Exercícios para prova bimestral.
1. (Unifesp 2012) Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a
população de uma certa espécie de animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em
que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais é dado aproximadamente
pela função
f(t) = 750 × 2−(0,05)t ,
com t em anos, t ≥ 0 .
a) Determine, com base na função, em quantos anos a população de animais estará reduzida
à metade da população inicial.
b) Considerando log2 3 = 1,6 e log2 5 = 2,3 , e supondo que nada seja feito para conter o
decrescimento da população, determine em quantos anos, de acordo com a função, haverá
apenas 40 exemplares dessa espécie de animal na reserva florestal.
2. (Enem 2011) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada
como MW ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de
Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos
conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de
todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma
escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula:
MW = −10,7 +
2
log10 (M0 )
3
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da
superfície,
através
dos
sismogramas),
cuja
unidade
é
o
dina.cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que
causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude
MW = 7,3 .
U.S.
GEOLOGICAL
SURVEY,
Historic
Earthquakes.
Disponível
em:
http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em:
http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos,
qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)?
a)
b)
c)
d)
e)
10 −5,10
10 −0,73
1012,00
10 21,65
1027,00
3. (Pucpr 2010) Sabendo que log20 = 1,3 e log5 = 0,7 , é correto afirmar que log5 20
corresponde a:
a) Exatamente 2.
b) Exatamente 0,6.
c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6.
d) Um valor entre 1,8 e 1,9.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
4. (Ibmecrj 2010) Sejam x e y variáveis reais positivas. Denotemos por ln x e ln y o logaritmo
na base natural de x e
de y respectivamente. Assinale a afirmativa correta.
a)
x
12
=
1
Inx
2
b) (Inx ) = 6Inx
6
c) ln ( xy ) = (ln x + ln y )
3
3
d) ln ( x 3 + y 4 ) = 3 ln x + 4 ln y
e) ln x = − ln
1
x
5. (G1 - cftmg 2010) Considerando a equação 2x = 5 e que log2 = 0,3, o valor mais próximo
de x é
a) 2,2
b) 2,3
c) 2,4
d) 2,5
6. (Fgv 2007) O gráfico que representa uma função logarítmica do tipo f(x) = 2 + a . log (b .
 1 
1 
,6  e  ,2  . Esse gráfico
 50 
5 
x), com a e b reais, passa pelos pontos de coordenadas 
cruza o eixo x em um ponto de abscissa
3
a)
10
.
4
b)
7. (Pucmg 2007)
14
.
25
c)
10
.
5
d)
7
.
10
e)
10
.
4
As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala Richter, estão
 E1 
 , em que E1 e E2 medem as respectivas
 E2 
relacionadas pela fórmula R1 - R2 = log10 
energias, liberadas pelos terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta
terrestre. Nessas condições, se R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é correto afirmar que a razão entre E1 e
E2, nessa ordem, é igual a:
a) 0,5
b) 1,5
c) 100,5
d) 101,5
8. (Ufrrj 2007) O pH de uma solução é definido por pH = log10(1/H+), sendo H+ a
concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução.
Calcule o pH de uma solução que tem H+ = 10-8 íons-grama por litro.
9. (G1 - cftmg 2006) O valor de x, na equação
log3 (2x - 1) - log3 (5x + 3) = -1, é
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
10. (G1 - cftce 2006) A solução da equação log x2 + log x = 1 é:
a) 10
b) 10
c) 1
−3
−1
1
3
10
d)
e) 10
11. (Ufpr 2006) Uma determinada substância radioativa desintegra-se com o tempo, segundo
a função
M(t) = M0 . e- Bt
sendo M0 a massa inicial, B uma constante característica da substância e t o tempo dado em
anos. Sabendo que a quantidade inicial de 100 g dessa substância radioativa diminui para 50
g em 28 anos, calcule quanto tempo será necessário para que 100 g dessa substância se
reduzam a 25 g. (Considere ℓn 2 = 0,7)
a) 48 anos
b) 72 anos
c) 42 anos
d) 56 anos
e) 64 anos
12. (Ufsm 2006) Se log8x - log8y = 1/3, então a relação entre x e y é
a) x = 3y
b) 2x - y = 0
c) x/y = 1/3
d) y = 8x
e) x = 2y
13. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os pontos A e B pertencem à curva definida pela função f(x)
= log2 x.
A área do triângulo ABC, é
5
a)
2
b) 3
7
c)
2
d) 4
14. (Fuvest 1995) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b.
O valor de b é:
a) 1/4.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 10.
15. (Uel 1994) A solução real da equação -1 = log5[ 2x/(x + 1) ] é
a) 1/9
b) - 1/5
c) - 1
d) - 5
e) - 9
16. (Fei 1994) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log 32/27 em função de a e b obtemos:
a) 2a + b
b) 2a - b
c) 2ab
d) 2a/b
e) 5a - 3b
17. (Cesgranrio 1991) Se log10(2x - 5) = 0, então x vale:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 7/3.
e) 5/2.
18. (Cesgranrio 1990) O valor de log x (x x ) é:
3
.
4
4
b) .
3
2
c) .
3
3
d) .
2
a)
e)
5
.
4
19. (Fuvest 1989) Se log108 = a então log105 vale
a) a3
b) 5a - 1
c) 2a/3
d) 1 + a/3
e) 1 - a/3
Gabarito:
Resposta da questão 5: [B]
Resposta da questão 1:
a) Queremos calcular o valor de t para o qual
f(0)
f(t) =
. Assim,
2
750 × 2−(0,05)t =
750 × 2−(0,05) ⋅ 0
⇔
2
2−(0,05)t = 2−1 ⇔
−0,05t = −1 ⇔
t = 20 anos.
b) Queremos calcular o valor de t para o qual
f(t) = 40. Logo,
750 × 2−(0,05)t = 40 ⇔
2−(0,05)t − 2 = 5 −2 ⋅ 3 −1 ⇔
log2 2−(0,05)t − 2 = log2 5 −2 ⋅ 3−1 ⇔
−0,05t − 2 = −2 ⋅ log2 5 − log2 3 ⇒
−0,05t − 2 = −2 ⋅ 2,3 − 1,6 ⇔
t
−
= −4,2 ⇔
20
t = 84 anos.
Resposta da questão 2: [E]
Fazendo M + w + = 7,3, temos:
2
7,3 = −10,7 + ⋅ log10 Mo
3
2
18 = ⋅ log10 Mo
3
27 = log10 Mo
Mo = 1027
Resposta da questão 3: [D]
log 20 1,3
Log520 =
=
= 1,857 (entre 1,8 e 1,9).
log 5 0,7
Resposta da questão 4: [E]
−1
1
1
ln x = ln   = - ln
x
 x
x
2 = 5 (aplicando o logaritmo dos dois lados,
temos)
X
Log2 = log (10/2)
x.log2 = log 10 – log2
x.0,3 = 1 – 0,3
0,3x = 0,7
X = 2,3333333....
Resposta da questão 6: [C]
7: [D]
8: 8
9: [A]
10: [D]
11: [D]
12: [E]
13: [D]
14: [D]
15: [A]
16: [E]
17: [C]
18: [D]
19: [E]