UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica
Professor: Almir Rogério Silva Santos
Período: 2011/1
Lista de Exercícios 3
~ = (2, a, −1), ~
~ = (2a − 1, −2, 4). Determinar a de modo que
1. Sejam os vetores u
v = (3, 1, −2) e w
~−~
h~
u, ~
vi = h~
u+~
v, u
vi. Resposta: a = 58 .
~ = (2, 1, 1) e
2. Dados os pontos A = (4, 0, −1), B = (2, −2, 1) e C = (1, 3, 2) e os vetores u
−→
~
~i~
v = (−1, −2, 3), obter o vetor ~
x tal que 3~
x + 2~
v=~
x + hAB, u
v. Resposta: ~
x = (3, 6, −9).
~ = (2, −1, 3) tal que h~
~i = −42. Resposta: ~(v) =
3. Determine o vetor ~
v paralelo ao vetor u
v, u
(−6, 3, 9)
~ =6ew
~ = ~i + 2~j.
4. Determinar o vetor ~
v, sabendo que |~
v| = 5, ~
v é ortogonal ao eixo Ox, h~
v, wi
Resposta: ~
v = (0, 3, 4) ou ~
v = (0, 3, −4).
5. Sabendo que |~
u| = 2, |~
v| = 3 e h~
u, ~
vi = −1, calcular
~i. Resposta: 7
(a) h~
u − 3~
v, u
~, 2~
(b) h2~
v−u
vi. Resposta: 38
(c) h3~
u + 4~
v, −2~
u − 5~
vi. Resposta: -181
~ + h~
~ sabendo que u
~+~
~ = 0, |~
~ = 5. Resposta:
6. Calcular h~
u, ~
vi + h~
u, wi
v, wi,
v+w
u| = 2, |~
v| = 3 e |w|
-19
~−~
~e~
7. Calcular |~
u+~
v|, |~
u−~
v| e h~
u+~
v, u
vi, sabendo que |~
u| = 4, |~
v| = 3 e o ângulo entre u
v é de
√
√
60o . Resposta: 37, 13 e 7
8. Provar que os pontos A = (−1, 2, 3), B = (−3, 6, 0) e C = (−4, 7, 2) são vértices de um triângulo
retângulo.
9. Dados os pontos A = (m, 1, 0), B = (m − 1, 2m, 2) e C = (1, 3, −1), determinar m de modo que
√
o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo. Resposta: m=1 e
30
2
10. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A = (2, 1, 3), B(1, 0, −1) e C = (−1, 2, 1).
1
~ e~
~ e
11. Para cada um dos pares de vetores u
v, encontrar a projeção ortogonal de ~
v sobre u
~e~
~.
decompor ~
v como soma de ~
v1 com ~
v2 , sendo ~
v1 k u
v⊥u
4 1
~ = (1, 2, −2) e ~
(a) u
v = (3, −2, 1) Resposta: ~
v1 = − 13 , − 32 , 23 , ~
v2 = 10
3 , −3, 3
~ = (1, 1, 1) e ~
(b) u
v = (3, 1, −1) Resposta: ~
v1 = (1, 1, 1), ~
v2 = (2, 0, −2)
~ = (2, 0, 0) e ~
(c) u
v = (3, 5, 4) Resposta: ~
v1 = (3, 0, 0), ~
v2 = (0, 5, 4).
~ = ~i − ~j − 2~k, ~
~ = −~i + ~k, determinar
12. Se u
v = 2~i + 4~j − ~k e w
~ + (w
~ ×u
~)
(a) (~
u × w)
~ × (~
~ Resposta: (-6,-20,1)
(b) u
v × w)
~
(c) (~
u×~
v) × w



x × (2~i + −~j + 3~k) = ~0
 ~
13. Resolver o sistema 
. Resposta: ~
v = (−4, 2, −6)

 h~
x,~i + 2~j − 2~ki = 12
~ +2~
~ = (−3, 2, 0)
14. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u
ve~
v −~
u, sendo u
e~
v = (0, −1, −2). Resposta: (-12,-18,9). Existem outros.
~e~
15. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u
v, sabendo que suas diago√
~+~
~−~
nais são u
v = (−1, 3, 4) e u
v = (1, −1, 2). Resposta: 35
16. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo A = (−4, 1, 1), B =
√
√
(1, 0, 1) e C = (0, −1, 3). Resposta: 35 e 2 √35
6
~ = (1, −1, 2), ~
~ = (−2, 0, −4). E quanto aos
17. Verificar se são coplanares os vetores u
v = (2, 2, 1) e w
~ = (2, −1, 3), ~
~ = (7, −1, 4). Resposta: Não e Sim.
vetores u
v = (3, 1, −2) e w
~ = (3, −1, 4), ~
~ = (−2, 1, 5).
18. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u
v = (2, 0, 1) e w
~e~
Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u
v. Resposta: 17 e
√17
30
2