Matemática
Essencial
Derivadas de Funções Reais
Departamento de Matemática - UEL - 2010
Ulysses Sodré
http://www.mat.uel.br/matessencial/
Conteúdo
1 Retas no plano e suas inclinações
2
2 Circunferências e algumas relações
8
3 Tangentes e secantes em gráficos de funções
10
4 Derivadas de funções reais
12
5 Derivadas laterais
14
6 Regras gerais de derivação
16
7 Regra da cadeia
16
8 Fórmulas para derivadas de algumas funções
17
9 Exercícios especiais aplicados
17
‘O temor do Senhor é o princípio do conhecimento; mas os insensatos
desprezam a sabedoria e a instrução.’
A Bíblia Sagrada, Provérbios 1:7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arquivo: derivadas.tex - Londrina-PR,9 de Junho de 2010.
Seção 1 Retas no plano e suas inclinações
2
1 Retas no plano e suas inclinações
1. Uma reta no plano cartesiano possui a equação reduzida na forma
y = ax + b
se ela não é uma reta vertical e
(a) a é o coeficiente angular (ou declividade, ou inclinação), e
(b) b é o coeficiente linear (ou intercepto) da reta.
2. O coeficiente angular a é a tangente do ângulo α formado entre a reta
e o eixo OX orientado positivamente, isto é, a = tan(α).
Figura 1: Uma reta e os seus coeficientes
3. O coeficiente linear b (ou intercepto) é a distância marcada no eixo OY
desde a origem do sistema até o ponto da reta que corta o eixo OY .
4. A reta horizontal que passa por P = (a, b) é denotada por y = b.
Figura 2: Uma reta vertical e outra reta horizontal
5. A reta vertical que passa pelo ponto P = (a, b) é denotada por x = a.
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Seção 1 Retas no plano e suas inclinações
3
6. A reta com equação reduzida y = x representa a função identidade.
7. As três retas definidas por y = 2x − 3, y = 2x e y = 2x + 3, possuem
o mesmo coeficiente angular a = 2, o que significa que elas são retas
paralelas, pois possuem coeficientes lineares diferentes.
Figura 3: Três retas paralelas com coeficiente angular a=2
8. As três retas definidas por y = −2x − 3, y = −2x e y = −2x + 3, possuem
o mesmo coeficiente angular a = −2, significando que elas são retas
paralelas, pois possuem coeficientes lineares diferentes.
Figura 4: Três retas paralelas com coeficiente angular a=-2
9. Quando uma reta tem equação y = kx onde k ∈ R, esta reta passa
pela origem do sistema, representando um tipo muito importante de
função denominada função linear.
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Seção 1 Retas no plano e suas inclinações
4
10. Seja uma família de retas da forma y = kx. Usando os valores reais de
k = −3, −2, −1, − 12 , 0, 12 , 1, 2, 3 podemos observar as suas formas gráficas.
Figura 5: Retas passando pela origem com coeficientes angulares diferentes
11. Dada uma variável x, que assume dois valores x 0 (x inicial) e x 1 (x final),
definimos a diferença entre estes dois valores por
∆x = x 1 − x 0 = x final − x inicial
A diferença entre x 0 = 5 e x 1 = 12 é igual a
∆x = x 1 − x 0 = 12 − 5 = 7
e a diferença entre x 0 = −5 e x 1 = 12 é igual a
∆x = x 1 − x 0 = 12 − (−5) = 17
12. Se y = g (x) e y 0 = g (x 0 ) e y 1 = g (x 1 ), definimos a diferença entre estes
dois valores y 0 (y inicial) e y 1 (y final) por
∆y = y 1 − y 0 = y final − y inicial = g (x 1 ) − g (x 0 )
Se y = g (x) = x 3 , x 0 = 5 e x 1 = 7, a diferença entre y 0 = g (5) = 125 e
y 1 = g (7) = 343 é igual a
∆y = y 1 − y 0 = g (x 1 ) − g (x 0 ) = g (7) − g (5) = 343 − 125 = 218
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Seção 1 Retas no plano e suas inclinações
5
Se y = g (x) = x 3 , x 0 = −3 e x 1 = 7, a diferença entre y 0 = g (−3) = −27 e
y 1 = g (7) = 343 é igual a
∆y = y 1 − y 0 = g (x 1 ) − g (x 0 ) = g (7) − g (−3) = 343 − (−27) = 370
13. Para determinar o coeficiente angular de uma reta, devemos ter dois
pontos A = (x 1 , y 1 ) e B = (x 2 , y 2 ) da reta e construir a razão:
a=
∆y y 2 − y 1
=
∆x x 2 − x 1
Figura 6: Coeficiente angular de uma reta
14. Cuidado: Mantenha a mesma ordem dos índices tanto no numerador
como no denominador.
15. Se A = (−2, 3) e B = (5, 8) são pontos de uma reta, então ∆y = 8 − 3 = 5,
∆x = 5 − (−2) = 7, e o coeficiente angular da reta é obtido por:
a=
∆y 5
=
∆x 7
16. Se A = (5, 8) e B = (−2, 3) são pontos de uma reta, então ∆y = 3−8 = −5,
∆x = (−2) − 5 = −7, e o coeficiente angular da reta é obtido por:
a=
∆y −5 5
=
=
∆x −7 7
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Seção 1 Retas no plano e suas inclinações
6
17. Calcular os coeficientes angulares das retas y = 2x +3 e y = −2x +3 que
passam pelo ponto P = (0, 3) e têm o mesmo coeficiente linear b = 3.
Dica: Usar as medidas da grade quadriculada no desenho:
Figura 7: Retas com coeficientes lineares iguais
18. Com o coeficiente angular a calculado e com as informações do ponto
A = (x 1 , y 1 ) podemos obter a equação reduzida da reta:
y − y 1 = a(x − x 1 )
19. A equação geral da reta possui a forma geral
px + q y + r = 0
onde p, q e r são números reais.
20. Temos duas retas paralelas, quando as duas: (a) são horizontais, ou (b)
são verticais, ou (c) possuem o mesmo coeficiente angular.
21. Se o coeficiente angular de uma reta é a, então o coeficiente angular
1
da reta perpendicular é igual a k = − .
a
4
22. Se uma reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (4, 7), então a = e a
3
sua equação reduzida é dada por
4
y − 3 = (x − 1)
3
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Seção 1 Retas no plano e suas inclinações
7
3
e a equação
4
reduzida da reta perpendicular que passa por A = (1, 3) é dada por
O coeficiente angular da reta perpendicular é k = −
3
y − 3 = − (x − 1)
4
23. Temos duas retas perpendiculares (ou ortogonais), quando, (a) uma é
horizontal e a outra é vertical, ou, (b) se uma tem coeficiente angular
1
k 1 = a, a outra tem coeficiente angular k 2 = − . Tais retas formam um
a
ângulo de 90 graus.
Figura 8: Retas perpendiculares
24. Alternativamente, duas retas px + q y + r = 0 e p 0 x + q 0 y + r 0 = 0 são
perpendiculares se
p · p0 + q · q0 = 0
1
25. As retas y = 2x + 3 e y = − x + 5 são perpendiculares. Escrever estas
2
retas formando um sistema com 2 equações e 2 incógnitas.
2x − 1y = −3
1x + 2y = 10
Resolvendo este sistema, podemos obter o ponto P = (x 0 , y 0 ) que está
na interseção destas retas perpendiculares.
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Seção 2 Circunferências e algumas relações
8
Exercícios: Com as propriedades indicadas em cada item, obter a equação
da reta que passa por:
1. A = (6, −2) e B = (9, 4)
8. (0, 0) e (1, 1)
2. A = (2, 3) e B = (2, 5)
9. (5, 3) e é ortogonal ao eixo OX
3. A = (2, 3) e B = (5, 3)
10. (5, 3) e é ortogonal ao eixo OY
4. A = (−1, 2) e declividade a = 3
5. (5, 3) e é paralela à reta y = 2x+7
6. (5, 3) e é paralela ao eixo OX
7. (5, 3) e é paralela ao eixo OY
11. (1, 2) e é perpendicular à reta
y = 12 x + 5
12. (1, 2) e é
y = 12 x + 5
paralela
à
reta
2 Circunferências e algumas relações
1. A equação da circunferência centrada no ponto C = (0, 0) e raio r > 0 é:
x2 + y 2 = r 2
Se o raio r = 1 então a equação é x 2 + y 2 = 1.
Figura 9: Circunferência com raio unitário
Se r = 0, a equação fica na forma x 2 + y 2 = 0 e esta equação representa
o ponto C = (0, 0), que é uma circunferência degenerada.
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Seção 2 Circunferências e algumas relações
9
2. A circunferência centrada em C = (a, b) e tendo raio r > 0 tem equação
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2
Se C = (3, 4) e o raio r = 7 a equação é (x − 3)2 + (y − 4)2 = 49.
3. Se P = (x 0 , y 0 ) é um ponto da circunferência com equação x 2 + y 2 = r 2
onde (r > 0), então a equação da reta tangente a esta circunferência e
que passa pelo ponto P = (x 0 , y 0 ) é dada por
x0 x + y 0 y = r 2
Por exemplo, a reta tangente à circunferência x 2 + y 2 = 100 e que passa
pelo ponto P = (6, 8) tem equação
6x + 8y = 100
Figura 10: Circunferência e reta tangente em um ponto
Exercícios:
1. Obter a interseção da circunferência x 2 + y 2 = 9 com a reta y = 2x + 3.
2. Obter valores de b para que a reta y = 2x + b tenha interseção com a
circunferência x 2 + y 2 = 9 em dois pontos.
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Seção 3 Tangentes e secantes em gráficos de funções
10
3. Obter valor de b de modo que a reta y = 2x + b seja tangente à
circunferência x 2 + y 2 = 9.
4. Obter valores de b de modo que a reta y = 2x + b não tenha interseção
com a circunferência x 2 + y 2 = 9. Exibir um de tais valores.
5. Obter a equação da circunferência centrada no ponto C = (3, 3) e que é
tangente aos eixos OX e OY .
3 Tangentes e secantes em gráficos de funções
1. O quociente das diferenças (de Newton) de uma função y = f (x) no
ponto x 0 é definido como
QN =
∆y f (x) − f (x 0 )
=
∆x
x − x0
sendo que x deve ser um número próximo de x 0 .
2. Seja a função f : R → R definida por f (x) = 5x 2 , cujo gráfico é uma
parábola dada por y = 5x 2 .
Figura 11: Gráfico da função f (x) = 5x 2
3. Ligando dois pontos da parábola, obtemos uma reta secante à parábola.
4. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1, 5) e Q = (2, 20) tem
coeficiente angular:
∆y 20 − 5
a=
=
= 15
∆x
2−1
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Seção 3 Tangentes e secantes em gráficos de funções
11
e a equação desta reta é da forma y = 15(x −1)+5, ou seja, y = 15x −10.
5. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1, 5) e Q = (1.8, 16.2)
tem coeficiente angular:
a=
∆y 16.2 − 5 11.2
=
=
= 14
∆x
1.8 − 1
0.8
e a equação desta reta é da forma y = 14(x − 1) + 5, ou seja, y = 14x − 9.
6. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1, 5) e Q = (1.6, 12.8)
tem coeficiente angular:
a=
∆y 12.8 − 5 7.8
=
=
= 13
∆x
1.6 − 1
0.6
e a equação desta reta é da forma y = 13(x − 1) + 5, ou seja, y = 13x − 8.
7. Podemos montar uma tabela com estas informações e muitas outras:
P
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
(1,5)
Q
(2.0,20.00)
(1.9,18.05)
(1.8,16.20)
(1.7,14.45)
(1.6,12.80)
(1.5,11.25)
(1.4,9.80)
(1.3,8.45)
(1.2,7.20)
(1.1,6.05)
(1.01,5.1005)
(1.001,5.010005)
↓
(1,5) (1,5)
∆x
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.01
0.001
↓
0
∆y
15.00
13.05
11.20
9.45
7.80
6.25
4.80
3.45
2.20
1.05
0.1005
0.010005
↓
0
a
15.0
14.5
14.0
13.5
13.0
12.5
12.0
11.5
11.0
10.5
10.05
10.005
↓
10
Reta secante
y = 15.0x − 10
y = 14.5x − 9.5
y = 14.0x − 9
y = 13.5x − 8.5
y = 13.0x − 8
y = 12.5x − 7.5
y = 12.0x − 7
y = 11.5x − 6.5
y = 11.0x − 6
y = 10.5x − 5.5
y = 10.05x − 5.05
y = 10.005x − 5.005
↓
y = 10x − 5
8. Em geral, quando há mudança de x 0 = 1 para x 1 = 1 + h, ocorre uma
variação ∆x = x 1 − x 0 = h e o valor de f (x) muda de y 0 = f (1) para
y 1 = f (1 + h), sendo que a variação de y é dada por:
∆y = y 1 −y 0 = f (1+h)− f (1) = 5(1+h)2 −5 = 5(1+2h+h 2 )−5 = 10h+5h 2
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Seção 4 Derivadas de funções reais
12
Assim, o coeficiente angular da reta secante é o quociente de Newton:
∆y 10h + h 2
ah =
=
= 10 + 5h
∆x
h
9. Desse modo, calculamos o quociente de Newton da função f (x) = 5x 2
no ponto x = 1 e depois calculamos o limite
∆y
10h + h 2
= lim
= lim(10 + 5h) = 10
h→0 ∆x
h→0
h→0
h
lim
10. Quando o limite do quociente de Newton existe em um dado ponto,
dizemos que o limite é a derivada de f = f (x) neste ponto.
4 Derivadas de funções reais
1. Se y = f (x) é uma função contínua sendo x a variável independente e
y a variável dependente de x e x 0 é um ponto pertencente ao domínio
de f = f (x) e x é um ponto móvel próximo a x 0 , podemos tomar as
diferenças ∆x = x − x 0 e ∆y = y 1 − y 0 , onde y 0 = f (x 0 ) e y = f (x).
2. O quociente das diferenças (de Newton) é definido por
∆y y − y 0 f (x) − f (x 0 )
=
=
∆x x − x 0
x − x0
3. Derivada de uma função: Se existe o limite do quociente de Newton
quando x se aproxima de x 0 , este limite recebe o nome de derivada da
função f = f (x) em x 0 e indicado por qualquer uma das formas abaixo:
f (x) − f (x 0 )
f (x 0 + h) − f (x 0 )
∆y
= lim
= lim
x→x 0
x→x 0 ∆x
h→0
x − x0
h
f 0 (x 0 ) = lim
4. Notações para a derivada de uma função y = f (x) no ponto x 0 , são:
f 0 (x 0 )
D f (x 0 )
df
(x 0 )
dx
dy
(x 0 )
dx
•
f (x 0 )
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Seção 4 Derivadas de funções reais
13
5. Obtemos a derivada de y = f (x) = x 2 em x 0 = 3, com o limite:
f (3 + h) − f (3)
(3 + h)2 − 32
f (3) = lim
= lim
h→0
h→0
h
h
2
(9 + 6h + h ) − 9
6h + h 2
= lim
= lim
= lim(6 + h) = 6
h→0
h→0
h→0
h
h
0
6. Interpretação geométrica: Ver Figura 12. O valor f 0 (3) = 6 significa
que a reta tangente à curva y = x 2 no ponto P = (3, 9) tem coeficiente
angular a = 6 e a reta tangente é y = 6(x − 3) + 9, isto é, y = 6x − 9.
Figura 12: Circunferência e reta tangente em um ponto
7. Função derivada: Podemos derivar uma função f = f (x) em um ponto
arbitrário x do seu domínio, construindo uma outra função f 0 = f 0 (x)
que é a função derivada da função f = f (x). Por exemplo, se f (x) = x 3 ,
então a função derivada é f 0 (x) = 3x 2 , pois:
(x + h)3 − x 3
f (x + h) − f (x)
= lim
f (x) = lim
h→0
h→0
h
h
3
2
2
3
3
(x + 3x h + 3xh + h ) − x
= lim
h→0
h
2
2
3x h + 3xh + h 3
= lim
= lim(3x 2 + 3xh + h 2 ) = 3x 2
h→0
h→0
h
0
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Seção 5 Derivadas laterais
14
dy
= f 0 (x), semelhante a uma fração
dx
com numerador d y e denominador d x, definimos a diferencial d y da
função y = f (x) por
8. Com a notação da derivada
d y = f 0 (x)d x = y 0 (x)d x
onde d x = ∆x, isto é a expressão ∆x é definida como sendo d x, quando
∆x é muito pequeno (próximo de zero).
Por exemplo, se y = x 3 então d y = y 0 (x)d x = 3x 2 d x.
9. Taxa média de variação: A taxa média de variação y m da variável y
com respeito à variável x, é obtida pelo quociente de Newton:
∆y
∆x
Exemplo: Se uma pessoa viaja 140 km em 2 horas, segue que ∆e = 140
e ∆t = 2, logo a velocidade média na viagem foi de
ym =
vm =
∆e 140
=
= 70 km/h
∆t
2
10. Taxa de variação instantânea: A derivada de uma função y = f (x)
pode ser pensada como uma taxa de variação instantânea da variável
y com respeito à variável x, de modo que
∆y
∆x→0 ∆x
f 0 (x) = lim
Exemplo: Se um carro viaja em uma estrada satisfazendo a equação
horária e = f (t ) = 100 + 156t − 4t 2 , a sua velocidade instantânea no
instante t = 10, denotada por v(10) é dada pela derivada de e = f (t )
calculada no ponto t = 10, isto é,
v(10) = f 0 (10) = [ f 0 (t )]t =10 = [156 − 8t ]t =10 = 156 − 80 = 76
5 Derivadas laterais
1. Para analisar se uma função possui derivada em x = a, devemos
estudar dois tipos de derivadas laterais: pela esquerda do ponto x = a
(x < a) e pela direita do ponto x = a (x > a).
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Seção 5 Derivadas laterais
15
2. A derivada lateral pela esquerda é o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f (x) no ponto x = a analisando apenas a parte da
curva à esquerda do ponto x = a, isto é, quando x < a
3. A derivada lateral pela direita é o coeficiente angular da reta tangente
à curva y = f (x) no ponto x = a analisando apenas a parte da curva à
direita do ponto x = a, isto é, quando x > a
4. Devemos calcular estas derivadas laterais, pois a função pode ter um
comportamento quando os valores de x são menores do que a e outro
comportamento quando os valores de x são maiores do que a.
5. Seja a função modular f (x) = |x|, com o gráfico mostrado na Figura 13.
A tangente à curva y = |x| à esquerda de x = 0 tem inclinação a = −1, e
a tangente à curva y = |x| à direita de x = 0 tem inclinação a = +1, logo,
esta função contínua não possui derivada em x = 0.
Figura 13: Função modular e as derivadas laterais em x=0
6. Uma função f = f (x) tem derivada lateral pela esquerda em x = a, se
existe o limite
f (a + h) − f (a x )
f 0 (a − ) = lim
h→0
h
h<0
e tem derivada lateral pela direita em x = a, se existe o limite
f 0 (a + ) = lim
h→0
h>0
f (a + h) − f (a x )
h
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Seção 6 Regras gerais de derivação
16
7. Se as duas derivadas laterais de f = f (x) no ponto x = a são iguais,
dizemos que a função f = f (x) tem derivada em x = a.
8. Se as duas derivadas laterais de f = f (x) no ponto x = a são diferentes,
dizemos que a função f = f (x) não tem derivada em x = a.
6 Regras gerais de derivação
Se u = u(x) e v = v(x) são funções contínuas reais que possuem derivadas
em um ponto x e α ∈ R é uma constante, então:
1. (α)0 = 0
7. (α)0 = 0
2. (u + v)0 (x) = u 0 (x) + v 0 (x)
8. (u + v)0 = u 0 + v 0
3. (u − v)0 (x) = u 0 (x) − v 0 (x)
9. (u − v)0 = u 0 − v 0
4. (αv)0 (x) = αv 0 (x)
10. (αv)0 = αv 0
5. (u.v)0 (x) = u 0 (x).v(x)+u(x).v 0 (x)
³ u ´0
v(x).u 0 (x) − u(x).v 0 (x)
6.
(x) =
v
v 2 (x)
11. (u.v)0 = u 0 .v + u.v 0
³ u ´0 v.u 0 − u.v 0
12.
=
v
v2
7 Regra da cadeia
É usual definirmos uma função y = g (x) e depois definirmos x = f (t ).
Assim, temos uma composição das funções g e f , que é denotada por
y = g ( f (t )). A derivada da função composta g ◦ f é dada por
(g ◦ f )0 (t ) = g 0 ( f (t )) · f 0 (t )
Exemplo: Se g (x) = x 4 e x = 1 + t 7 , então (g ◦ f )(t ) = g ( f (t )) = g (1 + t 7 ) =
(1 + t 7 )4 e desse modo a derivada é dada por
(g ◦ f )0 (t ) = g 0 ( f (t )) · f 0 (t ) = (4x 3 )(7t 6 ) = 4(1 + t 7 )3 (7t 6 ) = 28t 6 (1 + t 7 )3
Exemplo: Se g (x) = sin(x) e x = 1+2t , então (g ◦ f )(t ) = g ( f (t )) = g (1+2t ) =
sin(1 + 2t ) e assim a derivada é dada por
(g ◦ f )0 (t ) = g 0 ( f (t )) · f 0 (t ) = cos(x)(2t ) = cos(1 + 2t ) · 2t = 2t cos(1 + 2t )
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Seção 8 Fórmulas para derivadas de algumas funções
17
8 Fórmulas para derivadas de algumas funções
1. (α)0 = 0
7. (sin(x))0 = cos(x)
13. (sin(2x))0 =2 cos(x)
2. (x)0 = 1
8. (cos(x))0 = − sin(x)
14. (cos(5x))0 = −5 sin(5x)
3. (x 2 )0 = 2x
9. (e x )0 = e x
15. (e kx )0 = ke kx
4. (x 3 )0 = 3x 2
10. (ln(x))0 =
5. (x n )0 = nx n−1
11. (a x )0 = ln(a)a x
17. (52x )0 = 2 ln(5)52x
6. (αx n )0 = αnx n−1
12. (tan(x))0 = sec2 (x)
18. (tan(3x))0 = 3 sec2 (3x)
1
x
16. (ln(ax))0 =
1
x
9 Exercícios especiais aplicados
1. Extraído de Risebrough,R.W. “Effects of environmental pollutants upon
animals other tham man” Proceedings of the 6th Berkeley Symposium
on Mathematics and Statistics, VI, p.443-463. (Berkeley, University of
California Press, 1972).
Altos níveis de PCB (Bifenil Policlorado), no ambiente afetam pelicanos. Ver http://pt.wikipedia.org/wiki/Bifenilpoliclorado e
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ascarel.
A tabela abaixo mostra que o aumento da concentração (ppm)1 de PCB
nas cascas dos ovos, diminui a espessura da casca (mm)2 , provavelmente causando a quebra de ovos.
Concentração c (ppm) 87
147 204 289 356 452
Espessura h (mm)
0,44 0,39 0,28 0,23 0,22 0,14
Obter a taxa média de variação na espessura da casca quando a
concentração de PCB varia de 87 ppm para 452 ppm. Não deixe de
indicar o resultado nas unidades apropriadas.
Solução:
∆h .
=
∆c .
1
2
ppm = partes por milhão
mm = milímetros
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Seção 9 Exercícios especiais aplicados
18
2. Extraído de “Investigating the next ‘Silent Spring’.” US News e World
Report, p.50-52. (11 de março de 1996).
Alguns cientistas suspeitam que certos produtos químicos sintéticos
interferem no sistema hormonal humano. Em estudo controverso
feito na Dinamarca em 1992, foi relatado que a contagem média de
esperma masculino humano tinha decrescido de 113 milhões por
mililitro em 1940 para 66 milhões por mililitro em 1990.
(a) Obter a taxa média de variação da contagem de esperma.
(b) Sabe-se que a fertilidade de um homem é afetada se a sua contagem de esperma cai abaixo de 20 milhões por mililitro. Se a
taxa média de variação continuar igual à obtida no estudo da
Dinamarca, em que ano a contagem média de esperma masculino
cairá abaixo de 20 milhões por mililitro?
3. Nas montanhas dos Andes, no Perú, o número de espécies de morcegos decresce quando a elevação3 aumenta. Seja a figura: Zoólogos
Figura 14: Número de morcegos em função da elevação
afirmam que o número N de espécies de morcegos em uma dada
elevação é uma função da elevação h (metros), tal que N = f (h).
(a) Interpretar a afirmação f (150) = 100 em função do número de
espécies de morcegos.
(b) Quais são os significados de k no intercepto vertical e de c na linha
horizontal.
3
elevação = altura do local em relação ao nível do mar.
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Seção 9 Exercícios especiais aplicados
19
4. O número S de sons emitidos a cada minuto por um grilo de árvore
é uma função da temperatura T medida em graus Fahrenheit, pela
equação S = f (T ) = 4T − 160. Obter a taxa média de variação de sons
por minuto S quando a temperatura muda de 600 F para 700 F.
5. Em geral, quanto mais fertilizante se usa, melhor é o rendimento da
colheita, mas, se for aplicado muito fertilizante o rendimento da colheita cai rapidamente. Esboçar um gráfico que mostra o rendimento
da colheita em função da quantidade de fertilizante aplicado.
6. Extraído de “Average Weight of Americans by Height and Age” The
World Almanac (New Jersey) Funk and Wagnalls, p.956., 1979.
Segundo o estudo sobre Figuras e Pressão sanguínea, realizado pela
Sociedade dos Atuários, que fornece o peso médio w (libras) para
homens americanos de 60 a 70 anos, para várias alturas h (polegadas).
Altura h 68 69 70 71 72 73 74 75
Peso w 167 172 176 181 186 191 196 200
De acordo com a tabela acima:
(a) Obter uma função linear que fornece uma boa aproximação do
peso médio em função da altura para homens nesta faixa etária.
(b) Indicar a inclinação desta reta obtida no item anterior.
(c) Indicar as unidades para esta inclinação.
(d) Interpretar esta inclinação em função da altura e do peso.
7. O gráfico da temperatura em graus Fahrenheit 0 F em função da temperatura em graus Celcius 0 C é uma reta. Temos que 2120 F corresponde a 1000 C 4 e 320 F corresponde a 00 C 5 .
(a) Obter a inclinação e a equação da reta F = F (C ).
(b) Usar a equação da reta F = F (C ) para obter a temperatura em
graus Fahrenheit que corresponde a 200 C.
(c) obter o valor numérico em que a temperatura em graus Celsius
coincide com a temperatura em graus Fahrenheit.
4
5
ponto de ebulição da água
ponto de congelamento da água
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Seção 9 Exercícios especiais aplicados
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8. Uma empresa de fotocópias possui duas tabelas de preços. A primeira
tabela indica um preço fixo de $100 mais $0,03 por cópia, mas a
segunda tabela indica um preço fixo de $200 mais $0,02 por cópia.
(a) Para cada tabela, obter a função que indica o custo total em função
do número de cópias.
(b) Construir os gráficos das duas retas.
(c) Determinar qual tabela é mais barata para obter 5000 cópias.
(d) Indicar o número de cópias cujo preço é igual nas duas tabelas.
9. Extraído de K. Schmidt-Nielson: Scaling-Why is Animal Size is Important? (Cambridge: CUP, 1984).
A massa do coração de um mamífero é linearmente proporcional à
massa do seu corpo.
(a) Obter uma fórmula para a massa H do coração em função da
massa B do corpo do mamífero.
(b) Um ser humano com massa B = 70 kg tem um coração com massa
H = 0, 42 kg. Use esta informação para obter a constante de
proporcionalidade.
(c) Avaliar a massa do coração de um cavalo, cuja massa corporal é
B = 650 kg.
10. Extraído de Scientific American, p.112, (September, 1989).
Se N é o número médio de espécies em uma ilha com área A, observações mostram que N é aproximadamente proporcional à raiz cúbica
de A. Escrever uma fórmula para N em função da área A e construir o
gráfico desta função. A constante de k de proporcionalidade depende
da região do mundo onde você faz a observação.
11. A área S da superfície de um mamífero satisfaz à equação S = kM 2/3
onde M é a massa do corpo e a constante k de proporcionalidade
depende da forma do corpo do mamífero. Um ser humano de massa
M = 70 kg possui uma área superficial S = 18600 cm2 . Obter a
constante k para seres humanos. Obter a área da superfície de um ser
humano com 60 kg.
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Seção 9 Exercícios especiais aplicados
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12. Extraído de US News & World Report, August 18, 1997, p.79.
Biólogos estimam que o número N de espécies animais com um certo
comprimento de corpo é inversamente proporcional ao quadrado do
comprimento L do corpo. Escrever uma fórmula para o número N
em função do comprimento L. Pergunta: Existem mais espécies com
grande comprimento ou com pequeno comprimento?
13. O tempo T de circulação de um mamífero6 é proporcional à raiz quarta
da massa B do mamífero.
(a) Escrever uma fórmula para o tempo T de circulação em função da
massa B do corpo.
(b) Se um elefante tem B = 5230 kg com um tempo de circulação de
T = 148 s, obter a constante de proporcionalidade.
(c) Determinar o tempo de circulação de um ser humano que possui
a massa B = 70 kg.
14. A massa S de sangue de um mamífero é proporcional à massa B do
corpo. Um rinoceronte com massa B = 3000 kg tem massa de sangue
S = 150 kg. Obter uma fórmula para a massa S de sangue de um
mamífero em função da massa do corpo B e avaliar a massa de sangue
S de um ser humano cuja massa corporal é B = 70 kg.
15. Extraído de Problems of Relative Growth, J.S.Huxley: (Dover,1972) e de
“On the Dynamics of Exploited Fish Populations” por R.J.Beverton and
S.J.Holt, Fischery Investigations, Series II, 19, 1957.
Alometria estuda o tamanho relativo de diferentes partes do corpo em
função do crescimento. Aqui analisamos a equação alométrica: “a
massa de um peixe é proporcional ao cubo do seu comprimento”.
x(cm) 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
m(g) 332 363 391 419 455 500 538 574 623 674 724
A tabela associa a massa m de um tipo de peixe ao seu comprimento
x. Os dados se ajustam à curva m = kx 3 de modo aproximado? Se
é verdade, obtenha a constante k de proporcionalidade, explicando
cada resposta.
6
circulação = tempo médio que leva todo o sangue no corpo para circular uma vez e voltar ao coração
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Figura 15: Curva cúbica ajustada aos dados da tabela
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