COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
Portal Professor / PRODUTO ESCALAR - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Vetores Perpendiculares
G
G
Dois vetores u e v são perpendiculares se a medida do ângulo entre eles for igual a 90º.
G
G
Exemplo: Dados u e v , verifique se eles são ou não vetores perpendiculares.
G
G
a) u = (2, 0) e v = (0, 5)
G
G
b) u = (1, 1) e v = (-3, 3)
Para esta verificação, sugerimos duas alternativas inicialmente:
1) Localizar os vetores no plano cartesiano e determinar a medida do ângulo entre eles através da Lei
dos Cossenos.
G G
2) Verificar a validade (ou não) do Teorema de Pitágoras determinando o triângulo formado por u , v e
G
G
u – v.
Vamos apresentar as duas formas de resolução:
a)
1) Pela representação no plano cartesiano, como os vetores estão sobre os
eixos coordenados, é fácil verificar que eles são perpendiculares.
G G
G
G
2) Se o triângulo formado por u , v e v – u for retângulo, então valerá o
Teorema de Pitágoras.
G G
v-u
2
G
G
G G
= 5, v – u = (-2, 5) e v - u =
G
v
G
u = 2,
?
=
G
u
2
+
G
v
2
29 .
.
29 = 4 + 25? Sim. Logo, os vetores são perpendiculares.
G
b) u =
2,
G
v
G
G
G G
= 3 2 , v – u = (-4, 2) e v - u = 2 5 .
(
) ( ) (
2
2
)
2
1) Pela Lei dos Cossenos, 2 5 = 2 + 3 2 - 2 2 . 3 2 cos θ ,
G
G
em que θ é o ângulo entre u e v .
20 = 2 + 18 – 12 cos θ → cos θ = 0 → θ = 90º.
G
G
G G
2) Se o triângulo formado por u , v e v – u for retângulo, então
valerá o Teorema de Pitágoras.
G G
v-u
2
?
=
G
u
2
+
G
v
2
.
20 = 2 + 18? Sim. Logo, os vetores são perpendiculares.
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G
G
Atividade 1: Dados u e v , verifique se os vetores são ou não perpendiculares.
G
G
u = (2, -2) e v = (-2, 2)
G
G
u = ( 3 , 1) e v = (-1, 3 )
G
G
u = (1, 3 ) e v = (0, 1)
a)
b)
c)
d)
e)
G
G
u = (-2, 0) e v = (2, 3)
G
G
u = (4, 0) e v = (7, -3)
G
Atividade 2: Utilize os vetores da atividade anterior e verifique a validade da relação a . c + b . d , onde u =
G
(a, b) e v = (c, d). O que você conclui para os vetores perpendiculares?
Produto Escalar
G
G
Dados dois vetores u = (a, b) e v = (c, d) , define-se o produto escalar desses vetores como segue:
G
G
u . v= a . c + b . d
O produto escalar, também chamado de produto interno, resulta em um número real.
Propriedades:
G
G
i) u . v =
G
G
ii) u . ( v +
G
G
v . u
G
G
G
G
G
w) = u . v + u . w
G
G
G 2
iii) u . u = u
G
G
G
G
≥0 e u . u
iv) u . u
= 0 ⇔
G
u = (0, 0)
G
G
G
G
G
G
Vamos apresentar aqui a demonstração da 1ª propriedade: u . v = v . u , se u = (a, b) e v = (c, d).
G
G
G
G
u . v = a . c + b . d = c .a + d . b = v . u .
As outras propriedades são demonstradas de forma análoga à primeira.
Outras relações:
G G
I) u + v
G G
II) u − v
2
G
G G
G
G G
G G
G G
G G
G
= (u + v ) . (u + v ) = u.u + u.v + v.u + v.v = u
2
G
G G
G
G G
G G
G G
G G
G
= (u − v ) . (u − v ) = u.u − u.v − v.u + v .v = u
2
2
G G
G
+ 2 u.v + v
2
G G
G
− 2 u.v + v
2
→
→
G G
u+ v
G G
u− v
2
G
= u
2
G
= u
2
2
G G
G
+ 2 u.v + v
G G
G
− 2 u.v + v
2
2
Interpretação Geométrica:
De acordo com a figura, como
partir
G G
u−v
G
G
u − v
2
=
G
u
2
G G
G
− 2 u.v + v
2
das
propriedades
do
produto
G 2
G 2
G G
= u
+ v − 2 u v cos θ
(Lei dos Cossenos),
G 2
G G
G 2
G 2
G 2
G G
escrever: u − 2 u.v + v = u
+ v − 2 u v cos θ .
G G
G G
Logo, − 2 u.v = − 2 u v cos θ .
G G
Então, conclui-se que u . v
=
2
G
v
G
v
G
v
escalar)
então
G
G
G
G
u . v . cos θ , em que θ é o ângulo formado entre os vetores u e v .
Observações:
G
Se u .
G
Se u .
G
Se u .
(relação obtida a
= 0 então os vetores são perpendiculares. ( θ = 90º e cos 90º = 0)
G
G
= u . v , então os vetores são paralelos. ( θ = 0º e cos 0º = 1)
G
G
= − u . v , então os vetores têm sentidos opostos. ( θ = 180º e cos 180º = − 1)
e
podemos