17
1.10 Sistemas de coordenadas cartesianas
Definição 1: Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um
r r r
conjunto formado por um ponto O e uma base {v1 , v 2 , v 3 }.
Indicamos um sistema de coordenadas cartesianas no espaço por
{O, vr 1 , vr 2 , vr 3 } .
O ponto O é chamado origem do sistema e os eixos que passam por O e
r r
r
tem as direções de v 1 , v 2 e v 3 , respectivamente, são chamados de eixo
das abscissas, eixo das ordenadas e eixo das cotas.
r r r
Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas {O, v1 , v 2 , v 3 } e
seja P um ponto arbitrário do espaço. Chamamos coordenadas do ponto
→
r r r
P em relação ao sistema {O, v 1 , v 2 , v 3 } , as coordenadas do vetor OP ,
→
ou seja, se OP = (a 1 , a 2 , a 3 ) , então P(a 1 , a 2 , a 3 ) . Os números
a 1 , a 2 , a 3 são denominados abscissa, ordenada e cota do ponto P,
respectivamente.
Exemplo 1:
Eixo das cotas
Na figura ao lado, temos:
→
1r
r
r
1. OP = v1 + 2v 2 + v 3 ,
2
→
1

1

ou seja, OP =  , 2 , 1 e daí, P , 2 , 1 .
2
2


→
1

1

2. OQ =  , 2 , 0  , daí, Q , 2 , 0  .
2

2

→
2
2


3. OR =  0, 0, −  , daí, R =  0, 0, −  .
3
3


→
4. OO = (0,0,0 ), daí O(0,0,0) .
P
r
v3
r
v2
O
R
r
v1
Eixo das abscissas
Q
Eixo das ordenadas
18
Propriedades:
r
r r r
Fixado um sistema de coordenadas {O, v1 , v 2 , v 3 } e dados v = (a , b, c) ,
P( x 1 , y1 , z 1 ) e Q(x 2 , y 2 , z 2 ) , temos as seguintes propriedades:
→
1. QP = ( x 1 − x 2 , y1 − y 2 , z1 − z 2 ) .
r
2. P + v = A ( x 1 + a , y1 + b, z1 + c) .
 x + x 2 y1 + y 2 z 1 + z 2 
3. O ponto médio de PQ é o ponto M 1
,
,
.
2
2
2


Prova:
1.
O
Para
demonstrarmos
esta
→
propriedade,
escrevemos o vetor QP como combinação
→
Q
→
P
linear dos vetores OQ e OP , ou seja,
→
→
→
QP = − OQ+ OP = (− x 2 ,− y 2 ,− z 2 ) + ( x 1 , y1 , z1 ) = ( x 1 − x 2 , y1 − y 2 , z1 − z 2 )
2. Utilizando a definição de soma de um ponto
→
r
com um vetor, temos que PA = v . Assim, o
→
→
O
→
vetor
OA = OP + PA = ( x 1 + a , y1 + b, z1 + c) .
Logo, A( x 1 + a , y1 + b, z1 + c) .
3.
Podemos
demonstrar
propriedade
→
→
→
→
1 →
escrevendo OM = OQ + QM = OQ + QP .
2
→
a
P
3
A
Q
M
P
→
Representando os vetores OQ e QP através de
suas coordenadas, obtemos:
→
1
OM = ( x 1 , y1 , z1 ) + ( x 1 − x 2 , y1 − y 2 , z1 − z 2 ) .
2
 x + x 2 y1 + y 2 z 1 + z 2 
Logo, M 1
,
,
.
2
2
2 

r
v
O
19
Exemplo 2:
Consideremos o paralelogramo ABCD, onde A(1,0,2) , B(1,−1,2) ,
C(0,2,−2) . Desejamos determinar as coordenadas dos vetores
→
→
AB e BC , do vértice D e do ponto médio de AB.
C
Aplicando
temos:
as
propriedades
anteriores
D
→
AB = (1 − 1, − 1 − 0, 2 − 2) = (0,−1,0) ,
B
→
BC = (−1,3,−4) ,
→
M
→
D = A + AD = A + BC = (0,3,−2) e o ponto
médio de AB é M(1, − 1 / 2, 2) .
A
20
CAPÍTULO II – PRODUTOS
2.1 Produto escalar
r r
Definição 1: Dados dois vetores u e v não
nulos, e escolhido um ponto O qualquer,
r
r
podemos escrever: A = O + u e B = O + v .
r r
Chamamos ângulo de u e v a medida do
B
r
v
r
u
∧
ângulo A O B determinado pelas semi-retas
OA e OB.
A
O
∧
r r
r r
Indicamos A O B = (u, v ) , onde 0 ≤ (u, v ) ≤ π .
r r
r r
Observemos que se (u, v) = 0 , os vetores u e v têm mesmo sentido e se
r r
(u, v) = π , estes vetores têm sentidos contrários.
r r
Definição 2: Sejam u e v vetores não nulos. O produto escalar de
r
r
r r
r r r r
r r
u por v , indicado por u ⋅ v , é o número real u ⋅ v = | u | | v | cos(u, v ) .
r r
Se um dos vetores for nulo temos u ⋅ v = 0 .
Exemplo 1
Considerando o quadrado seguinte, cujo lado mede 2u, temos:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
D
C
A
B
1) AB ⋅ BC = | AB | | BC | cos 90º = 0.
2) AB ⋅ AC = | AB | | AC | cos 45º = 2.2 2
3) AB ⋅ CD = | AB | | CD | cos 180º = −4.
2
= 4.
2
21
r
r
Definição 3: Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer.
r
u
r
v
r
r r
r
r
O vetor v se exprime de maneira única na forma v = v1 + v 2 , onde v1 é
r
r
r
paralelo a u e v 2 é ortogonal a u .
r
v 1 , de
Chamamos o vetor
r
r
r
projeção de v na direção de u .
r
v
v2
r
r r
u
Indicamos projur v = v1 .
r
v1
Interpretação geométrica do produto escalar
r
r
Se v é um vetor qualquer e u um vetor unitário, então
r
r r r r
r
r
r
r
v1 = proj ur v = ( v ⋅ u )u . De fato, como v1 // u , temos v1 = t u . Basta
r r
mostra que v ⋅ u = t . Para isso, consideremos os casos a seguir:
r
r r
u
(1)
Em (1) o ângulo θ = (u, v) é agudo. Nesse
B
r
r
r
caso, temos t > 0, e daí | v1 | = | t | | u | = t .
v
Por outro lado, como o triâmgulo ABC é
θ
retângulo em A, podemos escrever:
C
A
r
v1
r
r
r r
r r
t = | v1 | = | v | cosθ =| v | | u | cos θ = v ⋅ u .
r r
Em (2) o ângulo θ = (u, v) é obtuso.
Nesse caso, temos t < 0, e daí
r
r
| v1 | = | t | | u | = − t . Além disso, o ângulo
r r
(u, v) = π − θ . Considerando então o
triângulo retângulo EFG, temos:
(2)
r
u
r
v
θr
E
v1
r
r
r r
r r
r r
t = − | v1 | = − | v | cosθ = − | v | | u | cos θ =| v || u | cos( π − θ) = v ⋅ u .
G
F
22
r
r
r r r r
r r
Se 0 ≠| u |, temos projur v = proj r o v = ( v ⋅ u o )u o . Chamamos v ⋅ u o , a
u
r
r
medida algébrica da projeção de v na direção de u e indicamos
r
med alg projur v .
Exemplo 2:
r r
r r r
Dados u ≠ o , | v | = 6 e (u , v) = 60º , temos que :
1
r r r
r r
med alg projur v = v ⋅ u o =| v || u o | cos 60º = 6.1. = 3 .
2
r
r
Daí, projur v = 3u o .
Exemplo 3:
r r r
r r
Dados a ≠ o , | b | = 8 e ( a , b ) =120 ° , temos que :
r r r
r r
 1
med alg projar b = b ⋅ a ° =| b | | a ° | cos 120° = 8 ⋅ 1 ⋅  −  = −4
 2
r
r
Daí, projar b = −4a °
Propriedades do produto escalar
rr rr
1. v.u = u.v .
rr
2. u.v = 0 ⇔
rr
r
3. u.u = | u |2.
rr
4. t ( v.u ) = (t
r r r
5. u .( v + w ) =
r
r
u ⊥ v.
r r r r
v ). u = v (t u ).
rr r r
u.v + u.w .
r r
r
Nas propriedades acima, u , v e w são vetores quaisquer, e t é um
número real.
As quatro primeiras propriedades decorrem diretamente da definição do
produto escalar. Faremos a seguir a prova da propriedade 5.
23
A
Se um dos vetores for nulo, a
r
r r
v
verificação é imediata.
v+w
Consideremos, na figura ao
O
r r r
lado, os vetores u , v e w não
nulos e os pontos O, A, B e C
tais que:
r
r
r
A = O + v, B = A + w e C = O + u.
r
w
B
r
u
C
Inicialmente observamos que:
r r
r
r
med alg proj ur ( v + w ) = med alg proj ur v + med alg proj ur w .
r r r
rr
r r
Ou seja, ( v + w ). u° = v.u° + w.u° .
r r
r r
r r r
r r r
Daí, ( v + w ).(| u | u° ) = v .(| u | u° ) + w .(| u | u° ).
r r r rr
r r
Então, ( v + w ). u = v.u + w.u .
r r r
rr r r
Pela propriedade 1, temos: u .( v + w ) = u.v + u.w .
Expressão cartesiana do produto escalar
r r r
r
Fixada uma base ortonormal { i , j, k } e dados os vetores u = ( x 1 , y1 , z1 ) e
v
v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , temos:
r
r
r
r
r
r
r r
u ⋅ v = ( x 1 i + y1 j + z 1 k ) . ( x 2 i + y 2 j + z 2 k ) =
r r
r r
r r
r r
r r
r r
= ( x 1 x 2 ) i ⋅ i + ( x 1 y 2 ) i ⋅ j + ( x 1 z 2 ) i ⋅ k + ( y1 x 2 ) j ⋅ i + ( y1 y 2 ) j ⋅ j + ( y1 z 2 ) j ⋅ k +
r r
r r
r r
+ ( z 1 x 2 ) k ⋅ i + ( z 1 y 2 ) k ⋅ j + ( z1 z 2 ) k ⋅ k
r r r
Como { i , j, k } é uma base ortonormal, seus vetores satisfazem às relações:
r r r r r r
i ⋅ j = j⋅k = k⋅ i = 0 e
r r r r r r
i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1.
Assim, a expressão acima se reduz a:
r r
u ⋅ v = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
24
Observamos então que:
r
r r
r
1) | u | 2 = u ⋅ u = x 12 + y12 + z12 . Daí, | u |= x 1 2 + y 1 2 + z 1 2
r r
r r
2) u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = x 1 x 2 + y1 y 2 + z1z 2 = 0 , ou seja,
r r
u ⊥ v ⇔ x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0
Daqui em diante, o sistema considerado será o ortonormal, exceto quando
se explicitar o contrário.
Exemplo 4:
r
r
Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2) , temos:
r r
1) u ⋅ v = 2 + 0 + 4 = 6.
r
2) | u |= 1 + 4 + 4 = 9 = 3.
r
u 1
r
1 2 2
3) u° = r = (1,2,2) =  , , .
|u| 3
3 3 3
r r
u⋅v
6
2
r r
r r
=
4) cos(u, v) = r r =
, logo, (u, v) = 45°.
| u || v | 3.2 2
2
r
r r
r r
5) u ⊥ w , sendo w = (0,2,−2), pois u ⋅ w = 0.
r r r r 
 1 2 2   1 2 2 
6) projur v = ( v ⋅ u°)u° = (2,02) ⋅  , ,  , ,  =
 3 3 3   3 3 3 

1 2 2  2 4 4
= 2 , ,  =  , , 
3 3 3 3 3 3
r
7) med alg proj ur v = 2 .
25
Cossenos diretores de um vetor
r r r
Fixada uma base ortonormal { i , j, k }, chamamos cossenos diretores de
r
r r
um vetor v ≠ o , os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores
desta base.
r
r r
r r
r r
Considerando v = ( x, y, z), α = ( v, i ), β = ( v, j ), e γ = ( v, k ), temos:
r r
r r
r r
v⋅ j
y
v⋅ i
x
v⋅k
z
cos α = r r = r , cos β = r r = r
e cos γ = r r = r .
| v || i | | v |
| v || j | | v |
| v || k | | v |
r
v
r
r
Como v° = r , segue daí que , v° = (cos α , cos β, cos γ ) .
|v|
Daí, cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
r
Chamamos α , β e γ ângulo diretores de v .
Exemplo 5:
2
r r
r r
r r
Dados
cos(v, i ) = cos α =
, cos(v, j) = cos β = 0 , ( v, k)
2
r
| v | = 5 , temos:
1) cos 2 γ = 1 − cos 2 α − cos 2 β = 1 −
obtuso
1
1
2
− 0 = . Logo, cos γ = −
.
2
2
2
 2
2  5 2
5 2
r r r
=
.
−
2) v =| v | v° = 5
, 0 ,−
,
0
,

  2
2
2
2

 

e