Programa de Análise Linear e Dimensionamento de Treliças
Eduardo Ascenso Reis Ribeiro; Maurício Vitali Mendes¹; Medeiros G. C.²
¹ ² Grupo PET Estruturas – Universidade Católica de Brasília (UCB) – Curso de Graduação
em Engenharia Civil
Introdução
Uma das propostas do Programa de Educação Tutorial PET – Estruturas que vimos
participando na Universidade Católica de Brasília (UCB), é a preparação de mini-cursos para
serem ministrados aos demais alunos matriculados. O desenvolvimento dos minicursos de
Algorítmos e Programação, bem como de material de apoio de Teoria das Estruturas, nos
motivou a fazer um trabalho de pesquisa, aplicando as atividades anteriormente
desenvolvidas. Sendo assim, neste trabalho desenvolvemos um algoritmo para realizar
análise estrutural de treliças, utilizando os métodos de análise matricial e de estados limites.
O estudo de tensões e deformações está profundamente atrelado a praticamente todas as áreas
da engenharia. Define-se tensão como a razão entre uma carga aplicada e a área da seção
transversal do elemento que recebe a carga. Trata-se, portanto, da distribuição de forças sobre
determinada área (BEER el al., 2011). Quando uma peça de estrutura é tensionada, ocorrem
deformações, as quais também devem ser analisadas e determinadas em projeto.
Segundo Silva e Pannoni (2010), as deformações sofridas por um corpo ao ser submetido a
tensões, são caracterizadas pelo módulo de elasticidade e pela resistência mecânica. A
deformação implica em dois conceitos muito importantes para a análise estrutural, a saber,
elasticidade e plasticidade.
A elasticidade caracteriza-se por dois princípios básicos. O primeiro refere-se à relação entre
tensão aplicada e deformação, a qual tende a ser linear. O segundo, a não permanência das
deformações, isto é, ao fato de que as deformações deixam de existir quando as tensões são
retiradas. A plasticidade, por sua vez, caracteriza-se pela não linearidade das deformações em
relação às tensões e por deformações definitivas (SILVA e PANNONI, 2010).
Os métodos clássicos de análise estrutural, apesar de sua grande importância no âmbito
acadêmico, acabam sendo demasiado complexos e dispendiosos, especialmente quando se
analisam estruturas não elementares. Por este motivo, desenvolveram-se os chamados
métodos matriciais, que se baseiam na álgebra linear para resolução de problemas de cálculo
estrutural (MCCORMAC, 2009).
Associados aos métodos matriciais estão os conceitos de programação. Diversos programas
de computador, comerciais ou não, podem ser utilizados para a elaboração de algoritmos de
métodos matriciais.
Objetivos
Este trabalho tem como objetivo geral elaborar e apresentar um algoritmo, em linguagem
Octave, que realize análises estruturais em treliças, utilizando os métodos de análise matricial
e de estados limites. No que tange a objetivos específicos, visa-se a aplicar uma ferramenta
que realize análises estruturais por métodos computacionais em quaisquer treliças planas, de
modo a calcular esforços e deformações, além de determinar quais perfis U poderão ser
empregados em cada barra.
Metodologia
A análise estrutural é feita por meio de um método conhecido em teoria das estruturas como
método dos deslocamentos ou método da rigidez. Este envolve o emprego de equações da
mecânica dos materiais em formato matricial, de acordo com os conceitos da álgebra linear,
garantindo um procedimento simples, ideal para uso computacional.
No programa, que utiliza a linguagem de programação Octave, cabe ao usuário entrar com os
dados que reflitam os parâmetros da estrutura a ser analisada, tais como quantidade e
restrições nos apoios, áreas de secção das barras, posições dos nós, perfis que serão usados,
dentre outros. O algoritmo, por sua vez, é responsável por todos os cálculos, apresentando ao
final a saída de dados, que inclui deslocamentos dos nós, forças normais nas barras e
deformações destas, índices de esbeltez e as razões entre esforços solicitantes e resistentes,
para cada perfil adotado. A principal vantagem deste programa, em relação a outros softwares
livres, como o Ftool, por exemplo, é a possibilidade de dimensionar a estruturas empregando
os perfis metálicos existentes no mercado. Outra vantagem é a existência de um algoritmo de
fácil acesso pelo usuário, permitindo que este seja não apenas um mero utilizador do
programa, mas participante de todo o processo de cálculo da estrutura.
O procedimento de análise a ser elaborado baseia-se na premissa de que a análise se encontra
na fase elástica. Assim, todos os cálculos são feitos com base na teoria clássica da análise
elástica. Vale ressaltar que, além da análise da estrutura, é feito o estudo de dimensionamento
de cada barra. Caso os resultados obtidos indiquem que a estrutura entrou em processo de
plastificação, o programa se encarrega de indicar que o perfil adotado não satisfaz a
solicitação do projeto, por meio das razões entre esforços solicitantes e resistentes.
O estudo de dimensionamento é feito conforme a NBR 8800:2008. O método dos estados
limites leva em consideração dois coeficientes de segurança – um de minoração para a
resistência do material e outro de majoração para as cargas aplicadas sobre a estrutura. Desse
modo, visa-se a prever não somente os limites resistentes característicos do perfil, mas
também as possíveis variações de carga, devidas a fatores tais como ação do vento,
sobrecarga na estrutura, dentre outros. (PFEIL, 2009).
O programa trelica.m é composto por seis subprogramas. São eles: tabela.m, entrada.m,
analise.m, dimtracao.m, dimcompressao.m e saida.m. O objetivo dessa disposição é permitir
que o programa principal aja meramente como um compilador de subprogramas
independentes. Segue abaixo a descrição dos subprogramas:
entrada.m – Todos os dados de entrada necessários para o funcionamento do programa estão
disposto neste subprograma. O usuário deve determinar as posições dos nós no plano
cartesiano, a conectividade entre os nós, que correspondem às barras, módulo de elasticidade,
tensão de escoamento, coeficiente de minoração da resistência nominal do material,
momentos de inércia das seções das barras e seus respectivos raios de giração, restrições nos
apoios e carregamentos nodais.
analise.m – Calculam-se os esforços normais em cada barra e as deformações destas, além
dos deslocamentos nodais. O método empregado é o método dos deslocamentos, também
conhecido como método da rigidez.
dimtracao.m – É feito o dimensionamento das barras tracionadas. Para tanto, usa-se um
comando condicional, que seleciona somente as barras cujos esforços normais não são
negativos. O procedimento baseia-se em três variáveis de resultado: índice de esbeltez,
esforço resistente e a razão entre esforços normais, também chamados esforços solicitantes, e
resistentes.
dimcompressao.m – A lógica de cálculo das barras comprimidas é praticamente a mesma das
barras sob tração. Entretanto, além do comando condicional selecionar as barras cujos
esforços normais são negativos, para o dimensionamento a compressão deve-se levar em
conta a flambagem global na barra.
saída.m – São apresentados todos os resultados finais do programa. Para cada nó,
apresentam-se os deslocamentos, em metros. Para cada barra, índice de esbeltez, esforços
solicitante e resistente, em Newtons, deformação, em metros, e a razão entre esforços.
Resultados e discussão
Para efeito demonstrativo, elaborou-se uma treliça-exemplo em formato de tesoura, composta
por oito nós, espaçados dois metros entre si, e com 13 barras. Há dois apoios, distanciados dez
metros entre si. A altura da treliça é de dois metros e, em cada nó superior, há um
carregamento nodal de 20 kN. A treliça também foi analisada via programa Ftool para efeito
de comparação dos resultados. Primeiramente, elaborou-se a treliça-exemplo no programa
Octave. O programa foi executado duas vezes. Na primeira execução, adotou-se o menor
perfil U, a saber, U 75 x 6,1, para todas as barras. Entretanto, foi observado que o esforço
normal em algumas barras da treliça era maior que o esforço resistente do perfil adotado.
Assim, realizou-se o procedimento de cálculo mais uma vez, porém com um perfil maior nas
barras onde houve subdimensionamento. Após o segundo dimensionamento, viu-se que todas
as barras estavam adequadamente dimensionadas.
Terminado o dimensionamento no Octave, foi feito cálculo semelhante por meio do Ftool. O
resultado obtido para os deslocamentos nodais foram próximos entre os dois programas,
havendo uma variação percentual de no máximo 5%. Já os esforços solicitantes para cada
barra tiveram um resultado ainda mais próximos com variações entre os programas menores
que 1%. Vale ressaltar que este não oferece o cálculo do esforço resistente de cada perfil.
Assim, para o dimensionamento final dispuseram-se apenas os resultados apresentados no
Octave. Os valores apresentados pelos dois programas foram muito próximos.
Conclusão
A análise matricial de estruturas pela programação mostrou-se muito eficaz. Uma vez que
todo o procedimento de cálculo do programa é composto de variáveis indefinidas, basta que
se alterem os parâmetros da estrutura para que sejam obtidos os resultados referentes a uma
nova treliça. Dessa forma, conclui-se que o programa apresentado neste artigo pode ser usado
para o dimensionamento de quaisquer treliças planas, respeitando-se os limites determinados
em norma com uma boa ordem de precisão. A realização do trabalho nos permitiu aprimorar
os conceitos clássicos da teoria das estruturas, além de exercitar o desenvolvimento de
algorítimos na linguagem Octave, permitindo obter mais experiência para desenvolvimento
dos mini-cursos propostos pelo nosso programa PET – Estruturas.
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800: Projeto de estruturas
de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios - procedimento. Rio de Janeiro,
2008. 237 p.
BEER, Ferdinand P. et al. Mecânica dos materiais. 5ª edição. Porto Alegre: Amgh, 2011.
800 p.
MCCORMAC, Jack C.. Análise estrutural: usando métodos clássicos e métodos matriciais.
4ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 482 p.
PFEIL, Walter; PFEIL,Michèle. Estruturas de Aço: dimensionamento prático de acordo com
a NBR 8800:2008. 8ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2009, 357 p.
SILVA, Valdir Pignatta; PANNONI, Fábio Domingos. Estruturas de aço para
edifícios: aspectos tecnológicos e de concepção. São Paulo: Blucher, 2010. 295 p.