A PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Soraia Abud Ibrahim1
UNIUBE
[email protected]
Juciane Teixeira Silva2
UNIUBE
[email protected]
José Divino Neves3
UNIUBE
[email protected]
DIDÁTICA E METODOLOGIAS DE ENSINO
Resumo
O presente trabalho tem o objetivo de abordar a construção lógico-histórica do objeto de
conhecimento como método para o ensino de matemática. Inicialmente é posta em relevo sua
base epistemológica que é a teoria histórico-cultural. Em seguida apresenta o movimento
lógico histórico, destacando seu significado, sua articulação com princípios e conceitos
pedagógicos, psicológicos e epistemológicos, bem como a contribuição de autores como
Davidov, Moura, Sousa e outros. Trata-se de uma pesquisa de abordagem qualitativa,
realizada por meio de pesquisa bibliográfica, sendo que a matriz epistemológica adotada é o
materialismo histórico. As contribuições deste trabalho abrangem questões como o vínculo
entre a qualidade e a forma de apresentação das informações históricas, sua real utilização no
1
Mestre em Educação pela Universidade de Uberaba. Especialista em Educação a Distância (UNIUBE) e Novas
Tecnologias No Ensino de Matemática (UFF) . Licenciada em Matemática pela Universidade de Uberaba
(UNIUBE). Professora Titular da Universidade de Uberaba nos cursos de Engenharia e Tecnologia na
Modalidade Presencial e no curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade EAD. Pesquisadora do Projeto
do Programa Observatório da Educação(OBEDUC).Participa do Grupo de Estudo GEPIDE
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Mestre em Educação pela Universidade de Uberaba. Servidora do IFTM - Instituto Federal do Triângulo
Mineiro e tem experiência na área de assessoria administrativa e ensino. É licenciada em Matemática pela
Universidade Estadual de Feira de Santana - UEFS (2005), com especialização em Metodologia do Ensino de
Matemática pela Faculdade Internacional de Curitiba - FACINTER(2008). É integrante dos Grupos de Estudos e
Pesquisas de Instrução, Desenvolvimento e Educação (GEPIDE) e Desenvolvimento Profissional e Trabalho
Docente na Contemporaneidade da UNIUBE. Atualmente desenvolve pesquisas sobre ensino e aprendizagem de
Álgebra nas séries finais do ensino fundamental
3
Mestre em Educação pela Universidade de Uberaba .Graduação em matemática - licenciatura plena faculdades integradas santo tomás de aquino (1979). Atualmente é professor de matemática no ensino médio do
colégio nossa senhora das dores, Uberaba mg
contexto da sala de aula, a forma de organização da atividade do aluno, a mediação necessária
para a construção de significados em torno dos dados históricos, e como o ensino
intencionalmente organizado pode exercer influência na apreensão do conhecimento. Concluise que a utilização da construção lógico-histórica é uma alternativa promissora para o ensino e
a aprendizagem significativa de matemática, por meio da sua contextualização. Porém, sua
utilização como método de ensino requer além do conhecimento dos princípios da teoria
histórico-cultural, a superação do emprego de fragmentos de história da matemática como
nota explicativa, além do reconhecimento da importância dos fatores socioculturais para a
construção do conhecimento.
Palavras-chave: Movimento lógico-histórico. Matemática. Teoria Histórico-Cultural
1. Introdução
A matemática é uma importante área do conhecimento, que igualmente às demais, tem
sido historicamente construída, e cujo ensino tem desafiado os professores, pois muitos de
seus elementos aparecem como desprovidos de significados para os alunos.
O presente trabalho é fruto das pesquisas concretizadas pelos autores durante a
realização do Curso de Mestrado em Educação, na Universidade de Uberaba (UNIUBE),
dentro da linha de pesquisa Desenvolvimento Profissional e Trabalho Docente.
Essa investigação se insere num projeto mais amplo intitulado “O ensino e a
aprendizagem da álgebra nos anos finais do ensino fundamental”, cujo objetivo é desenvolver
atividades de ensino da álgebra que conduzam à aprendizagem e ao desenvolvimento do
aluno, fundamentadas teoricamente, tanto na elaboração como na análise, na Teoria HistóricoCultural.
Segundo esta Teoria, estudar algo historicamente significa estudá-lo em movimento.
Trata-se de um processo ao longo do tempo, que compreende mudanças, e é composto de
etapas, de avanços e retrocessos, é um movimento de transformação, do próprio homem em
atividade.
Neste artigo pretende-se elucidar como utilizar o movimento lógico e histórico dos
conceitos, p o r m eio da lógica dialética, que procura apresentar a essência dos fenômenos
por meio das formas do pensamento teórico, embasados pela Teoria Histórico-Cultural.
Como corrobora Davidov (1988),
O conteúdo do pensamento teórico é a excelência mediatizada, refletida,
essencial. O pensamento teórico é o processo de idealização de um dos
aspectos da atividade objetivo-prática, a reprodução, nela, das formas
universais das coisas. Tal reprodução tem lugar na atividade laboral das
pessoas como peculiar experimento objetivo-sensorial. Logo, este
experimento adquire cada vez mais um caráter cognoscitivo, permitindo às
pessoas passar, com o tempo, a realizar os experimentos mentalmente.
Davidov (1988, p. 125)
.
No contexto escolar, é pela educação que o aluno se transforma, quando se apropria
dos conhecimentos, por meio da atividade; segundo Moura (et. al. 2010, p. 221), “um modo
geral de organização do ensino, em que seu conteúdo principal é o conhecimento teórico e seu
objeto é a constituição do pensamento teórico do indivíduo no movimento de apropriação do
conhecimento”.
Segundo esta teoria, a apreensão do conhecimento se concretiza nas interações que o
indivíduo estabelece num ambiente de aprendizagem formal, tendo em vista apropriar-se dos
conhecimentos construídos pela humanidade ao longo de sua história. E a escola tem como
papel primordial favorecer a transmissão da cultura historicamente acumulada, o
desenvolvimento dos conceitos científicos e das leis mais profundas e essenciais que os
regem, através do acesso ao conhecimento sistematizado.
Para tanto, a sistematização da atividade, de acordo com os pressupostos da Teoria
Histórico-Cultural, dever orientada com base em alguns aspectos que a constituem: objeto,
motivo, necessidades, condições, meios de alcance, ações e operações. Desta forma é um
sistema coletivo que envolve objeto e motivo. As ações são realizadas por meio de operações
que, por sua vez, dependem das condições. Como corrobora Davidov (1988)
a atividade de ensino tem como o principal objetivo a formação do
conhecimento teórico/cientifico, para com ele formar o pensamento teórico e
assim desenvolver a psique do aluno. [...] formar nas crianças representações
materialistas firmes para produzir nelas o pensamento independente e
melhorar significativamente a formação artística e estética, elevar o nível
ideológico e teórico do processo de ensino e educação, expor claramente os
conceitos básicos e principais ideias das disciplinas escolares, erradicarem
quaisquer manifestações de formalismo no conteúdo e métodos de ensino e
no trabalho de formação e aplicar amplamente as formas e métodos ativos de
ensino, etc. (DAVYDOV, 1988, p. 44)
A Teoria Histórico-Cultural, inaugurada por Vigotski, se constitui como uma teoria
psicológica e pedagógica, que propõe princípios de psicologia como fundamentos para
práticas educativas, e situa o papel da educação como essencial na criação das condições
necessárias para o surgimento da consciência do homem, além de discutir os processos
cognitivos e a apropriação da experiência acumulada historicamente pela sociedade, a
aquisição e também sistematização dos conhecimentos. Dessa maneira, a centralidade da
teoria histórico cultural está em investigar a formação da consciência a partir do mundo
concreto, investigar como o homem se constitui sujeito em sua individualidade, a partir das
relações com seus semelhantes e com a natureza. E a educação é o principal motor de
transmissão da cultura histórica e socialmente construída, mostrando assim a influência do
ensino na formação das pessoas e a relação entre o desenvolvimento do psiquismo e os
processos educativos.
É necessário, como premissa, compreender o movimento histórico e lógico dos
conceitos algébricos. De acordo Engels (1859), a categoria dialética histórico/lógico foi
destacada como sendo,
A história procede frequentemente por saltos e em ziguezague e, se
houvesse que segui-la ao mesmo tempo por toda a parte, teria não apenas de
recolher muito material de pouca importância, como também o curso do
pensamento teria frequentemente que ser interrompido; além disso, não se
poderia escrever a história da economia sem a da sociedade burguesa e, deste
modo, o trabalho tornar-se-ia infindável, uma vez que faltam os trabalhos
preparatórios. Portanto, o modo lógico de tratamento era o único que estava
no seu lugar. Este [modo], porém, não é de facto senão o histórico, despido
apenas da forma histórica e das casualidades perturbadoras. Por onde esta
história começa, por aí tem de começar igualmente o curso do pensamento, e
o seu avanço ulterior não será mais do que o reflexo, numa forma abstrata e
teoricamente consequente, do decurso histórico; um reflexo corrigido, mas
corrigido segundo leis que o próprio decurso histórico real fornece, na
medida em que cada momento pode ser considerado no ponto de
desenvolvimento da sua plena maturidade, da sua forma clássica (Engels,
1859, p. 2).
E ainda em consonância com Panassion ( 2014),
Acompanhar o movimento lógico-histórico da álgebra e compreender o
conhecimento como experiência histórica social acumulada leva ao
entendimento das divergências que cientistas e historiadores possuem em
relação às suas concepções sobre álgebra. Tais divergências também se
apresentam entre os profissionais do ensino e, por consequência, influenciam
o ensino de álgebra. (Panassion (2014, p 55)
Entendemos a perspectiva lógico-histórica como forma de traçar o caminho percorrido
pelo conteúdo conduzido por sua finalidade, como método de ensino.
2. O Movimento Lógico-Histórico e a História da álgebra
Um dos desafios propostos aos professores de matemática é resignificar o que ensinam
aos seus alunos. Notamos que os professores estão preocupados em como transmitir os
conteúdos de forma compreensível, enquanto que os alunos estão preocupados com o “para
que” aprender a maioria dos conteúdos matemáticos, especialmente os que são ligados à
álgebra, dadas as dificuldades de compreensão que os alunos apresentam com estes
conteúdos. Apesar disso, temos, na maioria das vezes, nos esquecido de utilizar como
estratégia de ensino “o quando” e “o porquê” daqueles conhecimentos terem passado a fazer
parte da vida e da história do homem.
Como ensinam Vigotski e Leontiev, um possível caminho é que o processo histórico
de sistematização dos conhecimentos deva ser evidenciado como ferramenta para a
construção do significado dos conceitos, por terem sido constituídos a partir de necessidades
do próprio homem, e por isso trazem em si uma finalidade, assim “estudar algo
historicamente significa estudá-lo em movimento. Esta é a exigência fundamental do método
dialético” (VIGOTSKI, 2003, p. 67).
A adoção da construção lógico-histórica do conceito como método de ensino poderá
ser capaz de atender às inquietações dos alunos sobre o “para que aprender álgebra”,
permitindo-lhes perceber que a matemática como as outras ciências não foi “inventada”
miraculosamente por alguém, mas surgiu a partir da necessidade de resolver determinada
situação, e contou com avanços e retrocessos, e mais ainda: não está acabada, é passível de
mudança, de reelaboração.
A linguagem algébrica, por exemplo, demorou muito tempo para ser criada e passou
por várias modificações no decorrer do tempo. Tanto os pensamentos teóricos que foram
construídos historicamente quanto os nexos da álgebra foram criados por várias civilizações.
Alguns conceitos tiveram maior nível de aprofundamento junto a determinados povos, e por
isso foram a eles atribuídos, o que não quer dizer que outras civilizações não detinham ou
buscaram sistematizá-los. Assim, descortina-se que o conhecimento, seu compartilhamento e
até mesmo a necessidade de aprender são conquistas do homem, construídas também
historicamente, e que passaram a fazer parte do processo de desenvolvimento do indivíduo,
que é um processo cultural e não simplesmente uma herança biológica.
Podemos dizer que a importância do fator histórico para o ensino-aprendizagem de
matemática, como fonte de produção de significados é ponto pacífico, inclusive é possível
encontrar orientações a esse respeito nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (1998):
O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como
historicamente construído e em permanente evolução. O contexto histórico
possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e
contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo. (BRASIL,
1997, p. 19).
De acordo com Eves (2011), foi G.H.F. Nesselmann, em 1842, quem distinguiu três
estágios de evolução da álgebra: álgebra retórica, álgebra sincopada e álgebra simbólica.
Várias civilizações contribuíram para evolução da álgebra entre eles, os árabes, hindus,
chineses, egípcios, babilônicos, gregos e os persas. Utilizavam a álgebra para resolver
problemas do dia a dia. As civilizações egípcios, europeus e árabes usam as palavras para
estudar o movimento (SOUSA, 2004).
Na primeira delas foi a álgebra retórica, onde a linguagem utilizada eram as palavras.
Esta etapa foi caracterizada pela ausência total de símbolos, eram utilizadas somente as
palavras e a prosa para realizar os cálculos. Na segunda etapa, com a álgebra sincopada,
utilizava-se abreviações simbólicas para representar quantidades e operações. Diofanto de
Alexandria, no século III d. C4 é considerado o precursor na utilização desse processo.
A linguagem matemática através de Palavras é o primeiro passo da criação
da linguagem especificamente matemática para o qual são escolhidas as
palavras que mais direta e claramente expressam os movimentos
numéricos. (LIMA; MOISÉs apud SOUSA, 2004, p. 205
Na terceira etapa, quando a álgebra é tida como simbólica, utilizou-se de um sistema
completo de notação por sinais, uma linguagem composta apenas por símbolos, cuja criado
é atribuída a Viète, matemático francês que viveu no século XVI. . Em consonância com
Sousa (2004):
Foi o simbolismo pensado por Viete que possibilitou a escrita de expressões
de equações e suas propriedades, a partir de fórmulas gerais. Os objetos das
operações matemáticas passaram a ser, não problemas numéricos e sim as
próprias expressões algébricas. (p. 112)
René Descartes foi quem sugeriu utilizar as primeiras letras do alfabeto, vogais e
consoantes, para designar quantidades conhecidas e as últimas para as incógnitas.
Assim, entendemos que a linguagem simbólica da álgebra, tornada sintética e
ágil, materializada na variável letra está totalmente desvinculada dos significados
do contexto da realidade, que trouxe a necessidade de controlar a variação na
continuidade. É um pensamento teórico. Por isso, síntese de diversos
pensamentos. (SOUSA, 2004, p. 103)
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Embora não se saiba com certeza acerca de sua nacionalidade e da época exata em que viveu. Os historiadores
tendem a situá-lo no século III d. C. (EVES, 2011)
O “Pai” da álgebra simbólica ao usar símbolos literais para quantidades desconhecidas
e também para quantidades dadas é o francês Viete (1540-1603).
3. Uma breve análise
Neste tópico, trouxemos um exemplo de abordagem histórica, realizada no livro
didático de matemática, para o 8º ano do Ensino Fundamental, elaborado por Souza e Pataro
(2012), extraído da dissertação de mestrado de Silva (2015).
Figura 1 – Expressões algébricas
Fonte: Souza e Pataro, 2012, p. 96
Observe que além dos dados históricos do recorte em epígrafe, existem duas notas
explicativas; uma sobre algumas convenções próprias da linguagem algébrica e outra com
data aproximada do surgimento das balanças. Queremos chamar a atenção que esse dado além
de não estar inserido no movimento lógico-histórico, que prevê a necessidade humana do
objeto, desvia a atenção do foco do conteúdo, que deveria ser de encontrar e compreender a
expressão algébrica, e não o cálculo da massa, que é a utilidade da balança.
Esse é um contraexemplo da possível utilização de dados históricos como método de
ensino. Primeiro porque ele não trabalha a construção lógica do conhecimento, e segundo
porque é um dado histórico descolado da essência do conteúdo apresentado, ou seja, não
colaborou para significar o assunto em relevo.
Considerações finais
Nos trabalhos realizados, seja por meio dos dados bibliográficos, documentais ou
empíricos, foi possível observar que na maioria das vezes é realizada uma abordagem
histórica de aspectos ligados ao desenvolvimento do conteúdo, sem deixar clara a relação com
o assunto que será abordado.
Tendo por base o recorte do livro didático apresentado na Figura 1, a avaliação
realizada para esse material pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) para o livro
de Souza e Pataro (2012) indica esse aspecto como uma fragilidade, quando afirma que os
textos da história da Matemática do livro pouco contribuem, para a aprendizagem do aluno
(BRASIL, 2010). Em alguns outros temas, não apresentados aqui por questão de espaço, foi
possível perceber recortes históricos com visões bastante restritas. Esse tipo de
encaminhamento é discutido pelos pesquisadores da Teoria Histórico-Cultural e também por
educadores matemáticos, como Lins e Gimenez (2001), que pontuam encontrar em atividades
algébricas desde a rigidez das caracterizações “puras” por conteúdos até uma certa
despreocupação em identificar, do ponto de vista do conteúdo, que tipo de atividade
matemática particular está acontecendo. Para eles, não se pode esquecer que há um
conhecimento teórico, institucionalizado pela escola, do qual a educação matemática deve se
ocupar. Se há propostas de educação algébrica, que parecem não se preocupar com isso, é
porque seus defensores acreditam que, ao longo do tempo, esse saber deve aparecer
naturalmente ou por direcionamento do professor. Na perspectiva da Teoria Histórico-
Cultural, o ensino adequadamente organizado e intencional é capaz de promover e até acelerar
a aprendizagem e o desenvolvimento dos estudantes.
Ao trazer fragmentos da história da álgebra, não percebemos que os autores tenham a
intenção de conduzir o estudante no movimento lógico-histórico ou histórico-lógico, como diz
Moura (2014). Insistir nos aspectos externos dos conceitos ou inserir informações com pouca
clareza de objetivo esperando apenas pela atuação do professor é promover um ensino que
não conduz à produção de significados e sentidos para os conceitos algébricos, pelos alunos.
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fundamental: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Secretaria da Educação
Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998
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ENGELS, F.; MARX, K. (1859). Para a crítica da economia política. Primeiro fascículo,
Berlin:
Franz
Duncker.
Disponível
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http://www.marxists.org/portugues/marx/1859/08/15.htm
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Brasília, DF: Liber Livro, 2010.
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SOUSA, Joamir Roberto de; PATARO, Patricia Rosana Moreno. Vontade de saber
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2014.
VYGOTSKY,L.S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos
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