ,b  0 n  1
b
n
 n a p ; n, p 
Se n é par, então a  0
Divisão de radicais
n
p
a
n p
b c
Para racionalizar o denominador de

a


b c
b c


b c


a b a c
bc
a
, aplica-se a igualdade
bnc
An  B n   A  B   An 1  An  2 B  An 3 B 2  ...  A2 B n 3  AB n  2  B n 1 
n
Potências de expoente racional
n
1
n
m
a a ;a0en2
n
a m  a n ; a  0, m, n  , m  0 e n  2
a p  a q  a p  q ; a  0 e p, q 
a p : a q  a p  q ; a  0 e p, q 
a p  b p   a  b  ; a, b  0 e p 
a p : b p   a : b  ; a, b  0 e p 
p
aq 
1
; a
aq
e q
p
a 
p q

 a p q ; a 
e p, q 

0
Operações com polinómios
Adição, subtração e multiplicação de polinómios
Divisão inteira de polinómios
Dados dois polinómios A  x  e B  x  , tem-se:
Na divisão inteira de A  x  por B  x  , tem-se
 A  x   B  x  é o polinómio soma de A  x  com B  x 
 A  x   B  x  é o polinómio diferença entre A  x  e B  x 
 A  x   B  x  é o polinómio produto de A  x  por
O grau de A  x   B  x  é igual à soma dos graus de A  x  e
de B  x 
Regra de Ruffini
Método que simplifica o cálculo do quociente e resto da
divisão inteira de um polinómio P  x  por x  a , com a 
Exemplo: Na divisão de 2x3  5x  7 por x  2 , temos:
Q  x   2x2  4x  3 e R  x   13
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A x
 Q  x 
R  x
 A x  B  x  Q  x  R  x 
B  x
B  x
Onde:
A  x  é o dividendo; B  x  é o divisor; Q  x  é o quociente e
R  x  é o resto
O grau de R  x  é inferior ao grau de B  x  ou R  x   0
-2
-2
-2
0
4
4
5
-8
-3
7
6
13
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matA10 – álgebra
Fatorização de polinómios
Teorema do resto
 Dado um polinómio P  x  e um número real a, o resto da divisão inteira de P  x  por x  a é igual a P  a 

P  x  é divisível por x  a se só se P  a   0
Dado um polinómio P  x  de grau n e a 
, tem-se:
P  a   0  P  x  é divisível por x  a
Nesse caso existe Q  x  de grau n  1 tal que P  x    x  a   Q  x 
Número de zeros (raízes) de um polinómio
 Se P  x  é divisível por x  a , então diz-se que a é um zero do polinómio P  x 
 Um polinómio de grau n tem, no máximo, n zeros
Multiplicidade da raiz de um polinómio
n
a é raiz de P  x  com multiplicidade n, quando n é o maior número natural para o qual P  x  é divisível por  x  a 
P  x   x  a  Q  x
n
Fatorização de um polinómio
Dado um polinómio P  x  de grau n 
com k raízes distintas a1 , a2 ,..., ak , com multiplicidades n1 , n 2 ,..., n k ,
respetivamente, tem-se que n1  n2  ...  nk  n e existe um polinómio Q  x  , sem raízes, tal que
P  x    x  a  1   x  a  2  ...  x  a  k  Q  x 
n
n
n
Nota: Se n1  n2  ...  nk  n , então Q  x  tem grau 0 e é igual ao coeficiente do termo de maior grau
Raízes inteiras de um polinómio
Dado um polinómio P  x  com coeficientes inteiros, se tiver raízes inteiras, estas são divisores do termo independente (que
tem grau zero) do polinómio P  x 
Exemplo: Se o polinómio P  x   x3  x2  2x  2 tem raízes inteiras, então só podem ser 2, 1,1 ou 2
Inequações de grau superior ao primeiro
Para resolver uma inequação do tipo a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an  0 fatoriza-se o primeiro membro e estuda-se o sinal dos
seus fatores
Exemplo
x3  3x  2  0   x  1
2
 x  2  0
+
1
0
+
x2


 x  1  x  2 

0

x
 x  1
2
2

+

2
+
0

0
+
+
S  1   2, 
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