CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Olá pessoal! Resolverei neste ponto a prova de Matemática Financeira da SEFAZ/RJ 2010 – FGV. Sem mais delongas, vamos às questões. 19. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) A empresa Bonneli recebeu, pelo valor de R$ 18.000,00, por meio de uma operação de factoring, R$ 12.000,00 como sendo o valor atual. O prazo de antecipação, em dias, se a taxa de juros foi de 5% ao mês, no regime juros simples, foi de: (A) 30. (B) 60. (C) 90. (D) 100. (E) 120. Resolução Na operação de factoring é utilizado o desconto comercial e o problema expressamente falou que é a operação é no regime simples. O desconto é a diferença entre o valor nominal (R$ 18.000,00) e o valor atual (R$ 12.000,00). Assim, 6.000,00. A taxa simples de 5% ao mês equivale a 0,05/30 ao dia. Sabemos que a taxa do desconto comercial simples incide sobre o valor nominal. Desta forma: · · · 6.000 18.000 · 0,05/30 200 Não há gabarito compatível. A questão foi anulada pela FGV. 20. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de juros semestral equivalente à taxa de 125% ao ano é igual a: (A) 45%. (B) 50%. (C) 61,25%. (D) 62,25%. (E) 275%. Resolução O período de um ano é igual a 2 semestres. Assim: 1 1 1 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES 1 1 1,25 1 2,25 1 225 100 15 10 1 0,5 50% Letra B 21. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: (A) 14,89%. (B) 15,25%. (C) 16,33%. (D) 18,45%. (E) 20,00%. Resolução Temos duas aplicações e os montantes devem ser iguais. · 1 · 1 1 1 · 1 · 1 1 1 0,10 · 1 0,20 1 1 0,10 · 1 0,20 1 1,32 Temos duas saídas: testar as alternativas ou calcular uma aproximação para √1,32. i) Testar as alternativas. a) 0,1489 1 1 0,1489 1,31997121 Valor MUITO próximo!! Se testarmos as próximas alternativas teremos “erros” mais grosseiros. 2 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES ii) Calcular uma aproximação para √1,32. 1,32 132 100 √132 10 Devemos, portanto, calcular um valor próximo para √132 No Ponto 3 (http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/4950_D.pdf) eu ensinei como calcular aproximações de raízes quadradas através do método de Newton-Raphson. Em geral, a nossa raiz quadrada será “transformada” em uma fração. Para começar o método, você deve procurar o quadrado perfeito mais próximo do número em questão. Números quadrados perfeitos são os quadrados dos números naturais. São eles: 12 = 1, 2 2 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25,... Se estamos querendo calcular a raiz quadrada de 132, então o quadrado perfeito mais próximo é 121 (11x11). Observe que tanto faz se o quadrado perfeito mais próximo é maior ou menor do que o número dado. O que importa é que ele seja o MAIS PRÓXIMO!! Por que não utilizamos 144? Por 132 está mais próximo de 121 do que de 144. O método é descrito da seguinte maneira: a≅ a + x2 2 , em que x é o quadrado perfeito mais próximo de a. 2x “Meu Deus!! QUE FÓRMULA COMPLICADA!!” Calma... Vamos interpretar cada termo dessa fração. O numerador é formado por uma soma de dois números: o próprio número e o quadrado perfeito mais próximo. Já no denominador, você vai multiplicar a raiz quadrada do quadrado perfeito por 2. Por exemplo, se o quadrado perfeito mais próximo for 121 (11x11), então 121 que é o quadrado perfeito vai para o numerador e 11 vai para o denominador. √132 132 121 2 · 11 11,5 Podemos melhorar a nossa aproximação utilizando novamente o método de Newton-Raphson. Utilizaremos agora o valor 11,5 e o seu quadrado 11,52 = 132,25. 3 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES √132 132 132,25 2 · 11,5 11,489 Voltando para o problema: 1 1 1,32 1,32 132 100 1 √132 10 11,489 10 1,1489 0,1489 14,89% Letra A O primeiro método (testar as alternativas) pareceu mais fácil porque a resposta foi a letra A. E se fosse a letra E?? E se a questão não tivesse resposta e fosse anulada? Você teria perdido tempo demais na prova testando as alternativas... 22. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 12.700,00. II. No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes. III. No Sistema Americano de Amortização, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00. Assinale: (A) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. (B) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (C) se somente a afirmativa III estiver correta. (D) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. (E) se todas as afirmativas estiverem corretas. Resolução Analisemos cada uma das alternativas de per si. I. Falso A quota de amortização é dada por: 50.000 25 2.000 O juro pago na primeira prestação é igual a 5% de 50.000. 4 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES 5% 5 · 50.000 100 50.000 2.500 Portanto, a primeira prestação é igual a: 2.000 2.500 4.500 As prestações formam uma progressão aritmética decrescente de razão · . 0,05 · 2.000 100 Desta forma: 100 4.500 100 4.400 100 4.400 100 4.300 O valor acumulado das três primeiras prestações é igual a: 4.500 4.400 4.300 13.200 II. Falso As prestações no Sistema Francês são constantes. III. Verdadeiro No Sistema Americano de Amortização, apenas os juros são pagos durante o período de carência, de forma que a dívida é liquidada de uma vez no último pagamento. Durante o período de carência, a quota de amortização é 0, de forma que a prestação é composta apenas pelo juro do período. Em cada período, o juro corresponde a 5% da dívida. 5% 50.000 5 · 50.000 100 2.500 í O valor total pago pelas três primeiras prestações é igual a: 3 · 2.500 7.500 . Letra C 23. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os 5 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: (A) R$ 525,68. (B) R$ 545,34. (C) R$ 568,24. (D) R$ 576,19. (E) R$ 605,00. Resolução 1.000,00 1 2 X X 0 Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o futuro devemos multiplicar o seu valor por 1 . A equação da equivalência fica: · 1 1,1 · 1.000 · 1 1.000 · 1 2,1 · 0,10 1.210 576,19 Letra D 24. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo comprou um título perpétuo que paga R$ 500,00 por semestre. Sabendo que a taxa de juros anual, juros compostos, é de 21%, o valor presente desse título é: (A) R$ 4.761,90. (B) R$ 5.000,00. (C) R$ 6.857,25. (D) R$ 7.500,00. (E) R$ 25.000,00. Resolução Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como 6 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Onde A é o valor da perpetuidade. Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um semestre é composto por 2 trimestres, 1 1 1,21 1 1 1,1 0,10 Dessa forma, o valor presente é dado por 500 0,1 5.000,00 Letra B 25. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de: (A) R$ 14.000,00. (B) R$ 14.147,53. (C) R$ 14.198,84. (D) R$ 14.213,05. (E) R$ 14.322,01. Resolução A próxima prestação é composta pelo juro e pela quota de amortização. O juro pago na próxima prestação é igual a: 2% $ 14.696,13 0,02 · 14.696,13 293,92 Como a parcela é constante e igual a R$ 777,00, então a quota de amortização é igual a: 777,00 293,92 483,08 O saldo devedor ao final do 12º mês era de R$ 14.696,13 e com o pagamento da próxima prestação foram amortizados R$ 483,08. Assim, o saldo devedor após este pagamento será de: 14.696,13 483,08 14.213,05 Letra D 7 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES 26. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes tipos de desconto simples analise as afirmativas a seguir: I. O desconto racional (por dentro), no regime de capitalização simples, é dado pela diferença entre o valor futuro e o valor presente. II. O desconto comercial (por fora), no regime de capitalização simples, é dado pela relação D = VF*d*n, no qual VF é o valor futuro, d é a taxa de desconto por período e n é o número de períodos de desconto. III. o desconto bancário é o contrato pelo qual o banco (descontador) antecipa ao cliente (descontário) o valor de um crédito. Assinale: (A) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. (B) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (C) se somente a afirmativa III estiver correta. (D) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. (E) se todas as afirmativas estiverem corretas. Resolução I. II. III. Verdadeiro. Esse fato é verdade para todos os tipos de desconto. Verdadeiro. A taxa no desconto comercial simples incide sobre o valor nominal (valor futuro). Verdadeiro. Letra E 27. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 20%. Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros aparente é: (A) 12%. (B) 22%. (C) 28%. (D) 30%. (E) 32%. Para facilitar o processo mnemônico, chamarei de: A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real É válida a seguinte relação: · 0,10 0,20 0,32 0,10 · 0,20 32% 8 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Letra E 28. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um título com três anos até o vencimento tem valor futuro de R$ 10.000,00. Sabendo-se que um banco apresenta uma taxa de desconto composto comercial de 50% ao ano, o valor presente desse título é: (A) R$ 1.250,00. (B) R$ 2.000,00. (C) R$ 3.333,33. (D) R$ 4.000,00. (E) R$ 5.000,00. Resolução Tem-se a seguinte relação no desconto composto comercial: · 1 10.000 · 1 0,5 1.250,00 Letra A Um abraço e até o próximo ponto! Guilherme Neves [email protected] 9 www.pontodosconcursos.com.br