Actas do XI Congresso Anual da SPE
1
ESQUEMA COMBINADO DE AMOSTRAGEM EM CONTROLO DE QUALIDADE COM INTERVALOS PREDEFINIDOS ADAPTÁVEIS
Paulo Infante
Departamento de Matemática, Universidade de Évora
J. Rodrigues Dias
Departamento de Matemática, Universidade de Évora
Resumo: Neste trabalho, apresentamos um novo método para obter os intervalos de
tempo entre amostras em controlo de qualidade. Este método combina uma metodologia, apresentada por Rodrigues Dias (2002), na qual os instantes de amostragem
são denidos no início do controlo do processo com base na taxa cumulativa de risco
do sistema, e um método adaptativo de amostragem, apresentado por Rodrigues Dias
(1999a,b), onde os instantes de amostragem são obtidos recorrendo à função densidade
da distribuição normal reduzida.
Tomando como referência uma carta de controlo Shewhart para a média, apresentase um estudo comparativo, em termos do desempenho estatístico, entre este esquema
de amostragem combinado e outros esquemas de amostragem considerados na literatura. Pode concluir-se que este esquema de amostragem apresenta excelentes potencialidades. Em particular, para sistemas com tempos de vida Weibull e taxas de risco
crescentes, este método é sempre mais rápido que o esquema periódico na detecção de
alterações da média, o que não acontece com nenhum outro esquema adaptativo.
Palavraschave: Controlo de qualidade, intervalos de amostragem predenidos, intervalos de amostragem adaptativos, simulação.
Abstract: In this paper, we present a new method to obtain the sampling intervals
in quality control. This method combines a methodology presented by Rodrigues Dias
(2002), in which the sampling intervals are obtained on the basis of the cumulative
system hazard rate, before the process control has started, and an adaptive sampling
method, presented by Rodrigues Dias (1999a,b), in which the sampling intervals are
obtained on the basis of the density function of the standard normal random variable.
Considering a Shewhart X control chart, a comparative study, in terms of statistical performance, with established sampling methods is carried out. This sampling
scheme presents excellent potentialities. Particularly, this method is always more ecient than the classical periodic scheme for systems with Weibull lifetime distributions
and increasing hazard rates, which is not the case with any other adaptive scheme.
Keywords: Quality control, predened sampling intervals, adaptive sampling intervals, simulation.
2
P. Infante, J. Dias/Esquema Combinado de Amostragem
1 Introdução
Para a concepção e utilização das cartas de controlo do tipo Shewhart necessitamos de conhecer os instantes em que as amostras devem ser recolhidas, a
sua dimensão e os limites de controlo.
O procedimento clássico consiste em retirar periodicamente amostras de tamanho xo (5, ou próximo de 5) mantendo constante a distância dos limites
de controlo à linha central (usualmente igual a 3-sigma). Contudo, apesar da
sua grande simplicidade, as cartas de controlo com este procedimento são muito
lentas na detecção de alterações pequenas e moderadas do valor médio, pelo que
outros procedimentos de amostragem têm vindo a ser apresentados e desenvolvidos, desde nais dos anos de 1980.
Por um lado, foram desenvolvidas cartas de controlo cujos parâmetros não
permanecem constantes durante a produção, sendo, porém, obtidos no início
do controlo do processo. Poucos são os artigos que consideram e analisam
estes métodos de parâmetros predenidos, sendo em todos feita uma abordagem
económica, procurando determinar o seu valor de modo a minimizar um custo
total de funcionamento do sistema. Podem-se referir os artigos de Banerjee e
Rahim (1988), Rahim e Banerjee (1993), Parkhideh e Case (1989) e Otha e
Rahim (1997). Neste tipo de abordagem, foi apresentada em Rodrigues Dias
(2002) uma nova metodologia para obter os instantes de amostragem, a qual é
denida com base na taxa cumulativa de risco. Esta metodologia é estudada e
comparada com outras em Rodrigues Dias e Infante (2002).
Por outro lado, foram desenvolvidos métodos em que pelo menos um dos
parâmetros varia em função da estatística amostral, incorporando a informação contida em cada amostra, sendo conhecidos por métodos adaptativos. O
artigo de Reynolds et al. (1988) foi a semente de muitos outros, apresentando
um método conhecido por V SI (Variable Sampling Interval). Outros artigos,
apresentando diferentes métodos, foram entretanto aparecendo e continuam a
aparecer, reectindo o grande interesse neste tema. Podem referir-se, por exemplo, os trabalhos de Daudin (1992), Prabhu et al. (1993), Costa (1994), Prabhu
et al. (1994), Costa (1999) e, mais recentemente, o de Carot et al. (2002). Uma
síntese bibliográca de trabalhos relacionados que foram publicados até nal
de 1997 pode ver-se em Tagaras (1998). Neste contexto de esquemas adaptativos, em Rodrigues Dias (1999a,b) é apresentada uma simples e interessante
metodologia, recorrendo à função densidade de probabilidade da variável normal reduzida, para obter diferentes intervalos de amostragem, que foi estudada,
em termos das suas propriedades estatísticas, e comparada com outros métodos
adaptativos em Infante e Rodrigues Dias (2002).
Actas do XI Congresso Anual da SPE
3
Neste trabalho, apresenta-se um novo método de amostragem, combinando
a nova metodologia de intervalos predenidos proposta por Rodrigues Dias
(2002) e o novo método adaptativo apresentado por Rodrigues Dias (1999a,b),
efectuando-se uma análise comparativa entre este esquema de amostragem combinado e outros procedimentos de amostragem, o que permitirá concluir que o
esquema combinado constitui uma efectiva alternativa aos esquemas de amostragem apresentados na literatura. Em particular, para sistemas com tempos
de vida Weibull e taxas de risco crescentes, o novo esquema combinado é sempre
melhor que o método periódico e tem uma eciência global superior à do método
V SI .
2 Os Métodos de Partida
Neste ponto iremos apresentar, de uma forma sucinta, os dois métodos de
amostragem em que assenta o novo esquema combinado.
2.1 O Método de Intervalos Predenidos
Considere-se um sistema cujo tempo de vida é uma variável aleatória T com
função densidade de probabilidade f (t) contínua e função distribuição F (t).
Dene-se taxa cumulativa de risco do sistema H(t) através da relação
Zt
h(u) du = − ln R(t)
H(t) =
(1)
0
onde R(t) é a função de abilidade do sistema e h(t) a taxa de risco, dadas por
R(t) = 1 − F (t)
(2)
h(t) = f (t)/R(t)
(3)
De acordo com esta nova metodologia, os instantes de amostragem ti , i =
1, 2, . . ., com t0 = 0, são determinados de modo a que a taxa cumulativa de risco
entre duas quaisquer inspecções consecutivas seja constante,
H (ti ) = i∆H, i ≥ 1
(4)
isto é, a probabilidade de ocorrer uma falha do processo num intervalo de amostragem, dado que não ocorreu nenhuma falha até ao início do intervalo, é constante para todos os intervalos.
Os instantes de amostragem são, então, dados por
ti = R
−1
[exp(−i∆H)] , i ≥ 1, t0 = 0
(5)
4
P. Infante, J. Dias/Esquema Combinado de Amostragem
Esta expressão torna possível obter os instantes de amostragem para qualquer sistema com função de abilidade conhecida e admitindo inversa. Noutros
casos também se podem obter os instantes ti se conseguirmos obter a inversa
da função de abilidade através de métodos computacionais.
Para tempos de vida com distribuição de Weibull, com função de abilidade
dada por


µ ¶δ
t
, t ≥ 0
R(t) = exp −
(6)
α
onde α é um parâmetro de escala e δ é um parâmetro de forma, os intervalos de
amostragem são obtidos pela expressão
·1
1/ ¸
1/
/
∆ti = ti − ti−1 = i δ − (i − 1) δ t1 , i ≥ 1, t1 = α(∆H) δ (t0 = 0)
(7)
Os intervalos de amostragem são, deste modo, denidos no início do controlo
do processo produtivo, de acordo com as características do tempo de vida do
sistema. Intuitivamente, esta nova abordagem, neste contexto de controlo de
qualidade, traduz a ideia simples de que se deve reduzir a amostragem quando
a taxa de risco do sistema é pequena e se deve aumentar a amostragem quando
a taxa de risco do sistema é grande.
De acordo com esta metodologia, se a taxa de risco aumenta (diminui) os
intervalos de tempo diminuem (aumentam), sendo constantes quando a taxa de
risco é constante, como se pode ver em Rodrigues Dias (1987) num contexto de
inspecções perfeitas de sistemas.
Rodrigues Dias e Infante (2002) estudam as principais propriedades estatísticas desta metodologia, que designaremos adiante por método IP, realizando
uma análise comparativa entre o seu desempenho estatístico e o de outros procedimentos de amostragem.
2.2
O Método Adaptativo de Amostragem
Designando por ti um determinado instante de amostragem, por φ(u) a função densidade da distribuição normal reduzida, por xi a média da amostra de
ordem i, por n o tamanho xo da amostra e por k uma constante conveniente,
que dependerá, em particular, dos diferentes custos associados ao processo produtivo (que, sob controlo, tem média µ0 e desvio padrão σ0 ), este método de
amostragem, apresentado por Rodrigues Dias (1999a,b) propõe para o instante
de amostragem de ordem i + 1:
ti+1 = ti + kφ (ui ) , i ≥ 0, t0 = 0
e
(8)
Actas do XI Congresso Anual da SPE
ui =
xi − µ0
, −L < ui < L, i ≥ 0, u0 = 0
σ0/√
n
5
(9)
Rera-se que para implementação desta metodologia apenas se exige a determinação da constante de escala k (considerando xos os limites de controlo).
Deste modo, conhecida a média de uma amostra, imediatamente se sabe qual o
intervalo de tempo até analisar a próxima amostra.
De acordo com este método, que designaremos simplesmente por método
RD, à medida que os intervalos de amostragem vão tendo tendência para diminuir, mais vamos tendo percepção de que a qualidade se pode estar a alterar.
Em particular, através da função densidade da distribuição normal reduzida,
o intervalo de amostragem diminui fortemente quando a média da amostra se
situa próximo dos limites de controlo.
As propriedades estatísticas deste método são estudadas em Infante e Rodrigues Dias (2002), sendo o mesmo comparado com outros esquemas de amostragem. Em Infante e Rodrigues Dias (2003) é avaliada a eciência e robustez deste
método quando a característica da qualidade não é normalmente distribuída.
3 Um Novo Método Combinando Intervalos Predenidos
e Intervalos Adaptativos
Os resultados obtidos com o método IP dos intervalos de amostragem predenidos, antes apresentado, mostraram que a carta de controlo para a média é
muito eciente na detecção de alterações muito pequenas e de alterações grandes. Com este método, a calendarização das inspecções ao sistema é denida
antes do processo se iniciar com base nas perspectivas de aparecimento de uma
alteração, não sendo actualizada com a informação contida em cada amostra.
Por outro lado, os resultados mostraram que a carta de controlo com o
método RD é bastante eciente na detecção de alterações moderadas do valor médio. Com este método, não há agendamento das inspecções ao sistema,
sendo apenas conhecido o instante da próxima amostra com base na informação
contida na amostra corrente (mais concretamente da estatística calculada). A
única informação sobre o estado do sistema está contida em cada amostra que
vai sendo retirada, sendo o processo de obtenção dos intervalos de amostragem
(com base na função densidade da distribuição normal reduzida) igual qualquer
que seja a distribuição do tempo de vida do sistema.
Pensamos que faz todo o sentido conceber um procedimento que combine,
dada a sua complementaridade, os dois métodos de amostragem antes referidos.
Embora outras hipóteses de obter um esquema de amostragem combinado se
possam colocar e, possivelmente, com melhores resultados, neste ponto apresentamos uma ideia muito simples de combinar os dois métodos.
6
P. Infante, J. Dias/Esquema Combinado de Amostragem
A
Assim, designem-se por ti os instantes de amostragem, obtidos com o méB
todo RD, e designem-se por ti os instantes de amostragem predenidos, seguindo a metodologia denida anteriormente. De acordo com o procedimento
combinado proposto por nós, o instante de amostragem de ordem i + 1 é dado
por
A
B
ti+1 + ti+1
A
√
∆ti =
=
ti + kφ (ui ) + R
−1
[exp(−i∆H − ∆H)]
, i ≥ 0, (t0 = 0)
2
2
(10)
ou seja, é a média aritmética dos instantes obtidos pelos dois métodos.
Assim, com este esquema combinado, os instantes de amostragem começam
por ser predenidos antes do início do controlo do processo de acordo com a
distribuição do tempo de vida do sistema, sendo actualizados em cada instante
pela informação contida na média da amostra. Trata-se, pois, de um método
com intervalos de amostragem adaptativos.
No caso do tempo de vida ter distribuição de Weibull, caso em que iremos
analisar o comportamento estatístico do método combinado, os intervalos de
amostragem são dados por
ti+1 =
·1
¸
³ 2 ´
1/
1/
/
δ
δ
2π i − (i − 1)
α(∆H) δ + k exp −ui−1/2
√
, i≥1
2 2π
(11)
De um modo geral, qualquer que seja a distribuição, quando ocorre um
falso alarme pode estabelecer-se que a próxima amostra é retirada depois de
decorrido um intervalo de tempo dado pela média aritmética entre o intervalo
de amostragem predenido e o menor intervalo de amostragem obtido através do
método RD (igual a kφ(L)). Os valores de k e de ∆H são obtidos de modo a que
o número médio de amostras sob controlo seja igual ao do esquema periódico,
para que possamos efectuar comparações entre diferentes métodos nas mesmas
condições. Assim, para um intervalo médio de amostragem igual a uma unidade
de tempo, tem-se (Infante e Rodrigues Dias (2002), Rodrigues Dias e Infante
(2002))
k=
Φ
¡√
√
β π
¢
2L − 0, 5
1
∆H =
E(T )
onde 1 − β é a probabilidade de cometer um erro de tipo I (falso alarme).
(12)
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4 Apresentação e Análise de Resultados
No nosso trabalho, considerando os usuais limites 3-sigma (L = 3), E(T ) =
1000 e amostras de 5 elementos, recorremos à simulação para calcular o AAT S
(Adjusted Average Time to Signal) da carta de controlo da média com este
novo método combinado. Os valores do AAT S foram obtidos considerando que
a média inicial µ0 da distribuição se alterava, passando a ser µ1 = µ0 ± λσ0 ,
λ > 0, em que σ0 representa o desvio padrão da distribuição inicial. Todos os
valores foram obtidos com base em 100 000 ciclos.
Rera-se que, apesar do intervalo médio de amostragem ser igual a uma
unidade de tempo no método RD e no método com intervalos diferentes predenidos, as diversas simulações realizadas permitiram mostrar que no método
combinado isso não acontece, embora o intervalo médio de amostragem seja
muito próximo da unidade. Nas simulações efectuadas registámos reduções,
entre os 3,5% e os 5,9%, no número médio de amostras inspeccionadas no período de controlo, o que pode ter alguma importância em termos de custos de
amostragem.
Tal ca a dever-se fundamentalmente à grande inuência que o primeiro
intervalo de amostragem tem neste método, ao contrário do que se passava
em métodos estudados anteriormente, pelo que é um ponto a merecer a nossa
atenção em estudos futuros.
Começamos por comparar o método combinado com os métodos que lhe
deram origem. Para tal, considerem-se as grandezas
QRD =
AAT SRD − AAT SC
× 100%
AAT SRD
(13)
QIP =
AAT SIP − AAT SC
× 100%
AAT SIP
(14)
que representam as variações relativas, em percentagem, dos valores do AAT S
obtidos segundo o método RD e o método com intervalos predenidos, em relação aos correspondentes valores do AAT S obtidos segundo o método combinado,
tomando os primeiros como referência.
Na Figura 1 e na Figura 2 representamos os valores de QRD e de QIP para
diferentes valores do parâmetro de forma da distribuição de Weibull e para
diferentes alterações do valor médio (λ = 0,25, 0,50, 0,75, 1,00, 1,25, 1,50,
1.,75, 2,00, 2,50, 3,00). Recorde-se que na distribuição de Weibull um valor do
parâmetro de forma δ > 1 conduz a uma taxa de risco crescente, sendo tanto
mais acentuadamente crescente quanto maior o valor de δ . Saliente-se, desde já,
a existência de valores bastante elevados que traduzem grandes reduções, para
algumas alterações, nos valores do AAT S com a utilização deste novo método
combinado. Mais pormenorizadamente, da observação das guras podemos tirar
as seguintes conclusões:
8
P. Infante, J. Dias/Esquema Combinado de Amostragem
a) Para sistemas com taxas de risco acentuadamente crescentes (δ = 4, 7) o
método combinado tem uma eciência superior à dos dois métodos em
que se baseia, para alterações do valor médio λ > 0, 5.
b) O desempenho do novo método é apenas inferior ao do método com intervalos
predenidos para alterações muito pequenas do valor médio.
c) O desempenho do novo método é apenas inferior ao do método RD para
sistemas com uma taxa de risco moderadamente crescentes (δ = 2), na
detecção de algumas alterações do valor médio (0, 5 < λ < 1, 75).
d) Os valores de QIP e de QRD variam em sentidos opostos. Enquanto os
valores de QRD diminuem até quase λ = 1 e aumentam depois deste valor,
os valores de QIP aumentam até λ = 1, 25 e diminuem depois deste valor.
Uma análise um pouco mais detalhada permitiu concluir que existe um
valor de λ(λ ≈ 1, 15) onde se dá a inversão no sentido de crescimento dos
valores de QRD e QIP .
e) De um modo geral, os valores de QRD são maiores que os valores de QIP
para pequenas alterações e para grandes alterações.
f) Os valores de QRD aumentam com δ , isto é, a eciência do método combinado
em relação ao método RD é tanto maior quanto mais acentuadamente
crescente for a taxa de risco do sistema.
g) Os valores de QIP diminuem com δ para as alterações do valor médio λ =
0, 25 e λ = 0, 50.
Figura 1: Valores de QRD em função de λ, para δ = 2, 4, 7.
Actas do XI Congresso Anual da SPE
9
Figura 2: Valores de QIP em função de λ, para δ = 2, 4, 7.
Para compararmos este novo método com o esquema periódico clássico, vamos considerar, analogamente ao que zemos anteriormente, a grandeza
QP =
AAT SP − AAT SC
× 100%
AAT SP
(15)
Assim, QP pode ser interpretada como uma medida da redução relativa no
AAT S quando se usa o esquema combinado.
Na Figura 3 estão indicados os valores de QP , para diferentes alterações λ
do valor médio e para distribuições de tempos de vida Weibull. Com base nos
valores obtidos podemos destacar as seguintes conclusões:
a) A carta de controlo para a média com o método combinado é sempre mais
ecaz na detecção de qualquer alteração do valor médio que com o esquema
periódico clássico. Trata-se, pois, do primeiro esquema de amostragem
com intervalos adaptativos que é sempre mais eciente que o esquema de
intervalos xos.
b) As reduções no AAT S são bastante consideráveis, acentuando-se quando
aumenta o parâmetro de forma δ (taxas de risco crescentes de uma forma
cada vez mais acentuada). Por exemplo, quando δ = 4, as reduções no
AAT S variam, em números redondos, entre 25% e 58%, o que é revelador
da grande eciência do método na detecção de diferentes alterações.
c) Podemos vericar que os valores de QP aumentam até uma alteração λ = 1
e depois diminuem à medida que aumenta a magnitude da alteração do
valor médio. Uma análise mais detalhada levou-nos a concluir que o valor
de λ que maximiza QP é, em termos práticos, igual ao valor de λ em que
10
P. Infante, J. Dias/Esquema Combinado de Amostragem
ocorre a inversão no sentido de variação dos valores de QRD e QIP , o que
intuitivamente faz todo o sentido.
Figura 3: Valores de QP em função de λ para diferentes valores do parâmetro
de forma da distribuição de Weibull.
Finalmente, vamos comparar este método combinado com o esquema de intervalos adaptativos VSI, considerando três pares de intervalos de amostragem
(que nos parecem razoáveis, tomando como referência valores usados na literatura para efectuar comparações e, por outro lado, pretendendo que o método
seja ecaz para diferentes alterações do valor médio). Recorde-se que, usualmente, o valor do coeciente W nos limites de vigilância é obtido de modo a que
o intervalo médio de amostragem seja igual ao período de amostragem no esquema periódico (igual a uma unidade de tempo, neste trabalho), sendo obtido
pela expressão (Runger e Pignatiello (1991)):
·
W =Φ
−1
¸
2Φ(L) (1 − d1 ) + d2 − 1
2 (d2 − d1 )
(16)
onde d1 < 1 < d2 .
Vamos designar por QV SI as variações relativas, em percentagem, dos valores
do AAT S obtidos segundo o método V SI em relação aos correspondentes valores AAT S obtidos segundo o método combinado, tomando os primeiros como
referência, isto é,
QV SI =
AAT SV SI − AAT SC
× 100%
AAT SV SI
(17)
Actas do XI Congresso Anual da SPE
11
Na Tabela 1 indicam-se alguns dos valores obtidos, para os três esquemas
V SI e para os diferentes valores do parâmetro de forma δ da distribuição de
Weibull.
δ
0,25
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
10,1
23,1
29,4
33,8
38,6
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
11,7
24,5
30,6
34,9
39,7
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
14,4
26,8
32,7
36,9
41,5
λ
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50 1,75 2,00
V SI(a) − (d1 = 0, 015; d2 = 2, 0) − W = 0, 67
-17,9 -59,1 -57,5
-7,6
27,6 43,1 49,8
1,4 -31,0 -26,8
13,2
40,1 51,7 56,6
11,4 -13,1
-7,3
26,4
48,1 57,0 60,6
17,9
-1,5
4,6
34,6
52,9 60,4 63,2
25,6
9,9
17,1
43,5
58,0 63,8 66,1
V SI(b) − (d1 = 0, 015; d2 = 1, 5) − W = 0, 96
-10,9 -47,9 -66,5 -32,9
5,3 24,6 33,3
7,3 -21,7 -34,0
-7,1
21,6 36,0 41,8
16,7
-5,2 -13,5
9,2
32,2 43,0 47,6
22,8
5,7
-0,9
19,3
38,4 47,5 51,1
30,0
16,3
12,4
30,2
45,1 52,0 55,0
V SI(c) − (d1 = 0, 015; d2 = 1, 2) − W = 1, 37
0,9 -22,1 -45,3 -40,3 -12,6
6,9 17,0
17,2
-0,5 -17,0 -13,2
6,8 21,1 27,5
25,6
13,2
1,0
4,1
19,3 29,6 34,8
31,0
22,1
11,9
14,7
26,7 35,3 39,2
37,5
30,9
23,5
26,3
34,7 40,8 43,9
3,00
52,8
58,6
62,4
64,8
67,1
37,2
45,0
50,0
53,1
56,2
21,7
31,4
37,6
41,6
45,4
Tabela 1 - Valores de QV SI para diferentes alterações λ do valor médio, três
diferentes esquemas V SI e para diferentes valores do parâmetro de forma da
distribuição de Weibull.
Da sua observação, podemos tirar duas importantes conclusões:
a) Globalmente, podemos concluir que o método combinado tem uma eciência
superior ao método V SI , em especial para sistemas com taxas de risco
acentuadamente crescentes.
b) Para δ ≥ 3, o método combinado tem um desempenho muito superior a
qualquer um dos esquemas V SI considerados para alterações λ ≤ 0, 5 e
λ ≥ 1, 50. Para as restantes alterações do valor médio, o método combinado tem um desempenho inferior para alguns valores de δ , em particular
quando eles são menores.
Por m, atendendo, por um lado, aos resultados dos diversos estudos comparativos entre cada um dos dois métodos (intervalos predenidos e RD) em
que o esquema combinado se baseia e outros esquemas de amostragem e, por
outro lado, atendendo às conclusões retiradas quando comparámos o esquema
12
P. Infante, J. Dias/Esquema Combinado de Amostragem
combinado com cada um dos dois métodos individualmente e com os esquemas periódico e V SI , podemos concluir que o novo método combinado tem um
enorme potencial.
5 Considerações Finais
Neste trabalho apresentámos um novo esquema de amostragem que combina
uma metodologia de intervalos predenidos e um método adaptativo, sendo o
intervalo de amostragem, em cada instante de inspecção, igual à média dos
intervalos de amostragem que seriam obtidos com cada um dos métodos individualmente.
Com base em resultados obtidos por simulação, para tempos de vida com
distribuição de Weibull e taxas de risco crescentes, podemos concluir que o
método combinado tem um desempenho estatístico globalmente superior ao de
cada um dos dois métodos de que resulta. Em particular, o método combinado
reduz o número médio de amostras analisadas sob controlo. Por outro lado,
da comparação do desempenho estatístico do novo método combinado com o
esquema periódico clássico e com o esquema VSI, é possível concluir que, para
os sistemas considerados, o método combinado tem sempre um desempenho claramente superior ao do método periódico, o que não acontece com mais nenhum
esquema de controlo adaptativo, sendo mais eciente que o método V SI para
uma grande diversidade dos casos considerados. Em particular, podem registarse reduções no período médio de mau funcionamento muito consideráveis para
diferentes alterações do valor médio.
A terminar, pensamos que o novo procedimento combinado de amostragem
constitui uma forte alternativa, por poder ser mais vantajoso, relativamente a
qualquer um dos procedimentos de amostragem apresentados na literatura.
Agradecimento
Os autores agradecem os comentários feitos por um referee de uma forma
extremamente cuidada, o que permitiu melhorar o texto.
Referências
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