ESCOLA SECUNDÁRIA DE S. PEDRO DA COVA – 2003/2004
MATEMÁTICA – 12º ANO
FICHA DE TRABALHO nº 7
Assunto: PROBABILIDADES – Triângulo de Pascal e Binómio de Newton
1. Constrói o triângulo de Pascal até à 6ª linha e depois responde às alíneas seguintes:
a) Como começa e como acaba cada linha?
b) Existe simetria em cada linha?
c) Tenta acrescentar mais duas linhas sem recorrer ao cálculo das combinações pela fórmula.
d) Calcula a soma dos números de cada linha.
e) Tenta adivinhar a soma dos números da linha 12.
!"
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+
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%
Propriedades do Triângulo de Pascal:
n
C p = n C n-p
n
+ n C p+1 =
Cp
n +1
C p +1
100
100
2. Determina x sabendo que C39 = Cx e que x
$
+
-
39.
'
+ -
$
.'
/ - '
3. Calcula:
15
a)
!
%
-
0
+
+
C7
%
'
%
0
1
15
%
=
-
4. Mostra que
10
+
n +1
C8
b)
' %!
- =
%!
C p +1 =
18
19
C 1 + 18 C 2
C13 + 19 C 14
= $
n
C p +1 +
n
Cp
'
2
2
+
123 + 1 2 31 0 24 + 31 0 52
3
=
2
2
+
123 + 1 2 31 0 23 + 1 + 2
3
3 +1 2' 3 +1 3 +1+ 2 310 2' 310 12$
3
+
1
0
10
1
2
2
+
123 + 1 3 + 1 + 2 31 0 123 + 1 + 2
'
3
=
231 + + 23 − 1
31 0 23 + 1 2
3
=
231 + + − 1
31 0 23 + 1 2
31
=
23 +
31 0 23 + 1 2
=
3 + 2
31 0 23 + 1 2
=
0
6
2
3
)
* 7
3 0
+ 310
'
/1
10
5. Observa as várias linhas do triângulo de Pascal. Calcula a soma de cada uma das linhas.
n
Poderemos afirmar que a soma dos elementos da linha n do triângulo de Pascal é 2 ?
&
/
8
* *
9
3 0
6.
Se os quatro primeiro números de certa linha do triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165;
então os três últimos números da linha seguinte são:
A- 36, 24 e 12
B- 66, 12 e 1
C- 220, 66 e 12
D- 24, 12 e 1
$
$
8
;
7
1
7
:
:
#
+
+
+
:
1
7.
O penúltimo número de certa linha do triângulo de Pascal é 10. Qual é o terceiro número
dessa linha?
A- 11
B- 19
C- 45
D- 144
&
8.
:
1
+
<
;
:
'
$
:
8
0
;
$
'
0
'
'
:
;
'
Considera duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem alguns
elementos.
...
36
a
126
...
...
120
b
...
Indica o valor de b.
A- 164
B- 198
C- 210
D- 234
1
9.
:
1
$
+
'
/
'%
'% 0
'
a b c d e f g representa uma linha completa do triângulo de Pascal, onde todos os
elementos estão substituídos por letras. Qual destas afirmações é verdadeira?
A- c= 6 C 3
B- c= 6 C 2
C- c= 7 C 3
D- c= 7 C 2
+
3
=
;
3
=
2
Fórmula do Binómio de Newton:
n
n
n-1
n-2 2
n-1
(a + b) = n C 0 a + n C1 a b + n C 2 a b + ... + n C n-1 ab
n
+ n Cn b
ou
n
n
n
(a + b) =
C p a n-p b p
p=0
Tp = n C p-1 an-(p-1) bp-1 ou Tp = n C p-1 an-p+1 bp-1
O termo de ordem p é dado por
10. Indica quantos termos tem o desenvolvimento do binómio (2+a)
<
0
21
'
n
10 5
11. Determina n, sabendo que no desenvolvimento de (x+y) há um termo cuja parte literal é x y .
'
0
'
6
12. Determina o termo médio do desenvolvimento de (3x+y) .
(
;
;
3 . > '
!. > '
.>
13
13. Determina o terceiro termo do desenvolvimento de ( 3x +1) , com x
(
;
.
3
.
' !%
' !%
0.
. ' %-
.
.
.
2 15
14. No desenvolvimento de (2x+y ) , determina o coeficiente do termo de expoente 20 relativamente à variável y.
?
)
(
@
'
.
$
1
3 . 3>
;
'
. >
8
'-
-
15. Sabe-se que f (y + 1) = y 6 . Escreve o desenvolvimento de f ( x ) .
?
)
. ' >0 $
+
8
> ' .+
A
> ' 3.+
$ @3x ' 3.+
'
. +
'. + . 0
. 0
. +
. +
. 0
. 0 . + .0
. +
.0
16. Calcula os termos médios do desenvolvimento de x 2 −
(
1
8
3.
3−
3.
3−
.
.
'
'+
.
.
.
'
2
x
5
.
.
%
' +% .
.
3
5
17. Determina o termo em x do desenvolvimento de x 2 −
(
.
1;
<1 '
B
2
x
8
1+
+ 10
1+
'
.
1+
⇔1'
'
. 3−
< '
3−
+10
3.
1
3+
1
'
.
. −
.1 −
3+
1+
'
1+
.+
10
;
. ' +%
.
18. Calcula o termo independente de x no desenvolvimento de 3x 2 +
(
1
x
18
.
1;
%
<1 '
B
1+
3+
1+
%+10
3 .
8 $
3
1+
.
1
%
< '
. '
%
'
- +1
1+
. %−
.1 −
%
'
1+
- +1 + 10 -
.
' + 10 - ⇔ 1 '
;
%2
2 2
1
;
'
6
19. No desenvolvimento de (1+x) , chamamos Tp ao termo de ordem p.
Resolve a equação em x
T3 = T1 – T5
< '
< '
< '
. '
. '
. '
>'
.
,
.
>'.
>
⇔
+
⇔
; + $1
> 0 >+
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−
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1
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61
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1
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> '
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> $
+
. '
C
%
+
.
8 ;
'D $
3
20. Mostra que
3
3
( 2 + 3 ) + ( 2 - 3 ) = 22 2
<
+
)
3
0
; )
3
B
8
+
3
0
'
0
0
0
'
+
0
+
03
+
'
'
'
0
.
.
.
0
.
.
.
As professoras
E"F ;G
E"F 8
4