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MATEMÁTICA - SOLUÇÃO DO SIMULADO 02
S o l u ç ã o
d o
s i m u l a d o
02
Questão 1
Preço do objeto à vista → x
1,25.(1,25x – 180) = 200
Após 1 mês → 1,25x
saldo devedor
Saldo devedor depois da 1ª parcela → 1,25x – 180
200
Sabendo-se que a 2ª parcela acrescida de 25% sobre o saldo devedor é 1,25x – 180 =
1 ,25
igual a 200, temos que:
1,25x – 180 = 160
1,25x = 340 → x = 272
Resposta: O preço à vista foi de R$272,00
OUTRA SOLUÇÃO
Retira-se os juros de 200 →
200
= 160
1 ,25
Depois retira-se os juros do que se deve →
160 + 180
= 272
1 ,25
Questão 2
2k
Se A possui k elementos, então A possui
subconjuntos (incluindo o conjunto vazio que é subconjunto de qualquer
k
conjunto). Logo A terá 2 – 1 subconjuntos não vazios. Daí:
2 k – 1 = 63 → 2 k = 64 → 2 k = 2 6 → k = 6
Resposta: A possui 6 elementos
Questão 3
Todo triângulo retângulo é inscritível em um círculo cujo diâmetro será sempre a hipotenusa.
Donde concluímos que a mediana relativa a hipotenusa é igual a metade da hipotenusa (ver figura).
Seja A M̂ B = 40 0 , AM a mediana e α e θ os ângulos agudos.
A
AM = BM = MC = raio
Daí os triângulos ABM e AMC são isósceles.
θ
α
2 θ + 40 0 = 180 0 → θ = 70 0
α + θ = 90 0 → α + 70 0 = 90 0 → α = 20 0
θ
B
40 0
r
O
r
Resposta: θ - α = 50 0 ou α - θ = -50 0
α
M
r
C
y
Questão 4
Equação de s: y = ax + b
Equação de r: y = mx + n
Como s ⊥ r → a.m = -1
A reta s passa por P 1 (0, 3) e P 2 (-3, 0), como mostra a figura.
∆y
0 −3
s
a=
=
= 1 → y = x + b. Substituindo P 1 (0, 3)
∆x
− 3 −0
teremos: 3 = 0 + b → b = 3 → y = x + 3
A reta r tem coeficiente angular m e passa por P → 1.m = -1 → m = -1.
Cálculo das coordenadas de P → P(-1, y) → em s temos: y = -1 + 3 → y = 2 → P(-1, 2)
Equação de r: y = -x + n → . Substituindo P(-1, 2), teremos: 2 = -(-1) + n → n = 1
P1
P
P2
-1
O
x
r
Resposta: y = -x + 1 ou x + y – 1 = 0
Questão 5
Seja x o número de dias
Se não choveu 6 manhãs, então choveu x – 6 manhãs
Se não choveu 3 tardes, então choveu x – 3 tardes
Como choveu pela manhã ou pela
tarde, temos:
x–6+x–3=5
x=7
Resposta: A viagem durou 7 dias. Opção b
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MATEMÁTICA - SOLUÇÃO DO SIMULADO 02
OUTRA SOLUÇÃO
x + y = 5
→ x = 1 e y = 4 → o número de dias será:

6 + x = y + 3
M a nhà
6
6 + x = y + 3 = 7 dias
Questão 6
x+
1
x = 6 → 3x + x = 18 → 4x = 18 → 4h30min
3
C h u va
x
y
Ta rd e
3
6h
x( g ra v o u )
re st a
1
x
3
Resposta: já se gravou 4h30min
Questão 7
Como existem letras repetidas, usaremos permutação com repetição.
8!
8.7.6.5.4.3.2
=
= 10080
Começando por O → P82 ,2 =
2!.2!
4
8!
8.7.6.5.4.3!
=
= 3360
Começando por A → P83 ,2 =
3!.2!
3!.2
8!
8.7.6.5.4.3!
=
= 3360
Começando por I → P83 ,2 =
3!.2!
3!.2
O número embaixo representa o total de letras e os números de cima representam o número de repetição das letras repetidas. Total → 10080 + 3360 + 3360 = 16800
Resposta: 16800 anagramas
A
Questão 8
1
1
BM = MN = NC = .l =
3
3
l 3
3
AH =
=
2
2
O ∆ AMN é isósceles → AM = AN
1
1
MH = HN = .MN =
2
6
No ∆ AHN → AN 2 = AH
2
+ HN
3 1
28
7
7
+
=
=
=
4 36
36
9
3
2 7 1 1 +2 7
+ =
Perímetro =
3
3
3
AN =
2
l
B
= 1
1
M
H
N
Resposta: perímetro do ∆ AMN =
C
1 +2 7
3
Questão 9
Resposta: 3 unidades
a) Elemento a ij onde i = 2 e j = 3 → a 23 = 3
b) Material 1 → j = 1; tipo = i (1, 2 e 3)
5.a 11 + 4.a 21 + 2.a 31 = 5.5 + 4.0 + 2.4 = 33
Resposta: 33 unidades
Questão 10
Sejam as raízes x e 2x
b
Soma = 3x → - = 3x → b = -3ax (I)
a
c
= 2x 2 → c = 2ax 2 (II)
Produto = 2x 2 →
a
b
e substituindo em (II) → c
3a
2
b 
b2
2b 2

= 2a  −  → c = 2a 2 → c =
9a
 3a 
9a
2
2b = 9ac
Tirando x em (I) → x = -
Resposta: 2b 2 = 9ac (letra b)
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MATEMÁTICA - SOLUÇÃO DO SIMULADO 02
Questão 11
Para montar a divisão vamos completar e ordenar o dividendo:
x 4 + 0x 3 + px 2 + 0x + q
x2 + 2 x + 5
Para que o resto seja zero, temos que:
-x 4 - 2x 3 - 5 x2
x2 - 2x + (p –1)
10 – 2p + 2 = 0 e q – 5p + 5 = 0
p=6
q – 30 + 5 = 0
-2x 3 + (p – 5 )x 2 + 0x + q
q = 25
2x 3 + 4x 2 + 10x
Resposta:
p = 6 e q = 25 (letra D)
(p – 1 )x 2 +
10x
+ q
-( p – 1) x 2 – 2(p – 1 )x – 5(p – 1 )
1 0x – 2(p – 1) x + q - 5(p – 1)
RES TO
OUTRA SOLUÇÃO
Da divisão, temos que: dividendo D(x) = divisor d(x). quociente q(x) + resto r(x)
D(x) = x 4 + px 2 + q
d(x) = x 2 + 2x + 5
q(x) = ax 2 + bx + c
r(x) = 0
Note que q(x) é um polinômio geral de segundo grau porque D(x) é de quarto grau e d(x) é de segundo grau. Na divisão
dará um polinômio de segundo grau.
D(x) = (x 2 + 2x + 5).( ax 2 + bx + c) + 0
D(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + 2ax 3 + 2bx 2 + 2cx + 5ax 2 + 5bx + 5c
x 4 + px 2 + q = ax 4 + (b + 2a)x 3 + (c + 2b + 5a)x 2 + (2c + 5b)x + 5c
Da igualdade de polinômios teremos:
a = 1 b + 2a = 0
c + 2b + 5a = p
2c + 5b = 0
5c = q
b + 2.1 = 0
c + 2(-2) + 5.1 = p
2c + 5(-2) = 0
5.5 = q
2c – 10 = 0 → c = 5
b = -2
5–4+5=p→p=6
q = 25
Questão 12
A área (S) de um retângulo é igual a base x altura. A altura será o valor de y.
Retângulo D
Retângulo C
Retângulo A
Retângulo E
log 5
y = 3 + log 1/2 4
y = 3 + log 1/2 3
y = 3 + log 1/2 1
y = 3 +log 1/2 5= 3 +
log 3
y=3+0=3
log 1 / 2
y = 3 + 2log 1/2 2
y=3+
1
3
y = 3 + 2(-1)
log( 10 / 2 )
log 1 / 2
S = .3 =
y=3+
y
=
3
–
2
=
1
2
2
log 3
0 ,477
− log 2
=3y=3+
S
=
1.1
=
1
− log 2
0 ,301
log 10 − log 2
y=3+
Retângulo B
426
− log 2
y=
y = 3 + log 1/2 2
301
1 − 0301 204
y=3+
=
y=3-1=2
426 426
− 0 ,301 301
=
S
=
1.
S = 1.2 = 2
301 301
204
204
S = 1.
=
301
301
3
426
204
Resposta: S A = u.a. ; S B = 2u.a. ; S C =
u.a. ; S D = 1u.a. ; S E =
u.a.
2
301
301
Questão 13
a) l 6 = raio = 4cm
x 2 + 2 2 = 4 2 → x 2 = 16 – 4 → x 2 = 12 → x = 2 3 cm ou
4
x
4
2
l 3
3
(altura do triângulo eqüilátero) → x = 4.
= 2 3 cm
4
x é o a p ó t e m aResposta: 2 3 cm
2
2
b) Área (A) = área do hexágono regular (A hex ) – 2.área do setor circular de 120 0 (A SC )
x=
A hex = 6.
A SC
l
2
3
3l
2
3
2
=
3.4 2 3
= 24 3
2
120
1
16 π
16 π
72 3 − 32 π 2
=
πR2 = π42 =
A = 24 3 =
cm
360
3
3
3
3
4
(área do triângulo eqüilátero) =
57
Resposta:
72 3 − 32π 2
cm
3
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Questão 14
y + x 2 = 0 → y = -x 2 → é uma parábola
x 2 y2
y 2 –x 2 + 1 = 0 → x 2 – y 2 = 1 → é uma hipérbole com a = 1 e b = 1 → 2 − 2 = 1 (equação da hipérbole)
a
b
y – 2x = 0 → y = 2x → é uma reta
Resposta: letra e
Questão 15
m = a + bi
n = -a + bi
p = -a – bi
q = a – bi → m + n + p + q = 0
Resposta: letra b
Questão 16
π/ 2
s+
c+
Analisamos no círculo o sinal do seno e do coseno.
1
sen2x = 2senx.cosx
sen 2 x - 2senx.cosx + cos 2 x =
2
2
sen x + cos x = 1
9
1
1
(senx – cosx) 2 =
1
8
3
-2senx.cosx =
- 1 → 2senx.cosx =
9
9
0
Resposta:
Questão 17
4
4
Volume de uma bola de gude = π R 3 → raio = 1cm → V = π cm 3
3
3
4
Volume de 60 bolas → V = 60. π = 80 π cm 3 = 80.3,14 = 251,2cm 3
3
3
3
1dm = 1000cm = 1l = 1000ml → 251,2cm 3 = 251,2ml
Volume da água = 300ml – 251,2ml = 48,8ml
Resposta: 48,8ml
Questão 18
Seja x o número a ser somado ao numerador e ao denominador, então:
2 + x 12 2
2 +x 4
= . →
= → 5(2 + x) = 4(3 + x) → x = 2
3 + x 10 3
3+x 5
aumento de 20%
Resposta: letra b
Questão 19
→
→
→
→
→
→
RS + SO = RO → RS = RO − SO →
De
* e ** , temos
*
→
r r
RS = u − v → Como l 6 = raio →
→
r r
PT = 2( u − v )
**
→
→
PT = 2 RS
Resposta: letra b
Questão 20
82
Massa = 8g → Valor = = R$64,00
Pedaços partidos → xg e (8 – x)g → Seu novo valor será V = x 2 + (8 – x) 2 = 2x 2 –16x + 64
Para o prejuízo ser o maior possível, seu valor terá de ser mínimo (y do vértice = y v )
b
16
y v é mínimo para x v (x do vértice) mínimo → x v = =
=4
2a
4
Substituindo em V → V = 32 – 64 + 64 = 32
Valor original → 64
32
Valor atual → 32 → Prejuízo de R$32,00, ou seja:
= 50%.
Resposta: letra c
64
58
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8
9