ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UFRN
GABARITO DA QUESTÃO DISCURSIVA
TERCEIRA PROVA DE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA
Turma 6
08/12/2015
ECT 2102
Prof. Ronaldo Batista
Questão 5
Partindo da denição da elipse, determine a equação da elipse que tem focos F1 (−4, 0), F2 (4, 0) e
tem semi-eixo maior igual a 5.
Solução:
A elipse é o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante, sendo esse
valor igual ao comprimento do eixo maior (2a). Portanto temos a seguinte equação para seus
pontos P (x, y)
|F1 P | + |F2 P | = 2a .
Sendo seu semi-eixo maior igual a 5, temos 2a = 10, então sua equação será dada por:
q
(x + 4)2 + y 2 +
q
(x − 4)2 + y 2 = 10 (0, 5pt)
q
(x + 4)2 + y 2 = 100 − 20 (x − 4)2 + y 2 + (x − 4)2 + y 2
q
16x − 100 = −20 (x − 4)2 + y 2
q
4x − 25 = −5 (x − 4)2 + y 2
16x2 − 200x + 252 = 25 x2 − 8x + 16 + y 2
9x2 + 25y 2 = 252 − 25 · 16 = 25 (25 − 16) = 25 · 9
resposta:
x2 y 2
+
= 1 . (1, 5pt)
25
9
1
Questão 6
Determine se o ponto S (0, 1, 3) está mais próximo da reta r ou do plano M dados abaixo. (2,0
pontos)

r:

 x = 1 + 2t
y =
=

 z
2
−t
e M : −6x + 3y − 2z = −2 .
Solução:
Para saber se o ponto S está mais mais próximo da reta r ou do plano M precisamos determinar
as distâncias de S a r, dr , e S a M , dp . Temos
−−→
|Pr S × ~v |
dr =
,
|~v |
−−→
onde ~v = (2, 0, −1) é o vetor diretor de r e Pr (1, 2, 0) ∈ r. Então Pr S = (−1, −1, 3) e


î
ĵ
k̂
−−→


Pr S × ~v = det  −1 −1 3  = î + 5ĵ + 2k̂ ,
2
0 −1
√
√
−−→
|Pr S × ~v | = 30 e |~v | = 5 , portanto
√
30 √
dr = √ = 6 (0,9 ponto).
5
Já dp é dado por
dp =
−−→
|Pp S · ~n|
,
|~n|
−−→
onde Pp (0, 0, 1) ∈ M e ~n = (−6, 3 − 2) é o vetor normal ao plano. Então Pp S = (0, 1, 2),
−−→
Pp S · ~n = −1 e |~n| = 7 ,
assim
| − 1|
1
= (0,9 ponto).
7
7
Note que dp < 1 e dr > 1, portanto dr > dp e então o ponto S está mais próximo do plano
M (0,2 ponto válido acertando dp e dr ).
dp =
2