GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS
Nos primórdios da existência humana, as primeiras necessidades ligadas à
sobrevivência, tais como a agricultura, a caça, a pesca e a construção das
habitações, suscitaram a pesquisa no campo da matemática e da geometria.
Todo o conhecimento era construído sem registro formal até que a civilização
grega apresentou Euclides (330 a.C), que publicou na obra OS ELEMENTOS,
uma primeira formalização axiomática. Sua obra tinha 5 postulados básicos:
►Dois pontos distintos definem uma reta.
►Três pontos não colineares ( não pertencentes à mesma reta) definem um
plano.
►Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano então essa reta está
contida no plano.
►A intersecção de dois planos concorrentes é uma reta
►Por um ponto exterior a uma reta passa uma e só uma reta paralela à reta
dada.
A geometria de Euclides pressupõe um universo plano, uma vez que se
consolida axiomaticamente no plano. É um modelo adequado para contextos
limitados distancialmente, ou seja, um segmento de reta representado sobre a
superfície da terra perde seu valor conceitual se tiver medida astronômica. Para
medidas pequenas, um retângulo sobre a superfície da Terra é praticamente
uma figura plana. O problema então é a concepção de um modelo para os
espaços não planos. O princípio euclidiano segundo o qual duas paralelas não
se interceptam cai por terra se considerarmos a superfície da terra; nela, dois
meridianos, que são retas paralelas se encontram nos polos. Em função desses
espaços, surgiu, então, as geometrias não euclidianas.
Todo o progresso feito neste campo deve-se essencialmente a quatro
homens: Johan Carl Friedrich Gauss, János Bolyai, Nicolai Ivanovich
Lobachevski e finalmente Georg Friedrich Bernhard Riemann.
Gauss, nascido em 1777, foi um dos maiores matemáticos da sua época.
Já aos sete anos demonstrou o seu potencial matemático quando quase
instantaneamente respondeu aos seus professores que a soma dos números
inteiros de 1 a 100 não era mais do que a soma de cinquenta pares de números
(sendo que a soma dos números de cada par resultava sempre em 101). No
início de 1800 despertou-se o seu interesse pelo estudo de geometrias não
euclidianas, sendo que nunca chegou a publicar as suas ideias sob a forma de
artigo apercebendo-se das agressivas reacções que o esperavam se o fizesse.
Publicou vários artigos sobre a chamada geometria diferencial. Famoso ficou o
seu “teorema egregium” ou ainda a curvatura gaussiana. Gauss morre em 1855.
O mais esquecido dos quatro, e não menor, Bolyai, tendo seu pai
matemático como professor, foi uma criança prodígio. Nascido em 1802, em
1832 Bolyai publicou os resultados da sua pesquisa sobre geometrias não
euclidianas como anexo a um trabalho volumoso de seu pai, Farkas Bolyai.
Bolyai morre em 1860 e nem uma das suas vinte mil páginas de manuscritos
foi publicada.
Lobachevski era um dos três filhos de uma família russa muito pobre.
Financiado por bolsas escolares, estudou na universidade sob a atenção de
Martin Bartels, amigo e correspondente de Gauss. Em 1829 publicou o seu
trabalho “Sobre os Fundamentos da Geometria”, mas o seu interesse pela
geometria não euclidiana apenas lhe valeu o desrespeito dos seus compatriotas
e todos os seus alunos o abandonaram no dia do seu funeral, em 1856.
Foi Riemann quem voltou a avançar com estes novos pensamentos.
Nascido em 1826, para obter a posição de professor assistente da universidade
de Göttingen, deu uma palestra “Sobre as Hipóteses subjacentes aos
fundamentos da Geometria”. Esse trabalho foi um sucesso e Gauss preocupouse em felicitá-lo pessoalmente. Aparentemente Riemann não sabia nada sobre
os trabalhos de Lobachevski e Bolyai e tinha somente uma vaga ideia do
interesse de Gauss pelo assunto. Esse trabalho de Riemann introduz um
conceito totalmente original até então: a variedade multidimensional, ou seja,
objectos geométricos com múltiplas dimensões.
Estas novas teorias funcionam portanto em espaços curvos, se a curvatura
for positiva estamos à superfície de uma esfera, se negativa à superfície de uma
hiperbolóide. Para melhor compreender a verdadeira diferença na concepção
espacial entre as duas geometrias há um exemplo muito prático. Num planeta
habitado por seres planos, bidimensionais e sem a noção de altura, estes
determinam o caminho mais rápido entre dois pontos por uma linha que una os
mesmos dois pontos. Ao olho dessas criaturas que viajam entre dois pontos, a
linha que seguem aparenta ser reta à medida que ao seu longo se deslocam: de
fato a sua direção de chegada ou de partida tem um ângulo nulo à linha que
seguem, em qualquer ponto da sua viagem. Dai o facto de a geometria
euclidiana ser aplicável localmente.
Agora, seguindo a definição aqui introduzida, é fácil compreender que ao
mover-se ao longo das retas traçadas na superfície esférica, estas criaturas
bidimensionais regressam sempre ao seu ponto de partida e, sobretudo, que
todas estas linhas retas se interceptam. Riemann chamou a estes percursos mais
curtos entre dois pontos numa superfície esférica de geodésicas.
Outro exemplo bem significativo da novidade introduzida é o caso do
triângulo, cujos soma dos ângulos internos, na geometria euclidiana resulta
sempre em 180° e cujo comportamento se altera significativamente segundo as
novas concepções. Numa superfície de curvatura positiva, a soma dos ângulos
internos de um triângulo supera sempre os 180° de Euclides (podemos assim
conceber um triangulo cujos ângulos interiores representam cada um 90°), e
numa superfície de curvatura negativa essa soma será sempre inferior a 180°.
Estas novas definições abrem portas para a criação de uma infinidade de
novos espaços. No entanto apenas os dois já apresentados – a superfície
hiperbólica, descoberta através dos trabalhos de Gauss, Bolyai e Lobachevski,
e a superfície esférica descoberta por Riemann – se podem pôr lado-a-lado com
o sistema euclidiano por conferirem as mesmas características. Temos de
entender que Euclides dotou a sua geometria de uma uniformidade notável.
Quer-se com isto dizer que a sua proposta é ao mesmo tempo homogénea –
cujas propriedades não se alteram em qualquer local definido no seu espaço – e
isotrópica – cujas propriedades não se alteram conforme a direção em que são
consideradas.
1.
O nascimento das geometrias não euclidianas deve-se portanto à
posta em questão de uma geometria que até então se tinha quedado como
quase universalmente aceita. Não se deve, no entanto, esquecer que já
anteriormente Leonardo Da Vinci havia desconfiado da formulação de
perspectiva de Brunelleschi, pois esta não tinha em conta objectos
observados muito próximo do olho, dando assim origem à chamada
perspectiva atmosférica, que tinha como resultado uma perda de nitidez ao
nível da silhueta do objecto representado, à medida que este se afasta do
observador. (dardna.com/ldc/geometria/geometrias-nao-euclidiana)