MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS
CÔNICAS
QUESTÕES:
01. Determine o centro, o comprimento do eixo maior, o comprimento do eixo menor, a distância focal, as
coordenadas dos focos, a excentricidade e o gráfico das elipses:
y²
( x  6)²
y²
( y  4)²
x²
a)
b)
c)

1

1
 ( x  2)²  1
25
9
25
16
9
y²
y²
y²
x²
x²
x²
d)
e)
f)

1

1

1
25 16
64 100
49 36
( x  2)² ( y  3)²
( x  3)² ( y  2)²
g)
h) 4x² + 9y² – 16x + 18y – 11 = 0
i)

1

 1.
81
64
169
144
J) x² + 3y² = 6
k) 9x² + 5y² + 54x – 30y + 81 = 0
l) 4x² + y² + 32x – 6y + 69 = 0
m) 4x² + y² – 8x = 0
n) 9x² + 4y² – 18x – 16y – 11 = 0
02. (CESESP-PE) Dada a elipse de equação 25x² + 9y² – 90y = 0, assinale a alternativa que nos indica
corretamente as coordenadas do centro, dos focos, as medidas do eixo maior e menor e a distância
focal, respectivamente.
a) C(0, 0), F1(0, –4), F2(0, 4), 10, 6, 8
d) C(5, 0), F1(1, 0), F2(9, 0), 6, 8, 10
b) C(0, 5), F1(0, 1), F2(0, 5), 4, 8, 6
e) C(0, 5), F1(0, 1), F2(0, 9), 10, 6, 8
c) C(0, 3), F1(1, 0), F2(5, 0), 10, 6, 3
03. (UFPR) Um dos focos da elipse
a) (3, 0)
b) (0, 3)
y²
x²

 1 é o ponto:
16 25
c) (0, 4)
d) (0, 5)
e) (0, 6)
04. (UDESC-SC) A área do triângulo cujos vértices são os focos da elipse
circunferência x² + (y + 3)² = 1 é:
a) 9/2
b) 3
05. Trace o gráfico da equação
c) 9
x² y²

 1 e o centro da
13
4
d) 7/2
e) 18
y²
x²

 1.
64 100
06. Os eixos de uma elipse medem 35 cm e 28 cm. Obtenha sua distância focal. 21
07. O eixo maior de uma elipse mede 15 cm e seu eixo menor, 8 cm. Obtenha sua distância focal e sua
excentricidade.
08. A excentricidade de uma elipse vale 0,8 e um de seus pontos dista dos focos 18 cm e 12 cm. Calcule o
comprimento de seus semi-eixos. 15 e 9
09. Os pontos A(3, 0) e B(x, y) estão sobre uma elipse cujos focos são F 1(–2, 0) e F2(2, 0). Calcule o
perímetro do triângulo BF1F2.
10. (PUC-SP) Um ponto P da elipse
x² y²

 1 dista 2 de um dos focos. Qual é a distância de P ao outro
9
4
foco da elipse ? 4
11. (UEMA) Os focos de uma elipse estão sobre a reta y = x. As abscissas desses focos são –2 e 2, e o
gráfico da elipse corta a reta y = x no ponto P cuja ordenada é 5/2. O eixo maior dessa elipse mede:
a) 3 2 + 2
b) 7 2
c) 5 2
d)
2 +7
e) 4 2 + 1
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12. Obtenha e equação da elipse de:
a) focos F1(– 3 , 0) e F2( 3 , 0) e o eixo menor de comprimento igual a 6. x²/12 + y²/9 = 1
3
x²/48 + y²/12 = 1
2
c) focos F1(4, 9) e F2(4, 3) e eixo maior com extremos nos pontos (4, 1) e (4, 11)
( x  4)² ( y  6)²
Resp.

1
16
25
b) focos F1(–6, 0) e F2(6, 0), e excentricidade e =
13. Determine a equação da elipse de focos F1(3, 0) e F2(–3, 0), sabendo que o comprimento do eixo maior
x² y²
é 8 . Resp.

1
16
7
14. (FGV-SP) Uma elipse tem centro na origem, eixo maior medindo 12, contido no eixo das abscissas e
distância do centro a um dos focos igual a 4.
a) Obtenha as coordenadas dos focos e a medida do eixo menor. Resp. (–4, 0), (4, 0) e 4 5
y²
x²
b) Achar a equação da elipse. Resp.

1
36 20
15. As metades do eixo maior e a distância focal de uma elipse medem, respectivamente, 5 cm e 4 cm, e o
centro dela é o ponto (2, 1). Se o eixo menor é paralelo ao eixo coordenado Ox, escreva a equação
reduzida dessa elipse.
16. Determine a equação da elipse cujos focos são os pontos F 1(2, 0) e F2(–2, 0), sendo 6 cm a medida de
seu eixo menor.
17. Qual é a equação da elipse que tem focos F1(0, 0) e F2(0, 2) e eixo maior 6?
18. O ponto C(–3, –2) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria são
paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação da elipse.
19. O ponto P(4, 3) pertence à elipse, cujos focos e centro são F 1(0, 5), F2(0, –5) e C(0, 0). Determine a
equação dessa elipse. Resp.
y2
x²

1
20 45
 12 
20. Qual a equação da elipse de focos F1(–3, 0) e F2(3, 0) que passa pelo ponto  4,
 ? x²/25 + y²/16 = 1
 5 
27 

21. Determine a equação da elipse cujos focos são F1(–12, 0) e F2(12, 0) e que contém o ponto P 12,
.
5 

22. Determine a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,
F1(0, –2).
6 ) e tem um foco
23. Determine a equação da elipse cujo centro é C(–2, –1), a qual passa pelos pontos A(–1, –1) e B(–2, –3),
possuindo os seus eixos paralelos aos eixos cartesianos.
24. (UNICAMP-SP) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a Terra em um de seus focos. Esse satélite
atinge velocidade máxima e mínima nos pontos de maior e menor proximidade da Terra,
respectivamente, quando então essas velocidades são inversamente proporcionais às distâncias do
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satélite à Terra (com mesma constante de proporcionalidade). Calcule a excentricidade da órbita do
satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o dobro da velocidade mínima. (A excentricidade,
como se sabe, é o quociente da distância a entre os focos pelo comprimento do eixo maior). Resp. 1/3
25. Em um terreno plano, com a forma aproximada de uma elipse, o governo federal vai construir duas
estações transmissoras para controle do tráfego aéreo. O terreno pode ser descrito aproximadamente
pela equação 4x² + y² = 100 (x e y em quilômetros). As estações transmissoras serão localizadas nos
focos das elipses. Qual será a distância entre elas? Escolha a aproximação que lhe parece mais
conveniente.
a) 16 km
b) 17 km
c) 18 km
26. (UEL-PR) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 15 m de
largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar
inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que
correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores?
a) 4 m
b) 6 m
c) 8 m
d) 10 m
e) 12 m
27. Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das
hipérboles:
( x  3)² ( y  4)²
x² y²
x²
a)
b)
c) ( y  5)² 

1

1
1
9
16
5
4
3
y² x²
( x  1)² ( y  2)²
x² y²

1

 1.
d)
e)
f)

1
2
7
12
4
13
3
( y  7)² ( x  9)²
( x  2)²
y²

1
g)
h)
i) 9x² – 16y² + 160y – 544 = 0

1
2
47
16
20
j) y² – x² + 4y – 8x – 13 = 0
k) x² – y² = 1
l ) 4x² – 25y² = 100.
29
Resp. Letra (l) F1( 29, 0), F2 (  29, 0), A 1(5, 0), A 2 ( 5, 0), e 
5
28. (AFA-SP) A equação (x + y)(x – y) = 1 representa:
a) um hipérbole com excentricidade e =
b) duas retas perpendiculares entre si
29. Numa hipérbole, a excentricidade é e =
2 30
c) um elipse com centro na origem
d) uma hipérbole cuja distância focal é igual a 2
5 e os vértices são A1(2, 0) e A2(–2, 0). Determine as
coordenadas dos focos da hipérbole. Resp. F1(2 5 , 0) e F2(–2 5 , 0).
30. Encontre a excentricidade de uma hipérbole em que o eixo principal mede 2a = 10 e o eixo secundário,
2b = 24. 13
31. Determine a distância focal de uma hipérbole em que sua excentricidade vale 8/3 e o semi-eixo
imaginário, 8 dm.
32. Os eixos de uma hipérbole medem 102 mm. Encontre sua distância focal e sua excentricidade. 102 2 e
2
33. A excentricidade de uma hipérbole vale 2,6 e seu semi-eixo real, 10. Determine a distância focal e o
valor do semi-eixo imaginário.
34. Um ponto P de uma hipérbole dista 8 cm e 4 cm, respectivamente, de seus focos. A distância focal
dessa hipérbole vale 10 cm. Determine seus semi-eixos. 52 e 24
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35. (UFBA) Considere uma elipse e uma hipérbole no plano cartesiano, ambas com centro na origem e eixos
 15 
de simetria coincidindo com os eixos coordenados. Sabendo que os pontos (3, 0) e 
, 1 pertencem
 2 


à elipse e que os pontos
 2, 0 e (2, 1) pertencem à hipérbole, determine os pontos de intersecção
dessas cônicas. (  6,  2 ),(  6, 2 ),( 6,  2 ) e ( 6, 2 )
36. (USF-SP) Se a diagonal de um quadrado coincide com o eixo transverso da hipérbole de equação
y2
x²

 1 , a área desse quadrado, em unidades de área, é igual a:
36 25
a) 36
b) 48
c) 50
d) 72
e) 90
2
2
37. (PUC-SP) A equação de uma das assíntotas à hipérbole x – y = 16 é:
a) y = 2x – 1
b) y = 4x
c) y = x
d) y = 2x + 1
e) y = 2x
38. Determine as equações das assíntotas da hipérbole de equação 9x² = (2y + 6)(2y – 6). 3x + 2y = 0 e 3x –
2y = 0
39. Obtenha a equação da hipérbole de focos:
a) F1(–4, 0) e F2(4, 0) e que passa pelo ponto P(–3, 0)
b) F1(–8, 0) e F2(8, 0) e excentricidade igual a 4.
40. Dê a equação da hipérbole de centro (6, –1) e eixo real paralelo ao eixo das abscissas, sabendo que o
eixo real mede 9 e o imaginário mede 5. 4(x – 1)²/81 – 4(y + 1)²/25 = 1
41. Dê a equação da hipérbole de centro (10, –2) e eixo real paralelo ao eixo das ordenadas, sabendo que o
eixo real mede 10 e o eixo imaginário mede 4.
42. Determine a equação da hipérbole cujos focos são F1(5, 0) e F2(–5, 0) e o eixo real mede 6.
43. Determine o vértice, o parâmetro, o foco, a equação da diretriz e esboce o gráfico das parábolas
a) (x – 1)² = 16(y + 1)
b) (y – 3)² = –4x
c) (x – 1)² = –8y
d) (x – 3)² = –2(y – 3)
e) y² = 18x
f) y² = –20x
g) y² = 20x
h) x² + 4x + 8y + 12 = 0
i) (y – 2)² = 16(x – 3)
j) y² = –4x
k) x² = –4y
l) 2x² – 7y = 0
m) y² – 16x = 0.
n) x = 2y²
o) x = y² + 2y – 2
p) (y + 3)² = 12(x – 2)
q) y² – 7x – 6y + 9 = 0.
r) 3x = y² + 2y – 5
s) x² = 3y
t) x = –2y²
u) y² = –12x
1
1
v) y² + 10y + 16x – 73 = 0
x) y =
z) x² + y = 0.
x²  x  1
16
8
1
1

Resp. letra(z) F 0,   e (d) : y 
4
4

44. (PUC-SP) As coordenadas do vértice da parábola 2x² + 4x + 3y – 4 = 0 são:
a) (1, –2)
b) (–1, 0)
c) (–1, 2)
d) (0, –1)
e) (1, 1)
45. (UFAL) Determine a equação da reta r, paralela ao eixo x, que passa pelo vértice da parábola de
equação x² – 10x – 4y + 29 = 0
46. Determine a distância entre os focos das parábolas y = x² e x = y²
47. (VUNESP) A distância do vértice da parábola y = (x – 2)(x – 6) á reta y =
4
x + 5 é:
3
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a)
72
25
b)
29
25
c) 43
d)
43
25
e)
43
5
48. Deduza a equação das parábolas que apresentam foco e diretriz seguintes:
a) F(–3, –2); y + 4 = 0 Resp. (x + 3)² = 4(y + 3)
c) F(0, 5); x – 2 = 0 Resp. (y – 5)² = –4(x – 1)
b) F(0, –3); y – 3 = 0 Resp. x² = –12y
d) F(–1, 0); x – 1 = 0 Resp. y² = –4x
49. Obtenha a equação da parábola de:
a) foco F(0, 5) e vértice V(0, 1)
f) F(2, 2) e diretriz x = 2
b) foco F(0, –1) e diretriz y = 4
g) V(2, 1) e F(4, 1)
c) foco F(3, 2) e vértice V(2, 2)
h) F(5, 2) e diretriz x – 4 = 0
d) F(3, 0) e diretriz x = 5
e) vértice V(3, –4), que passa por P(1, –2) e tem eixo de simetria paralelo ao eixo x.
50. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz d, sendo F(1, 0) e (d): x = 1. Resp. y² – 4x = 0
51. Obtenha a equação da parábola cuja diretriz é d: x = –2 e cujo foco é F(6, 0).
52. Uma parábola tem o foco no ponto F(0, –6) e a diretriz é a reta de equação y – 6 = 0. Determine a
equação da parábola . Resp. x² + 24y = 0
53. Obtenha a equação da parábola de vértice V(2, –1), com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y,
passando pelo ponto P(–2, –3). Resp. (x – 2)² = –8(y + 1)
54. Uma parábola tem vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo dos x e passa pelo ponto
P(4, –7). Qual é a sua equação?
55. Dê a equação da parábola simétrica relativamente ao eixo dos y e que passa pelos pontos de
intersecção da reta x + y = 0 com a circunferência x² + y² + 8y = 0.
56. (UFBA) Determine os valores de p para os quais a parábola e a reta, representadas pelas equações
y = 2x² – x + 3 e y = px – 1, interceptam-se em dois pontos distintos.