Listas e Ordenação
Pedro Barahona
DI/FCT/UNL
Introdução aos Computadores e à Programação
2º Semestre 2005/2006
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
1
Listas
Uma lista é uma sequência de dados do mesmo tipo, simples ou
complexo, para as quais estão definidas (em Octave) as operações
de:
• Criação: list(elem_1, elem_2, ..., elem_k)
–Cria uma lista, com os elementos de 1 a k (ou uma lista
vazia se k = 0)
• Adição: append(nome_lista,elem_1, ...,elem_k)
–Acrescenta os os elementos de 1 a k à lista com o nome
indicado no 1º argumento
• Acesso: nth(nome_lista, k)
–Acede ao k-ésimo elemento da lista. De notar que esse
elemento pode ser uma estrutura arbitrariamente complexa.
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
2
Listas
• Para ilustrar o conceito de lista, vamos considerar um ficheiro com
informação sobre empregados e criar uma lista com essa
informação.
• A cada linha do ficheiro corresponde uma estrutura, emp, com os
campos cod, nome, venc e data. Por exemplo,
cod
nome
610 Paulo Fernandes Lopes
venc
2341.36
data
15/04/1996
• A leitura dos vários campos de uma estrutura pode ser feita como
anteriormente
[emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data,count] =
fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C");
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
3
Leitura de Listas
O programa completo, que cria uma lista, tab_empregados, com
a
informação
sobre
os
empregados
do
ficheiro
“empresa_aux.txt”, é o seguinte:
[f_aux, msg] = fopen("empresa_aux.txt", "r");
tab_empregados = list(); n = 0;
[emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] =
fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C");
while !feof(f_aux)
n = n+1;
tab_empregados = append(tab_empregados, emp);
[emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] =
fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C");
endwhile;
fclose(f_aux);
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
4
Estruturas e Listas em Funções
Estruturas e listas podem ser retornadas como resultado de uma
função. Por exemplo, a função abaixo retorna a lista anterior e o
número dos seus elementos:
function [tabela, n] = ler_tab_emp(ficheiro);
rem_sp(ficheiro,”empresa_aux.txt”)
[f_aux, msg] = fopen(“empresa_aux.txt”, "r");
tabela = list(); n = 0;
[emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] =
fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C");
while !feof(f_aux)
n = n+1;
tabela = append(tabela, emp);
[emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] =
fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C");
endwhile;
fclose(f_aux);
endfunction;
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
5
Processamento de Listas
• A partir deste momento, todo o processamento da informação
sobre os empregados pode ser feito sem leitura do ficheiro, mas
apenas por acesso à lista “tab_empregados”.
• Vamos ilustrar esta situação em 3 problemas:
– Cálculo da média dos vencimentos dos empregados.
– Selecção dos empregados com o nome Paulo
– Ordenação dos empregados por ordem crescente de
antiguidade
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
6
Média de Vencimentos
• Uma vez lida a informação dos empregados para a lista
“tab_empregados”, com n elementos, ela pode ser acedida
directamente, sem necessidade de nova leitura do ficheiro.
• O cálculo do total e da média dos vencimentos é feito através de um
ciclo que percorre todas as estruturas da lista e soma os
correspondentes campos “venc”.
%[tab_empregados, n]
total = 0;
for i = 1:n
total = total +
endfor;
printf("o total de
printf(“
e
11 de Maio de 2006
= ler_tab_emp(“empresa_in_var.txt”);
nth(tab_empregados,i).venc;
vencimentos é %7.2f \n“, total);
a sua média é %7.2f \n", total/n);
Listas e Ordenação
7
Selecção de Elementos de Listas
• Igualmente se podem seleccionar os elementos de uma lista que
satisfazem um certo critério.
• No exemplo abaixo são seleccionados, e mostrados ao terminal, os
empregados cujo vencimento é superior a 1000 €
%[tab_empregados,n] = ler_tab_emp(“empresa_in_var.txt”);
printf("Lista de empregados com mais de 1000 €: \n");
for i = 1:n
emp = nth(tab_empregados,i);
if emp.venc > 1000
printf(“
%-30s\t%7.2f\n",emp.nome,emp.venc);
endif;
endfor;
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
8
Selecção de Elementos de Listas
• O critério utilizado para seleccionar os elementos de uma lista é
arbitrário, podendo ser naturalmente outro.
• No exemplo abaixo são seleccionados, e mostrados ao terminal,
os empregados que têm o nome Paulo (bem como o seu
vencimento)
%[tab_empregados, n] = ler_tabela(“empregados_var.txt);
for i = 1:n
emp = nth(tab_empregados,i);
if index(toupper(emp.nome),"PAULO") > 0
printf("\t%-30s\t%7.2f\t\n",emp.nome,emp.venc);
endif;
endfor;
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
9
Ordenação de Vectores, Matrizes e Listas
• As estruturas de dados (vectores, matrizes ou listas) são
frequentemente armazenadas de uma forma ordenada.
• A ordenação facilita, a pesquisa de informação. Como veremos,
numa lista ordenada com n elementos a procura de um elemento
pode ser feito com log2(n) acessos em vez de n operações.
• Por exemplo, se uma lista tiver 107 = 10 000 000 elementos (por
exemplo, o número de portugueses na base de dados do BI), em
vez de 10 000 000 de acessos à lista (para encontrar um #BI), são
necessários apenas cerca de log2(107) ≈ 23.25, em média.
• Evidentemente a ordenação tem custos. Mas como é
frequentemente o caso, a ordenação é feita 1 vez, e os acessos
muitas vezes, compensa manter as estruturas de dados ordenadas.
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
10
Ordenação de Vectores
• Analisemos primeiro a ordenação de vectores (ou listas), para o
que existem vários algoritmos (de ordenação) com vantagens e
desvantagens em diferentes contextos.
• Uma característica importante dos algoritmos é o espaço de
memória utilizado, que não consideraremos neste caso, já que
apenas se utiliza o espaço ocupado pelo vector.
• Outra característica importante é a sua complexidade, medida em
número de acessos ao vector. Este número depende naturalmente
do número n de elementos da estrutura de dados utilizada.
• Embora existam algoritmos (quicksort) mais rápidos (necessitam
de cerca de nlog2 n acessos), o que apresentamos (bubblesort) é
mais simples de descrever.
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
11
Ordenação de Vectores – Bubble Sort
• A ideia do algoritmo é comparar dois elementos consecutivos do
vector, e trocá-los se tiverem na ordem “errada”.
• Esta comparação é feita entre todos os n-1 pares do vector, por
uma determinada ordem, por exemplo (1,2), (2,3), ..., (n-1,n).
• Se não fôr feita nenhuma troca, o vector já está ordenado. Caso
contrário, repete-se o processo.
• No pior caso (em que V(n) era o elemento mais pequeno do
vector), é necessário executar n-1 vezes este “varrimento” do
vector (mais 1 vez para “ter a certeza”).
• No total, e para o pior caso, são feitas n(n-1) comparações, das
quais algumas serão trocas, pelo que a complexidade será
quadrática no número de elementos do vector (≈ n2).
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
12
Ordenação de Vectores – Bubble Sort
• Podemos observar o comportamento deste algoritmo nos dois
casos abaixo com um vector com 4 elementos, que se pretende
ordenar de forma crescente.
11 de Maio de 2006
9
7
7
7
9
4
4
4
9
1
1
1
t
t
t
7
4
4
4
7
1
1
1
7
9
9
9
t
t
4
1
1
1
4
4
7
7
7
9
9
9
t
1
1
1
4
4
4
7
7
7
9
9
9
Pior caso
4*3 = 12 comparações
6 trocas
Caso “típico”
3*3 = 9 comparações
3 trocas
Listas e Ordenação
1
1
1
9
9
7
7
7
9
4
4
4
1
1
1
7
7
4
4
4
7
9
9
9
1
1
1
4
4
4
7
7
7
9
9
9
t
t
t
13
Ordenação de Vectores – Bubble Sort
• A função abaixo implementa o algoritmo de bubble sort. No início
de cada ciclo for a variável troca é falsa. Se se mantiver falsa no
fim do ciclo, o vector já se encontra ordenado e não é necessário
mais nenhum ciclo for.
function V = bubble_vec(V);
% bubble sort
n = length(V)
do
troca = false;
for i = 1:n-1
if V(i) > V(i+1)
troca = true;
x=V(i); V(i)=V(i+1); V(i+1)=x; %troca
endif;
endfor;
until ! troca;
endfunction;
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
14
Ordenação de Listas – Bubble Sort
• A função abaixo implementa o algoritmo de bubble sort mas para
uma lista de estruturas, ordenada por um campo (venc).
function L = bubble_list(L);
% bubble sort
n = length(L);
do
troca = false;
for i = 1:n-1
reg1 = nth(L,i); reg2 = nth(L,i+1);
if reg1.venc < reg2.venc
troca = true;
L(i)
= reg2;
L(i+1) = reg1;
endif;
endfor;
until ! troca;
endfunction;
• Nota: o campo não pode ser passado como parâmetro. Porquê?
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
15
Pesquisa em Vectores
• Consideremos um vector V, não ordenado, onde queremos
encontrar o número x. O algoritmo abaixo determina se o número
x está ou não incluído no vector, comparando x com todos os
valores da lista.
• A função retorna o índice i onde se encontra x (ou seja, V(i) = x),
ou retorna 0 se x não estiver incluído no vector
function i = procura_vec(x,V);
for i = 1:length(V);
if V(i) == x
return;
endif
endfor;
i = 0;
endfunction;
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
16
Pesquisa em Vectores
• A complexidade do algoritmo, em termos do número de acessos
ao vector, pode ser analisado da seguinte forma:
– Se x não pertence ao vector, então terão de ser feitas n leituras.
– Se x pertencer ao vector, o número de leituras é variável.
Assumindo que x pode estar em qualquer posição, deverão ser
lidos, em média, n/2 valores.
• Assumindo que x pode estar em V com uma probabilidade p (e
não estar com uma probabilidade q = 1-p), o número médio de
acessos será de aproximadamente
p  n/2 + q  n
• Se p = q = ½ teremos uma complexidade média de
½½n+½n =¾n
o que indica uma complexidade assintótica linear, O(n).
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
17
Pesquisa Linear em Vectores Ordenados
• A complexidade da pesquisa pode ser melhorada se o vector está
ordenado. Assumindo uma ordenação crescente, a pesquisa pode
terminar se o valor V(i) já exceder o valor de x, porque nesse
caso, os valores de V(j) com j > i serão ainda maiores!
function i = procura_vec_lin(x,V);
i = 1;
while i < length(L) & x > V(i);
i = i + 1;
endwhile
if x != V(i)
i = 0
endif;
endfunction;
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
18
Pesquisa Linear em Vectores Ordenados
• A complexidade, em termos do número de acessos ao vector, pode
ser analisado da seguinte forma:
– Como anteriormente, se x pertencer ao vector, o número de
leituras é variável, sendo em média lidos n/2 valores.
– Se x não pertencer ao vector, esse facto poderá ser descoberto
no início ou no fim, consoante o valor de x. Em média,
podemos assumir que apenas metade dos valores são testados
• Como x está em V com uma probabilidade p, e não está com
probabilidade 1-p, o número médio de acessos será de
p  n/2 + (1-p)  n/2 = n/2
• O número de acessos baixa assim de ¾ n para ½ n, mas mantém a
mesma complexidade assintótica linear, O(n).
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
19
Pesquisa Bipartida em Vectores Ordenados
• Se o vector está ordenado, podemos sempre determinar se x, a
existir no vector está à frente ou atrás de um elemento testado.
• Assim em vez de testar sequencialmente os valores de V,
podemos testá-los “em saltos”, delimitando em cada teste a
zona do vector onde valerá a pena pesquisar.
• Esquemáticamente, podemos considerar um esquema de
bipartição
x < V(i)
x > V(i)
i
• O algoritmo pode pois considerar um intervalo de pesquisa
cada vez menor, como exemplificado de seguida.
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
20
Pesquisa Bipartida em Vectores Ordenados
• Consideremos um vector V, ordenado por ordem crescente, com
31 números, onde queremos encontrar o número x. Inicialmente
os índices onde se faz a pesquisa estão no intervalo (1,31).
• Podemos comparar x com o número intermédio 16 (i.e. (1+31)/2).
– Se V(16) = x, este está encontrado.
– Se V(16) < x, este deverá ser procurado no intervalo (17,31).
– Se V(16) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,15).
• Neste último caso, podemos comparar x com o número
intermédio 8 (i.e. (1+15)/2).
– Se V(8) = x, este está encontrado.
– Se V(8) < x, este deverá ser procurado no intervalo (9,15).
– Se V(8) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,7).
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
21
Pesquisa Bipartida em Vectores Ordenados
• No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio
12 (i.e. (9+15)/2).
– Se V(12) = x, este está encontrado.
– Se V(12) < x, este deverá ser procurado no intervalo (13,15).
– Se V(12) > x, este deverá ser procurado no intervalo (9,11).
• No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio
14 (i.e. (13+15)/2).
– Se V(14) = x, este está encontrado.
– Se V(14) < x, este deverá ser procurado no intervalo (15,15).
– Se V(14) > x, este deverá ser procurado no intervalo (13,13).
• Nestes últimos casos, são feitas comparações com um só elemento
V(13) ou V(15), que indicam se x está ou não no vector V .
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
22
Pesquisa Bipartida em Vectores Ordenados
• No máximo, são feitas 5 comparações, com V(16), V(8), V(12),
V(14) e V(15), o que confirma que o número máximo de acessos
é da ordem de log2(n), já que log2(31) = 4.95 ≈ 5.
• Em geral, o intervalo inicial, de largura n, é reduzido para metade
em cada um de p passos, sendo feita uma comparação em cada
passo, e terminando o processo quando o intervalo tiver largura 1.
Assim, temos
n  ½  ½  ...  ½ = 1,
donde n / 2p = 1
e portanto n = 2p
ou
p = log2(n).
• Como p é o número de comparações, a pesquisa bipartida tem,
como visto atrás, complexidade assintótica logaritmica O( log2(n))
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
23
Pesquisa Bipartida em Vectores Ordenados
• O algoritmo descrito pode ser implementado através das funções
procura_vec_bip e p_vec_bip, que retornam o índice do elemento
do vector V onde se encontra o valor x, caso ele exista. Caso
contrário retornam o valor 0.
• A função procura_vec_bip apenas conta os elementos do vector e
chama a função p_vec_bip, que procura o elemento x no vector V
nos elementos com índices entre dois limites, inferior e superior
(no início estes limites são 1 e n, respectivamente):
function i = procura_vec_bip(x,V);
n = length(V);
i = p_vec_bip(x,V,1,n);
endfunction.
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
24
Pesquisa Bipartida em Vectores Ordenados
• A função p_vec_bip verifica se x é o elemento “do meio” do
vector. Se não, procura nos índices ou inferiores ou superiores,
consoante x for menor ou maior que esse elemento.
• A pesquisa para quando os limites superior e inferior forem os
mesmos, testando-se se x é o valor desse elemento.
function i = p_vec_bip(x,V,lo,up);
i = 0;
while up >= lo & i == 0
mid = floor((lo+up)/2);
if
x > V(mid)
lo = mid+1;
elseif x < V(mid)
up = mid-1
else
i = mid;
endif
endwhile
endfunction
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
25
Pesquisa Bipartida em Listas Ordenadas
• As funções pesquisa_list e p_list, abaixo apresentadas, são as
correspondentes funções de acesso a uma lista L, ordenada por um
determinado campo (no exemplo, cod).
function i = procura_lista_bip(x,L);
i = p_lista_bip(x,L,1,length(L));
endfunction.
function i = p_lista_bip(x,L,lo,up);
i = 0;
while up >= lo & i == 0
mid = floor((lo+up)/2);
if
x > V(mid).cod
lo = mid+1;
elseif x < V(mid).cod
up = mid-1
else
i = mid;
endif
endwhile
endfunction
11 de Maio de 2006
Listas e Ordenação
26