EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Equação do 2º Grau
Em torno de uma quadra de futebol de salão de comprimento 40 m
e largura 20 m deseja-se deixar uma faixa de largura constante.
A área da quadra, com a faixa, deve ser 1500 m2. Qual deverá ser
a largura da faixa?
x
x
20 m
40 m
Se x representa a largura da faixa em metros, a quadra com a faixa
é um retângulo de dimensões 20 + 2x e 40 + 2x. Portanto:
(20 + 2x)(40 + 2x) = 1500
⇒ 800 + 40x + 80x + 4x2 = 1500
⇒ 4x2 + 120x – 700 = 0
Equação do 2º Grau
No problema anterior, recaímos numa equação do 2º grau, assim
chamada porque o termo de maior grau na equação tem grau 2.
4x2 + 120x – 700 = 0
Chamamos de equação do 2º grau na variável x toda equação que
pode ser colocada na forma
ax2 + bx + c = 0
em que a, b e c são números reais e a ≠ 0
Forma Geral
ax2
+ bx + c = 0
Forma
Reduzida
Assim na equação:
4x2 + 120x – 700 = 0
a=4
b = 120
c = – 700
Equação completa e incompleta
Pela definição, devemos ter sempre a ≠ 0, podemos ter b = 0 ou c = 0.
Assim:
Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa.
♦ 5x2 – 8x + 7 = 0 ⇒ é uma equação completa (a = 5, b = – 8 e c = 7)
♦ x2 + 11x - 3 = 0 ⇒ é uma equação completa (a = 1, b = 11 e c = – 3)
Quando b = 0 ou c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta.
♦ 3x2 – 9x = 0 ⇒ é uma equação incompleta (a = 3, b = – 9 e c = 0)
♦ 10y2 + 15 = 0 ⇒ é uma equação incompleta (a = 10, b = 0 e c = 15)
♦ 6t2 = 0 ⇒ é uma equação incompleta (a = 6, b = 0 e c = 0)
Escrevendo uma equação do 2º grau na sua forma geral ou
reduzida
Dada a equação 2x2 – 7x + 4 = 1 – x2, escrevê-la na forma reduzida.
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2
Equação dada
⇒ 2x2 + x2 – 7x + 4 – 1= 0
⇒ 3x2 – 7x + 3 = 0
Forma reduzida
Dada a equação (2x + 3)2 = 10 – (x + 4)(x – 2), escreva na forma red.
(2x + 3)2 = 10 – (x + 4)(x – 2)
Equação dada
⇒ 4x2 + 12x + 9 = 10 – (x2 – 2x + 4x – 8)
⇒ 4x2 + 12x + 9 = 10 – x2 + 2x – 4x + 8
⇒ 4x2 + x2 + 12x – 2x + 4x + 9 – 10 – 8 = 0
⇒ 5x2 + 14x – 9 = 0
Forma reduzida