1
1.
TESTES DE HIPÓTESES
Avaliam afirmações sobre os valores de parâmetros populacionais.
Os testes representam uma regra de decisão que permite aceitar ou rejeitar uma hipótese questionada, decisão
esta que é tomada em função de valores obtidos numa amostra.
Temos 2 hipóteses iniciais:
1)
Hipótese nula (H0): é aquela que será testada; é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal
como especificado (afirmação verdadeira).
2)
Hipótese alternativa (H1): é qualquer hipótese diferente da hipótese nula, isto é, é aquela que será aceita
caso o teste indique que H0 deva ser rejeitada, aceitando esta hipótese conclui-se que a diferença é
significativa.
Tipos de Erros
Erro do Tipo I : é aquele que se comete ao rejeitar uma hipótese que é correta, a probabilidade desse erro é
 (nível de significância do teste).
Erro do Tipo II: é aquele que se comete ao aceitar uma hipótese que é incorreta; a probabilidade desse erro
é simbolizada por .
Realidade
Decisão 
H0 Verdadeiro
.
H0 Falso
Aceitar H0
Decisão correta (prob = 1 - )
Erro Tipo II
Rejeitar H0
Erro Tipo I
Decisão correta (prob = 1 - )
(prob = 
)
(prob = )
Obs.: A decisão sempre será em relação a Ho.
Nível de Significância
 = 1%  Teste altamente significativo
 = 5%  Teste provavelmente significativo
 = 10%  Teste empiricamente significativo
Obs.: Usa-se a Tabela Z quando se tem amostra maior do que 25 e usa-se a Tabela t quando se tem um tamanho
de amostra igual ou menor do que 25 (alguns autores consideram 30 ao invés de 25).
1.1.
ROTEIRO PARA TESTES DE SIGNIFICÂNCIA (ESPECIFICAÇÃO DE )
1 – ENUNCIAR HIPÓTESES: H0 E H1
2 – DETERMINAR  E IDENTIFICAR A VARIÁVEL DO TESTE (Z , t)
3 – TIPO DE TESTE: (BILATERAL =  /2)
OU UNILATERAL ()
4 – DETERMINAR REGIÃO CRÍTICA EM FUNÇÃO DA VARIÁVEL TABELADA (REGIÃO DE ACEITAÇÃO E REGIÃO
DE REJEIÇÃO)
Planejamento e Otimização de Experimentos
2
5 – CALCULAR O VALOR DA VARIÁVEL DO TESTE, OBTIDO NA AMOSTRA (Z ou t crítico)
6 – CONCLUSÃO: ACEITAR OU REJEITAR H0
1.2.
TESTES PARA MÉDIA
H0 :  = 0
H1 :   0
(PARA UNILATERAIS : H1 :  > 0
OU
H1 :  < 0 )
Variáveis de Teste:
 PARA  (DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL) CONHECIDO:
z 
x 

0
n
 PARA  (DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL) DESCONHECIDO:
x  0
s
n
t 
Exemplo 1
O desvio padrão de uma população é conhecido e igual a 42. Numa amostra de 35 elementos dessa população obtevese uma média de 325,8. Pode-se afirmar que a média dessa população é superior a 300, ao nível de significância de 5%?

H0 :  = 0
H1 :  > 0
Z de 0,05 na tabela (Distr. Normal reduzida) =1,65
z 
x  0

n
z
325,8  300
42
35
0
=42
n = 35
x
> 300
= 325,8
z  3,63
Conclusão: O valor de 3,63 é bem maior do que 1,65, portanto, aceita-se H1. Ou seja, a média da população é maior do
que 300.
Exemplo 2
Em uma linha de produção opera-se com uma média de preenchimento de 980 ml por recipiente. O sobrepreenchimento
causa prejuízos à empresa, ao passo que o subpreenchimento causará problemas com a fiscalização. Portanto, em cada
uma das situações a linha de produção deve ser paralisada para calibragem. De dados passados sabe-se que o desvio
padrão é de 9 ml. A retirada de 30 amostras aponta uma média de 976,5 ml. Pergunta-se: diante dessa situação,
considerando um nível de significância de 2,5%, a linha deve ser paralisada para efetuar a calibragem?

H0 :  = 0
H1 : 

0
Z na tabela (Distr. Normal reduzida) = para 0,025 = (-1,96;1,96)
0
= 9 ml ;
n = 30 ;
Planejamento e Otimização de Experimentos
x
= 980 ml
= 976,5 ml
3
z 
x  0

z
n
z  2,13
976 ,5  980
9
30
Conclusão: O valor de -2,13 é menor do que -1,96, portanto, está na área de H1. Ou seja, a média da população está
abaixo da região crítica e a linha precisa ser recalibrada, pois se permanecer assim haverá problemas com a fiscalização.
Exemplo 3
Uma agência de empregos alega que os candidatos por ela colocados nos últimos 6 meses tem salários de $ 9.000
anuais, em média. Uma agência governamental extraiu uma amostra aleatória de um grupo, encontrando um salário
médio de $ 8.000, com desvio padrão de $ 1.000, com base de 50 empregados. Testar a hipótese da agência contra a
alternativa de que o salário médio é inferior a $ 9.000 ao nível de significância de 10% ?
H0 :  = 0
H1 :  < 0
Z na tabela (Distr. Normal reduzida) =-1,28
z 
x  0

z
n
s = $ 1.000
0 = $ 9.000
n = 50
x
= $ 8.000
z  7,07
8000  9000
1000
50
Conclusão: O valor de -7,07 é bem menor do que -1,28, portanto, aceita-se H1. Ou seja, a média do salário é menor do
que os $ 9.000 que a agência afirma.
Exemplo 4 – Distribuição de Student
Uma amostra aleatória de alunos do curso de Engenharia aponta as seguintes médias finais em determinada Disciplina:
2,8; 3,7; 6,4; 3,2; 4,1; 4,4; 4,3; 4,6; 5,2 e 3,9. O professor da Disciplina afirma que a média da população (de seus alunos)
é superior a 4,0. Teste essa hipótese para  = 5%.
H0 :  = 0
H1 :  > 0
t na tabela = 1,8331
s = 1,02 (calculado)
n = 10
x
0 = 4,0
= 4,26 (calculada)
Como é uma amostra pequena torna-se necessário usar a tabela “t”.
Assim, graus de liberdade (GL) = n – 1 = 9 e  = 5%.
Na tabela “t” ou Student encontra-se o valor de 1,8331.
t 
x  0
s
n
t 
4,26  4,0
1,02
10
t  0,81
Conclusão: O professor não pode afirmar com 95% de confiança que a nota de seus alunos é superior a 4,0, pois o valor
de 0,81 está dentro da área de H0.
Planejamento e Otimização de Experimentos
4
1.3.
TESTES PARA PROPORÇÃO
H0 : = 0
H1 :   0
(PARA UNILATERAIS : H1 :  > 0
OU
z
VARIÁVEIS DE TESTE: 
H1 :  < 0
p 0
 o (1   o )
n
Onde:
- p é a proporção da amostra;
-
o
é a proporção da população e
- n é o tamanho da amostra
Obs.: Nos testes para proporção usa-se sempre a Tabela Z (Normal Reduzida).
Exemplo 1
Um jogador de basquete tem um sucesso de 60% nos arremessos de 3 pontos. Em um treino de 100 arremessos ele
acertou 70. É possível aceitar a hipótese de que ele está melhorando a pontaria para  = 0,05
H0 : p =  o
p = 70/100 = 0,7
H1 : p >  o
o
Z na tabela (Distr. Normal Reduzida) =1,65
n = 100
z
p 0
 o (1   o )
n
z
0,7  0,6
0,6(1  0,6)
100
= 0,6
z  2,04
Conclusão: Como 2,04 é maior do que 1,65, aceita-se a H1. Ou seja, ao nível de 5% de significância o jogador está
melhorando a sua performance.
EXERCÍCIOS:
1) Uma empresa produz barras com especificações de 115 cm e desvio padrão de 2,5cm. Todo o mês é retirado uma
amostra de 20 barras para se testar a média. O último valor obtido apresentou média de 116 cm. Verificar se é possível
aceitar que a média continue sendo a mesma para um nível de significância de 5%?
2) Um jornal afirma que aproximadamente 15% dos adultos em sua área de circulação são analfabetos segundo os
padrões governamentais. Teste essa afirmação contra a alternativa de que a verdadeira percentagem populacional não é
15%, e use a probabilidade de 5%. Uma amostra de 740 pessoas indica que apenas 10% seriam considerados
analfabetos segundo os mesmos padrões.
Planejamento e Otimização de Experimentos
5
2.
TESTE DO QUI-QUADRADO (  )
2
Este teste tem o objetivo de verificar se há diferenças entre vários parâmetros com diversas respostas.
Ex: (DOWNING e CLARK – adaptado) O órgão do governo responsável pelas pesquisas sobre remédios fez uma
pesquisa com 495 voluntários para testar 4 antigripais e verificar as diferenças e sua eficácia. Os resultados estão na
tabela abaixo.
Remédio 1
Remédio 2
Remédio 3
Remédio 4
Total
15
26
9
14
64
Ficaram imunes
111
107
96
117
431
Total
126
133
105
131
495
Quantos resfriaram
Esta é uma tabela de contingência com duas linhas e quatro colunas contendo oito células.
Elabora-se então uma tabela contendo as frações correspondentes a cada célula. Os que resfriaram representam 0,129
do total (64/495) e os que ficaram imunes representam 0,871 (431/495).
Remédio 1
Remédio 2
Remédio 3
Remédio 4
15
26
9
14
16,254
17,157
13,545
16,899
111
107
96
117
109,746
115,843
91,455
114,101
Quantos resfriaram
Efetivo (f1)
Previsto (f1*)
Ficaram imunes
Efetivo (f1)
Previsto (f1*)
n
Estatística teste:
s
i 1
( f i  f i *) 2
fi *
s
s
ou seja:
( f  f n *) 2
( f1  f1 *) 2
( f  f 2 *) 2
 2
 ...  n
f1 *
f2 *
fn *
(15  16,254 ) 2 ( 26  17,157 ) 2 (9  13,545 ) 2 (14  16,899 ) 2




16,254
17,157
13,545
16,899

(111  109 ,746 ) 2 (107  115,843) 2 (96  91,455) 2 (117  114 ,101) 2



 7,666
109 ,746
115,843
91,455
114 ,101
O número de Graus de Liberdade é: GL=(nº de linhas – 1) X (nº de colunas – 1)
Portanto, neste caso: GL = (2 – 1) X (4 – 1) = 3
Na tabela do qui-quadrado procura-se
 32 ,
se considerarmos a hipótese de 5% para o teste procura-se na
coluna do 0,95 com a linha 3 e encontra-se o valor de 7,815.
Isso significa que, se 7,666 é inferior a 7,815 pode-se concluir que não há diferenças significativas entre os
remédios. No entanto, pelo fato dos valores estarem muito próximos, sugere-se o aprofundamento dos estudos.
Planejamento e Otimização de Experimentos
6
Exercícios
1. (MORETTIN, L.G, 2011) Testar a hipótese, ao nível de 5%, de que não há relação entre o nível educacional e o êxito
no casamento
Ajustamento no casal
Muito baixo
Baixo
Alto
Muito alto
Universitário
18
29
70
115
Ensino médio
17
28
30
41
Ensino fundamental
11
10
11
20
Nível educacional
2. (MORETTIN, L.G, 2011) Testar ao nível de 5% que a relação entre o aproveitamento dos alunos em física é
independente de matemática.
Matemática
Grau alto
Grau médio
Grau baixo
Grau alto
56
71
12
Grau médio
47
163
38
Grau baixo
14
42
85
Física
Planejamento e Otimização de Experimentos
7
4 TABELAS ESTATÍSTICAS
Planejamento e Otimização de Experimentos
8
Tabela de Distribuição Normal reduzida
Planejamento e Otimização de Experimentos
9
Área numa cauda (
Área em 2 caudas
Graus liberdade
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

Valores de t para Probabilidades escolhidas
Probabilidades
(ou área sob a curva da distribuição t)
0,10
0,05
0,025
0,20
0,10
0,05
Valores de t
3,078
6,314
12,706
1,886
2,920
4,303
1,638
2,353
3,182
1,533
2,132
2,776
1,476
2,015
2,571
1,440
1,943
2,447
1,415
1,895
2,365
1,397
1,860
2,306
1,383
1,833
2,262
1,372
1,812
2,228
1,363
1,796
2,201
1,356
1,782
2,179
1,350
1,771
2,160
1,345
1,761
2,145
1,341
1,753
2,131
1,337
1,746
2,120
1,333
1,740
2,110
1,330
1,734
2,101
1,328
1,729
2,093
1,325
1,725
2,086
1,323
1,721
2,080
1,321
1,717
2,074
1,319
1,714
2,069
1,318
1,711
2,064
1,316
1,708
2,060
1,315
1,706
2,056
1,314
1,703
2,052
1,313
1,701
2,048
1,311
1,699
2,045
1,310
1,697
2,042
1,303
1,684
2,021
1,296
1,671
2,000
1,289
1,658
1,980
1,282
1,645
1,960
Planejamento e Otimização de Experimentos
0,01
0,02
0,005
0,01
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,390
2,358
2,326
63,656
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,660
2,617
2,576
10
Planejamento e Otimização de Experimentos