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Sistemas de Numeração
Prof. César Melo
[email protected]
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Roteiro
 Sistemas de Numeração
 A Base Binária
 Unidades de Capacidade
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Sistemas de
Numeração
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Sistemas de numeração
 Conceitos Básicos
– Número ?
–
Numeral ?
–
Algarismos ?
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Sistemas de numeração
 Conceitos Básicos
– Número é a idéia de quantidade que nos vem a
mente quando contamos, ordenamos e medimos
●
Redes armadas no Barco recreio?
●
Filhomais velho da família?
●
Altura da minha mesa?
–
Numeral é toda representação de um número,
seja ela escrita, falada ou indigitada;
–
Algarismos é todo símbolo numérico que usamos
para formar os numerais escritos;
●
X, 2, \-o-/
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Sistemas de numeração
 Definição:
– É Todo conjunto de regras para a
produção sistemática de numerais;
 Primeiros sistemas de numeração:
 Eram
Não
posicionais:
Algarismos
representavam valores independentes de sua
posição.
 Exemplos: egípcios e romanos.
Sistemas de numeração
 Sistema Egípcio:
 Os egípcios criaram um
sistema em que cada
dezena era
representada por um
símbolo diferente.
Sistemas de numeração
 Sistema Romano:
 Os romanos usavam símbolos
(letras) que representavam as
quantidades mas já
empregavam rudimentos de
posicionamento;
 As letras que representavam
quantidades menores e
precediam as que
representavam quantidades
maiores, seriam somadas; se o
inverso ocorresse, o menor
valor era subtraído do maior (e
não somado).
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Sistemas de numeração
 Exemplos
de
aplicação
da
posicionamento do sistema Romano.
regra
de
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Sistemas de numeração
 Sistema de Numeração Não Posicional:
 Dificuldade de representar grandes
quantidades;
 Dificuldade para memorizar todas as
representações
• Como é mesmo 100 mil no sistema
egípcio???
 O sistema de numeração Posicional:
 A posição dos algarismos no numeral altera o
seu valor (significado).
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Sistemas de numeração
 Representação posicional
– Indo-arábico é o sistema que usamos
–
Várias formas de representação de um
número que dependem da base
escolhida para realizar a representação.
●
●
●
●
Decimal;
Octal;
Hexadecimal;
Binária.
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Sistemas de numeração
 Regra geral do sistema Indo-Arábico
–
“Posição” indica potência positiva ser usada
na leitura do número;
 Base decimal (10)
–
10 dígitos disponíveis [0,1,2, ... ,9]
–
Unidade, Dezena, Centena, Milhar,...
–
100,
 Exemplo:
–
101,
102,
103 ,....
5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100
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Base Binária
15
Base Binária
Definida no sistema de
numeração posicional indoarábico em que todas as
quantidades são representadas
usando os algarismos: zero e um
(0 e 1).
16
Base Binária
0
17
Base Binária
1
E como representar valores maiores que 1(UM)?
18
Base Binária
0
0
19
Base Binária
0
1
20
Base Binária
1
0
21
Base Binária
1
1
E como faço para representar o número 4?
22
Base Binária
1
0
0
23
Base Binária
1
0
0
0
1
8
1
0
0
0
0
0
1
32
64
0
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
24
Base Binária
 2 “bits” disponíveis [0,1]
 “Posição” indica potência positiva de
2
–
Exemplo: 11, 101, 1001000
 1011 na base 2
= 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20
= 8+0+2+1 = 11 na base 10
25
Base Binária
Representação
Binária
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
10000000000
Potência
Representação
Decimal
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1.024
Base Binária
Letras, números e simbolos usados pelos
computadores são representados no sistema
binário e encontram-se descritos na tabela ASCII
30
Conversão de
Sistemas e Base
31
Conversão de sistema ou base
 Uma caixa alienígena com os algarismos 25
gravado na tampa foi entregue a um grupo de
cientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17
objetos. Considerando que o alienígena tem um
formato humanoide, quantos dedos ele tem nas
duas mãos?
32
Conversão de sistema ou base
17 = 25
10
b
17 = 2 x b^1 + 5 x b^0
17 = 2 x b + 5
b = (17-5)/2 = 6
Conversão Decimal para Binário
 Inteiro decimal para binário
 Divisão inteira (do quociente)
sucessiva por 2, até que o
quociente seja = 0.
 Binário = composição do último
resto para o primeiro resto
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Conversão Decimal para Binário
 Exemplo: Converter 25 decimal para binário
 25 / 2 = 12 (quociente) e resto 1
 12 / 2 = 6 (quociente) e resto 0
 6 / 2 = 3 (quociente) e resto 0
 3 / 2 = 1 (quociente) e resto 1
 1 / 2 = 0 (quociente) e resto 1
 Binário =
11001
= 1 x 2^4 + 1 x 2^3 + 0 x 2^2 + 0 x 2^1 + 1 x 2^0
= 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25 decimal
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Conversão Decimal para Binário
 Exercício: Converta os seguintes números
para binário
 26
 30
 32
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E o contrário?
 Exercício: Converter para decimal os
números binários:
 11
 1010
 10010110
 101,01
 11,11
Joseana M. Fechine
45
Operações
 Operações com Números Binários
 Soma de Números Binários
 0+0=0
 0+1=1
 1 + 1 = 0 (e vai um)
46
Operações
 Operações com Números Binários
 Exemplos: Efetuar as seguintes somas
1
1
+
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
+
1
1
1
1
0
0
0
0
0
47
Operações
 Exercícios: Efetuar as seguintes somas
 1101 + 111
 1011111 + 10
48
Operações
 Operações com Números Binários
 Subtração de Números Binários
 0-0=0
 0 - 1 = 1 (e vai 1* para ser subtraído no dígito
seguinte)
 1-0=1
 1-1=0
49
Operações
 Operações com Números Binários
 Exemplo: Efetuar a seguinte subtração
*
1
1
1
0
*
*
*
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
50
Operações
 Operações com Números Binários
 Exercícios:
subtrações
● 111 – 1
● 100 – 01
Efetuar
as
seguintes
51
Operações
 Operações com Números Binários
 Multiplicação de Números Binários
• Similar a multiplicação de números decimais com
diferenças na hora de somar os termos resultantes
da multiplicação
 Exemplos: Efetuar as seguintes multiplicações
• 1011 x 1010
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Operações em Sistemas de
Numeração
 Operações com Números Binários
 Exemplos: Efetuar as seguintes multiplicações
 10112 x 10102 = 11010
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
x
1
+
1
1
0
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Operações
 Operações com Números Binários
 Divisão de Números Binários
 Similar à divisão de números decimais. É o
reverso da multiplicação.
 Deve-se observar somente a regra para
subtração entre binários.
 Exemplo: Efetuar a seguinte divisão
 1000112 ÷ 1012
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Operações
 Operações com Números Binários
 Exemplo: Efetuar a seguinte divisão
 1000112 ÷ 1012 = 710
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Unidade de
Capacidade
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Unidade de Capacidade
 A forma de armazenamento das informações é
exatamente a mesma em todos os computadores.
 Assim como temos as unidades de medidas de Kilos
(kg), Litros (L), Metros (m), Kilometragem (km), etc,
as informações armazenadas nos computadores
obedecem a uma nomenclatura específica para
definir as unidades de capacidade.
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Unidade de Capacidade
A menor unidade utilizável para
representação de informações em
um computador é o bit, que
assume os valores 0 ou 1.
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Unidade de Capacidade
 Um único bit é insuficiente para representar
informações mais complexas, eles são agrupados
e combinados.
 Num primeiro agrupamento, eles são reunidos em
conjuntos de oito, recebendo a denominação de
byte (8 bits).
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Unidade de Capacidade
 Utilizamos o termo byte quando nos referimos
às
informações
armazenadas
em
um
computador.
 Tendo
em vista que a unidade byte é
consideravelmente pequena quando indicamos
valores mais extensos, utilizamos múltiplos do
byte: kilobyte, megabyte, gigabyte, terabyte,
etc.
 As unidades evoluem sempre a cada 1000
62
Unidade de Capacidade