1a Lista de Exercı́cios de Introdução à Teoria dos Números
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: Licenciatura em Matemática
1. Use os axiomas das operações adição e multiplicação em Z para demonstrar que, sendo a
e b inteiros quaisquer, então:
(a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(b) (−1) · a = −a
(c) Se a2 = a, então a = 0 ou a = 1
(d) −(a + b) = (−a) + (−b)
(e) (−a)b = −ab
2. (a) Admita, no conjunto de axiomas dos números inteiros a propriedade
a · b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0,
em lugar da lei do cancelamento da multiplicação. Demonstre então, a lei do cancelamento da multiplicação a partir de tal propriedade, admitindo as demais propriedades axiomáticas das operações em Z.
(b) Mostre que a lei do cancelamento da multiplicação não precisa ser admitida como
um axioma, pois ela é um teorema que pode ser deduzido a partir da Proposição 4
das notas de aula, ou seja, mostre que a Proposição 4 tem como consequência a lei
do cancelamento da multiplicação.
3. Complete a seguinte demonstração de que (−1) · (−1) = 1:
Temos 0 · 0 = 0. Temos ainda, 1 + (−1) = 0. Daı́, [1 + (−1)] · [1 + (−1)] = 0. Agora use
a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição e considere que 1 é elemento
neutro da multiplicação.
4. Use os axiomas da relação “<” em Z, bem como propriedades da adição e da multiplicação
em Z, para demonstrar que, sendo a, b e c inteiros,
(a) Se a < b, então −a > −b.
(b) Se c > 0 e ac < bc, então a < b.
(c) Se c < 0 e ac < bc, então a > b.
(d) a2 + ab + b2 ≥ 0. (Sugestão: Mostre que 2(a2 + ab + b2 ) ≥ 0.)
(e) Se a2 + ab + b2 = 0, então a = b = 0.
(f) Se a < b, então a3 < b3 . (Sugestão: Faça uso da fatoração a3 − b3 = (a − b)(a2 +
ab + b2 ).)
(g) Se a3 < b3 , então a < b.
(h) a < b 6⇒ a2 < b2 . (Sugestão: Para mostrar que não vale a implicação “a < b ⇒
a2 < b2 ”, mostre que existem inteiros a e b satisfazendo a < b e a2 ≥ b2 .)
5. Usando o princı́pio da boa ordenação, demonstre que não existe um inteiro n, satisfazendo
0 < n < 1. (Sugestão: Suponha que, ao contrário, existe um inteiro n satisfazendo
0 < n < 1. Considere o conjunto A de todos os inteiros x com 0 < x < 1. A é subconjunto
não vazio de N (explique o porquê). Mostre que A não tem o menor elemento, pois se
a ∈ A, então a2 < a.)
6. Mostre que, sendo a e b inteiros, se a · b = 1 então a = b = ±1. (Sugestão: mostre que se
a · b = 1, então |a| = 1.)
√
7. Mostre que 3 é irracional, usando o princı́pio da boa ordenação.
8. Usando o princı́pio da indução finita, mostre que
n
X
(2j − 1) = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ,
j=1
ou seja, que a soma dos n primeiros números ı́mpares positivos é igual à n2 .