Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e da Educação
Curso de Licenciatura em Matemática
DANIEL MONTEIRO DA SILVA MOREIRA
DIEGO RODRIGO HABR DE LIMA
Dificuldades no Processo Ensino Aprendizagem de
Função Afim
Belém - Pará
2009
DANIEL MONTEIRO DA SILVA MOREIRA
DIEGO RODRIGO HABR DE LIMA
Dificuldades no Processo Ensino Aprendizagem de Função
Afim
Trabalho apresentado à Banca examinadora da
Universidade do Estado do Pará, como exigência
parcial para obtenção de grau de LICENCIADO
PLENO EM MATEMÁTICA, sob orientação da
Professora Msc. Acylena Coelho Costa.
Belém - Pará
2009
Dados Internacionais de catalogação na publicação
Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA
Moreira, Daniel Monteiro da Silva
Dificuldades no processo ensino aprendizagem de Função Afim/ Daniel
Monteiro da Silva Moreira e Diego Rodrigo Habr de Lima; orientação de Acylena
Coelho Costa. Belém, 2009.
Trabalho de Conclusão de Curso ( Licenciatura Plena em Matemática ) –
Universidade
do Estado do
Pará, Belém, 2009.
1. Funções - Matemática 2. Matemática – Estudo e ensino I. Lima, Diego
Rodrigo Habr de II. Título.
CDD: 21 ed. 515.7
DANIEL MONTEIRO DA SILVA MOREIRA
DIEGO RODRIGO HABR DE LIMA
Dificuldades no Processo Ensino Aprendizagem de Função
Afim
Trabalho apresentado à Banca examinadora da
Universidade do Estado do Pará, como exigência
parcial para obtenção de grau de LICENCIADO
PLENO EM MATEMÁTICA, sob orientação da
Professora MSc. Acylena Coelho Costa.
Data da aprovação: 06/02/2009
Banca examinadora
___________________________________ - Orientadora
Professora MSc. Acylena Coelho Costa
Universidade do Estado do Pará
___________________________________
Professor MSc. Jose Messildo Viana Nunes
Universidade do Estado do Pará
___________________________________
Professor MSc. Osvando dos Santos Alves
Universidade do Estado do Pará
Belém - Pará
2009
Agradecemos a Deus pelo dom que nos proporcionou e esperamos
recompensá-lo através do sucesso no aprendizado de nossos futuros
discentes.
(Dedicatória)
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus pela força, paciência e sabedoria que
foi proporcionado a minha pessoa, durante esses quatro anos de curso.
Dedico esse trabalho aos meus pais Zara Monteiro da Silva Moreira e
Osmar da Silva Moreira Filho por tudo que fizeram e ainda fazem por mim.
À minha namorada Kelly Cristina Silva Braga pela paciência e
compreensão que teve nesses anos de difíceis conquistas.
A todos os meus familiares, avó, tios, primos e parentes em especial ao
meu tio e professor de Matemática Raimundo Luiz (in memoriam) que me
ajudou muito durante a vida escolar (fundamental e médio) e certamente o faria
no ensino superior.
Aos meus colegas e amigos do curso em especial ao Diego Lima, pela
parceria nesse trabalho e pela amizade que foi concretizada no decorrer do
curso e ao Raimar Aracaty pelo apoio e pela amizade nesses quatro anos em
que vivenciamos esta caminhada.
Um obrigado especial a todos os professores, mestres e doutores, que
de alguma forma contribuíram na construção e na compreensão do meu saber
matemático; em especial à professora mestre Acylena Coelho Costa pela
orientação neste trabalho.
(Daniel Moreira)
AGRADECIMENTOS
A Deus por ter-me dado, condições físicas, mentais e psicológicas para
seguir adiante e concluir este trabalho.
Aos meus pais, José Luiz Batista de Lima e Maria do Perpétuo Socorro
Habr de Lima por estarem sempre ao meu lado nos momentos bons ou ruins
me motivando para crescer e vencer na vida.
A minha futura esposa Elaine Cristina Pantoja Lima, que foi
compreensiva e paciente comigo durante o desenvolver deste trabalho, mesmo
nos momentos mais difíceis.
Em especial à professora Msc. Acylena Coelho Costa, não só pela
competência e orientação deste trabalho, mas pela colaboração fundamental
em minha formação.
Ao meu amigo, Daniel Monteiro que participou de todos os momentos
bons e ruins nestes últimos dois anos de curso e pela parceria na elaboração
deste trabalho.
À professora Selma Santalice, pela sua capacidade e sabedoria
demonstrada durante todo o desenvolver do curso e pela valiosa contribuição
também em minha formação.
Ao professor Msc. Natanael Freitas, pela sua competência e clareza
como docente, que me fez refletir sobre a escolha da profissão, onde nada será
fácil, portanto, é preciso lutar.
A direção do Colégio Vera Cruz que abriu as portas para que eu
pudesse desenvolver a atividade que é parte fundamental deste trabalho.
E aos alunos do Colégio Vera Cruz, que colaboraram com sua
participação no desenvolvimento do deste trabalho.
(Diego Lima)
RESUMO
LIMA, Diego Rodrigo Habr de & MOREIRA, Daniel Monteiro da Silva.
Dificuldades no processo ensino e aprendizagem de função afim. 2009.
94f. Trabalho de Conclusão do Curso (Licenciatura Plena em Matemática) –
Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.
O presente trabalho apresenta um estudo de caráter diagnóstico, cuja
finalidade fora investigar quais as principais dificuldades dos alunos no
processo ensino e aprendizagem de função afim, verificar se estas dificuldades
encontram-se: na falta de embasamento teórico, na forma como o conteúdo é
ministrado ou em situações extra-classe. Para isto, foram investigados 35
alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma escola particular do município de
Belém, esta investigação ocorreu por meio da aplicação de dois questionários,
um contendo dados referentes ao perfil do sujeito investigado quanto estudante
e sobre o seu conhecimento acerca do conteúdo de função afim e outro
contendo questões matemáticas envolvendo os conteúdos sobre função Afim.
A análise dos dados baseou-se em teóricos como: Pelho (2005) sobre o
conceito de função, Duval (1995) a respeito das dificuldades nas diferentes
representações da função, entre outros. Foram observadas inúmeras
dificuldades encontradas pelos sujeitos investigados principalmente em relação
à definição e representação da função; além disso verificou-se também que na
escola onde ocorreu à aplicação dos questionários, a metodologia utilizada
pelo professor continua sendo a tradicional e muitos alunos apresentam uma
postura de pouca dedicação aos estudos.
Palavras
–
dificuldades.
chave:
Função Afim, processo ensino e aprendizagem,
ABSTRACT
LIMA, Diego Rodrigo Habr de & MOREIRA, Daniel Monteiro da Silva.
Difficulties in teaching and learning process of afim function. 2009. 94pp.
Curse Conclusion Work (Full Licenciatura in Mathematics) – University of the
State of Pará, Belém, 2009.
The following work presents a study of diagnostic character that aims to
investigate the main difficulties of students in the teaching and learning process
of Afim function, verifing if such difficulties are consequences of missing
theoretical knowledge, in the way that the subject is taught or in extra-class
situations. In order to achieve this purpose, it was analysed 35 (thirty – five) first
year high school students of a privated school in Belém city. Through the
application of two questionaries, in which the first contains the data related to
the profile of the students and the knowledge they have about the subject, and
the second has mathematical tasks that involve the same subjetct. The data
analyses was done based on authors like: Pelho (2005) that argues about the
concept of function, Duval (1995) that talks about the difficulties in representate
the function, and others. In the end of the research, was it was perceived that
the students have a deep difficulty in define and representate the functions.
Besides, it was noticed that in the school the metodology used by the teacher
remains being the traditional and the missing of dedication of the students is
one factor that affects the teaching and learning process.
Key – words: Afim function, teaching and learning process, difficulties.
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Idade dos alunos.
pág.
......................................................... 25
Tabela 2: Resultados para questão 1. ............................................. 25
Tabela 3: Resultados para questão 2. ............................................. 26
Tabela 4: Resultados para questão 3. ............................................. 26
Tabela 5: Resultados para questão 4. ............................................. 27
Tabela 6: Resultados para questão 5. ............................................. 28
Tabela 7: Resultados para questão 6. ............................................. 30
Tabela 8: Resultados para questão 7. ............................................. 30
Tabela 9: Resultados para questão 8. ............................................. 31
Tabela 10: Resultados para questão 9. ............................................ 31
Tabela 11: Resultados para questão 1 (questionário II). ........................ 32
Tabela 12: Resultados para questão 2 (questionário II).
......................... 33
Tabela 13: Resultados para questão 3 (questionário II).
........................ 34
Tabela 14: Resultados para questão 4 (questionário II). ........................ 35
Tabela 15: Resultados para questão 5 (questionário II).
........................ 36
LISTA DE FIGURAS
pág.
Figura 1: Questão 1 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A32.
............. 37
Figura 2: Questão 1 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A25.
............. 37
Figura 3: Questão 2 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A22.
............. 40
Figura 4: Questão 2 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A12.
............. 40
Figura 5: Questão 3 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A17.
............. 42
Figura 6: Questão 3 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A29.
............. 42
Figura 7: Questão 4 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A32.
............. 44
Figura 8: Questão 4 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A11.
............. 44
Figura 9: Questão 5 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A6.
............... 45
Figura 10: Questão 5 (Questionário II) resolvida pelo sujeito A20. ............ 46
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................... 11
1.1. Estrutura do Trabalho .................................................................... 12
2.
PRINCIPAIS
DIFICULDADES
NO
PROCESSO
ENSINO
E
APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO AFIM ...................................................... 14
3.TRAJETÓRIA DA PESQUISA ............................................................... 17
3.1. Objetivo da Pesquisa ..................................................................... 18
3.1.1.Objetivo Geral ....................................................................... 18
3.1.2. Objetivos Específicos ........................................................... 18
3.1.3. Questão Norteadora ............................................................ 18
3.1.4. Procedimentos Metodológicos ............................................. 19
4. PROTOCOLOS DE PESQUISA X ANÁLISE DE RESULTADOS ......... 20
4.1. Introdução ...................................................................................... 20
4.2. Instrumento de Coleta de Dados ................................................... 20
4.2.1. Objetivos das Questões ....................................................... 20
4.3. Análise dos Resultados ................................................................. 24
4.3.1. Introdução ............................................................................ 24
4.3.2 Análise Quantitativa (Questionário I) .................................... 25
4.3.3 Análise Quantitativa (Questionário II) ................................... 31
4.3.4 Análise Qualitativa Geral (Comparativo entre os questionários I
e II ......................................................................................................... 36
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................. 47
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................ 50
APÊNDICES ............................................................................................. i
11
1. INTRODUÇÃO
A matemática hoje em dia continua sendo uma disciplina considerada
complexa por grande parte dos alunos, desde o ensino fundamental até o
ensino superior, se a dividirmos em tópicos veremos que independente de qual
seja, sempre os alunos apresentarão alguma dificuldade em um ou outro
conteúdo matemático. Essas dificuldades podem estar associadas a inúmeros
fatores, seja a aversão que os alunos criam desde o ensino fundamental por
conta de alguns professores, por opinião dos pais que também já vivenciaram
situações como estas, por falta de dedicação por parte dos alunos, por causa
da falta de preparo de alguns professores, falta de estrutura e incentivo aos
alunos, enfim, podemos tentar justificar tais dificuldades de inúmeras formas,
porém, não conseguimos encontrar soluções concretas para a superação
destas, pois o que existe de fato para melhorar ainda é pouco para revertermos
este quadro.
Um dos conteúdos matemáticos que os alunos apresentam maiores
dificuldades é o de função afim, que é considerado fundamental na
matemática, segundo o PCN (1999),
além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de
função desempenha também papel importante para descrever e
estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o
comportamento de certos fenômenos tanto no cotidiano, como de
outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou
Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o
aluno adquira certa flexibilidade para lidar como o conceito de função
em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade
de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno
pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus
conhecimentos sobre funções para construir um modelo para
interpretação e investigação em Matemática (p.44).
Além disso, Meira (1997) apud Costa e Messias (2007) destacam que:
 Tal conceito representa uma parte fundamental da matemática;
 Diversos tópicos no currículo de ensino fundamental e médio podem
estar relacionados ao ensino de funções, suas representações gráficas e
algébricas;
 O estudo de funções pode gerar atividades com múltiplos sistemas de
representação.
12
Ou seja, este conteúdo fundamental na matemática deve ser bem
assimilado pelos alunos para um aprendizado significativo, porém não é
exatamente isto que ocorre, pois já foi verificado em inúmeras pesquisas
realizadas por professores na área de educação matemática e até mesmo em
nossa vivência de sala de aula como estagiários e na própria sala de aula
como discentes, que os alunos apresentam grandes dificuldades em relação a
este assunto.
Essas dificuldades se concentram principalmente na parte conceitual e
na variação de representações deste conteúdo, mas existe outro problema que
também interfere no processo ensino e aprendizagem de função, é que este
conteúdo é ministrado em séries variadas, por exemplo na 7ª série, outrora na
8ª série do ensino fundamental e de fato no primeiro ano do ensino médio e
como a base deste conteúdo é fundamental para seu aprendizado este
processo sofre com a falta de uma seqüência de ensino.
Diante destas dificuldades na matemática e especificamente em relação
ao conteúdo de função afim, dada sua importância em relação à disciplina,
resolvemos concentrar nosso estudo no processo ensino e aprendizagem de
função, tentando identificar quais as principais dificuldades encontradas pelos
alunos neste processo, para isso investigamos alunos de uma escola particular
do município de Belém quanto ao seu perfil, o conhecimento em relação ao
conteúdo de função afim e seu desempenho na resolução de questões
envolvendo este conteúdo.
Para fundamentar nossa pesquisa, realizamos uma busca
em
dissertações, teses e periódicos para verificarmos o que já fora produzido
sobre o assunto e percebemos que alguns autores tais quais Pelho (2003),
Markovits, Eylon e Bruckeimer (1995) dentre outros, compartilham da idéia de
que os estudantes apresentam dificuldades em relação ao conteúdo de função
afim.
1.1.
ESTRUTURA DO TRABALHO
O presente trabalho está estruturado da seguinte maneira:
13
a) Na seção 1 apresentamos uma breve introdução sobre nosso estudo,
bem como a estrutura do presente trabalho;
b) Na seção 2 registramos algumas pesquisas já realizadas no âmbito
da matemática, especificamente sobre função afim e suas principais
dificuldades no processo ensino e aprendizagem.
c) Na seção 3 destacamos a trajetória geral de nossa pesquisa,
objetivos, questão norteadora e procedimentos metodológicos;
d) Na seção 4 realizamos a análise dos resultados obtidos em nossa
pesquisa;
e) A seção 5 apresenta as considerações finais deste trabalho.
14
2.
PRINCIPAIS
DIFICULDADES
NO
PROCESSO
ENSINO
E
APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO AFIM
As dificuldades encontradas no processo ensino e aprendizagem da
matemática são inúmeras, principalmente quando tratamos de um conteúdo
tido como fundamental como é o caso da função afim. Em pesquisas realizadas
na área de Educação Matemática, percebemos que estas dificuldades partem
desde as raízes deste conteúdo, como conceito, formalização e vão se
estendendo até
outras
representações e
contextualizações.
A
seguir
destacaremos algumas pesquisas realizadas nessa área, as quais envolvem o
conteúdo de função afim e suas respectivas dificuldades.
No campo conceitual, ao tratarmos da definição e da parte estrutural
deste conteúdo encontramos na pesquisa de Pelho (2003) uma justificativa
para tal dificuldade, onde afirma que:
Apesar dos alunos freqüentemente terem contato com expressões
que utilizam o termo de função com o significado de dependência,
como por exemplo: o consumo de gasolina de carro é função de sua
velocidade; (...) a possibilidade de aprendizagem deste conceito é
prejudicada por sua introdução por meio de definições diretas e
formais, muitas vezes abandonando-se a noção de dependência (p.
8)
Além disso verificamos no trabalho de Markovits, Eylon e Bruckeimer
(1995) que:
(...) a complexidade do conceito de função também é parcialmente
responsável pelas dificuldades dos alunos. Notemos que a definição
de função, tal como é ensinada atualmente, envolve muitos
conceitos – domínio, contradomínio, conjunto imagem, regra de
correspondência. Assim, ou temos de ter certeza de que esses
conceitos foram compreendidos em todas as representações, antes
de continuarmos a ensinar mais coisas sobre funções, ou temos de
optar por deixar de lado alguns aspectos (p.59)
Ou
seja,
as
dificuldades
também
estão
relacionadas
com
a
complexidade do conceito de função, que pode fazer com que o professor fique
confuso em distinguir quais alunos foram capazes de assimilar ou não este
conteúdo.
15
Encontramos na pesquisa de Fossa e Fossa (2001) um problema que
atinge inúmeros alunos, que é a distinção entre equação e função, apesar de
haver uma relação entre estes conteúdos segundo os autores,
A noção de função se desenvolve naturalmente do trabalho com
equações e, de fato, é apresentado nas escolas em associação com
estas. Infelizmente, parece que o aluno tem grandes dificuldades em
distinguir equações que representam relações funcionais
empregadas de outra forma (p.164)
As definições diretas e formais nem sempre são ferramentas suficientes
para um aprendizado significativo, neste caso devemos compreender o
conceito de função a partir de outras situações, buscando mecanismos
diversificados. Duval (1995), em seu trabalho afirma que, essas dificuldades
estão relacionadas à pluralidade de registros e suas possíveis transformações,
já que a matemática é uma área que apresenta como destaque sua
diversidade, que muitas vezes não é valorizada, portanto, esta ausência de
variações pode tornar o ensino menos compreensivo, ou seja, é de
fundamental importância que a utilização das várias representações de um
determinado objeto matemático faça parte de uma ferramenta didática
comumente trabalhada pelo professor e, portanto, quando o aluno domina este
processo de diversificação, a possibilidade de aprendizado pode se tornar mais
clara e evidente.
As outras formas de representação da função também apresentam suas
dificuldades apesar de ser um mecanismo diferenciado de aprendizado, a
conversão é o principal problema encontrado pelos alunos como verificamos
no trabalho de Duval (1995).
Em uma pesquisa realizada por Souza e Cordeiro (2002) e Souza
(2003) sobre função, eles verificaram que os alunos ao utilizarem os registros
de
representação
na
resolução,
na
maioria
das
vezes
o
fazem
preferencialmente em linguagem algébrica e tabular e apresentam dificuldades
na utilização de gráficos. Para Duval (apud PELHO, 2003),
a aprendizagem das representações gráficas não está na
diferenciação entre forma e conteúdo apresentado, mas nas
unidades significantes constituintes da forma. É necessária a
16
diferenciação dos valores visuais pertinentes e não pertinentes da
figura-forma. (Duval,1999).
Na tese de mestrado de Lopes (2003), foi realizada uma análise dos
fenômenos didáticos ocorridos na resolução de problemas envolvendo a
conversão do registro gráfico de uma função afim para o algébrico e vice-versa.
Os resultados evidenciaram que se faz importante utilizar as múltiplas
representações no processo de conceituação de funções, o que favorece a
coordenação entre as variáveis no registro gráfico e seus respectivos valores
no registro algébrico.
Estas pesquisas e dificuldades que foram citadas serviram de suporte
para que nós pudéssemos desenvolver nosso trabalho e posteriormente após
análise, reafirmar as situações encontradas ou definir novas situações, mas o
importante de tais pesquisas é conscientizar a todos na área da matemática da
existência destas dificuldades para que possam servir de exemplo para futuros
docentes analisarem e refletiram na busca de possíveis soluções para uma
melhora no processo ensino e aprendizagem de função afim.
17
3. TRAJETÓRIA DA PESQUISA
No decorrer de nossa vida estudantil desde o ensino fundamental até o
ensino superior nos deparamos com este conteúdo fundamental na
matemática, denominado função afim. Notamos que independente do nível de
ensino o conteúdo de função afim ou é ministrado ou está associado a outros
conteúdos matemáticos. Nosso interesse em realizar uma investigação sobre
as dificuldades encontradas pelos alunos no processo ensino e aprendizagem
de função afim se deu no ano de 2005 ao realizarmos uma pesquisa para a
disciplina Introdução a Educação Matemática, a qual nos revelou inúmeras
dificuldades encontradas pelos alunos no que se refere aos conceitos básicos
da matemática, tais como: operações de multiplicação, operações de divisão,
regra de sinais e equação do 1° grau. Além disso, consideramos o conteúdo,
função afim, muito importante na formação de profissionais da área de
matemática, desta forma poderíamos também ampliar nosso conhecimento.
Diante destas dificuldades e de outros trabalhos pesquisados na área,
nos questionamos, as possíveis dificuldades encontradas no processo ensino e
aprendizagem da função Afim podem ser associadas aos conhecimentos
básicos deste conteúdo? Quais as principais dificuldades encontradas pelos
alunos no processo ensino e aprendizagem de função afim? É fundamental que
discentes e futuros docentes tenham conhecimento acerca destas dificuldades,
para possíveis melhoras neste processo. A partir daí, propusemo-nos a
desenvolver uma pesquisa, cujos resultados pudessem viabilizar tais
dificuldades neste processo e para que pudessem ser de grande valia para
docentes e futuros docentes desta área.
Iniciamos nosso estudo realizando um levantamento bibliográfico sobre
pesquisas em educação matemática concernentes ao processo de ensinoaprendizagem de função afim e encontramos nas pesquisas realizadas por
Markovits, Eylon e Bruckheimer (1995), Fossa e Fossa (2001), Lopes (2003),
Pelho (2003), dentre outros, suportes teóricos para o desenvolvimento desta
pesquisa.
Após definirmos os referenciais teóricos, decidimos desenvolver nossa
pesquisa em uma escola particular do município de Belém (Colégio Vera Cruz).
18
Os sujeitos dessa pesquisa foram alunos do 1º ano do ensino médio, pois este
conteúdo já havia sido ministrado, segundo bimestre, pelo professor da turma
investigada.
Utilizamos
como
instrumento
de
coleta
de
dados
dois
questionários (APÊNDICE I e II) contendo no primeiro, nove questões com
dados referentes ao perfil do sujeito investigado quanto estudante e sobre o
seu conhecimento acerca do conteúdo de função afim e no segundo, cinco
questões com base em questões matemáticas envolvendo os conteúdos sobre
função afim, que deveriam ser respondidas individualmente. Os resultados
obtidos foram relevantes e indicaram algumas das principais dificuldades
apresentadas pelos alunos no processo ensino e aprendizagem de função
afim.
3.1. OBJETIVO DA PESQUISA
3.1.1 OBJETIVO GERAL
Esta pesquisa tem como intuito contribuir com o processo ensino e
aprendizagem de função afim, portanto, propusemo-nos a verificar o
desempenho dos alunos do ensino médio na resolução de questões baseadas
neste conteúdo, além de uma análise paralela do perfil desses sujeitos quanto
estudantes, para diagnosticar possíveis dificuldades no processo.
3.1.2.OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Verificar quais as principais dificuldades dos alunos na resolução de
questões envolvendo o conteúdo de função afim.
 Investigar se os alunos apresentam tais dificuldades apenas pela falta de
embasamento teórico ou se existem outros motivos que influenciam
neste desempenho.
3.2. QUESTÃO NORTEADORA
Este trabalho foi desenvolvido mediante as seguintes questões:
19

Quais as principais dificuldades dos alunos na resolução de
questões envolvendo o conteúdo de função afim?

Estas dificuldades são reflexo apenas da não compreensão do
conteúdo ou falta de embasamento teórico?
3.3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Esta é uma pesquisa de caráter diagnóstico, cujo intuito é o de verificar
quais as principais dificuldades encontradas pelos alunos de uma escola
particular do município de Belém, em resolver questões envolvendo o conteúdo
de função afim.
A pesquisa desenvolveu-se da seguinte maneira:
a) Levantamento bibliográfico acerca de pesquisas realizadas no âmbito da
Educação Matemática sobre as principais dificuldades no processo
ensino aprendizagem de função afim;
b) Formulação do instrumento de coleta de dados - dois questionários – o
primeiro baseado em dados referentes ao perfil do sujeito investigado
quanto estudante e sobre o seu conhecimento a respeito do conteúdo de
função afim e o segundo com base em questões matemáticas
envolvendo os conteúdos sobre função afim;
c) Aplicação do questionário para alunos do 1º ano do ensino médio de
uma escola particular do município de Belém (Colégio Vera Cruz);
d) Sistematização e análise dos dados a partir dos resultados obtidos na
resolução dos questionários, com ênfase para os principais erros
cometidos.
20
4. PROTOCOLOS DE PESQUISA X ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.1. INTRODUÇÃO
Os resultados desta pesquisa se baseiam na observação das anotações
realizadas pelos sujeitos investigados nos questionários que foram aplicados
aos alunos do 1º ano do ensino médio de uma escola particular do município
de Belém.
A aplicação do instrumento de coleta de dados ocorreu no mês de
Agosto de 2008 para um total de 35 alunos do 1º ano do ensino médio.
4.2. INSTRUMENTO DE COLETA DE DADOS
Como instrumento de coleta de dados para essa pesquisa foram
elaborados dois questionários, o primeiro, contendo nove questões e o
segundo, cinco questões, os quais foram elaborados levando-se em conta o
levantamento bibliográfico e outras pesquisas já realizadas com base neste
conteúdo.
O levantamento bibliográfico nos possibilitou verificar pesquisas em
Educação Matemática voltadas para função afim e subsidiou a elaboração do
questionário aplicado aos alunos investigados. Após a aplicação dos protocolos
de pesquisa, pretendemos confrontar os resultados encontrados com os de
pesquisas já realizadas, tais quais Markovits, Eylon e Bruckheimer (1995),
Fossa e Fossa (2001), Lopes (2003), Pelho (2003).
4.2.1. OBJETIVOS DAS QUESTÕES
Os questionários se encontram, na íntegra, em apêndices neste
trabalho. A seguir, apresentamos as questões e seus respectivos objetivos.
QUESTIONÁRIO I

Onde você cursou o seu Ensino Fundamental?

Como acontece o acompanhamento de seus conteúdos escolares?

Em que momento, você estudou os assuntos envolvendo a função
afim (1º Grau)?
21

Sobre a Função Afim que conteúdos você (1) e (2): (1) Lembra ter
estudado; (2) Acredita possuir maior domínio.

Em qual nível de dificuldade você classificaria o conteúdo de função
afim (1º grau) que você estudou?

Com que freqüência você estudou os assuntos envolvendo a função
afim (1º grau)?

Se você considera o conteúdo de função afim (1º grau) difícil, você
atribuiria esta dificuldade a que ou a quem?

Qual a metodologia utilizada pelo seu professor para o ensino de
função afim (1º grau)?

Você acha que a metodologia de ensino aplicada pelo seu professor
é suficiente para o seu aprendizado?
Estas questões foram elaboradas com o intuito de fornecer informações
que possam mais tarde servir de análise para possíveis dificuldades de
aprendizado, de fato será feito um comparativo entre as informações obtidas
neste questionário e os desempenhos dos sujeitos investigados após a
resolução de um segundo questionário contendo questões matemáticas, para
que desta forma possamos identificar tais dificuldades. O principal objetivo na
elaboração deste primeiro questionário é verificar se as dificuldades que os
alunos
apresentam
se
concentra
exatamente
no
processo
ensino
aprendizagem, ou seja, em sala de aula e não extra-classe.
QUESTIONÁRIO II
Questão 1
01) Responda SIM ou NÃO. Das funções abaixo quais delas podemos afirmar que
são do 1º grau (afim), sendo definida por    ?
a) f(x) = 22x + 5______
d) f(x) =
x 5
 ______
2 7
b) f(x) = 3______
e)
2 x  8 ______
c) f(x) = 2 + x2______
22
OBJETIVO: A questão 1 foi elaborada com o intuito de revelar se os sujeitos
investigados possuem o conhecimento acerca do conceito associado ao
registro algébrico da função afim, para isso no item (a) o aluno deveria afirmar
que o registro apresentado era uma função afim, no item (b) novamente o
aluno deveria afirmar que o registro apresentado era uma função afim por ser
uma de suas particularidades, neste caso, uma função constante, no item (c) o
aluno deveria discordar da estrutura apresentada por representar uma função
do 2º grau e não uma função afim, no item (d) o sujeito deveria considerar a
estrutura apresentada como sendo uma função afim, pois apesar dos
coeficientes estarem representados por números racionais, de acordo com o
enunciado da questão a estrutura é válida.
Questão 2
02) Veja a tabela a seguir e encontre a expressão analítica da função afim definida de
  :
R:
x
y
0
5
2
9
3
11
OBJETIVO: A questão 2 exige do sujeito investigado o conhecimento em
relação a outros tipos de representações da função afim. Neste caso o aluno
deveria utilizar as informações da tabela para definir os pontos e através de um
sistema de equações encontrar os coeficientes linear e angular, para
posteriormente construir a expressão analítica da função.
23
03) Qual dos gráficos abaixo pode representar uma função f ( x)  ax  b de   
a > 0?
a)
b)
d)
e)
c)
OBJETIVO: A questão 3 foi elaborada com a finalidade de revelar se o sujeito
investigado é capaz de reconhecer uma função afim a partir de outras
representações, neste caso através da representação gráfica. O aluno deveria
marcar o item (d) no qual o gráfico representa a função definida pelo enunciado
da questão.
Questão 4
04) Encontre a expressão analítica do gráfico seguinte e responda se a função é crescente
ou decrescente:
R:
24
OBJETIVO: A questão 4 tem por objetivo mostrar a capacidade do sujeito
investigado quanto à análise de gráficos, para identificar os pontos presentes
na reta e a partir destes pontos construir a expressão analítica. Além disso, o
aluno deve reconhecer se uma função é crescente ou decrescente a partir
desta representação.
Questão 5
05) A família de Seu Luiz ficou entusiasmada com o anúncio abaixo, tanto que
passaram cinco dias na praia. Entre refeições e diárias acabaram gastando R$ 680,00.
Escreva a função que representa a despesa diária (y) em função do número de
pessoas (x) e determine o número de pessoas da família que foram ao passeio.
ANÚNCIO
Apto. próximo à praia, com
acomodações para até 6 pessoas.
Diária R$ 80,00
mais refeição opcional
(R$ 14,00 ao dia por pessoa)
OBJETIVO: A questão 5 requer do sujeito investigado o poder de interpretação
de situações problemas muito rotineiras na matemática, no qual o aluno
deveria reconhecer o conteúdo – função afim – em uma questão
contextualizada, bem como interpretá-la pertinentemente, para posteriormente
encontrar a estrutura algébrica desta função e o valor numérico do seu domínio
que deverá ser encontrado a partir da imagem fornecida.
4.3. ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.3.1. INTRODUÇÃO
Os resultados foram obtidos mediante a observação das anotações
realizadas pelos alunos que participaram dessa pesquisa. Foi nossa intenção
realizar um levantamento acerca do conhecimento dos alunos em relação ao
25
conteúdo de função afim e suas dificuldades ao desenvolverem tarefas
envolvendo o conteúdo sobre função afim, para uma possível comparação e
compreensão de tais dificuldades.
4.3.2 ANÁLISE QUANTITATIVA (QUESTIONÁRIO I)
De acordo com os resultados obtidos no questionário I (ver apêndice I),
fizemos uma análise quantitativa e destacamos alguns aspectos relacionados
ao nosso público alvo, como: predominância de idade, conhecimento adquirido
por parte dos alunos em relação ao conteúdo de função afim e metodologia de
ensino.
Tabela 1: Idade dos alunos.
IDADES
QUANTIDADE DE
%
ALUNOS
14
3
8,58
15
22
62,85
16
5
14,28
17
3
8,58
18
2
5,71
TOTAL
35
100
Fonte: Pesquisa de campo.
Com relação às idades, pôde-se verificar que, dos 35 alunos, a maioria,
ou seja, 22 alunos (62,85%) possuem 15 anos, em contrapartida apenas 2
alunos (5,71%) possuem 18 anos e a média de idade é de 15,4 anos.
Tabela 2: Resultados para questão 1
QUESTÃO 1 – Onde você cursou o seu Ensino Fundamental?
%
Escola Pública e Particular
7
20
Escola Pública
2
5,71
Escola Particular
26
74,29
TOTAL
35
100
Fonte: Pesquisa de campo.
26
No que diz respeito às instituições onde os alunos cursaram o Ensino
Fundamental verificou-se que, 26 alunos (74,29%) são oriundos de Escola
Particular e a minoria, ou seja, 2 alunos (5,71%) são de Escola Pública, vale
ressaltar também que 7 alunos (20%) tiverem seu ensino fundamental
concluído em instituições particular e pública.
Tabela 3: Resultados para questão 2
QUESTÃO 2 – Como acontece o acompanhamento de seus conteúdos
%
Escolares?
Professor particular
9
25,72
Individualmente
23
65,72
Estudando com os pais
2
5,71
Grupo de estudos
1
2,85
TOTAL
35
100
Fonte: Pesquisa de campo.
Quanto ao acompanhamento dos conteúdos escolares, a maioria, 23
alunos (65,72%), responderam que o fazem de forma individual, e apenas 1
aluno (2,85%) considera seu acompanhamento feito por estudo em grupo, mas
é importante lembrar a participação dos pais neste acompanhamento que
obteve como resposta, apenas 2 alunos (5,71%).
Tabela 4: Resultados para questão 3
QUESTÃO 3 – Em que momento, você estudou os assuntos
%
Envolvendo a função Afim (1º Grau)?
8ª Série
19
54,28
1º Ano
10
28,58
7ª Série
2
5,72
Não Lembra
4
11,42
TOTAL
35
100
Fonte: Pesquisa de campo.
No que se refere ao ano ou série em que o aluno estudou os assuntos
envolvendo a função Afim, 19 alunos (54,28%), disseram que estudaram o
27
conteúdo na 8ª série, 10 alunos (28,58%) no 1º ano e a minoria, 2 alunos
(5,72%) na 7ª série, ainda tem aqueles que não lembram quando estudaram
este conteúdo, representado por 4 alunos (11,42%).
Tabela 5: Resultados para questão 4
QUESTÃO 4: Sobre a Função Afim que conteúdos você (1) e (2):
Conteúdos
(1) Lembra ter
estudado
%
(2) Acredita
possuir maior
domínio
%
(3) Não
Lembram
%
31
88,57
4
11,43
0
0
23
65,72
6
17,14
6
17,14
17
48,57
17
48,57
1
2,86
22
62,85
9
25,72
4
11,43
24
68,57
6
17,14
5
14,29
Taxa de
variação da
função afim
22
62,85
6
17,14
7
20
Situações –
Problemas
envolvendo a
função afim
28
80
5
14,29
2
5,71
Definição de
Função Afim
(1ºgrau)
Casos
particulares
da função
afim
Equações do
1º Grau
Construção e
identificação de
Gráficos da
função afim
Crescimento
e
decresciment
o de função
afim
Fonte: Pesquisa de campo.
No que concerne ao conhecimento dos alunos em relação ao conteúdo
de função afim, nota-se que, em relação á definição, 31 alunos (88,57%)
lembram ter estudado, 4 alunos (11,43%) acreditam possuir maior domínio e
28
nenhum aluno não opinou, sobre os casos particulares da função afim, 23
alunos (65,72%) lembram ter estudado, 6 alunos (17,14%) acreditam possuir
maior domínio e 6 alunos (17,14%) não lembram deste assunto. Quanto às
equações do 1º grau, 17 alunos (48,57%) lembram ter estudado e 17 alunos
(48,57%) acreditam possuir maior domínio e 1 aluno (2,86%) não lembra ter
estudado o assunto, já em relação à construção e identificação de gráficos da
função afim, 22 alunos (62,85%) lembram ter estudado, 9 alunos (25,72%)
acreditam possuir maior domínio e 4 alunos (11,43%) não lembram do assunto.
Sobre crescimento e decrescimento de função afim, 24 alunos (68,57%)
lembram ter estudado, 6 alunos (17,14%) acreditam possuir maior domínio e 5
alunos (14,29%) não lembram ter visto o assunto. A respeito da taxa de
variação da função afim 22 alunos (62,85%) lembram ter estudado, 6 alunos
(17,14%) acreditam possuir maior domínio e 7 alunos (20%) não lembram ter
estudado o assunto, por último, o conteúdo a partir de situações problemas,
onde, 28 alunos (80%) lembram ter estudado, 5 alunos (14,29%) acreditam
possuir maior domínio e 2 alunos (5,71%) não lembram do assunto.
Tabela 6: Resultados para questão 5
QUESTÃO 5 – Em qual nível de dificuldade você classifica o conteúdo de função afim
(1º grau) que você estudou?
Conteúdos
MF
%
F
%
M
%
D
%
MD
%
Definição de
função Afim (1º
Grau)
2
5,71
14
40
9
25,71
9
25,71
1
2,86
Casos
particulares da
função afim
1
2,86
8
22,86
15
42,86
10
28,57
1
2,86
12
34,29
16
45,71
4
11,43
3
8,57
0
0
2
5,71
8
22,86
7
20
15
42,86
1
2,86
0
0
5
14,29
12
34,29
16
45,71
2
5,71
Equações do 1º
Grau
Construção e
identificação de
gráficos da
função afim
Crescimento e
decrescimento
da função afim
29
Taxa de variação
da função afim
Situações –
Problemas
envolvendo a
função afim
1
2,86
5
14,29
13
37,14
14
40
2
5,71
0
0
9
25,71
10
28,57
14
40
2
5,71
Fonte: Pesquisa de campo
Legenda:
 MF = Muito Fácil
 F = Fácil
 M = Moderado
 D = Difícil
 MD = Muito Difícil
A respeito do nível de dificuldade no qual o aluno classifica o conteúdo
de função afim, verificou-se que, sobre a definição de função Afim a maioria
dos alunos, ou seja, 14 alunos (40%) consideraram o tópico fácil e a minoria, 1
aluno (2,86%), muito difícil, quanto aos casos particulares da função, a maioria,
15 alunos (42,86%), acharam moderado e a minoria, 1 aluno (2,86%) achou
muito difícil. O tópico de equações obteve 16 alunos (45,71%), que
consideravam o conteúdo fácil, ou seja, sua maioria, em contrapartida ninguém
considerou muito fácil, sobre a construção e identificação de gráficos, grande
parte dos alunos (42,86%) considerou o tópico difícil e uma pequena
quantidade de alunos, apenas 1 (2,86%) muito fácil, quanto ao crescimento e
decrescimento da função, a maioria dos alunos, ou seja, 16 alunos (45,71%)
consideraram o conteúdo difícil, por outro lado ninguém o achou muito fácil, em
relação à taxa de variação, a maioria, 14 alunos (40%) considerou difícil e a
apenas 1 aluno (2,86%) considerou muito fácil, por último, a respeito das
situações problemas envolvendo função, a maioria dos alunos, 14 alunos
(40%) considerou o conteúdo difícil, enquanto que ninguém o considerou muito
fácil.
30
Tabela 7: Resultados para questão 6
QUESTÃO 6 – Com que freqüência você estudou os assuntos
%
envolvendo a função afim (1º grau)?
Na semana da prova
11
31,43
Um dia antes da prova
5
14,28
Diariamente
4
11,43
Só em sala de aula
6
17,15
Uma vez por semana
7
20
Não estudava
2
5,71
TOTAL
35
100
Fonte: Pesquisa de campo.
Com relação à freqüência com que os alunos estudam o conteúdo de
função afim a maioria dos alunos, ou seja, 11 alunos (31,43%) afirmaram
estudar apenas na semana da prova e a minoria, 2 alunos (5,71%) afirmaram
não estudar.
Tabela 8: Resultados para questão 7
QUESTÃO 7 – Se você considera o conteúdo de função afim (1º Grau)
%
difícil, você atribuiria esta dificuldade a que ou quem?
Ao professor
1
2,86
Não considero difícil
14
40
Ao conteúdo
10
28,57
A você mesmo(a)
10
28,57
TOTAL
35
100
Fonte: Pesquisa de campo.
No que diz respeito ao nível de dificuldade atribuído ao conteúdo por
parte dos alunos, a maioria, 14 alunos (40%) não considera o conteúdo difícil,
apenas 1 aluno (2,85%) atribui esta dificuldade ao professor, outros 10 alunos
(28,57%), atribuíram a dificuldade ao conteúdo e mais 10 alunos (28,57%), a
eles próprios.
31
Tabela 9: Resultados para questão 8
QUESTÃO 8 – Qual a metodologia utilizada pelo seu professor para o
%
Ensino de função afim (1º grau)?
Modelando situações reais
1
2,85
Definição – Exemplos – Exercícios
30
85,72
Formalização de situações problemas
2
5,72
Outros Métodos
2
5,71
TOTAL
35
100
Fonte: Pesquisa de campo.
Em relação á metodologia utilizada pelo professor no ensino de função,
a maioria dos alunos, ou seja, 30 alunos (85,72%) disseram que o professor
utiliza-se de definição – exemplos – exercícios e a minoria, 1 aluno (2,85%) que
o professor utiliza modelos de situações reais.
Tabela 10: Resultados para questão 9
QUESTÃO 9 – Você acha que a metodologia de ensino aplicada pelo seu
%
professor é suficiente para o seu aprendizado?
Sim
21
60
Não
14
40
TOTAL
35
100
Fonte: Pesquisa de campo
Quanto ao fato da metodologia utilizada pelo professor ser suficiente
para o aprendizado dos alunos, verificamos que 21 alunos (60%) acreditam
que esta metodologia seja suficiente, enquanto que 14 alunos (40%) não
concordam com esta metodologia.
4.3.2 ANÁLISE QUANTITATIVA (QUESTIONÁRIO II)
A partir da analise quantitativa do questionário II (ver apêndice II)
destacamos os seguintes aspectos: quantidade e percentual de acertos e
erros.
32
A respeito do conhecimento dos alunos quanto à estrutura da função
afim, os resultados da tabela (1) mostram que, com relação ao item (a) Função
Afim, os 35 alunos (100%) reconheceram a representação da função
classificado-a como função afim, no item (b) Caso Particular, apenas 11 alunos
(30%) reconheceram a estrutura como sendo uma função afim e 24 alunos
(70%) não a reconheceram, no item (c) Função do 2º grau, 26 alunos (75%)
afirmaram que a função afim não possui a mesma representação da função do
2º grau, enquanto que, 9 alunos (25%) consideraram a função do 2º grau como
sendo função afim, no item (d) Representação através de números racionais,
23 alunos consideraram esta representação como sendo uma função afim e 12
alunos (35%) afirmaram que a representação da função afim através de
números racionais não é válida, o item (e) Equação do 1º grau, obteve 25
alunos (72%) que afirmaram que equação do 1º grau não representa função
afim e 10 alunos (28%), consideraram uma equação como sendo uma função
afim.
Questão 1
01) Responda SIM ou NÃO. Das funções abaixo quais delas podemos afirmar que
são do 1º grau (afim), sendo definida por    ?
a) f(x) = 22x + 5______
d) f(x) =
x 5
 ______
2 7
c) f(x) = 2 + x2______
b) f(x) = 3______
e)
2 x  8 ______
Tabela 11 : Resultados para questão 1
Itens
Acertos
%
Erros
%
a) Função afim
35
100
0
0
b) Função afim (Caso
11
30
24
70
c) Função do 2º grau
26
75
9
25
d) Função afim
23
65
12
35
25
72
10
28
Particular)
(Representação através de
números racionais)
e) Equação do 1º grau
Fonte: Pesquisa de campo.
33
Em relação à construção da expressão algébrica da função a partir de
pontos ou pares fornecidos em uma tabela, a tabela (2) revela que, nenhum
aluno foi capaz de solucionar a questão na íntegra, dentre ao quais estão 14
alunos (40%) que erraram a questão, 8 alunos (22,85%) que a deixaram em
branco e foram “consideradas” 13 resoluções (37,15%) da questão, devido o
aluno ter encontrado os coeficientes linear e angular, porém os mesmos não
construíram a expressão a partir dos dados encontrados, por isso o número de
que obtiveram êxito foi 0 (0%).
Questão 2
02) Veja a tabela a seguir e encontre a expressão analítica da função afim definida de
  :
R:
x
y
0
5
2
9
3
11
Tabela 12 : Resultados para questão 2
Quantidade
%
Acertos
0
0
Erros
14
40
Brancos
8
22,85
“Considerados”
13
37,15
Fonte: Pesquisa de campo.
Quanto ao reconhecimento da função afim a partir da sua representação
gráfica, a tabela (3) mostra que 22 alunos (63%) conseguiram identificar o
gráfico da função afim e 13 alunos (37%) não conseguiram.
34
Questão 3
03) Qual dos gráficos abaixo pode representar uma função f ( x)  ax  b de   
a > 0?
a)
b)
d)
e)
c)
Tabela 13: Resultados para questão 3
Quantidade
%
Acertos
13
37
Erros
22
63
Fonte: Pesquisa de campo.
Sobre a construção da expressão analítica da função afim a partir de
sua representação gráfica e classificação quanto crescente ou decrescente, a
tabela (4) nos revela que, em relação à expressão analítica 100% dos alunos
não conseguiram construí-la e com relação à função ser crescente ou
decrescente, 17 alunos (49%) acertaram afirmando ser crescente a função,
enquanto que 18 alunos (51%) erraram afirmando ser decrescente.
35
Questão 4
04) Encontre a expressão analítica do gráfico seguinte e responda se a função é crescente
ou decrescente:
R:
Tabela 14: Resultados para questão 4
Expressão analítica
Quantidade
%
Acertos
0
0
Erros
35
100
Crescente ou Decrescente
Quantidade
%
Acertos
17
49
Erros
18
51
Fonte: Pesquisa de campo.
A questão (5) que exigia do aluno resolver uma situação problema para
encontrar a estrutura algébrica da função afim e encontrar o valor numérico do
domínio da função a partir de uma imagem fornecida, obteve segundo a tabela
(5), 2 alunos (5,6%) alcançaram o objetivo da questão e 33 alunos (94,4%) não
tiverem mesmo eficácia, porém devemos ressaltar o poder de iniciativa por
parte do alunado, no qual dos 33 alunos que erraram apenas 4 alunos tentaram
encontrar uma solução.
36
Questão 5
05) A família de Seu Luiz ficou entusiasmada com o anúncio abaixo, tanto que
passaram cinco dias na praia. Entre refeições e diárias acabaram gastando R$ 680,00.
Escreva a função que representa a despesa diária (y) em função do número de
pessoas (x) e determine o número de pessoas da família que foram ao passeio.
ANÚNCIO
Apto. próximo à praia, com
acomodações para até 6 pessoas.
Diária R$ 80,00
mais refeição opcional
(R$ 14,00 ao dia por pessoa)
Tabela 15: Resultados para questão 5
Quantidade
%
Acertos
2
5,6
Erros
33
94,4%
Fonte: Pesquisa de campo.
4.3.4
ANÁLISE
QUALITATIVA
GERAL
(Comparativo
entre
os
questionários I e II)
Viabilizando a interpretação das anotações dos indivíduos dessa
pesquisa, realizaremos uma análise minuciosa com base em ambos os
questionários, fazendo um comparativo entre os registros dos alunos no 1º
questionário e no 2º questionário para tentarmos identificar possíveis
dificuldades na resolução das questões envolvendo o conteúdo de função afim.
Para isso, tomaremos como base algumas pesquisas realizadas anteriormente,
e tentaremos justificar alguns erros encontrados em respostas que foram
selecionadas e aqui destacadas. Os protocolos de pesquisa destacados
encontram-se em apêndice (APÊNDICE III) neste trabalho.
37
Análise referente à 1ª Questão:
A priori consideramos dois grupos: grupo G1 que representa os alunos
que obtiveram êxito na questão e o grupo G2 que representa os alunos que
erraram pelo menos um item da mesma.
G1: Neste grupo encontramos 7 alunos que obtiveram êxito em tal questão na
integra, ou seja, estes alunos conseguiram identificar em todos os itens, quais
representavam uma função afim e quais não representavam. Como referência
de tal sucesso, destacamos abaixo a resposta do protocolo de pesquisa A32
(ver apêndice III).
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 1)
G2: Neste grupo encontramos 28 alunos que não obtiveram êxito em tal
questão, ou seja, estes alunos responderam de forma equivocada pelo menos
um item da mesma. Como referência de tal insucesso, destacamos abaixo a
resposta no protocolo de pesquisa A25 (ver apêndice III).
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 2)
38
Comentários gerais:
Notamos que apenas 7 alunos conseguiram alcançar o objetivo da
questão identificando quais estruturas representavam uma função afim, porém,
28 alunos tiveram insucesso em pelo menos um item.
O item (a) foi o único respondido por todos os 35 alunos de forma
pertinente.
O item (b) foi respondido de forma equivocada por 24 alunos, isso deve
– se ao fato de estarmos trabalhando com um caso particular da função afim
denominada função constante, no qual o coeficiente angular é zero e isto
ocasiona uma diferença na estrutura formal da função, de f(x) = ax + b para f(x)
= b, talvez por esse motivo o aluno não considere a expressão como sendo
uma função afim. Vale ressaltar que esta dificuldade encontrada pelos alunos
em nossa pesquisa também fora encontrada nas pesquisas realizadas por
Markovits, Eylon & Buckheimer (1995).
O item (c) foi respondido de forma incorreta por 9 alunos, que não
souberam diferenciar uma função do 2º grau de uma função do 1º grau, este
tipo de erro reflete a falta de conhecimento dos alunos acerca do conteúdo e
principalmente acerca dos conceitos e definições que o envolve, de acordo
com Meira (1997), “o aprendizado do conceito de funções é importante pelo
fato deste conceito ser considerado uma ferramenta fundamental na
matemática”, e esta importância não esta sendo assimilada por grande parte
dos alunos, o que reflete nos resultados de nossa pesquisa.
O item (d) obteve consideráveis 12 alunos que não responderam a
questão de forma correta, afirmando que, pelo fato dos coeficientes da função
estarem representados por números racionais, a mesma não pode ser
classificada como uma função afim, refletindo mais um problema de definição.
O item (e) reflete de fato a falta de conhecimento teórico acerca do
conteúdo de função afim, pois 10 alunos consideraram uma equação do 1º
grau como sendo uma função afim, além de nossa pesquisa este tipo de erro já
ocorreu também em outro trabalho realizado por Fossa e Fossa (2001), onde
eles afirmaram que o conceito de equação, função e gráfico se confundem para
39
a maioria dos sujeitos investigados. Por isso eles sugerem, que a noção de
função seja apresentada por meio de atividades de modelagem de situações
físicas concretas, além de enfatizarem o fato de que podemos usar certas
equações e gráficos para representar relações funcionais.
Para finalizarmos nossa análise em relação à questão 1 gostaríamos de
salientar e justificar tais dificuldades encontradas, pois ao fazermos um
comparativo com o questionário I (ver apêndice I) verificamos que grande parte
dos alunos afirmou que apenas lembravam ter estudado a definição de função
afim mas não afirmou possuir maior domínio, o que confirma o baixo
desempenho nas atividades relacionadas com a definição de função afim e um
deles é o caso do sujeito A 25 destacado como exemplo tal insucesso nos itens
b, c, d e e na questão para análise.
Análise referente à 2ª Questão:
Para a questão (2), também separamos dois grupos que refletem o
desempenho dos alunos, seja positiva ou negativamente. Selecionamos um
registro que pudesse representar o grupo de alunos que quase obtiveram êxito
na questão, o grupo G1 e outro registro que demonstra o insucesso de outro
grupo o G2, no qual os alunos não conseguiram resolver a questão.
G1: Neste grupo não encontramos alunos que tivessem acertado 100% da
questão, mas decidimos considerar algumas resoluções pertinentes da mesma,
de modo que se tenha percebido que o aluno possuía algum conhecimento
acerca do conteúdo e por isso consideramos a questão meio certa como é o
caso do sujeito A22 (ver apêndice III) que nos chamou a atenção apenas pelo
erro do sinal, por isso mereceu destaque:
40
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 3)
G2: No segundo grupo encontramos 8 questionários em branco, e 14 errados,
no exercício em questão, portanto destacamos o registro do sujeito A12 que
mostra este tipo de erro comum cometido pelos alunos:
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 4)
Comentários Gerais:
Na questão (2), notamos que nenhum aluno acertou a questão por
completo, portanto, dos 35 alunos que erraram, 14 alunos tentaram achar uma
solução, 8 alunos deixaram em branco e 13 alunos conseguiram fazer a
metade.
Dos 14 alunos que tentaram resolver a questão muitos tiveram
insucesso como no exemplo do sujeito A12 (ver apêndice III). Isto pode
ocorrido pelo fato de não conhecerem outras formas de representação da
função, que neste caso estava representada por tabela, e esta dificuldade
encontrada pelos alunos é vista no trabalho de Duval (1995) quando salienta
41
que as dificuldades são geradas pela falta da diversidade que é característica
fundamental na matemática, ou seja, as várias representações no ensino de
função é um mecanismo fundamental de aprendizado.
Dos 13 alunos que conseguiram encontrar a solução pela metade, a
maioria não conseguiu montar a expressão analítica da função, mas conseguiu
encontrar os coeficientes linear e angular da mesma e que representa parte
fundamental na sua construção. A dificuldade encontrada pelos alunos pode
ser justificada também pelo fato de que em alguns casos as variações também
possuem suas restrições, como enfatiza Meira (1997, p. 80) afirmando que “o
uso tradicional de tabelas apenas como um „arquivo‟ de coordenadas a serem
grafadas no plano Cartesiano limita seriamente as possibilidades deste sistema
representacional”, talvez daí surja à necessidade de se compreender inúmeras
variações possíveis para que se possa ter sempre um leque de opções que
tornem o aprendizado mais efetivo. Apenas um aluno conseguiu montar a
expressão analítica que é o caso do sujeito A22 (ver apêndice III), mas
cometeu um equívoco no sinal do coeficiente angular da função, por causa do
“jogo de sinal”.
Realizando uma análise da questão resolvida pelos alunos e os
resultados do questionário I (ver apêndice I), verificamos que esta dificuldade
também pode estar relacionada a metodologia de ensino adotada pelo
professor, pois metade dos alunos reprovaram esta ação como suficiente para
o seu aprendizado, não obtemos informações das diferentes representações
que podem ter sido utilizada por ele, portanto, este comentário é apenas uma
suposição.
Análise referente à 3ª questão:
Na terceira questão, consideramos apenas dois grupos, o grupo G1,
referente aos alunos que não conseguiram reconhecer a representação da
função afim através do gráfico e o grupo G2 que conseguiu reconhecer a
função através da representação e marcou o item correto.
42
G1: Neste grupo 22 alunos não reconheceram a função a partir da
representação gráfica e como exemplo deste insucesso destacamos o sujeito
A17 (ver apêndice III):
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 5)
G2: Este grupo é representado pelos 13 alunos que obtiveram êxito na questão
e conseguiram reconhecer o gráfico que representava uma função afim, dentre
eles está o sujeito A29 (ver apêndice III):
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 6)
43
Comentários Gerais:
Na questão (3) verificamos que 22 alunos não reconheceram a função
afim a partir da representação gráfica e 13 alunos a reconheceram, um deles é
o sujeito A29 (ver apêndice III) utilizado como exemplo na análise da questão.
Consideramos tal resultado insatisfatório, pois a representação gráfica é
muito utilizada no ensino médio, e o percentual de alunos que não conseguiram
identificar o gráfico foi considerável, como mostramos no exemplo do sujeito
A17 (ver apêndice III), este é mais um problema que pode ser justificado não
só pela ausência de conhecimento do conceito, mas principalmente pela falta
da diversidade citada na questão anterior.
Fazendo uma relação do exercício em questão com o dos resultados
obtidos no questionário I, podemos verificar que grande parte dos alunos
afirmou ter dificuldade na construção e identificação de gráficos, o que pode
justificar este baixo nível de acertos, e que pode ser justificada pelas
observações acima.
Análise referente à 4ª questão:
Na quarta questão, selecionamos três grupos, o grupo G1, que
representa os alunos que não acertaram a primeira pergunta da questão, o
grupo G2, que representa os alunos que não acertaram a segunda pergunta da
questão e o grupo G3, que representa os alunos que obtiveram êxito apenas
na segunda pergunta.
G1: Na primeira pergunta nenhum aluno foi capaz de encontrar uma solução,
totalizando 35 alunos que erraram a questão, assim como no G2, temos 18
alunos que não conseguiram responder a segunda pergunta corretamente, com
destaque, representando os dois grupos, o sujeito A32 (ver apêndice III):
44
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 7)
G3: Neste grupo, encontramos 17 alunos que conseguiram responder a
questão corretamente, afirmando que a função apresentada classificava-se
como crescente, como destacamos o registro do sujeito A11 (ver apêndice III):
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 8)
Comentários Gerais:
Na questão (4), encontramos um índice muito baixo de aproveitamento
nas respostas da primeira situação exigida, ou seja, encontrar a expressão
analítica da função, pois nenhum aluno foi capaz de solucionar a questão, os
alunos deveriam identificar os pontos na reta e a partir deles seja por sistema
ou determinante, encontrar a função desejada, além disso 18 alunos não
conseguiram identificar que a função era crescente.
Estes resultados refletem novamente a situação já citada anteriormente,
que é a dificuldade pela ausência do conhecimento das diferentes
representações da função, e um exemplo utilizado, como o do sujeito A32 (ver
45
apêndice III) nos revela total desconhecimento acerca do conteúdo, já no caso
do sujeito A11 (ver apêndice III), podemos encontrar uma tentativa de
resolução que pode ser mais bem trabalhada, neste caso tratando das
questões algébricas.
Análise referente à 5ª questão:
Na quinta questão, encontramos apenas dois grupos, o grupo G1,
referente aos alunos que não conseguiram acertar a questão e o grupo G2,
representando os alunos que tiveram sucesso na resolução da mesma.
G1: Neste grupo encontramos 33 alunos que não conseguiram solucionar o
problema matemático envolvendo o conteúdo de função, como exemplo,
destacamos o protocolo do sujeito A6 (ver apêndice III):
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 9)
G2: Este grupo representa apenas os dois alunos que conseguiram solucionar
a questão de forma coerente, construindo a expressão analítica e solucionando
o problema, portanto destacamos o sujeito A20 (ver apêndice III), que
representa tal sucesso na resolução:
46
Fonte: Pesquisa de campo.
(Figura 10)
Comentários Gerais:
Na quinta questão 33 alunos não conseguiram solucionar a questão, no
caso encontrando além da expressão analítica construída a partir de dados do
texto a solução exigida após a construção e apenas 2 alunos conseguiram
desenvolver a questão de forma coerente.
Dos alunos que resolveram a questão corretamente, destacamos o
sujeito A20 (ver apêndice III) que solucionou a questão de maneira bem
organizada e coerente.
Com relação aos alunos que não conseguiram obter êxito na questão,
destacamos o sujeito A6 (ver apêndice III), que apesar de tentar solucionar a
questão não conseguiu interpretar o problema de forma correta. Esta
dificuldade pode estar relacionada principalmente com a interpretação da
situação problema e também com relação ao conhecimento básico dos
conteúdos matemáticos, por exemplo, o conceito, para Duval (1995) é
importante a utilização de diferentes formas de representação da função, que
neste caso é feita com os elementos dispostos em uma situação problema,
quanto menos isto ocorre menos compreensão o aluno terá, pois o
aprendizado permanecerá mecânico.
47
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Propusemo-nos com esta pesquisa verificar quais as principais
dificuldades encontradas pelos alunos no processo ensino e aprendizagem de
função Afim, e para tanto, aplicamos dois questionários para alunos do 1º ano
do Ensino Médio de uma escola particular do município de Belém nos mês de
Agosto de 2008. :
Após aplicarmos o instrumento de coleta de dados realizamos um
comparativo do questionário I (ver apêndice I) com o questionário II (ver
apêndice II) verificando de que forma o perfil do sujeito investigado, sua vida
estudantil e a metodologia de ensino adotada pelo professor interferem positiva
ou negativamente no processo.
Com relação à origem das dificuldades encontradas pelos alunos
verificamos que, grande parte dos alunos estuda individualmente e o que nos
chamou atenção foi à falta de acompanhamento de seus estudos por parte dos
pais ou de outra pessoa, pois, pelos resultados encontrados no questionário II
este acompanhamento se faz muito necessário. Também notamos que a
maioria dos alunos estudou este conteúdo a primeira vez na 8ª série do ensino
fundamental e talvez pelo fato de não ter tido uma boa base do conteúdo isto
tenha interferido no processo.
Os alunos em geral afirmaram que apenas lembravam ter estudado
determinados tópicos que foram colocados a eles na questão sobre o
conteúdo, além afirmarem que estes tópicos eram considerados difíceis,
portanto não possuíam um bom domínio, alguns afirmaram ter este domínio
apenas em equações do 1º grau também classificando este tópico como fácil,
pois consideremos que este tópico por ser ministrado na 6ª série tenha sido
assimilado melhor pelos alunos. Outra situação que requer reflexão é a falta de
preparação dos próprios alunos, pois a maioria afirmou estudar apenas
véspera de provas.
Verificamos mais além e destacamos aqui o fato dos alunos terem
afirmado que o professor utiliza-se de uma metodologia tradicional, com
definição, exemplo e exercícios e quase metade dos alunos afirmou não
48
concordar com esta metodologia por não ser eficaz para a aprendizagem dos
conteúdos matemáticos.
Em relação às questões resolvidas pelos alunos, encontramos em
nossos protocolos de pesquisa situações extremamente preocupantes, pois
com relação à questão (1) do questionário II, envolvendo a estrutura da função
Afim, muitos alunos confundiam equações, funções do 2º grau, com a função
desejada, segundo Markovits, Eylon e Bruckheimer (1995), os alunos muitas
vezes têm a concepção errada de que toda função é uma função afim, a falta
de conhecimento e apreensão do conceito pode ter gerado estas dificuldades,
talvez a forma como seja repassada a idéia, como Pelho (2005) afirma em seu
trabalho, que o conceito é introduzido sempre de maneira direta e formal o isso
prejudica a seu aprendizado.
Na questão (2), (3) e (4) os alunos tiveram grande dificuldade quanto às
diferentes representações da função (tabelas e gráficos). Portanto, verificamos
como citado anteriormente que o ensino direto e formal poderia ter momentos
de reflexão para que de alguma forma os professores possam ter ferramentas
de substituição e os alunos passem a ter mecanismos diferenciados de
aprendizado, em sua pesquisa Duval (1995) considera a matemática como um
universo diversificado, e estes diferentes registros, é que podem tornar o
ensino mais eficaz, além disso ele cita também que as conversões devem ser
executadas forma coerente.
Na questão (5) além do conhecimento acerca do conceito da função, no
geral os alunos não conseguiram interpretar a situação problema, logo vários
alunos deixaram a questão em branco, consideramos nesta questão além das
dificuldades citadas anteriormente o problema da interpretação.
Dessa maneira, percebemos que os sujeitos investigados têm
dificuldades em desenvolver atividades envolvendo o conteúdo de função Afim
e estas dificuldades estão relacionadas principalmente com:

Apreensão do conceito, principalmente de maneira formal.

Outras formas de representação entre elas, gráfico e tabelas.
49

Interpretação de situações problemas.
De acordo com os resultados obtidos no questionário I atribuímos estas
dificuldades também aos próprios alunos, principalmente pela aversão a
disciplina e sugerimos um acompanhamento aos seus conteúdos escolares por
parte de pais ou responsáveis e dedicação dos próprios alunos. Outra situação
a ser registrada é a metodologia adotada pelo professor, sugerimos também
que novas metodologias de ensino possam fazer parte dessas ferramentas
utilizadas por eles, pois talvez dessa forma, seja possível gerar incentivo aos
alunos, tornando-os mais compreensivos e sabedores, principalmente àqueles
que não aceitam a disciplina.
Vivenciamos diariamente inúmeras dificuldades encontradas pelos
alunos no processo ensino e aprendizagem da matemática, desde o ensino
fundamental até o ensino superior e algumas delas por exemplo, em função
Afim que foram citadas anteriormente, notamos que pouco tem sido feito para
que esta situação melhore, o que se tem de concreto são trabalhos realizados
na área da educação matemática que demonstram tais dificuldades e que
servem de orientação para futuros docentes, na verdade não temos um
documento ou um fato que comprove que estas pesquisas são utilizadas com
eficiência para uma possível melhora neste processo, portanto, desejamos que
de alguma forma tenhamos sido úteis para esse processo de reflexão e ao
menos podemos afirmar que para nossa vida profissional este estudo será bem
assimilado e por conseqüência utilizado com eficiência.
50
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Ministério da Educação (MEC) Secretaria de Educação Média
eTecnológica (Semtec). Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Médio. Brasília:MEC/Semtec, 1999.
COSTA, A. C. e MESSIAS, M. A. Um estudo sobre as principais dificuldades
em função afim no nível médio. In: Revista Eletrônica. Sbem-PA, 200?.
DUVAL,
R.
Semiosis
et
pensée
humaine:
Regitres
sémiotiques
et
apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang, 1995.
FOSSA, J. e FOSSA, M. G. Funções, equações e regras. In: FOSSA, J. (Org.).
Ensaios sobre a Educação Matemática. Belém: EDUEPA, 2001, p. 153-165.
LOPES, W. S. A importância da utilização de múltiplas representações no
desenvolvimento do conceito de função: uma proposta de ensino. Dissertação
de (Mestrado em Educação Matemática) – PUC, São Paulo, 2003.
MARKOVITS, Z., EYLON, B. S. e BRUCKHEIMER, M. Dificuldades dos alunos
com o conceito de função. In: As idéias da álgebra. Org.Arthur F.Coxford e
Albert P. Shulte.São Paulo: Atual, p.49-69, 1995.
MEIRA, L. L. Aprendizagem e ensino de funções. In: Estudos em Psicologia da
Educação Matemática. 2ªed. Recife: Universitária da UFPE, 1997, p. 62 – 83.
PELHO, E. B. B. Introdução ao conceito de função: a importância da
compreensão das variáveis. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)
– PUC, São Paulo, 2003.
SILVA, M. C. ENSINO E APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES: Considerações
sobre os parâmetros curriculares nacionais e pesquisas desenvolvidas na
educação matemática. PUC - SP, 2008.
SOUZA, R. N. S. de, A construção da noção de função linear: transitando em
diferentes registros de representação semióticos. Programa de Mestrado
Acadêmico em Educação: Universidade do Vale do Itajaí. Itajaí - SC.
Dissertação de Mestrado. 2003.146p.
51
SOUZA, R. N. S. e CORDEIRO, M. H. Os registros de representação como
ferramenta do pensamento na resolução de problemas matemáticos que
envolvem o conceito de função linear: In: Contrapontos. Itajaí: Editora da
Univali, ano 2, nº 6, p.439-448, set/dez 2002.
http//:dspace.c3sl.ufpr.br/dspace/bitstream/1884/6601/3/TeseV3.pdf
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www.sbempaulista.org.br/epem/anais/Comunicacoes_Orais%5Cco0018.doc
<acesso em: 2 de novembro de 2008>
52
Centro de Ciências Sociais e da Educação
Curso de Matemática
Av. Djalma Dutra S/n
66030-010 Belém - PA