SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?
Temos 5 grupos com 5 possibilidades cada uma, então:
5.5=25 casais
Se fossem duplas:
Teríamos 10 grupos com 9 possibilidades cada uma, mas observe que
cada dupla está sendo contada duas vezes. Então, o total de duplas
possíveis é dado por
.
2. Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as
cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode
usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a
bandeira?
Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de
escolher a cor da primeira lista e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de
cada uma das outras 6 listras. Assim, teremos
3 . 2 . 2 . 2. 2 . 2. 2 = 192 possibilidades de colorir a bandeira.
3. Numa sorveteria há 4 sabores de picolés e 6 sabores de sorvetes. Se o Rafael
tem dinheiro para comprar apenas um picolé ou um sorvete, de quantas maneiras
poderá fazer o seu pedido?
Se o Rafael tem dinheiro para comprar apenas um dos produtos, terá que
escolher entre um dos 4 sabores de picolés
P1 P2
P3
P4
ou um dos 6 sabores de sorvetes
S1 S2 S3 S 4 S5 S6
Ao todo então poderá fazer 10 pedidos.
4. Numa sorveteria há 4 sabores de picolés e 6 sabores de sorvetes. Se o Rafael
tem dinheiro para comprar apenas um picolé e um sorvete, de quantas maneiras
poderá fazer o seu pedido?
Como para cada picolé escolhido há 6 possibilidades de escolha do sorvete,
no total teremos
4 . 6 = 24 pedidos possíveis.
5. Quantos são os números de três dígitos distintos?
Para o primeiro dígito podemos escolher um dos 9 algarismos, pois o zero não
pode ser utilizado. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não
pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8
modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro, nem ao segundo dígito.
Assim teremos
9 . 9 . 8 = 648 números de três dígitos distintos.
6. Quantos são os números de três dígitos?
Aqui os dígitos podem se repetir, podemos usar todos os dez algarismos (de 0
a 9), com exceção do primeiro dígito, que não pode ser zero. Assim
9. 10 . 10 = 900
7. Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
Temos as seguintes possibilidades para a escolha de três dígitos:
Primeiro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  9 modos
Segundo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  10 modos
Terceiro: apenas 0, 2, 4, 6, 8  5 modos.
Como queremos montar números com dígitos distintos, o dígito utilizado em
uma posição, não pode ser usado nas demais. Fixemos o último dígito e
analisemos de quantos modos podemos escolher os outros dígitos:
_______
_________
0
:
9 . 8 = 72
_______
_________
2
:
8 . 8 = 64
_______
_________
4
:
8 . 8 = 64
_______
_________
6
:
8 . 8 = 64
_______
_________
8
:
8 . 8 = 64
Total: 72 + 4. 64 = 328.
8. Numa urna existem bolas vermelhas, pretas e azuis. Uma bola é retirada, tem
sua cor anotada e é devolvida à urna. Qual é o número de resultados possíveis em
3 extrações sucessivas?
Primeira extração: 3 possibilidades
Segunda extração: 3 possibilidades
Terceira extração: 3 possibilidades.
Total: 3 . 3. 3 = 27
9. Para fazer uma viagem Pelotas-Porto Alegre, pode-se usar como transporte o
ônibus, o carro ou o avão. De quantos modos pode-se escolher os transportes não
se usando na volta o mesmo meio usado na ida?
Para a ida dispõe-se de três possibilidades de escolha; ao escolher-se uma,
restam somente duas escolhas para a volta. Desta forma, temos
3 . 2 = 6.
10. De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda?
À primeira vista parece que para formar uma roda com as cinco crianças basta
escolher uma ordem para elas, o que poderia ser feito por
5 . 4 . 3. 2. 1 = 120 modos.
Entretanto as rodas ABCDE e EABCD são iguais, pois na roda o que importa é
a posição relativa das crianças entre si. Como cada roda pode ser “virada” de
cinco modos, a nossa contagem de 120 rodas contou cada roda 5 vezes.
Assim o número de rodas formadas será
120/5 = 4.
Uma visualização desse resultado para n = 4:
11. De quantas maneiras pode-se premiar os três melhores alunos de uma classe
com 20 alunos?
Primeiro lugar: pode ser um dos 20 alunos da turma
Segundo lugar: pode ser um dos 19 alunos restantes
Terceiro lugar: pode ser um dos 18 alunos restantes.
Total: 20 . 19 .18 = 6840
12. De quantas maneiras pode-se distribuir três prêmios a uma classe com 20
alunos?
Primeiro prêmio: pode ser para um dos 20 alunos da turma
Segundo prêmio: pode ser para um dos 20 alunos da turma
Terceiro prêmio: pode ser para um dos 20 alunos da turma
Total: 20 . 20 .20 = 8000