“Sem levantar o lápis”
Resposta:
Este problema é uma versão um pouco mais difícil de um clássico: “Como unir os nove pontos
da figura com quatro segmentos de reta sem nunca levantar o lápis?”
A forma como os pontos estão colocados leva-nos instintivamente a começar por tentar resolver
o problema traçando linhas horizontais e verticais, mas logo concluímos que por aí não vamos
lá. A segunda fase é passarmos as linhas inclinadas (traçando uma das diagonais, por exemplo),
mas também aqui os nossos esforços se mostram infrutíferos.
A questão que se põe é, então, passar a um nível diferente de abordagem do problema. O facto
de os pontos estarem dispostos em quadrados provoca em nós um certo constrangimento
inconsciente, levando a que não tracemos linhas que ultrapassem os limites do quadrado. É
preciso então transpor essa “barreira” fictícia e fazer com que os segmentos saiam para fora do
quadrado. A solução aparece rapidamente. No caso dos nove pontos, é a indicada na figura.
Para os dezasseis pontos, é ligeiramente mais difícil, mas agora chegamos lá facilmente. Uma
possibilidade é a indicada a seguir.
Esta questão de se conseguir sair do quadro restrito de um problema pode ser decisiva para se
descobrir a sua solução. Certas descobertas só foram possíveis justamente porque o
investigador conseguiu ultrapassar barreiras, muitas vezes mais psicológicas do que reais, e
abordou o problema num quadro mais lato.
Mas voltemos ao nosso problema dos nove pontos e tentemos ir mais longe. Como uni-los,
agora, só com três segmentos de reta e sem nunca levantar o lápis? Como, quando se
apresenta o problema, os pontos desenhados não são pontos ideais e portanto têm uma certa
dimensão, é possível fazê-lo da forma indicada na figura.
Este tipo de “solução” desagrada muito a algumas pessoas (e provavelmente com razão).
Sentem-se defraudadas e acham que há uma certa batota em considerar os pontos como tendo
dimensão. Mas há quem contra-argumente dizendo que não existem pontos ideais e os “pontos”
reais têm todos dimensão.
Finalmente, façamos uma abordagem do problema de uma forma ainda diferente. Na geometria
que nos é habitual, a superfície em que trabalhamos é o plano. Quem primeiro a estudou a
fundo e a formalizou foi Euclides.
Mas existem outras geometrias, ditas não-euclidianas, onde a superfície de suporte pode não
ser o plano. É o que se passa, por exemplo, na “geometria esférica”. Aqui já não trabalhamos
sobre um plano, mas sim sobre a superfície de uma esfera. Claro que as regras passam a ser
diferentes. As “retas” deixam de ter o aspecto que conhecemos e são círculos máximos, como
os indicados na figura.
Na superfície da Terra, o equador e os meridianos são “retas” e uma das aplicações imediatas
desta geometria esférica é a escolha das rotas dos aviões.
Ora, passando para as geometrias não-euclidianas, pode-se colocar um novo problema: em que
superfície será possível unir os nove pontos com um único “segmento de reta”?
Temos de passar para a geometria cilíndrica. Aqui trabalhamos sobre a superfície de um
cilindro. As “retas” podem ter aspectos diversos, como as três que se mostram na figura.
A maneira de colocar os nove pontos de modo a poderem ser todos unidos com um só
segmento de reta é indicada na figura.