Ernesto Rosa Um ponto é um cubo de dimensão zero. • Co Se um cubo de dimensão 0 sofrer uma translação de comprimento a, teremos um cubo C1, de dimensão um, com uma posição inicial A e uma final B do ponto “gerador”. A C1 B Do mesmo modo, se um cubo de dimensão 1 sofrer uma translação de comprimento a, para “fora” da reta AB e perpendicular a ela, teremos um cubo C2 de dimensão 2, onde vemos a posição inicial AB e a final CD. B D a A C2 a C Até o C2 as linhas e ângulos aparecem em verdadeira grandeza, no desenho. Se um cubo de dimensão 2 sofrer uma translação de comprimento a para “fora” do plano ABDC e perpendicular a ele, teremos um cubo C3, de dimensão 3, onde temos o quadrado inicial ABDC e o final EFHG (*). O cubo de dimensão 3 é chamado simplesmente de cubo. D H B F F C A B a G E A D H C G C3 ou Cubo E a As duas primeiras ilustrações representam a mesma coisa, de pontos de vistas diferentes. Devemos imaginar que CA⊥AB, CA⊥AE e que CA//DB. Devemos imaginar que AC é perpendicular à diagonal CH da face, aliás AC é perpendicular a todas as retas do plano CDHG, que passam por C. É muito importante perceber que GC não entra no quadrado ABCD. GC vem de lado, de outra dimenção, e fura o plano no ponto C. No desenho, os ângulos não aparecem em verdadeira grandeza. Eles são desenhados agudos para representar uma projeção no plano. Assim, o trapézio ABDC, representa um quadrado que é uma face lateral do cubo. Dois quadrados com aresta comum são perpendiculares. O segundo desenho é formado de um quadrado dentro do outro ligados pelos vértices. O quadrado CDHG é igual ao quadrado ABFE, mas está desenhado menor, isso porque está mais longe, mais ao fundo, formando um “túnel” de passagem para a terceira dimensão. Quando o quadrado inicial fez a translação, o segmento AB teve “maior velocidade” que CD, por isso AB começa à esquerda de CD e chega a EF, que está à direita de GH. Observamos esse fato nas paisagens quando passamos em um veículo. Parece que o trapézio ABDC virou do avesso. É apenas um problema de perspectiva. AB não passou sobre CD; ele “pulou por cima”. CD está mais ao fundo. Poderíamos fazer um modelo de arame ou de canudinho onde essas propriedades ficariam em verdadeira grandeza, se fosse possível confeccionar com perfeição, Se um cubo de dimensão 3 sofrer uma translação de comprimento a para “fora” do espaço ABDCEFHG e perpendicular a ele, teremos um cubo C4 de dimensão 4, onde vemos o 1 cubo inicial ABDCEFHG e o final IJMLNPRQ. O cubo de dimensão 4 é chamado de hipercubo. D M J B H F E C4 ou hipercubo R P G Q N L C A a I No desenho aparece um cubo dentro do outro ligado pelos vértices. O cubo “menor” não está dentro do outro. Parece menor porque está mais ao fundo formando um “túnel” para a quarta dimensão. Na translação, o ponto A foi parar em I, o B em J, o F em P etc. Assim, no cubo inicial o quadrado ABDC está à “esquerda” de EFHG, mas, depois da translação, ficou à “direita”, como se o cubo tivesse virado do avesso. ABDC não teve maior velocidade nem passou sobre EFHG; ele “passou por cima”. EFHG está mais ao fundo. No C4 acontece FE⊥EN, FE⊥EG e FE⊥EA, o que é possível, no R4, formando 4 eixos perpendiculares entre si. Mas, o desenho do C4 representa duas projeções, da quarta dimensão para a terceira e da terceira para a segunda, e os ângulos ficaram representados agudos. Um modelo de arame poderia corrigir um desses “defeitos” e teríamos uma única projeção de quatro dimensões para três. As seis celas (quartinhos) laterais, que no desenho aparecem como troncos de pirâmide, são também cubos congruentes aos outros dois. Planolândia é um estranho mundo de coisas e seres achatados no plano. Para entrar numa sala, é necessário abrir a porta. Para operar o coração do Sr. Hachat Ado, o médico deve praticar uma abertura no tórax. Tudo no plano. Porém, se esse médico soubesse como ir para a terceira dimensão, poderia, “por cima”, entrar na sala e, do mesmo modo, atingir o coração sem abrir o paciente. É só dar a volta por cima, pois a sala e o paciente só estão fechados em duas dimensões. Analogamente, poderíamos ir para a quarta dimensão e entrar e sair de uma sala fechada em três dimensões. Certas facções “sabem” fazer isso! Também certas entidades! 2 Uma certa garrafa está fechada em três dimensões, exceto por um buraco no fundo e a boca em cima. Mas o gargalo, elástico, se volta para a quarta dimensão, “entra” na garrafa sem abrir buraco na parede, volta para a terceira dimensão e se cola ao fundo. Essa é a garrafa de Klein. (Ver o artigo Topologia) B F D B G M J F H H C D P C3 E G R C4 Q N A a E C A a L I No cubo temos 6 quadrados que delimitam uma região do IR3 . O quadrado ABFE não contém os outros cinco quadrados, que estão em outros planos. No hipercubo, são 24 planos (espaços de dimensão 2) definidos pelos quadrados (faces) e são oito hiperplanos (espaços de dimensão 3) definidos pelos cubos (celas). Como o cubo EFHGNPRQ está mais ao fundo, sobra uma hiper-região entre eles, que forma o hipercubo. O cubo ABDCIJML não contém, os outros sete cubos, que estão em outros espaços IR3. Se estivéssemos no interior de um hipercubo, veríamos oito cubos ao nosso redor, todos finos como um plano, fechando o hipercubo. Posições relativas no C4: a) o plano IJPN é paralelo ao plano ABFE, pois NP // EF, NI // EA e NP é concorrente com NI; b) IJPN⊥EFPN, pois estão no mesmo hiperplano, IJPN contém JP e JP⊥EFPN (pois JP⊥PF e JP⊥PN); c) O quadrado EFHG possui extensão nas direções FE e FH, mas na direção FP ou FB a espessura é nula. O cubo inicial possui extensão nas direções FE, FH e FB, mas na direção FP a espessura é nula. Por isso, FP intercepta o cubo inicial apenas no ponto F. É como se furasse um plano. Assim, o plano FHRP intersepta o IR3, do cubo inicial, na reta FH e o IR3 do cubo “menor” o intersepta no planoEFHG. A reta FH corta o plano ABFE em F, por isso, os dois planos FHRP e ABFE possuem um só ponto comum F. d) Cada reta do plano FHRP que passa por F é perpendicular a toda reta de ABFE que passa por F. Por exemplo, a reta FR está no plano FHPR; logo FR⊥FE (no cubo “menor”) e FR⊥FB (no cubo “de cima”). Como FR⊥FE e FR⊥FB, então FR é perpendicular ao plano ABFE. Logo, é perpendicular a toda reta do plano que passa por F (por exemplo, FR⊥FA). Planos deste tipo são chamados absolutamente perpendiculares ⊥; logo, FHRP ⊥ ABFE. Isto mostra que pelo ponto F existem infinitas retas perpendiculares ao plano ABFE. Elas formam o plano FHRP. Mostra também que pelo ponto F existe infinitas retas perpendiculares à reta FB; elas formam o hiperplano do cubo “menor” (por exemplo, a diagonal QF é perpendicular à FB). e) os planos FHRP e ABDC não possuem ponto comum, pois a intersecção de FHRP com o hiperplano é FH. Esses dois planos são perpendiculares à mesma reta BF; e isso em três dimensões implica em paralelismo. Aqui, não! Eles são reversos, pois a reta FR está em um dos planos e não é paralela ao outro (ou o plano EFHG é paralelo a um dos planos e perpendicular ao outro). Portanto, dois planos podem ser coincidentes, com uma reta comum, com um ponto comum ou sem ponto comum. Sendo sem ponto comum, podem ser paralelos ou reversos. f) o hiperplano do cubo “de cima” contém PF, que é perpendicular ao hiperplano do cubo “inicial”, por isso os dois hiperplanos se chamam perpendiculares. A reta PF é 3 perpendicular ao hiperplano “inicial” porque é perpendicular a três retas dele que passam pelo ponto F; PF⊥FH, PF⊥FB e PF⊥FE. Portanto, PF é perpendicular a toda reta do hiperplano (por exemplo, PF⊥FA). Do mesmo modo, com outros hiperplanos, AE⊥EQ, IN⊥NH. g) o hiperplano “inicial” é paralelo ao hiperplano “final”, pois ambos são perpendiculares à mesma reta FP; h) com planos temos: BDHF // JMRP e JMRP // ILQN ⇒ BDHF // ILQN. A relação de paralelismo entre planos é relação de equivalência, cujas classes de equivalência chamam-se jazituras (Jazitura é o correlato de direção com retas). No cubo, as 12 arestas determinam 3 direções e as 6 faces determinam também 3 jazituras. No hipercubo, as 32 arestas determinam 4 direções e as 24 faces determinam 6 jazituras. Quando resolvemos um sistema de 4 equações lineares a 4 incógnitas, podemos pensar que cada equação representa um hiperplano do IR4. A interseção de dois deles pode ser um plano, que intersepta o terceiro hiperplano em uma reta, que, por fim, intersepta o último em um ponto (Ver item c). Isso para sistemas com uma única solução. No IR3 temos cinco poliedros de Platão, valendo V − A + F − C = 1. No IR 4 são seis, valendo a fórmula V – A + F – C + H = 1. O hipercubo é um deles com 16 vértices, 32 arestas, 24 faces e 8 celas (cubos) e 1 hipercubo. Essa fórmula vale em dimensão n qualquer: N0 − N1 + N2 − N3 + N4 − ... = 1 sendo N0 o número de vértices, N1 de arestas, N2 de faces, N3 de celas ... Se um cubo de dimensão 4 sofrer uma translação de comprimento a para “fora” ... (*) A notação e a linguagem foram simplificadas para tentar ganhar em comunicação. Ver o site: www.matinterativa.com.br 4