ÍNDICE
INTROD UÇÃO .................................................................................................................... 5
I – POLINÓMIOS E SUAS RAÍZES ........................................................................................... 7
TEOREMA DE KRONEKER ...................................................................................................................................................................................... 11
TEOREMA DE VIETT ............................................................................................................................................................................................. 13
II – AP LICAÇÃO DAS FÓRMULAS DE VIETT NA RES OLUÇÃO DE PROBLE MAS NO ENSIN O SE CUND ÁRIO ... 16
EXERCÍCIOS. PARTE I.......................................................................................................................................................................................... 16
EXERCÍCIOS. PARTE II........................................................................................................................................................................................ 19
III – P OLIN ÓMIOS DE “N” VARIÁVEIS ................................................................................... 21
TEOREMA 7: TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE POLINÓMIOS SIMÉTRICOS .............................................................................................. 23
IV – APLICAÇÕES PRÁTICAS DE P OLIN ÓMIOS SIMÉTRICOS ......................................................... 29
1.
RACIONALIZAR O DENOMINADOR ........................................................................................................................................................ 29
2.
CONSTRUÇÃO DE POLINÓMIOS ............................................................................................................................................................. 32
3.
RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS SIMÉTRICOS.......................................................................................................................................... 37
EXERCÍCIOS PROPOST OS .................................................................................................... 43
SUGESTÕES, RESPOSTAS E SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................ 44
CON CLUSÃO ................................................................................................................... 46
FONTES BIBLIOGRAFICOS .................................................................................................. 47
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
5
INTRODUÇÃO
O ensino da Matemática tem sido alvo de muitos estudos devido ao
fraco aproveitamento dos alunos.
As razões que levam à essa situação são várias e, uma delas,
certamente, está ligada com a maneira como a disciplina tem sido leccionada, isto
é, com os tipos de exercícios que são introduzidos na turma, com a motivação dos
alunos, com a metodologia utilizada na resolução dos exercícios/problemas, etc.
Nesta perspectiva, é necessário analisar bem as unidades temáticas de
forma a permitir uma boa selecção dos exercícios para a motivação dos alunos,
despertando neles o gosto pela disciplina o que, por sua vez, vai facilitar a
aprendizagem.
Assim, tendo em conta estes aspectos, levantou-se a seguinte hipótese:
- “Se forem apresentados aos professores diversidades de
exercícios/problemas, bem como uma forma para construir os
seus próprios exercícios/problemas, terão mais possibilidades
para motivar os alunos e, por conseguinte, atingir melhores
resultados na disciplina de Matemática”.
Foi assim que surgiu o tema da minha tese para obtenção do grau de
licenciatura em Matemática, Aplicação de “Polinómios” na resolução de
Problemas da “Matemática Elementar”, que pauta pelos seguintes objectivos:
- Fazer uma abordagem teórica dos polinómios e suas raízes ao
nível da Álgebra Superior;
- Aplicar o teorema de Viett na resolução de exercícios/problemas
no estudo das equações do 2º grau;
- Apresentar uma metodologia para racionalização do denominador
de uma fracção;
- Considerar o método de resolução de sistemas simétricos;
- Dar sugestões de criação de novos exercícios sobre o tema;
- Propor diversos exemplos de problemas.
Para traçar estes objectivos parti dos seguintes pressupostos:
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
-
-
-
6
No tratamento da unidade temática, “equações do 2º grau”, no 10º
ano de escolaridade, os manuais apresentam pouca diversidade de
exercícios, que permite aos professores explorar a capacidade dos
seus alunos. Os exercícios/problemas devem ser elaborados de tal
forma que elevem a capacidade de raciocínio dos alunos, que
motivem os alunos para a aprendizagem, que relacionem aquilo que se
está a aprender com o já aprendido. Por exemplo: “Sem resolver a
equação, x 2 + 3x + 2 = 0 , obtenha uma equação cujas raízes são
inversos das suas”.
Os processos da racionalização de denominadores das fracções
utilizados no Ensino Secundário não permitem a resolução de alguns
1
= ;
exercícios. Por exemplo: a racionalização da fracção, 4
2 +1
Os exercícios de construção de polinómios são pouco diversificados,
pois não abordam a relação entre polinómios, por exemplo: “Seja
f ( x ) = x 3 - x 2 + x - 1 . Encontrar g ( x ) Î Q[x ] cujas raízes são cubos
das raízes de f ( x ) ”.
- A resolução dos sistemas simétricos não contemplada no programa
tem feito falta. Este conteúdo pode ser ministrado, pois o método
de resolução está ao alcance dos alunos. È o caso do sistema,
ìïu 2 + v 2 = uv + 13
.
í
ïîu + v = uv + 3
O trabalho ora apresentado foi realizado com base nas pesquisas e
análises bibliográficas. Ao longo da sua realização, houve vários encontros de
reflexão entre a orientadora e o autor, que permitiram o seu enriquecimento.
Pretende-se que este trabalho seja acessível a todos aqueles que
pretendem obter uma orientação na escolha dos exercícios/problemas ao longo
do tratamento das unidades temáticas nele referidas.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
7
I – POLINÓMIOS E SUAS RAÍZES
Tendo em consideração o tema deste trabalho, Aplicação de
“Polinómios” na resolução de Problemas da “Matemática Elementar”,
considera-se de grande importância fazer uma pequena abordagem dos
polinómios e as suas raízes.
Na origem de todos os assuntos básicos da Matemática Elementar (em
particular, Álgebra) estão teorias fundamentais da Matemática ou Álgebra
Superior.
As propriedades gerais encontram suas aplicações “simplificadas” em
situações restritas ao nível “elementar”.
Assim polinómios de uma variável considerados sobre os corpos de
números reais (R) e racionais (Q) a nível do Ensino Secundário são casos
particulares dos polinómios de uma variável, construídos sobre um domínio de
integridade com identidade L de característica zero (ou corpo qualquer P)
A noção de um polinómio introduz-se ao nível do Ensino Secundário no
8º ano e atinge uma certa profundidade nos níveis de ensino posteriores onde os
alunos estudam polinómios com coeficientes reais.
Definição 1: Chama-se polinómio de variável x a toda expressão
racional inteira redutível à forma f (x ) = an x n + an -1x n -1 + ... + a1x + a0 (forma
canónica), em que:
e an ; an -1 ;...; a1 ; a0 são números reais e an ¹ 0
e n é um número natural ou nulo, isto é, n Î N 0
e Às expressões an x n , an -1 x n -1 ,..., a1x e a0 dá-se o nome de termos do
polinómio
e
os
números
an ; an -1;...; a1; e a0
denominam-se
coeficientes.
e Ao grau da potência an x n chama-se grau do polinómio.
Exemplos 1:
a. 2 x 2 - 3x + 1 (grau 2)
b. 3 x - 1 (grau 1)
por
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
8
c. - x 3 + 2 x 2 - 3 x + 2 (grau 3)
Nota 1:
a. Os polinómios de grau 0 (zero) chamam-se constantes
b. O grau de um polinómio nulo é indeterminado
É claro que introduzindo a Definição 1 no 9º Ano de Escolaridade, não
se faz referência às questões:
à Que estrutura algébrica formam polinómios sobre um corpo
(corpo numérico)?
à Como se constrói essa estrutura?
à Que propriedade possui essa estrutura, e porquê?
São momentos importantes e pensa-se que saber e compreender a sua
fundamentação algébrica rigorosa é muito importante para os professores do
Ensino Secundário, pois estende os seus horizontes de conhecimento e
transforma-os em profissionais mais qualificados na sua área.
Por isso se vão abordar neste trabalho alguns capítulos da Teoria dos
polinómios sobre um domínio de integridade com identidade L (ou corpo P)
Definição 2: Seja L – domínio de integridade com identidade, x um
elemento transcendente sobre L.
Ao anel de polinómios de uma variável sobre L chama-se extensão
simples transcendente L[x].
Os elementos desse anel chamam-se polinómios de uma variável x sobre
L e designam-se por f(x), g(x), etc.
A Definição 2 é algébrica e é equivalente à definição funcional de
polinómios só quando L é domínio de integridade de característica zero ( char = 0 ).
Desse modo as definições algébrica e funcional de polinómios
consideradas sobre os corpos numéricos (Q, R, C), não se distinguem.
O estudo das raízes de um polinómio no Ensino Secundário é uma das
grandes prioridades dentro da Matemática, uma vez que na resolução de
equações do tipo an x n + an -1x n -1 + ... + a1 x + a0 = 0 não se faz outra coisa se não
procurar todas as raízes do polinómio que compõe o primeiro membro da equação.
Seja f (x ) = an x n + an -1 x n -1 + ... + a1 x + a 0 polinómio sobre o corpo P e ∆
extensão de P , isto é, P Í D , então
"a Î D : f (a ) Î D
Definição 3: Um elemento a Î D tal que f (a ) = 0 chama-se raiz do
polinómio de f (x ) Î P [x ] .
Exemplo 2:
-3 é uma raiz do polinómio f ( x ) = x 3 + x 2 - 5 x + 3 , com efeito:
f (-3) = (- 3) + (- 3) - 5 × (- 3) + 3 = -27 + 9 + 15 + 3 = 0
Teorema 1: Um elemento x1 Î P é raiz de um polinómio f (x ) Î P [x ] se e
3
2
somente se o binómio x - x1 é divisor de f (x ) .
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
9
Demonstração
Segundo o Teorema de Bezout1, o resto da divisão inteira de f (x ) por
x - x1 é f (x1 ) , por isso:
g
Se f (x ) é divisível por x - x1 , então o resto é igual a zero; logo
f( x1 ) é igual a zero, isto é, x1 é raiz.
g
Se x1 é raiz de f (x ) , então f (x1 ) = 0 , logo f (x ) é divisível por
x - x1 .
Nota 2: O Teorema 1 é condição necessária e suficiente para que x1
seja raiz do polinómio f (x ) . Deste modo pode-se apresentar outra definição
equivalente a Definição 3.
Definição 4: Um elemento x 1 Î P chama-se raiz do polinómio f (x ) Î P [x ]
se f (x ) se divide por x - x1 .
Esta definição pode ser generalizada para o caso de raízes múltiplas de
polinómios.
Definição 5: Um elemento x 1 Î P chama-se raiz de ordem, k Î N , do
polinómio f (x ) se f (x ) é divisível por (x - x1 )k e não por (x - x1 )k +1 .
Assim sendo:
g
As raízes de ordem 1 (um) chamam-se raízes primas ou simples;
g
As raízes de ordem 2 (dois) chamam-se raízes duplas;
g
As raízes de ordem 3 (três) chamam-se raízes triplas; etc.
Exemplo 3:
O polinómio f (x ) = x 3 - 3x 2 + 4 admite uma raiz dupla (2) e uma prima
(-1) , com efeito, f (x ) é divisível por ( x - 2) e não por ( x - 2) e é divisível por x + 1
2
3
e não por (x + 1)2 .
Utilizando a regra de Ruffini2, pode-se constatar isto:
2
1
1
2
1
-1
1
-3
2
-1
2
1
-1
0 =R
0
-2
-2
2
0=R
4
-4
0=R
f (x ) = (x - 2)2 × (x + 1)
Nota 3:
a) Se f (x ) é um polinómio nulo, então "x 1 Î P é raiz de ordem
indefinida de f (x ) , com efeito f (x ) é divisível por ( x - x1 ) com m Î N ;
m
1
2
Bezout (Estevão) – Matemático Francês (1730-1783)
Ruffini – Matemático e Médico Italiano (1765-1822)
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
b)
10
Se f (x ) ¹ 0 , então qualquer raiz x 1 Î P tem a ordem determinada
k £ deg f(x) , pois f (x ) é divisível por (x - x1 )k e não por (x - x1 )m , m > deg f(x) ;
c)
Se x1 é raiz de ordem k de f (x ) onde k < n e n = deg f(x) , então:
f (x ) = (x - x 1 ) × g (x )
k
Teorema 2: A quantidade de todas as possíveis raízes dum polinómio
f (x ) ¹ 0 Î P [x ] não é mais do que o seu grau.
Demonstração
Suponhamos que:
x1 é raíz de ordem k1 ;
x2 é raíz de ordem k2 ;
…
xm é raíz de ordem km .
f (x ) = (x - x 1 )k1 × (x - x 2 )k2 × ...(x - x m )km × g (x ) onde g (x ) é um polinómio para
o qual nenhum dos elementos x1 , x2,..., xm é raiz.
Então, deg f(x) = k1 + k2 + ... + km + deg g (x ) , isto é: k1 + k2 + ... + km < deg f (x ) .
Corolário 1: Se f (x ) Î P [x ] de grau n tem n + 1 raízes diferentes, então
é um polinómio nulo.
Agora passaremos a enunciar um teorema conhecido por princípio de
identidade de dois polinómios.
Teorema 3: Dois polinómios g(x) e f(x) Î P[x] , cujos graus não são maiores
do que n , são iguais se eles tomam valores iguais em n + 1 pontos diferentes.
Demonstração
n
n
i =0
i=0
Sejam, f ( x) = å an - i x n - i e g ( x ) = å bn -i x n - i
Suponhamos que g (x ) e f (x ) tomam os mesmos valores para os
seguintes n + 1 valores diferentes:
f ( x1 ) = g ( x1 )
f ( x2 ) = g ( x2 )
…
f ( xn ) = g ( xn )
f ( xn +1 ) = g ( xn +1 )
Então, f (x ) - g (x ) cujo grau não é superior a n , anula-se para
n + 1 valores diferentes, isto é, f (x ) - g (x ) tem n + 1 raízes (pelo menos).
Então pelo Corolário 1, f (x ) - g (x ) = 0 Û f (x ) = g (x ) .
Definição 6: Seja P * uma extensão de P e p (x ) Î P [x ] um polinómio
irredutível. Quando p (x ) tem uma raiz em P * , dizemos que P * é um corpo
de ruptura de p (x ) .
Definição 7: O corpo P chama-se corpo de decomposição do polinómio
f (x ) , se f (x ) se decompõe em factores lineares em P [x ] .
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
11
Definição 8: O corpo P chama-se algebricamente fechado se todas as
raízes de polinómio arbitrário f (x ) Î P [x ] pertencem ao mesmo corpo P , isto é, se
for corpo de decomposição de qualquer polinómio sobre ele.
De seguida vamos apresentar um teorema de grande utilidade na
resolução de exercícios práticos apresentados neste trabalho, que descreve o
processo de construção de um corpo de ruptura de um polinómio irredutível.
TEOREMA DE KRONEKER3
Teorema 4 (de Kroneker): Se f(x) é um polinómio de grau ³ 1
irredutível sobre o corpo P, então existe uma extensão do corpo P, que contem
uma determinada raiz de f(x).
Demonstração
Consideremos o anel P [x ] e construímos o anel – quociente P [x ](f (x ) )
(corpo de ruptura), onde f (x ) é irredutível sobre P .
P [x ]
(f (x )) é o anel de classes de restos obtidos da divisão de qualquer
polinómio g (x ) Î P [x ] por f (x ) .
g
P [x ]
P [x ]
Além disto, P [x ](f (x ) ) é um corpo, isto é, para as classes de
(f (x )) diferentes de
(f (x )) diferente de
0 = f (x ) se efectua a divisão, isto é, todo o elemento de
0 é invertível.
Para se convencer disso, devemos mostrar a existência da classe que
desempenha o papel da unidade e que, para qualquer classe diferente de 0 ,
existe a classe inversa.
A unidade de P [x ](f (x ) ) é 1, isto é, a classe de polinómios que na divisão
por f (x ) dá resto 1.
Seja S (x ) Î P [x ](f (x ) ) , uma classe diferente de 0 e s (x ) Î S (x ) , então
s (x )
não é divisível por f (x ) , e sabendo que f (x ) é irredutível, tem-se
MDC (s (x );f (x ) ) = 1 , isto é, $u (x ) e v (x ) Î P [x ] :
s ( x) × u ( x) + f ( x) × v ( x) = 1
Û s ( x ) × u ( x ) = - f ( x ) × v ( x ) + 1 , o que significa que S ( x ) × U ( x) = 1 , onde
U (x ) a classe que contém u (x ) .
( )
S ( x ) × U ( x) = 1 Û U ( x) = S ( x)
Logo, P [x ](f (x ) ) é um corpo.
g
-1
, isto é, U (x ) é inverso de S (x ) .
Mostremos que P [x ](f (x ) ) é extensão do corpo P .
Pomos em correspondência a cada elemento a de P uma classe de
polinómios que tem o resto igual a " a " (polinómio de grau zero) na divisão por
f(x), isto é, a ® a .
3
Kroneker (Leopold) – Matemático Alemão (1823-1891)
12
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
Tais classes completam um subcorpo do corpo P [x ](f (x ) ) isomorfo a P .
Realmente a bijecção é evidente e a "+" e "." de elementos de P corresponde a “+”
e “.” das classes às quais pertencem os elementos de P .
Por isso, pode-se não distinguir os elementos de P e as classes
correspondentes de P [x ](f (x ) ) .
g
Designemos por X a classe de polinómios que tem o resto " x " na
divisão por f (x ) . X Î P [x ](f (x ) ) .
É fácil verificar que X é raiz do polinómio f (x ) em P [x ](f (x ) ) .
(
Seja f ( x) = an x n + an -1 x n -1 + ... + a1 x + a0 e Ai uma classe correspondente a
)
ai Î P , i = 0, n .
n
P [x ]
Consideremos o elemento An × X + An -1 × X
n -1
+ ... + A1 × X + A0
do corpo
(f (x )) .
n
n -1
A classe An × X + An -1 × X + ... + A1 × X + A0 contem f (x ) (tendo em conta as
regras de "+" e "." de classes).
Como f (x ) é divisor de f (x ) , então essa classe é igual a classe 0 .
n
Deste modo, substituindo em An × X + An -1 × X
Ai
n -1
por respectivos elementos ai Î P , verifica-se que
+ ... + A1 × X + A0 as classes
no corpo P [x ](f (x ) ) tem
lugar:
n
an X + an - 1 X
n -1
+ ... + a1 X + a0 = 0 , isto é, a classe X é raiz de f (x ) .
Como consequência deste teorema, pode-se enunciar o seguinte
teorema:
Teorema 5: Para qualquer polinómio f (x ) de grau ³ 1 sobre o corpo P,
existe uma extensão L do corpo P, tal que f (x ) se representa sob a forma de
produto de factores lineares, isto é, L é o corpo de decomposição de f (x ) .
Demonstração
Com efeito:
Seja f (x ) Î P [x ] de grau n ³ 1 . Pelo Teorema 4 existe uma extensão K1
de P, tal que f (x ) tem uma raiz x1 e, por isso, pode ser representada sob a
forma:
f (x ) = (x - x1 ) × f1 (x ) , onde f1 ( x ) Î K1[x ] e grau de f1 ( x ) é n - 1 .
Aplicando o Teorema 4 ao corpo K1 e ao polinómio f1 ( x ) , obtemos a
extensão K 2 do corpo K1 , onde existe uma raiz x2 do polinómio f1 ( x ) .
Claro que x2 é raiz de f (x ) e K 2 é extensão de P.
Agora tem lugar a representação:
f (x ) = (x - x1 ) × (x - x2 ) × f2 (x ) , onde f2 (x ) Î K2 [x ] e grau de f (x ) é igual a
n -2.
13
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
Continuando este processo constroem-se as extensões, K 3 , K 4 ,..., K n do
corpo P; que contêm as raízes, x3, x 4 ,..., xn de f (x ) .
Depois de n passos se obtém o polinómio fn (x ) de grau 0, isto é, fn (x ) é
igual a um constante c Î K n .
O corpo K n é a extensão L procurada do corpo P, assim:
f (x ) = c × (x - x1 ) × (x - x2 ) × ... × (x - xn )
Exemplo 4:
f ( x ) = x 2 - 2 não se decompõem em factores lineares sobre o corpo Q,
(
)(
)
mas em R: f ( x ) = x - 2 × x + 2 , logo R é um corpo de decomposição de f (x ) .
Corolário 2: Um polinómio de grau n tem no corpo de decomposição n
raízes: x1, x2 ,..., xn .
Com efeito, como f (x ) não pode ter em nenhuma extensão de P mais do
que n raízes, então pode-se dizer que o corpo de decomposição contem todas as
raízes de f (x ) .
Corolário
3:
Em
corpo
de
decomposição
do
polinómio,
n
n -1
f ( x) = an x + an -1 x + ... + a1 x + a0 , a sua decomposição canónica tem a forma:
f (x ) = an × (x - x1 )k1 × (x - x2 )k2 × ... × (x - xn )kn , onde:
k1 + k2 + ... + kn = n e x1 , x2 ,..., xn são raízes diferentes.
Com efeito, na decomposição f (x ) = c × (x - x1 ) × (x - x2 ) × ... × (x - xn ) , pode
existir os factores iguais, agrupando-os obtém-se a representação:
f (x ) = c × (x - x1 )k1 × (x - x2 )k2 × ... × (x - xn )kn ,
onde
k1 + k 2 + ... + kn = n
e
x1, x2 ,..., xn são diferentes em pares, isto é, representa a sua forma canónica.
A constante c define-se igualando os coeficientes de x n dos polinómios
que ficam nas duas partes da expressão:
f (x ) = c × (x - x1 )k1 × (x - x2 )k2 × ... × (x - xn )kn , logo c = an .
Com esta exposição teórica chega-se ao teorema que ao longo deste
trabalho vai ser explorado no sentido da sua aplicação na resolução de problemas
do ensino secundário.
TEOREMA DE VIETT4
Teorema
6 (de
Viett): se
x1 , x2 ,..., xn
são raízes do polinómio,
+ ... + a1 x + a0 e an ¹ 0 , então:
a
x1 + x2 + ... + xn = - n -1
an
f ( x) = an x + an -1 x
n
n -1
x1 × x2 + x1 × x3 + ... + x1 × xn + x2 × x3 + ... + x2 × xn + ... + xn -1 × xn =
…
å xj
C nk
4
1
× x j2 × ... × x jk = (- 1)k ×
Viett (Fransua) – Matemático Francês (1540-1603)
an-2
an
an -k
n!
, onde 2 £ k £ n e Cnk =
k !×(n - k )!
an
14
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
x1 × x2 × ... × xn = (- 1) ×
n
a0
an
Estas fórmulas são conhecidas como fórmulas de Viett.
Para obtê-las, basta multiplicar os binómios na parte direita da
identidade:
an x n + an -1 x n -1 + ... + a1x + a0 = an × ( x - x1 ) × ( x - x2 ) × ... × ( x - xn ) ,
reduzir
os
termos semelhantes e igualar os coeficiente do mesmo grau de x nas duas partes
da igualdade apresentada.
A título de exemplos:
g
Para n = 2
2
a2 x + a1 x + a0 = a2 × ( x - x1 ) × ( x - x2 )
(
Û a2 x 2 + a1 x + a0 = a2 × x 2 - xx2 - xx1 + x1 x2
)
Û a2 x 2 + a1 x + a0 = a2 x 2 + (- a2 x2 - a2 x1 )x + a2 x1 x2 , então:
a
a1 = - a2 × ( x2 + x1 ) Û x2 + x1 = - 1
a2
a
a0 = a2 x1 x2 Û x1 x2 = 0
a2
g
Para n = 3
3
a3 x + a2 x 2 + a1 x + a0 = a3 × ( x - x1 ) × ( x - x2 ) × ( x - x3 )
(
Û a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 = a3 × x 3 - x 2 x3 - x 2 x2 + xx2 x3 - x 2 x1 + x1 x3 x + xx1 x2 - x1x2 x3
Û a3 x 3 + (- a3 x3 - a3 x2 - a3 x1 ) × x 2 + (a3 x1 x2 + a3 x1 x3 + a3 x2 x3 ) - a3 x1 x2 x3
ì a2
= x1 + x2 + x3
ïa3
ï
ìa2 = - a3 × ( x1 + x2 + x3 )
ïï a1
ï
ía1 = a3 x1 x2 + a3 x1 x3 + a3 x2 x3 Û í = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
ï a3
ïa = - a x x x
3 1 2 3
î 0
ï a0
= x1 x2 x3
ïïî a3
g
Para n = 4
4
a4 x + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 = a4 × ( x - x1 ) × ( x - x2 ) × ( x - x3 ) × ( x - x4 )
(
Û a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 = a4 × x 4 - x 3 x4 - x 3 x3 + x 2 x3 x4 - x 3 x2 + x 2 x2 x4 +
+ x 2 x2 x3 - - xx2 x3 x4 - x3 x1 + x 2 x1 x4 + x 2 x1 x3 - xx1 x3 x4 + x 2 x1 x2 - xx1 x2 x4 - xx1 x2 x3 + x1x2 x3 x4
Û a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 = a4 x - a4 × ( x4 + x3 + x2 + x1 ) × x + a4 × ( x2 x4 +
4
3
2
4
)
3
+ x2 x3 + x1 x4 + x1 x3 + x1 x2 + x3 x4 ) × x 2 - a4 × ( x2 x3 x4 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x1 x2 x3 ) × x +
+ a4 × x1 x2 x3 x4
)
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
15
ì a3
ï- a = x1 + x2 + x3 + x 4
ï 4
ï a2
= x1x2 + x1x3 + x1x 4 + x2x3 + x2x 4 + x3x 4
ï
ïa
Ûí 4
ï- a1 = x x x + x x x + x x x + x x x
1 2 3
1 2 4
1 3 4
2 3 4
ï a4
ï
ï a0 = x x x x
1 2 3 4
ïa
î 4
Exemplo 5: Consideremos o polinómio, f ( x) = x n - 1 , sobre o seu corpo
de decomposição, C.
As raízes de f (x ) são raízes de ordem n de unidade: W0 , W1 , W2 , W3 , …,
Wn -1 , onde Wk = cos
(
2pk
2pk
+ isen
, k = 0, n - 1
n
n
)
Pelas Fórmulas de Viett obtém-se:
ìW0 + W1 + ... + Wn -1 = 0
ï
ïW0W1 + W0W2 + ... + Wn -2Wn -1 = 0
í...
ï
ïW W ...W W = (- 1)n
î 0 1 n -2 n -1
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
16
II – APLICAÇÃO DAS FÓRMULAS DE VIETT NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS NO ENSINO SECUNDÁRIO
As fórmulas de Viett não são mais do que a extensão das fórmulas da
soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau ministrada no Ensino
Secundário no 10º Ano de Escolaridade.
Neste sentido passa-se a apresentar alguns exercícios de aplicação
dessas fórmulas que podem servir como exercícios de apoio para os professores
que trabalham no Ensino Secundário.
Também, na base de algumas ideias gerais expostas nos problemas “com
parâmetros”, sugere-se a criação das colectâneas de exercícios individuais para a
prática lectiva dos professores (Exercícios. Parte II).
EXERCÍCIOS. PARTE I
1. Completar uma equação do 2º grau sabendo as suas raízes x1 e
x2 :
a) x1 = 1 e x2 = -3
b) x1 = 1 + 6 e x2 = 1 - 6
-1 + 7
-1 - 7
e x2 =
2
2
d) x1 = - 3 e x2 = 3 3
c) x1 =
Resolução
a)
É claro que a equação procurada pode ser escrita na forma
b
c
x 2 + Bx + C = 0 , com efeito, ax 2 + bx + c = 0 Û x 2 + x + = 0 .
a
a
x1 + x2 = - B Û 1 - 3 = - B Û B = 2
x1 × x2 = C Û 1 × (- 3) = C Û C = -3
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
17
A equação procurada é x 2 + 2 x - 3 = 0 . Outras equações equivalentes à
x 2 + 2 x - 3 = 0 podem ser encontradas, bastando para isso, multiplicar o primeiro
membro da referida equação por um constante diferente de zero.
b)
Seja a equação procurada na forma x 2 + Bx + C = 0
x1 + x2 = - B Û B = -2
(
)(
)
2
x1 × x2 = C Û C = 1 + 6 × 1 - 6 Û C = 12 - 6 = 1 - 6 = -5
A equação procurada é x 2 - 2 x - 5 = 0 . Outras equações equivalentes à
x 2 - 2 x - 5 = 0 podem ser encontradas, bastando, para isso, multiplicar o primeiro
membro da referida equação por um constante diferente de zero.
c)
Seja a equação procurada na forma x 2 + Bx + C = 0
-1 + 7 -1 - 7
+
Û B =1
2
2
æ -1+ 7 ö æ -1- 7 ö
÷×ç
÷ Û C = 1- 7 Û C = - 6 = - 3
x1 × x2 = C Û C = çç
÷
ç
÷
2
2
4
4
2
è
ø è
ø
x1 + x2 = - B Û - B =
A equação procurada é x 2 + x -
3
= 0 Û 2x 2 + x - 3 = 0 . Outras equações
2
equivalentes à 2x 2 + x - 3 = 0 podem ser encontradas, bastando, para isso,
multiplicar o primeiro membro da referida equação por um constante diferente
de zero.
d)
Seja a equação procurada na forma, x 2 + Bx + C = 0
x1 + x2 = - B Û - B = - 3 + 3 3 Û B = -2 3
x1 × x2 = C Û C = - 3 × 3 3 Û C = -9
A equação procurada é x 2 + -2 3x - 9 = 0 . Outras equações equivalentes
à x 2 + -2 3x - 9 = 0 podem ser encontradas, bastando, para isso, multiplicar o
primeiro membro da referida equação por um constante diferente de zero.
Nota: Da resolução destes exercícios, pode-se constatar que, para
além do conhecimento das fórmulas de Viett, os alunos devem ainda dominar as
operações com números reais onde muitas vezes apresentam várias dificuldades.
Ainda, o professor pode propor outros tipos de exercícios aos alunos:
2. Indique as raízes das equações seguintes sem aplicar a fórmula
resolvente:
a) x 2 - 7 x + 12 = 0
b) 2r 2 - 3r + 1 = 0
c) 3t 2 - 2t - 1 = 0
Resolução
Tendo em conta que se uma equação do 2º grau tem raízes, x1 e x2
então:
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
b c
+ = 0 Û x 2 - Sx + P = 0 , onde:
a a
ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) Û x 2 +
S = x1 + x2 e P = x1 × x2
Na resolução de exercícios
equação à forma x 2 - Sx + P = 0 e a
determinar as próprias raízes.
a)
x 2 - 7 x + 12 = 0
S = 7 e P = 8 , significa que
x1
x2
4
em 2) deve-se em primeiro lugar, reduzir a
partir da soma e do produto das raízes,
3
Então, Solução = {4,3}
b)
2 r 2 - 3r + 1 = 0 Û x 2 -
18
x1 e x2 são positivos
x1 × x2
x1 + x2
12
7
3
1
x+ = 0
2
2
3
1
e P = , significa que x1 e x2 são positivos.
2
2
3
1
Nota-se que S = = 1 + (basta efectuar a divisão inteira de 3 por 2) e
2
2
1 1
que 1 × = = P .
2 2
ì 1ü
Então, Solução = í1, ý
î 2þ
2 1
c)
3t 2 - 2t - 1 = 0 Û t 2 - t - = 0
3 3
2
1
S = e P = - , significa que x1 e x2 são de sinais opostos.
3
3
2
æ -1ö
æ -1ö -1
Nota-se que S = = 1 + ç ÷ e que 1 × ç ÷ =
=P
3
è 3 ø
è 3 ø 3
ì - 1ü
Então, Solução = í1, ý
î 3þ
3. Decompor em factores lineares os seguintes polinómios, caso
possível.
a) f ( x) = x 2 - 2 x - 15
S=
b) g ( x ) = x 2 + (2 + a )x + 2a
c) h( x) = 3v 2 - 2v - 1
Resolução
a)
f ( x) = x 2 - 2 x - 15
f ( x ) = ( x - 5) × ( x + 3)
b)
g ( x ) = x 2 + (2 + a )x + 2a
g ( x) = (x + 2 ) × (x + a )
c)
h( x) = 3v 2 - 2v - 1
S = 2 e P = -15 Þ x1 = 5 e x 2 = -3
S = -2 - a e P = 2a Þ x1 = -2 e x 2 = -a
S=
2
3
e
P=
-1
-1
Þ x1 = 1 e x 2 =
3
3
19
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
1ö
æ
h( x) = 3 × ( x - 1) × ç x + ÷
3ø
è
EXERCÍCIOS. PARTE II
Os problemas com parâmetros exigem um nível elevado de
“familiarização” com o assunto e compreensão da matéria. A resolução desses
exercícios têm carácter investigativo, pressupõem os momentos de “análise” e
“síntese”, interpretação de diferentes situações ou casos.
Descobrindo as “potencialidades cognitivas”, isto é, a “bagagem” de
ideias que os problemas contêm, a amplitude das suas aplicações, o professor,
sem grandes dificuldades, consegue criar um vasto leque de exercícios “simples”
para os seus alunos.
Seguidamente, propõem-se alguns exercícios do género:
1. Demonstrar
que as raízes das equações
2
qx + px + 1 = 0 são números inversos entre si.
x 2 + px + q = 0
e
Resolução
Com efeito, se x1 e x 2 são raízes da equação x 2 + px + q = 0 , então:
x1 + x2 = - p e x1x2 = q
Para a equação qx 2 + px + 1 = 0 , se y 1 e y2 são suas raízes, então:
x
x
p x1 + x2
1
1
=
= 1 + 2 =
+
q
x1x2
x1x2 x1x2 x1 x2
1
1
1
1
y1 ´ y 2 = =
=
´
, logo as raízes de x 2 + px + q = 0 são inversos
q x1x2 x1 x2
y1 + y 2 = -
das raízes de qx 2 + px + 1 = 0 .
2. Encontrar o quadrado da diferença das raízes da equação,
x 2 + px + q = 0 .
Resolução
Sejam x1 e x2 as raízes da equação x 2 + px + q = 0 , então:
x 1 + x 2 = - p e x1x2 = q
(x1-x2 )2 = x12-2x1x2 + x22 = x12 + x22-2q = (x1 + x2 )2-2x1x2-2q
= p 2- 2q-2q = p 2- 4q
R: O quadrado da diferença das raízes é igual a p 2 - 4q
Nota: Partindo desses exemplos, podemos propor exercícios
interessantes que poderão despertar interesses nos alunos na aprendizagem. Até
porque, se repararmos bem, na resolução deste tipo de exercício, os alunos têm
de ser capazes de conhecer fórmulas de casos notáveis, aplicar artifícios e
conhecer as operações básicas com números reais, principalmente, permitindo,
deste modo, a consolidação da matéria.
20
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
O exercício do ponto 2, por exemplo, pode ser lançado da seguinte
forma:
"
Sem resolver a equação, x 2 + 3x + 2 = 0 determina o quadrado
da diferença das suas raízes.
Resolução: p = 3 e q = 2
(x 1 - x 2 )2
= p 2 - 4q = 3 2 - 4 ´ 2 = 9 - 8 = 1
3. Encontrar a soma
x 2 + px + q = 0 .
dos quadrados das raízes da equação,
Resolução
Sejam x1 e x2 as raízes da equação x 2 + px + q = 0 , então:
x 1 + x 2 = - p e x1x2 = q
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 )2 - 2x 1 x 2 Û x 1 2 + x 2 2 = (- p )2 - 2q Û x 1 2 + x 2 2 = p 2 - 2q
R: A soma dos quadrados das raízes da equação x 2 + px + q = 0 é p 2 - 2q .
4. Encontrar
a
x + px + q = 0 .
soma
dos
cubos
das
raízes
da
equação
2
Resolução
Sejam x1 e x2 as raízes da equação x 2 + px + q = 0 , então:
x 1 + x 2 = - p e x1x2 = q
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 )3 - 3x 1 2 x 2 - 3x 1 x 2 2 Û x 1 3 + x 2 3 = (-p )3 - 3x 1 x 2 (x 2 + x 1 )
Û x 1 3 + x 2 3 = -p 3 - 3q (- p ) Û x 1 3 + x 2 3 = -p 3 + 3qp
R: A soma dos cubos das raízes da equação x 2 + px + q = 0 é - p 3 + 3qp .
5. Para que valor do parâmetro “p”, a razão entre as raízes da
equação, x 2 + px - 16 = 0 , é igual a -4?
Resolução
Sejam a1 e a 2 as raízes da equação x 2 + px - 16 = 0 .
Sabe-se que:
1) a1 + a 2 = - p
2) a1a 2 = -16
a
3) 1 = -4 Û a1 = -4a 2 (pelo dado)
a2
De 2): a1a 2 = -16 Û -4a 2a 2 = -16 Û a 2 = 4 Û a 2 = ±2
De 3):
Se a 2 = 2 então, a1 = -8 , logo 2 - 8 = - p Û p = 6
2
Se a 2 = -2 então a1 = 8 , logo - 2 + 8 = - p Û p = -6
O parâmetro “p” pode ser igual a 6 ou -6.
21
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
III – POLINÓMIOS DE “N” VARIÁVEIS
A noção de polinómio de n variáveis introduz-se a partir da noção do
polinómio de uma variável.
Sabe-se que, na linguagem algébrica, essa definição significa o
seguinte:
Um polinómio de uma variável x sobre um domínio de integridade L com
identidade, é um elemento do anel L[x ] que é extensão simples transcendente de
L, e x um elemento transcendente sobre L. Representa-se por, f (x ), g ( x ),... .
Tendo em conta que qualquer extensão transcendente simples de L[x ] é
também domínio de integridade com identidade, isto é, por exemplo,
L[x ][y ] = L[x, y ] , onde y é um elemento transcendente sobre L[x ] , pode-se
estender a noção de um polinómio de uma variável para noção de um polinómio de
duas, três, …, “n” variáveis sobre um domínio de integridade com identidade, em
particular, um corpo.
Definição 9: Ao anel de polinómios L[x1, x2,..., xn -1, xn ] de variáveis,
x1, x2 ,..., xn -1, xn , sobre o domínio de integridade L, chama-se anel de polinómios de
uma variável xn sobre o domínio de integridade L[x 1 , x 2 ,..., x n -1 ] , isto é:
L[x1, x2 ,..., xn -1 ] [xn ] = L[x1, x2 ,..., xn -1, xn ] (por definição).
Cada elemento do anel L[x1, x2,..., xn ] chama-se polinómio de “n” variáveis,
x1, x2 ,..., xn sobre L e designa-se por f (x1, x2,..., xn ) , g (x1, x2,..., xn ) , …, tendo a forma:
f (x 1 , x 2 ,..., x n ) =
n
k1i
å Ai x 1
i =1
(
)
x 2 2i ...x n ni , onde Ai Î L , kli Î Z 0+ , i = 1, n .
k
k
Definição 10: Dois termos de um polinómio que se distinguem só por
coeficientes chamam-se semelhantes.
Se um polinómio não tem termos semelhantes diz-se que o polinómio
está na forma canónica.
Definição 11: Grau do termo Ax 1k1 x 2k2 ...x nkn do polinómio, f (x 1 , x 2 ,..., x n ) é a
soma, k1 + k2 + ... + kn .
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
22
O número ki chama-se grau do termo dado relativamente a xi .
Definição 12: O maior dos graus dos termos do polinómio chama-se
grau do polinómio dado.
Definição 13: O termo de grau maior chama-se termo maior do
polinómio.
Obs.: Um polinómio pode ter diferentes termos maiores.
Exemplos 6: f (x, y, z ) = 2 xy 3 z 2 + x 4 z 2 + 3 xyz - xy
Os termos maiores são: 2 xy 3 z 2 e x 4 z 2
Definição 14: Se todos os termos do polinómio têm o mesmo grau, “l”,
então o polinómio chama-se homogéneo ou forma de grau “l”.
Obs.: Qualquer polinómio pode ser representado sob a forma de soma
de número finito dos polinómios homogéneos de graus diferentes.
Definição 15: Um polinómio f (x1 , x2 ,..., xn ) chama-se simétrico
relativamente às variáveis xi1 , xi2 ,..., xik onde i j (j = 1, k ) são números do conjunto
{1,2,3,..., n } (k £ n ) diferentes em pares, se depois de uma permutação qualquer de
variáveis xi1 , xi2 ,..., xik , se obtém um polinómio igual ao polinómio dado.
Um polinómio f (x1, x2,..., xn ) chama-se simétrico se ele é simétrico
relativamente a todas as variáveis, x1 , x2,..., xn .
Nota: qualquer constante pode ser considerado um polinómio simétrico.
Exemplos 7:
a) f (x , y ) = x 2 + y 2 é simétrico, com efeito, f (y , x ) = y 2 + x 2 = f (x , y )
b) g (x1, x2 ) = x1x22 + 3x1x2 - 2x1 - 2x2 + x12x2 + 5 é também simétrico
c) h (x1, x2, x3 ) = 2x22 + x1x2 - x2x3 é simétrico relativamente a x1 e x3 ,
mas não é simétrico relativamente a x2 e x3 ou x1 e x2 , por isso ele
não é simétrico.
Nota: Aos polinómios:
s 1 = x1 + x2 + ... + xn
s 2 = x1x2 + x1x3 + ... + xn -1xn
…
sk =
å xj x j xj
C nk
1
2
æ
3
n!
ö
÷
...x jk , onde çç Cn =
k!×(n - k )! ÷ø
è
k
s n = x1x2x3 ...xn , são polinómios simétricos fundamentais (elementares ou
simples).
Propriedades de polinómios simétricos
1. A soma, a diferença e o produto de polinómios simétricos de “n”
variáveis sobre o corpo P é um polinómio simétrico sobre esse
corpo.
2. O conjunto de todos os polinómios simétricos é um subanel do
domínio de integridade P [x1, x2,..., xn ] . Esse subanel é um domínio
de integridade com unidade.
23
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
3. Se o polinómio simétrico contém o termo Ux1l1 x2l2 ...xi li ...xn ln , então
ele contém também o termo formado mediante
permutação de expoentes l1 , l 2 , l 3 ,..., ln arbitrária.
a
uma
4. Se x1l1 × x2l2 × ... × xi li × xi +1li +1 × ... × xn ln é termo maior de um polinómio
simétrico, então l1 ³ l2 ³ ... ³ ln
TEOREMA 7: TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE POLINÓMIOS SIMÉTRICOS
Qualquer polinómio simétrico, f (x1, x2,..., xn ) , de “n” variáveis sobre P,
pode ser representado sob a forma de um polinómio sobre P de polinómios
simétricos fundamentais s 1 , s 2 , …, s n de variáveis x1 , x2 ,..., xn .
Antes de passar para a demonstração do teorema apresentado, vai-se
fazer algumas observações que servirão de base para a demonstração do
teorema.
1. Um polinómio de “n” variáveis x1 , x2 ,..., xn pode ter somente um
número finito de diferentes (não semelhantes) termos de grau
determinado, “l”. Esse número não ultrapassa a quantidade de
possibilidades de representação de “l” como soma de “n” parcelas
ordenadas inteiras não negativas.
Exemplos 8: Para l = 7 ; n = 2 temos 8 possibilidades.
7 = 0 + 7; 7 = 1 + 6; 7 = 2 + 5; 7 = 3 + 4; 7 = 7 + 0; 7 = 6 + 1; 7 = 5 + 2; 7 = 4 + 3
2. O termo maior x1l1 x2l2 ...xn ln de qualquer polinómio simétrico pode
ser representado como o termo maior do produto de polinómios
simétricos fundamentais, s 1, s 2, ..., s n .
Considera-se o produto, s 1l1 -l2 × s 2l2 -l3 × s n -1ln -1 -ln × s n ln
Pela propriedade 4 de polinómios simétricos, l1 - l2, l2 - l3, l3 - l4,..., ln -1 - ln , ln
são números inteiros não negativos, por isso s 1l1 -l2 × s 2l2 -l3 × s n -1ln -1 -ln × s n ln
é um
polinómio de x1 , x2,..., xn .
Assim como o termo maior do produto de dois ou mais polinómios
fundamentais é igual ao produto dos termos maiores desses polinómios e sabendo
que
os
termos
maiores
de
s 1 , s 2 ,..., s n
são,
respectivamente,
x1 , x1x2 , x1x2x3 , ..., x1x2 ...xn -1, x1x2 ...xn ,
s 1l1 -l2
× s 2l2 -l3
× s n -1ln -1 -ln
× sn
ln
então
o
termo
maior
do
produto
é igual a:
x1l1 -l2 × (x1x2 )l2 -l3 × ... × (x1x2 ...xn -1 )ln -1 -ln × (x1x2 ...xn )ln , que coincide com o termo
x1l1 × x2l2 × ... × xn ln .
3. Sabe-se que qualquer polinómio simétrico pode ser representado
sob a forma da soma de polinómios simétricos homogéneos.
Com efeito, se um polinómio é simétrico então cada um dos seus
componentes homogéneos é também um polinómio simétrico. Pois, para qualquer
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
24
permutação de variáveis x1, x2 ,..., xn , cada termo do polinómio se transforma em
termos do mesmo grau, isto é, em outro termo do mesmo polinómio homogéneo.
Por isso, a igualdade do polinómio, obtido depois de uma permutação das
variáveis, ao polinómio dado significa invariedade de cada um dos componentes
homogéneos, isto é, a simetria desses polinómios homogéneos.
Demonstração do Teorema Fundamental dos Polinómios Simétricos
Depois destas observações, pode-se demonstrar o teorema
fundamental dos polinómios simétricos. Vai-se fazer a demonstração para os
polinómios simétricos homogéneos, uma vez que cada polinómio simétrico pode
ser representado sob a soma de polinómios simétricos homogéneos.
Seja f (x1, x2,..., xn ) um polinómio homogéneo de grau “m”.
Suponhamos que o termo maior de f (x1, x2,..., xn ) tem a forma:
Ax1l1 x2l2 ...xn ln
(1)
Constrói-se o polinómio simétrico:
g (x1, x2 ,..., xn ) = A × s 1l1 -l2 × s 2l2 -l3 × ... × s n -1ln -1 -ln × s n ln
Segundo observação 2, o termo maior desse polinómio é igual a (1).
Além disso, g (x1, x2,..., xn ) é polinómio homogéneo, assim como são homogéneos os
seus factores s 1 , s 2 ,..., s n .
O grau do polinómio
g (x1, x2 ,..., xn )
é igual ao grau do polinómio
f (x1, x2,..., xn ) , pois esses polinómios têm os mesmos termos maiores.
Considera-se agora f1 (x1, x2,..., xn ) = f (x1, x2,..., xn ) - g (x1 , x2,..., xn )
Claro que f1 (x1, x2,..., xn ) é também um polinómio simétrico homogéneo de
grau “m”. Mas esse polinómio já não contém todos os possíveis termos desse grau.
Realmente, f1 (x1, x2,..., xn ) já não contém o termo (1). Além do mais nessa
subtracção desaparecem todos os n! termos que se obtêm do termo (1) como
resultado de todas as possíveis permutações dos expoentes l1, l2,.., ln , assim como
pela propriedade 3, esses termos estão contidos nos polinómios f (x1, x2,..., xn ) e
g (x1, x2 ,..., xn ) .
O polinómio f1 (x1, x2,..., xn ) pode conter só termos do mesmo grau com
sistema de expoentes l1, l2,.., ln “inferior” a do termo (1).
Aplica-se a esse polinómio o mesmo raciocínio, isto é, seja o termo
maior de f1 (x1, x2,..., xn ) da forma: B × x1m1 × x2m2 × ... × xn mn (2)
Constrói-se o polinómio: g1 (x1, x2,..., xn ) = B × s 1m1 -m2 × s 2m2 -m3 × ... × s n -1mn -1 -mn × s n mn
e forma-se a diferença f2 (x1, x2,.., xn ) = f1 (x1, x2,.., xn ) - g1 (x1, x2,.., xn ) .
Também f2 (x1, x2,..., xn ) é polinómio simétrico homogéneo de grau “m” que
não contém os termos (1) e (2), e pode conter só os termos com os sistemas de
expoentes “inferior” a do sistema de expoentes de (1) e (2).
25
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
Assim como a quantidade de diferentes termos de grau “m”, pode ser
um número finito (Obs. 1), então, continuando este processo, a um determinado
passo, chega-se à diferença:
fk +1 (x1, x2 ,..., xn ) = fk (x1, x2 ,..., xn ) - gk (x1, x2 ,..., xn ) que não pode conter nenhum
termo de grau “m”, isto é, igual ao polinómio nulo.
Então, das diferenças:
f1 = f - g
f2 = f1 - g1
…
fk = fk -1 - gk -1
0 = fk - g k , segue-se a que f = g + g1 + g2 + ... + gk -1 + gk
Assim como os polinómios g , g1, g2,..., gk são expressos por produtos de
polinómios s 1 , s 2, ..., s n , então o polinómio f (x1, x2,..., xn ) fica representado sob a
forma de um polinómio de s 1, s 2,..., s n .
f (x1,x2,...,xn ) = j (σ1,σ2,...,σn ) (3)
Os coeficientes desse polinómio j são obtidos de coeficientes do
polinómio dado depois de adição e subtracção, por isso, são elementos do corpo P.
Teorema 8: A representação de um polinómio simétrico sob a forma de
um polinómio de polinómios simétricos fundamentais é única.
Exemplos
f (x1, x2 , x3 ) =
x12x2
+
x12x3
9:
+
x1x22
Encontrar
+
x1x32
2
a
+ x2 x3 +
representação
x2x32
-4×
(
x12
+
x22
+
do
x32
polinómio,
) + 5 , sobre Q,
por polinómios simétricos fundamentais.
Primeiro vai-se escrever f (x1, x2, x3 ) sob a forma de uma soma algébrica
de polinómios homogéneos de graus diferentes:
f (x1, x2 , x3 ) = f1 - 4f2 + 5 onde:
f1 (x1, x2 , x3 ) = x12x2 + x12x3 + x1x22 + x1x32 + x22x3 + x2x32
f2 (x1, x2, x3 ) = x12 + x22 + x32
Vai-se agora expressar separadamente
f1
e
f2
por polinómios
simétricos fundamentais.
O termo maior de f1 é x12x2 , isto é, l1 = 2 , l2 = 1 e l3 = 0 (sistema de
expoentes de x12x2 ).
g1 (x1, x2 , x3 ) = s 12 -1 × s 21- 0 × s 30 = s 1 × s 2
Não é necessário determinar a subtracção f1 - g1 , basta determinar a
forma dos termos do polinómio j (s 1 , s 2 , s 3 ) , e depois encontrar os coeficientes
através do método de coeficientes indeterminados.
Na diferença f1 - g1 desaparecem todos
os
termos
da
forma
x1l1 × x2l2 × x3l3 , cujos expoentes l1, l2, l3 é uma permutação qualquer do sistema dos
expoentes 2, 1, 0, do termo maior de f1 . Ao mesmo tempo, podem aparecer os
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
26
termos do mesmo grau “3” mas com outro sistema “inferior” de expoentes. Neste
caso, tal sistema é 1, 1, 1.
Portanto, no segundo passo, será necessário subtrair o polinómio
simétrico: g1' = (x1, x2, x3 ) = a × s 3 .
Assim como para os termos de grau “3” não existem sistemas de
expoentes “inferior” a 1, 1, 1, então se pode escrever:
f1 (x1, x2 , x3 ) = s 1 × s 2 + a × s 3 , onde “ a ”, por enquanto, um coeficiente
indeterminado ou em forma desenvolvida.
Para encontrar o valor do coeficiente “ a ”, basta atribuir às variáveis,
x1 , x2 , x3 , quaisquer valores do corpo Q, por exemplo, x1 = x2 = x3 = 1 . Assim sendo,
pode-se obter o seguinte:
f1 (x1, x2, x3 ) = s 1 × s 2 + a × s 3 Û 6 = 9 + a Û a = -3
Logo, f1 (x1, x2, x3 ) = s 1 × s 2 - 3 × s 3
Analogamente pode-se proceder para f2 (x1, x2, x3 ) = x12 + x22 + x32 .
O termo maior é x12 , isto é, l1 = 2 , l2 = 0 e l3 = 0 , logo:
g2 (x1, x2 , x3 ) = s 12
Podem aparecer os termos do mesmo grau “2”, mas com outro, sistema
“inferior” de expoentes. Neste caso, 1, 1, 0.
Então, g2' (x1, x2, x3 ) = b × s 2
Como, para os termos de grau “2”, não existem sistemas de expoentes
“inferior” a 1, 1, 0, então, pode-se escrever:
f2 (x1, x2 , x3 ) = s 12 + b × s 2
Para x1 = x2 = x3 = 1 , se obtém:
f2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = s 1 2 + b × s 2 Û 3 = 9 + 3b Û b = -2
Logo, f2 (x1, x2, x3 ) = s 12 - 2 × s 2
Finalmente, f (x1, x2, x3 ) = s 1 × s 2 - 3 × s 3 - 4 × (s 12 - 2 × s 2 ) + 5 .
Nota: Uma das grandes vantagens da representação de um polinómio
sob a forma de um polinómio de polinómios simétricos fundamentais consiste
exactamente na representação de Somas de Potências, isto é, polinómios
simétricos da forma:
Sk = x1k + x2k + x3k + ... + xn k (onde k Î N \ {0})
Do teorema fundamental sobre polinómios simétricos, segue-se a que
cada soma de potências pode ser representado como um polinómio de polinómios
simétricos fundamentais (com coeficientes inteiros).
É fácil ver que:
S1 = s 1
S 2 = s 1 - 2s 2 (foi encontrado no decurso da resolução do exercício do
exemplo 9).
Pode-se obter a fórmula para S3 = x 1 3 + x 2 3 + ... + x n 3 , aplicando o método
2
geral de representação de polinómio simétrico por polinómios simétricos
fundamentais.
27
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
Completa-se a tabela:
Sistema de expoentes de
termos maiores
Termos maiores
Produtos de polinómios
fundamentais correspondentes
3, 0, 0
2, 1, 0
1, 1, 1
x13
s 13
a × x12x2
a ×s1 ×s2
b × x1x2x3
b × s3
Logo, pode-se escrever:
S3 = s 13 + a × s 1 × s 2 + b × s 3 ,
onde
“a ”
e
“b ”
são
coeficientes
indeterminados.
Para determinar “ a ” e “ b ”, toma-se primeiro:
x1 = x2 = 1; x3 = x 4 = ... = xn = 0 , obtém-se: S3 = 2 ; s 1 = 2 ; s 2 = 1 e s 3 = 0 .
S3 = s 13 + a × s 1 × s 2 + b × s 3 Û 2 = 8 + 2 × a Û a = -3
Depois: x1 = x2 = x3 = 1 e x 4 = x5 = ... = xn = 0 , obtém-se: S3 = 3 , s 1 = 3 , s 2 = 3
e s3 = 1 .
S3 = s 13 - 3 × s 1 × s 2 + b × s 3 Û 3 = 27 - 3 × 3 × 3 + b Û b = 3
Deste modo: S3 = s 13 - 2 × s 1 × s 2 + 3 × s 3
Analogamente, podem ser representados S 4 , S5 , …, por polinómios
simétricos fundamentais.
No entanto, existem relações que ligam as somas de potências com os
polinómios simétricos fundamentais: chamam-se Fórmulas de Newton:
"
Sk - Sk -1 × s 1 + Sk -2 × s 2 - ... + (- 1)k -1 × S1 × s k -1 + (- 1)k × k × Sk = 0 ,
(k = 1,2,..., n ) .
"
S k - S k -1 × s 1 + Sk - 2 × s 2 - ... + (- 1) × S k - n × s n = 0 , (k = n + 1,...,)
n
Utilizando fórmulas de Newton é possível encontrar representação de
S k por s 1 ,s 2 ,...,s n , se já são conhecidas as representações para S1 , S 2 , …, S k -1 .
Considera-se agora um dos corolários mais importantes do teorema
fundamental dos polinómios simétricos.
Corolário 4: Se f (x ) é um polinómio de uma variável x sobre o corpo P
com raízes a1 ,a 2 ,...,a n (que podem não pertencer ao corpo P), então o valor de
qualquer polinómio simétrico g ( x1 , x2 ,..., xn ) Î P[x1 , x2 ,..., xn ] para, x1 = a1 , x2 = a 2 , …,
xn = a n é um elemento do corpo P.
Com efeito, seja o polinómio: f (x ) = x n + an -1x n -1 + ... + a1x + a0 Î P [x ] .
Designam-se as raízes desse polinómio por a1 ,a 2 ,...,a n , que podem não
pertencer a P, mas, de certeza à uma extensão D de P.
Toma-se agora um polinómio simétrico qualquer g ( x1 , x2 ,..., xn ) sobre P de
“n” variáveis.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
28
De acordo com o teorema fundamental de polinómios simétricos, o
polinómio g ( x1 , x2 ,..., xn ) pode ser representado por polinómios simétricos
fundamentais s 1 , s 2 ,...,s n com coeficientes do corpo P.
Então, g ( x1 , x2 ,..., xn ) = j (s 1 , s 2 ,...,s n ) .
Coloca-se em g ( x1 , x2 ,..., xn ) , no lugar de x1 o elemento a1 , x2 o elemento
a 2 , …, xn o elemento a n .
Assim como todas as raízes pertencem a uma extensão D de P, então,
g (a1 ,a 2 ,...,a n ) em geral é um elemento do corpo D . Mas, a especificidade de
polinómios simétricos consiste no facto de g (a1 ,a 2 ,...,a n ) ser também um
elemento de P.
Com efeito, pelas fórmulas de Viett, os respectivos valores de
polinómios simétricos fundamentais expressam-se pelos coeficientes do
polinómio f ( x ) .
s 1 (a1 ,a 2 ,...,a n ) = a1 + a 2 + ... + a n = - an -1
s 2 (a1,a 2 ,...,a n ) = a1 × a 2 + a1 × a 3 + ... + a n -1 × a n = an - 2
…
n
s n = a1 × a 2 × ... × a n = (- 1) × a0
Então, g (a1 , a2,..., an ) = j [- an -1, an -2,..., (- 1)n × a0 ]
Agora é fácil ver que g (a1 ,a 2 ,...,a n ) é um elemento do corpo P, assim
como é resultado de operações de adição e de multiplicação dos elementos
ai Î P (i = 0, 1, ..., n - 1) e coeficientes do polinómio g ( x1 , x2 ,..., xn ) .
29
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
IV – APLICAÇÕES PRÁTICAS DE POLINÓMIOS SIMÉTRICOS
Feitas as considerações teóricas sobre os polinómios simétricos, passase para a sua aplicação prática na racionalização do denominador de uma fracção,
na construção de polinómios (ou equações polinomiais) e na resolução de sistemas
simétricos.
Nota-se que as fórmulas de Viett voltam a ter lugar importante, ao
longo da resolução dos exercícios aqui apresentados, pois estão “intimamente”
ligadas aos polinómios simétricos fundamentais.
1.
RACIONALIZAR O DENOMINADOR
Evitar a irracionalidade do denominador de uma fracção é um problema
muito frequente em Matemática no Ensino Secundário, quando se simplifica uma
fracção.
Daí que se vai aproveitar os conhecimentos sobre polinómios simétricos,
para apresentar uma metodologia (um procedimento) de racionalização do
denominador de uma fracção, pensando com isso estar a enriquecer os
conhecimentos daqueles que consultarem este trabalho.
Na racionalização do denominador de uma fracção do tipo
2+4
,
2-3 2
3
costuma-se multiplicar ambos os termos da fracção por 22 + 2 × 3 2 + 3 22 ,
devendo-se isto à fórmula seguinte: a 3 - b3 = (a - b ) × a 2 + a × b + b 2 .
(
)
Passa-se da análise deste exemplo para apresentar um método geral.
De um modo geral, é dada uma fracção
f (a 1 )
, onde f (x ) , g (x ) são
g (a 1 )
polinómios sobre Q e a1 é raiz irracional de um polinómio y ( x ) Î Q[x ]
Se y ( x ) é um polinómio de grau “n”, então no seu corpo de
decomposição ele tem, além de a1 , as raízes a 2 ,a 3 ,...,a n . Para evitar a
30
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
irracionalidade
do
denominador,
f (a 1 )
multiplica-se
g (a2 ) × g (a3 ) × ... × g (an ) , e obtém-se:
e
g (a 1 )
por
f (a 1 ) f (a 1 ) × g (a 2 ) × g (a 3 ) × ... × g (a n )
=
g (a 1 ) g (a 1 ) × g (a 2 ) × g (a 3 ) × ... × g (a n )
O produto g (a 1 ). g (a 2 ) × g (a 3 ) × ... × g (a n ) = j (a 1 , a 2 ,..., a n ) é o valor do polinómio
(
)
simétrico j ( x1, x2 ,..., xn ) Î Q[x1 , x2 ,..., xn ] , para xi = a i i = 1, n .
j (a1 ,a 2 ,...,a n ) Î Q (pelo corolário 4), desse modo a irracionalidade do
denominador da fracção é evitada.
É de salientar que, tanto o numerador como o denominador da fracção,
f (a1 ) × g (a2 ) × g (a3 ) × ... × g (an )
, podem ser calculados sem saber as raízes a1 ,a 2 ,...a n , de
g (a1 ) × g (a2 ) × g (a3 ) × ... × g (an )
y ( x ) . O denominador
g (a1 ) × g (a2 ) × g (a3 ) × ... × g (an )
polinómios simétricos fundamentais de
coeficientes de y ( x ) .
pode ser representado por
a1 ,a 2 ,...a n
que se exprimem por
O produto g (a2 ) × g (a3 ) × ... × g (an ) é simétrico relativamente a a 2 ,a 3 ,...,a n e,
por
isso, pode ser representado por coeficientes do polinómio
y (x )
= an × ( x - a 2 ) × ( x - a 3 ) × ... × ( x - a n ) , que tem raízes a 2 ,a 3 ,...,a n .
w( x ) =
x - a1
Os coeficientes de w( x ) exprimem-se por a1 e coeficientes de y ( x ) ,
encontrados como resultado da divisão de y ( x ) por ( x - a1 ) (aplicando a regra de
Ruffini).
Apresentam-se agora alguns exercícios para ilustrar aquilo que foi
acima exposto.
Exercícios
1.
Racionaliza os denominadores das seguintes fracções:
3
a)
2+4
2-32
b)
4
=
1
=
2 +1
1
c)
1+ 2 - 3
=
Resolução
2+4
=
2-3 2
a1 = 3 2 ; f (x ) = x + 4 ; g (x ) = 2 - x ; y (x ) = x 3 - 2
g (a1 ) × g (a 2 ) × g (a 3 ) = (2 - a1 ) × (2 - a 2 ) × (2 - a 3 ) = (4 - 2a 2 - 2a1 + a1a 2 ) × (2 - a 3 )
= 8 - 4a 3 - 4a 2 + 2a 2a 3 - 4a1 + 2a1a 3 + 2a1a 2 - a1a 2a 3
= 8 - 4 × (a1 + a 2 + a 3 ) + 2 × (a1a 2 + a1a 3 + a 2a 3 ) - a1a 2a 3 = 8 - 4 × 0 + 2 × 0 - 2 = 6
y (x )
2
w( x ) =
= x 2 + a1 x + a1
x - a1
a)
3
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
31
g (a 2 ) × g (a 3 ) = (2 - a 2 ) × (2 - a 3 ) = 4 - 2a 3 - 2a 2 + a 2a 3 = 4 - 2 × (a 2 + a 3 ) + a 2a 3
= 4 - 2 × (- a1 ) + a1 = 4 + 2a1 + a1 = 4 + 23 2 + 3 22
Então:
2
2+4
=
2-3 2
3
2
(
3
)
)(
2 + 4 × 4 + 23 2 + 3 2 2
123 2 + 63 22 + 18
=
= 23 2 + 3 4 + 3
6
6
1
=
2 +1
a1 = 4 2 ; f (x ) = 1 ; g (x ) = x + 1 ; y (x ) = x 4 - 2
g (a1 ) × g (a 2 ) × g (a 3 ) × g (a 4 ) = (1 + a1 ) × (1 + a 2 ) × (1 + a 3 ) × (1 + a 4 ) =
= (1 + a1 + a 2 + a1a 2 ) × (1 + a 3 + a 4 + a 3a 4 )
= 1 + a 3 + a 4 + a 3a 4 + a1 + a1a 3 + a1a 4 + a1a 3a 4 + a 2 + a 2a 3 + a 2a 4 + a 2a 3a 4 +
+ a1a 2 + a1a 2a 3 + a1a 2a 4 + a1a 2a 3a 4 = 1 + (a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) +
+ (a1a 2 + a1a 3 + a1a 4 + a 2a 3 + a 2a 4 + a 3a 4 ) + (a1a 2a 3 + a1a 2a 4 + a1a 3a 4 + a 2a 3a 4 ) +
+ a1a 2a 3a 4 = 1 + 0 + 0 + 0 - 2 = -1
y (x )
2
3
= x 3 + a1 x 2 + a1 x + a1
w( x ) =
x - a1
g (a 2 ) × g (a 3 ) × g (a 4 ) = ×(1 + a 2 ) × (1 + a 3 ) × (1 + a 4 ) = (1 + a 3 + a 3 + a 3a 3 ) × (1 + a 4 )
= 1 + a 4 + a 3 + a 3a 4 + a 2 + a 2a 4 + a 2a 3 + a 2a 3a 4 = 1 + (a 2 + a 3 + a 4 ) + (a 2a 3 + a 2a 4 + a 3a 4 ) +
b)
4
2
3
+ a 2a 3a 4 = 1 - a1 + a1 - a1 = 1 - 4 2 + 4 22 - 4 23
Então:
4
c)
1
1 - 4 2 + 4 22 - 4 23
=
= -1 + 4 2 - 4 2 2 + 4 2 3
1
2 +1
1
1+ 2 - 3
=
a1 = 2 - 3 ;
f (x) = 1 ;
g (x ) = x + 1 ;
y (x ) = x 4 - 10x 2 + 1
Nota: oy (x ) é obtido utilizando o seguinte processo:
( 2 - 3) Û x = 5 - 2 6 Û x
6 ) Û x - 10x + 25 - 24 = 0 Û x
2
x = 2- 3 Þx2 =
(
Þ x2 -5
) = (- 2
2
4
2
2
2
- 5 = -2 6
4
- 10x 2 + 1 = 0
Então, y (x ) = x 4 - 10x 2 + 1 .
g (a1 ) × g (a 2 ) × g (a 3 ) × g (a 4 ) = (1 + a1 ) × (1 + a 2 ) × (1 + a 3 ) × (1 + a 4 ) =
= (1 + a1 + a 2 + a1a 2 ) × (1 + a 3 + a 4 + a 3a 4 )
= 1 + a 3 + a 4 + a 3a 4 + a1 + a1a 3 + a1a 4 + a1a 3a 4 + a 2 + a 2a 3 + a 2a 4 + a 2a 3a 4 +
+ a1a 2 + a1a 2a 3 + a1a 2a 4 + a1a 2a 3a 4 = 1 + (a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) +
+ (a1a 2 + a1a 3 + a1a 4 + a 2a 3 + a 2a 4 + a 3a 4 ) + (a1a 2a 3 + a1a 2a 4 + a1a 3a 4 + a 2a 3a 4 ) +
+a 1a 2 a 3a 4 = 1 + 0 - 10 + 0 + 1 = -8
w (x ) =
y (x )
= x 3 + a 1 x 2 + - 10 + a 1 2 x + - 10a 1 + a 1 3
x - a1
(
) (
)
g (a 2 ) × g (a 3 ) × g (a 4 ) = ×(1 + a 2 ) × (1 + a 3 ) × (1 + a 4 ) = (1 + a 3 + a 3 + a 3a 3 ) × (1 + a 4 )
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
32
= 1 + a 4 + a 3 + a 3a 4 + a 2 + a 2a 4 + a 2a 3 + a 2a 3a 4 = 1 + (a 2 + a 3 + a 4 ) + (a 2a 3 + a 2a 4 + a 3a 4 ) +
(
) (
)
+ a 2a 3a 4 = 1 - a 1 + - 10 + a 1 2 - - 10 + a 1 2 = 1 - a 1 - 10 + a 1 2 + 10a 1 - a 1 3
(
- 9 = -(2
) ( 2 - 3)
2
= -a 1 3 + a 1 2 + 9a 1 - 9 = - 2 - 3 +
= -a 1 3 + a 1 2 + 9a 1
1
1+ 2 - 3
2.
=
(
)
+9 2 - 3 -9
)
2 - 6 3 + 9 2 - 3 3 + 5 - 2 6 + 9 2 - 9 3 - 9 = -2 2 - 2 6 - 4
-2 2 -2 6 - 4
=
-8
2 + 6 +2
4
CONSTRUÇÃO DE POLINÓMIOS
É dado um polinómio f ( x ) Î P[x ] com as raízes a1 , a 2 ,...,a n . Construir um
(
)
polinómio g ( x ) cujas raízes b i i = 1, n se exprimem por a i de f ( x ) , mediante as
relações, b i = j (a i ) , onde j ( x ) Î P[x ] (P um corpo).
Problemas desse tipo são muito frequentes no Ensino Secundário, pelo
que se vai apresentar um método que permite resolver essas questões.
Seja o polinómio g ( x ) na forma: g ( x ) = x n + an -1 x n -1 + ... + a1x + a0 , onde:
- an -1 = j (a1 ) + j (a 2 ) + ... + j (a n )
an - 2 = j (a1 ) × j (a 2 ) + j (a1 ) × j (a 3 ) + ... + j (a n -1 ) × j (a n )
…
(- 1)n × a0 = j (a1 ) × j (a 2 ) × ... × j (a n )
(
)
Como já se viu, os coeficientes ai i = 1, n - 1 são valores de polinómios
simétricos determinados sobre P para valores de variáveis iguais a j (a i ) , onde a i
são raízes de f ( x ) Î P[x ].
Do Teorema Fundamental de Polinómios Simétricos segue-se a que
sempre é possível encontrar a expressão dos coeficientes ai procurados por
coeficientes do polinómio dado, f ( x ) , e esses coeficientes pertencem ao mesmo
corpo P.
Esses raciocínios têm lugar quando b i = ji (a1 , a 2 ,...,a n ) , onde ji é um
polinómio simétrico arbitrário sobre P.
Exercícios
1. Encontrar uma equação cujas raízes b1 e b 2 são ligadas com as
raízes a1 e a 2 da equação ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0 ) , mediante a
relação:
à b1 = ka1
b 2 = ka 2
(k ¹ 0 )
Resolução
Seja a equação procurada na forma x 2 + Bx + C = 0
33
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
æ-bö
b1 + b 2 = - B Û ka1 + ka 2 = - B Û k × (a1 + a 2 ) = - B Û - k × ç
÷=B
è a ø
kb
ÛB=
a
c
k 2c
b1b 2 = C Û k 2a1a 2 = C Û C = k 2 × = C Û C =
a
a
kb
k 2c
2
2
= 0.
R: A equação procurada é: x + Bx + C = 0 Û x + x +
a
a
Û ax 2 + kbx + k 2 c = 0
Aqui o professor pode diversificar os exercícios tomando k como um
número inteiro ou racional qualquer.
2. Completa uma equação cujas raízes são quadrados das raízes da
seguinte equação: x 2 + px + q = 0 .
Resolução
Sejam x1 e x2 as raízes da equação x 2 + px + q = 0 , então:
x 1 + x 2 = - p e x1 x2 = q
Seja a equação pedida na forma x 2 + bx + c = 0 , então:
x 1 2 + x 2 2 = -b Û (x 1 + x 2 )2 - 2x 1x 2 = -b Û b = -p 2 + 2q
x1 x2 = ( x1 x2 ) = c Û c = q 2
2
2
2
R: A equação pedida é x 2 + (- p 2 + 2q )x + q 2 = 0 .
Nota: com este exercício, os professores podem propor várias outras
aos seus alunos, como por exemplo:
"
Sem resolver a equação x 2 + 3x + 2 = 0 , obtenha uma equação
cujas raízes são quadrados das suas raízes.
3. Completar uma equação do 2º grau cujas raízes são
(a - b )
, sabendo
x + px + q = 0 .
2
que
“a”
e
“b”
são
raízes
da
(a + b )2
e
equação
2
Resolução
Seja a equação pedida na forma x 2 + Bx + C = 0
(a + b )2 + (a - b )2 = - B Û (- p )2 + a 2 + b 2 - 2ab = - B Û p 2 + (a + b )2 - 4ab = - B
Û p 2 + p 2 - 4q = - B Û B = 4q - p 2
(a + b )2 × (a - b )2 = C Û
(
)
(
)
p 2 × a 2 + b 2 - 2ab = C Û p 2 × p 2 - 4q = C
Û C = p - 4p q
R: A equação pedida é: x 2 + Bx + C = 0 Û x 2 + 4q - p 2 x + p 4 - 4 p 2q = 0 .
4
2
(
) (
)
4. Sejam a e b raízes da equação 3 x 2 + 7 x + 4 = 0 . Sem resolver a
equação dada, completar uma equação do 2º grau cujas raízes
a
b
e
são
.
b -1 a -1
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
34
Resolução
Seja x + bx + c = 0 a equação pedida.
2
(
a
b
a2 -a + b 2 - b
a + b ) - 2ab - (a + b )
+
= -b Û
= -b Û
= -b
b -1 a -1
ba - b - a + 1
ba - (a + b ) + 1
2
2
4 7
æ 7ö
49 8 7
46
ç- ÷ - 2× +
- +
23
3ø
3 3
= -b Û 9 3 3 = -b Û 9 = -b Û =b
Ûè
14
14
4 7
21
+ +1
3
3
3 3
4
a
b
ab
2
×
=C Û
=C Û 3 =C ÛC =
14
b -1 a -1
ab - (a + b ) + 1
7
3
R: A equação pedida é:
23
2
x 2 + Bx + C = 0 Û x 2 - x + = 0 Û 21x 2 - 23 x + 6 = 0
21
7
5. Encontrar x1 -2 + x2-2 , onde x1 e x2 são raízes da equação
ax 2 + bx + c = 0 , sem resolver a equação dada.
Resolução
b
c
x1 + x 2 = e x1x2 = , então:
a
a
2
c
æ-bö
- 2×
ç
÷
2
2
2
(x + x2 ) - 2 x1 x2 = è a ø
1
1
x +x
a
-2
-2
x1 + x2 = 2 + 2 = 1 2 22 = 1
=
2
2
(x1 x2 )
x1
x2
x1 x2
æcö
ç ÷
èaø
b 2 2c b 2 - 2ac
2
b 2 - 2ac
a2
,c ¹ 0
= a 2 a =
=
c
c2
c2
a2
a2
b 2 - 2ac
-2
-2
R: x1 + x2 =
, onde c ¹ 0 .
c2
Nota: atribuindo aos parâmetros “a”, “b” e “c” valores numéricos, podese encontrar x1 -2 + x2-2 sem resolver a equação dada.
1 1
6. Completar uma equação do 2º grau sabendo que
e
são suas
x1 x 2
raízes, onde x1 e x 2 são raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)
Resolução
Seja a equação pedida na forma x 2 + Bx + C = 0
Se x1 e x 2 são raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) , então:
b
c
x1 + x2 = - e x1 x2 =
a
a
2
Em equação x + Bx + C = 0 :
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
35
-b
b
1 1
x1 + x2
-b
+
= -B Û
= -B Û a = -B Û
= - B(c ¹ 0) Û B =
c
c
c
x1 x2
x1 x2
a
a
1 1
1
1
× =C Û
=C Û =C ÛC =
c
c
x1 x2
x1 x2
a
R: Então a equação pedida é:
b
a
x 2 + x + = 0 Û cx 2 + bx + a = 0
c
c
Nota: Deste exercício, pode-se constatar que, se trocarmos os
coeficientes “a” e “c” numa equação do 2º grau, poderemos encontrar uma outra
equação cujas raízes são inversas das da equação dada.
Sendo assim o exercício pode ser apresentado da seguinte forma:
"
Sem resolver a equação x 2 + 3x + 2 = 0 , obtenha uma equação
cujas raízes são inversos das suas.
O aluno que já conhece o exercício pode em “cinco segundos”, resolver
esta questão: basta trocar os coeficientes a = 1 e c = 2 , o que não acontece com
um outro aluno que não a conhece.
7. Completar uma equação do 2º grau, sabendo que uma das suas
raízes é igual a soma das raízes da equação ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0 ) ,
e outra, ao produto das raízes da mesma equação.
Resolução
Seja a equação pedida na forma x 2 + Bx + C = 0 e a1 e a 2 as suas raízes,
então:
-b
c
e a2 =
a
a
-b c
-b+c
b-c
a1 + a 2 = - B Û
+ = -B Û
= -B Û B =
a
a
a
a
-b c
- bc
a1a 2 = C Û C =
× ÛC= 2
a a
a
Então a equação pedida é:
b-c
- bc
x2 +
x + 2 = 0 Û a 2 x 2 + (ab - ac )x - bc = 0
a
a
8. Completar uma equação do 2º grau cujas raízes são maiores do
que as raízes da equação ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0 ) em uma unidade.
a1 =
Resolução
Sejam x1 e x 2 as raízes de ax + bx + c = 0(a ¹ 0 ) , e a equação procurada
na forma x 2 + Bx + C = 0
-b
c
Sabe-se que: x1 + x2 =
e x1 x2 = , então:
a
a
-b
(x1 + 1) + (x2 + 1) = - B Û + 2 = - B Û b - 2a = B
a
a
2
36
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
c b
a+c-b
=C
- +1 = C Û
a a
a
b - 2a
a+c-b
x+
=0
R: A equação pedida é: x 2 + Bx + C = 0 Û x 2 +
a
a
Û ax 2 + (b - 2a )x + (a + c - b ) = 0
(x1 + 1) × (x2 + 1) = C Û x1 x2 + x1 + x2 + 1 = C Û
9. Seja f ( x ) = x 3 - x 2 + x - 1 . Encontrar g ( x ) Î Q[x ] cujas raízes são
cubos das raízes de f ( x ) .
Sejam a1 ,a 2 , a 3 as raízes de f ( x ) , então: b1 = a1 , b 2 = a 2 e b 3 = a 3
3
3
3
são raízes de g ( x ) = x 3 - ax 2 + bx - c , pois b1 , b 2 , b 3 têm os mesmos sinais de
a1 , a 2 , a 3 .
Pelas fórmulas de Viett, segue-se a que:
3
3
3
3
a = b1 + b 2 + b 3 = a1 + a 2 + a 3 = (a1 + a 2 + a 3 ) - 3 × (a1 + a 2 + a 3 ) × (a1a 2 +
+ a1a 3 + a 2a 3 ) + 3 × (a1a 2a 3 ) = 1 - 3 + 3 = 1 ,
3
3
3
pois
3
S3 = x1 + x2 + x3 = s 1 - 3 × s 1s 2 + 3 × s 3
b = b1b 2 + b1b 3 + b 2 b 3 = (a1a 2 ) + (a1a 3 ) + (a 2a 3 ) = (a1a 2 + a1a 3 + a 2a 3 ) 3
(
3
3
3
)
- 3 × (a1a 2 + a1a 3 + a 2a 3 ) × a1 a 2a 3 + a1a 2 a 3 + a1a 2a 3 + 3 × (a1a 2a 3 )
2
2
2
2
= 13 - 3 × 1 × (a1 + a 2 + a 3 ) × a1a 2a 3 + 3 × 1 = 1 - 3 × 1 × 1 + 3 = 1
c = b1b 2 b 3 = (a1a 2a 3 ) = 13 = 1
3
R: Então, g ( x ) = x 3 - x 2 + x - 1
Obs. : Sendo g ( x ) = f ( x ) significa que as raízes de f ( x ) elevadas ao
cubo não se alteram.
x4 - 1
, pelo que as
x +1
suas raízes são iguais às raízes de ordem 4 de unidade (excepto -1). Recorda-se
que as raízes de ordem 4 de 1 são: 1, -1, i, -i .
Este facto pode ser explicado pelo seguinte: f ( x ) =
10. Seja f (x ) = x 3 - 6x 2 + 11x - 6. Encontrar g ( x ) Î Q[x ] cujas raízes
são dobros das raízes de f ( x ) .
Resolução
Sejam a1 , a 2 , a 3 as raízes de f ( x ) , então: b 1 = 2a 1 , b 2 = 2a 2 e b 3 = 2a 3
são raízes de g ( x ) = x 3 - ax 2 + bx - c , pois b1 , b 2 , b 3 têm os mesmos sinais de
a1 , a 2 , a 3 .
Pelas fórmulas de Viett, segue-se a que:
a = b 1 + b 2 + b 3 = 2a 1 + 2a 2 + 2a 3 = 2 × (a 1 + a 2 + a 3 ) = 2 ´ 6 = 12
b = b 1 b 2 + b 1 b 3 + b 2 b 3 = 4a 1a 2 + 4a 1a 3 + 4a 2a 3 = 4 × (a 1a 2 + a 1a 3 + a 2 a 3 )
= 4 ´ 11 = 44
c = b 1 b 2 b 3 = 8a 1a 2a 3 = 8 ´ 6 = 48
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
37
R: Então, g (x ) = x 3 - 12x 2 + 44x - 48 .
3.
RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS SIMÉTRICOS
Os “sistemas simétricos” de n equações com n incógnitas definem-se
com mais rigor ao nível da Álgebra Superior.
Para este trabalho limitamo-nos ao estudo de sistemas simétricos de
duas equações com duas incógnitas. Assim sendo:
Um sistema de duas equações com duas incógnitas em que equações não
se alteram numa permutação qualquer de variáveis chama-se “sistema simétrico”.
As partes esquerdas das equações de tais sistemas são polinómios
simétricos de duas variáveis ou redutíveis aos tais, ou suas razões. Como por
exemplo:
Ò
x -1 + y -1 = 5 é equivalente a
x +y
= 5 em que (x ¹ 0; y ¹ 0 ) e a parte
xy
esquerda da igualdade é a razão de dois polinómios simétricos elementares de
duas variáveis;
com
x + y £ 13
onde
Ò x + xy + y = 13 Û xy = [13 - (x + y )]2
f (x , y ) = [13 - (x + y )]2 já é um polinómio simétrico de duas variáveis.
Vai-se, de seguida, apresentar um método para resolução de sistemas
simétricos com duas incógnitas, o que muitas vezes causam problemas para
professores e alunos ao longo do Ensino Secundário.
O método consiste na substituição conforme o seguinte:
u = x + y e v = x × y , onde x e y são variáveis do sistema. Essa ideia
surgiu do teorema fundamental aplicado a esse caso particular.
Deve-se lembrar que resolver um sistema significa determinar as suas
soluções (pares ordenados que satisfazem a cada equação do sistema) ou concluir
que o sistema é impossível.
É de notar que, em sistemas simétricos, tendo em conta a natureza dos
polinómios simétricos, se ( x1 , x2 ) é uma solução, então ( x2 , x1 ) é também solução.
Exercícios
Na fase inicial é bom que se saiba resolver os sistemas simétricos
básicos, como os seguintes:
1.
Resolve os seguintes sistemas simétricos
ìx + y = 4
a)
í
îx × y = 3
Resolver este sistema é mesmo que procurar dois números cuja
soma é 4 e produto é 3.
y
x+ y
x× y
x
38
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
b)
1
3
São os números 1 e 3.
S = {(1,3); (3,1)}
ì x + y = 23
í
î x × y = 132
4
3
Analogamente, pode-se encontrar os números 12 e 11.
S = {(12,11); (11,12)}
Com esta prática já se pode resolver outros tipos de sistemas como os
seguintes:
ìu 2 + v 2 = 13
ì1 1
ìï x -1 + y -1 = 5
+
=
12
d)
e)
í
ïï t z
í -2
ïî x + y - 2 = 13
îu × v = 6
c)
í
ï 1 = 20
ïî t × z
ì x 2 y + xy 2 = 6
ì x y 13
ìï x 2 + xy + y 2 = 91
+
=
g)
ï
í
h)
í
f)
íy x 6
î xy + x + y = 5
ïî x + xy + y = 13
ïx + y = 5
î
i)
ìïu 2 + v 2 = uv + 13
í
ïîu + v = uv + 3
l)
ì x 2 + y 2 = 34
í
î x + y + xy = 23
j)
1
4
ì 1
+
=
ï
y 3
í x
ï xy = 9
î
k)
ì( x + 1) × ( y + 1) = 10
í
î( x + y ) × ( xy + 1) = 25
Resolução
c)
ì1 1
ïï t + z = 12
Û
í
1
ï = 20
ïî tz
ìu
ïï v = 12
Û
í
1
ï = 20
ïî v
ì
ïïu =
í
ïv =
ïî
ìt + z
ïï tz = 12
í
ï 1 = 20
ïî tz
Para u = t + z e v = tz , com t ¹ 0 e z ¹ 0
3
ì
12 3
3
3
ì
ì
z = -t
t
z
z = -t
=
+
=
ï
ï
ï
5
ï
ï
ï
20 5
5
5
Ûí
Ûí
Ûí
1
ï- t 2 + 3t - 1 = 0
ïtz = 1
ït × æç 3 - t ö÷ = 1
ïî
ï
ïî è 5 ø 20
20
20
5 20
î
3
ì
ïz = - t
Ûí
5
ï- 20t 2 + 12t - 1 = 0
î
1 ì
1
ì
ïï z = 10 ïï z = 2
Ûí
Úí
ït = 1
ït = 1
ïî
ïî 10
2
D = b 2 - 4ac = 122 - 4 × (- 20) × (- 1) = 64
- 12 ± 8
1
1
t=
Ût= Ú t=
- 40
2
10
ìæ 1 1 ö æ 1 1 öü
S = íç , ÷; ç , ÷ý
îè 2 10 ø è 10 2 øþ
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
39
ì(u + v )2 - 2uv = 13
ìu 2 + v 2 = 13
d)
Ûí
Para t = u + v e z = uv
í
îu × v = 6
îuv = 6
ìt 2 = 25
ìt 2 - z = 13
ìt = 5 ìt = -5
Ûí
Ûí
Úí
Ûí
î z = 6 îz = 6
îz = 6
îz = 6
à
à
e)
ìt = 5
ìu + v = 5
ìu = 2 ìu = 3
S1 = {(3,2 ); (2,3)}
Ûí
Ûí
Úí
í
z
=
6
uv
6
v
3
v
2
=
=
=
î
î
î
î
ìt = -5
ìu + v = -5
ìv = -2 ìv = -3
S 2 = {(- 3,-2 ); (- 2,-3)}
Ûí
Ûí
Úí
í
îz = 6
îuv = 6
îu = -3 îu = -2
S = S1 È S 2 = {(3,2); (2,3); (- 3,-2 ); (- 2,-3)}
ìx + y
ìx + y
ì1 1
=
5
+
=
5
ï xy = 5
ï
ïx y
ìï x + y = 5
ï
ï xy
ï
Para,
Ûí
Ûí
Ûí 2
í -2
2
2
-2
ïî x + y = 13
ï ( x + y ) - 2 xy = 13
ï x + y = 13
ï 1 + 1 = 13
ïî
ïî ( xy )2
ïî x 2 y 2
(xy )2
-1
-1
u = x + y e v = xy , com x ¹ 0 Ù y ¹ 0
ìx + y
ìu
ï xy = 5
ïï v = 5
ìu = 5v
ìu = 5v
ï
Ûí 2
Ûí 2
Ûí 2
í
2
2
îu - 2v = 13v
î12v - 2v = 0
ï u - 2v = 13
ï ( x + y ) - 2 xy = 13
2
2
ïî v
ïî
(xy )
1
5
5
1 ì
ì
ì
ì
ïïu = 6
ïï x + y = 6
ïï x = 2 ïï x = 3
ìu = 5v
Ûí
(Pois v ¹ 0 ) Û í
Ûí
Úí
Ûí
1
1
1
î2v × (6v - 1) = 0
ïv =
ï xy =
ïy =
ïy = 1
ïî
ï
ï
3 ïî
2
6
6
î
î
ìæ 1 1 ö æ 1 1 öü
S = íç , ÷; ç , ÷ý
îè 2 3 ø è 3 2 øþ
ì ( x + y )2 - 2 xy 13
ì x 2 + y 2 13
ì x y 13
+
=
=
=
ï
ï
ï
f)
6 Ûí
6
xy
í y x 6 Û í xy
ïx + y = 5
ïx + y = 5
ïx + y = 5
î
î
î
com x ¹ 0 Ù y ¹ 0 .
Para u = x + y e v = xy ,
ì ( x + y )2 - 2 xy 13
ì u 2 - 2v 13
13v
ì
=
ì150 - 12v = 13v
ìv = 6
=
ï
ï
ï25 - 2v =
Ûí
xy
6 Ûí v
6 Ûí
6 Ûí
í
îu = 5
îu = 5
ïx + y = 5
ïu = 5
ïîu = 5
î
î
ì xy = 6
ìx = 2 ìx = 3
S = {(2,3); (3,2 )}
Ûí
Ûí
Úí
îx + y = 5
îy = 3 îy = 2
g)
ì x 2 y + xy 2 = 6
ì xy × (x + y ) = 6
Para u = x + y e v = xy
Ûí
í
xy
+
x
+
y
=
5
xy
+
x
+
y
=
5
î
î
40
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
ìuv = 6
ìv = 2 ìv = 3
Ûí
Ûí
Úí
îu + v = 5
îu = 3 îu = 2
ìv = 2
ì xy = 2
ìx = 1 ìx = 2
à
S1 = {(1, 2); (2,1)}
Ûí
Ûí
Úí
í
îu = 3
îx + y = 3
îy = 2 îy = 1
ì- x 2 + 2 x - 3 = 0
ìv = 3
ì xy = 3
ì x × (2 - x ) = 3
Û
Û
Û
í
í
í
í
îu = 2
îx + y = 2
îy = 2 - x
îy = 2 - x
2
2
D = b - 4ac = 2 - 4 × (- 1) × (- 3) = -8
Equação impossível
S = {(1,2 ); (2,1)}
ìï( x + y )2 - xy = 91
ìï x 2 + xy + y 2 = 91
h)
Ûí
í
ïî x + xy + y = 13
ïî xy + y + x = 13
( x > 0 Ù y > 0 ) Ú (x < 0 Ù y < 0 )
Para
u = x+ y
e
v = xy ,
com
ìï( x + y )2 - xy = 91
ìïu 2 - v = 91
ìïu 2 - v = 91
ìïu 2 - v = 91
Û
Û
Û
í
í
í
í
ïî v = 13 - u (u £ 13)
ïîv = (13 - u )2
ïî v + u = 13
ïî xy + y + x = 13
ìïu 2 - (13 - u )2 = 91
ìïu 2 - 169 + 26u - u 2 = 91
ì26u = 260
ì x + y = 10
ìu = 10
Ûí
Û
Ûí
Û
í
í
í
2
2
2
ïîv = (13 - u )
ïîv = (13 - u )
î xy = 9
îv = 9
îv = (13 - u )
ìx = 1 ìx = 9
S = {(1,9); (9,1)}
Úí
í
îy = 9 îy = 1
ìï(u + v )2 - 3uv = 13
ìïu 2 + v 2 = uv + 13
i)
Ûí
í
ïîu + v = uv + 3
ïîu + v - uv = 3
(u > 0 Ù v > 0) Ú (u < 0 Ù v < 0 )
Para
t =u+v
e
z = uv ,
ìï(u + v )2 - 3uv = 13
ìït 2 - 3 × (t - 3)2 = 13
ìït 2 - 3z = 13
ìït 2 - 3 z = 13
Û
Û
Û
í
í
í
í
ïî z = t - 3 (t ³ 3)
ïît - z = 3
ïî z = (t - 3)2
ïîu + v - uv = 3
ìï- 2t 2 + 18t - 40 = 0
ìï- t 2 + 9t - 20 = 0
ìït 2 - 3t 2 + 18t - 27 = 13
Ûí
Ûí
í
ïî z = (t - 3)2
ïî z = (t - 3)2
ïî z = (t - 3)2
D = b 2 - 4ac = 92 - 4 × (- 1) × (- 20 ) = 1
- 9 ±1
t=
Ût=5 Ú t =4
-2
ìï- t 2 + 9t - 20 = 0
ìt = 5 ìt = 4
Ûí
Úí
í
2
ïî z = (t - 3)
î z = 4 îz = 1
à
ìt = 5
ìx + y = 5
ìx = 1 ì x = 4
Ûí
Ûí
Úí
í
îz = 4
î xy = 4
îy = 4 îy = 1
S1 = {(1, 4); (4,1)}
com
41
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
à
ìy = 4 - x
ìt = 4
ìx + y = 4
ìy = 4 - x
Ûí
Ûí
Ûí 2
í
îz = 1
î xy = 1
î x × (4 - x ) = 1
î- x + 4 x - 1 = 0
D = b 2 - 4ac = 4 2 - 4 × (- 1) × (- 1) = 12
-4±2 3
Û x = 2- 3 Ú x = 2+ 3
-2
ìï y = 2 + 3 ìï y = 2 - 3
ìy = 4 - x
Ûí
Úí
í 2
ïî x = 2 - 3 ïî x = 2 + 3
î- x + 4 x - 1 = 0
x=
{
(
)(
{(
)(
S 2 = 2 - 3 ,2 + 3 ; 2 + 3 ,2 - 3
S = S1 È S 2 = (1, 4); (4,1); 2 - 3 ,2 + 3 ; 2 + 3 ,2 - 3
)}
)}
ì x+ y 4
1
4
ì 1
+
=
=
ï
ï
y 3Ûí
j)
3 Para u = a + b e v = a .b , com x > 0 Ù y > 0 ; onde
xy
í x
ï
ï xy = 9
î
î xy = 9
u e v são polinómios simétricos de variáveis a e b (a = x ; b = y )
ì x+ y 4
ìu 4
ìï x + y = 4
ìï x = 1 ìï x = 3
=
ìu = 4
ï
ï =
( Pois v > 0) Û í
Úí
Ûí
3 Û ív 3 Û í
xy
í
v
3
=
ïî y = 1
ï
y
3
=
xy
3
=
2
ï
î
ï
ïv = 9
î
î
î
î xy = 9
ìx = 1 ìx = 9
S = {(1,9); (9,1)}
Úí
í
îy = 9 îy = 1
ì( x + 1) × ( y + 1) = 10
ì xy + x + y + 1 = 10
Para t = x + y e z = xy
Ûí
í
î( x + y ) × ( xy + 1) = 25
î( x + y ) × ( xy + 1) = 25
ìz = 9 - t
ìz = 9 - t
ì z + t + 1 = 10
Ûí 2
Ûí
Ûí
ît × (- t + 10 ) = 25
ît × ( z + 1) = 25
î- t + 10t - 25 = 0
k)
D = b 2 - 4ac = 102 - 4 × (- 1) × (- 25) = 0
- 10
t=
=5
-2
ìz = 4
ì xy = 4
ì x = 1 ìx = 4
Ûí
Ûí
Úí
í
ît = 5
îx + y = 4
îy = 4 îy = 1
S = {(1, 4); (4,1)}
ì( x + y )2 - 2 xy = 34
ì x 2 + y 2 = 34
Para t = x + y e z = xy
Û
í
í
î x + y + xy = 23
î x + y + xy = 23
ìt 2 - 2 z = 34
ìt 2 - 46 + 2t - 34 = 0
ìt 2 + 2t - 80 = 0
Ûí
Ûí
Ûí
ît + z = 23
î z = 23 - t
î z = 23 - t
l)
D = b 2 - 4ac = 2 2 - 4 × 1 × (- 80 ) = 324
- 2 ± 18
t=
Û t = -10 Ú t = 8
2
ìt 2 + 2t - 80 = 0
ìt = -10 ìt = 8
Ûí
Úí
í
î z = 33 î z = 15
î z = 23 - t
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
à
ìt = -10
ìx + y = -10
ìy = -10 - x
Ûí
Ûí
Û
í
îz = 33
îxy = 33
îx × (- 10 - x ) = 33
D = b 2 - 4ac = (- 10 ) - 4 × (- 1) × (- 33) = -32
Equação impossível
ìt = 8
ìx + y = 8
ìx = 3 ìx = 5
S = {(3,5); (5,3)}
Ûí
Ûí
Úí
í
î z = 15
î xy = 15
îy = 5 îy = 3
2
à
ïìy = -10 - x
í
ïî- x 2 - 10x - 33 = 0
42
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
Complete uma equação do 2º grau, sabendo as suas raízes x 1 e x 2 :
a) x 1 = -1 ; x 2 = -2
b)
x1 = 3 ; x2 = - 3
c) x 1 = 2 ; x 2 = 3
d)
x1 = 3 + 2 ; x2 = 3 - 2
e) x 1 =
2.
3+ 3
3- 3
; x2 =
4
4
Indique as raízes das equações seguintes sem aplicar a fórmula resolvente:
a) x 2 - 11x + 10 = 0
c) x 2 + x - 6 = 0
e) 6v 2 - 5v + 1 = 0
3.
f) x 1 = 3 3 ; x 2 = - 3
b)
x + 12x + 20 = 0
d)
- u 2 + 6u - 8 = 0
f) - 10t 2 + 3t + 1 = 0
Decomponha, se possível, em produto de factores:
a) x 2 + 6x + 9
c) t 2 + (3 + a )t + 3a
b)
3v 2 - 2v - 1
4.
Para que valores do parâmetro k ¹ 0 , a soma dos cubos das raízes da
equação
kx 2 - 6kx + 2k 2 é igual a 72 ?
5.
Sabendo que 2 é uma raiz da equação x 3 - (a + 2)x 2 + bx - 2a = 0 onde
a , b Î Z , encontrar os valores dos parâmetro a e b e outras raízes da
equação dada.
6.
Resolva os seguintes sistemas:
ìïx 3 + y 3 = 7
ïîxy (x + y ) = -2
b)
ìïx 3 + y 3 = 35
ïîx + y = 5
d)
a) í
c) í
ìïx + y + xy = 7
í 2
ïîx + y 2 + xy = 13
ìïx 3 + y 3 = 65
í 2
ïîx y + xy 2 = 20
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
ìïx 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17
e) í
ïîx + xy + y = 5
44
ìïx 3 + y 3 = 9
f) í
ïîxy = 2
3
ì 3
g) ïíx + y = 19
ïî(xy + 8)(x + y ) = 2
7.
Racionalize os denominadores das seguintes fracções:
a)
8.
1
b)
6
1+ 2
a
, onde a 3 - 3a + 1 = 0
a +1
Sem determinara as raízes do polinómio dado, construa um polinómio P (x )
sabendo que as suas raízes são:
a) Quadrados das raízes de x 3 - 2x 2 + 4x - 8 .
b) Triplos das raízes de x 3 + x 2 + 3x + 3 .
SUGESTÕES, RESPOSTAS E SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
Sugestão: A equação pode ser escrita na forma x 2 - Sx + P = 0 onde S e P são,
respectivamente, a soma e o produto das raízes. A partir de x 2 - Sx + P = 0 determina-se
outras equações equivalentes, multiplicando ambos os termos de x 2 - Sx + P = 0 por um
constante diferente de zero.
a) S = -3 e P = 2 , logo a equação procurada pode ser: x 2 + 3x + 2 = 0 .
b) x 2 - 3 = 0
c) x 2 - 2 + 3 x + 6 = 0
(
)
d) x 2 - 6x + 7 = 0
3
3
e) x 2 - x + = 0
2
8
2
f) x - 2 3x - 9 = 0
2.
Sugestão: Reduza a equação à forma x 2 - Sx + P = 0 . S e P são, respectivamente, a
soma e o produto das raízes.. Conhecida a soma e o produto pode-se determinar as raízes
procuradas.
a) S = 11 e P = 10 , logo Sol . : {1,10} .
b) Sol . : {- 2,-10}
c) Sol . : {- 3,2}
d) Sol . : {- 2,-4}
ì1 1 ü
e) Sol . : í , ý
î2 3 þ
ì1 1 ü
f) Sol . : í , - ý
î2 5 þ
3.
Sugestão: Determine as raízes utilizando a soma e produto das raízes e, depois, utilize a
fórmula: ax 2 + bx + c = a × (x - x1 ) × (x - x2 ) onde x1 e x2 são raízes de ax 2 + bx + c .
a) S = -6 e P = 9 , logo existe uma raiz dupla -3 . Então, x 2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
1ö
æ
b) 3v 2 - 2v - 1 = 3 × (v - 1) × çv + ÷
3ø
è
2
c) t + (3 + a )t + 3a = (t + a ) × (t + 3)
4.
5.
6.
R: k = 4
R: b = -2 ; a = -1 e as outra raízes são -1 e - 2 .
a) Sol . : {(- 1,2); (2,-1)}
Sugestão: x 3 + y 3 = (x + y )3 - 3xy × (x + y )
b) Sol . : {(1,3); (3,1)}
Sugestão: x 2 + y 2 + xy = (x + y )2 - xy
c)
Sol . : {(3,2); (2,3)}
d) Sol . : {(1, 4 ); (4,1)}
e) Sol . : {(1,2); (2,1)}
f)
Sol . : {(1,2); (2,1)}
a)
1
= -1 + 6 2 - 3 2 + 2 - 3 4 + 6 32
1+62
b)
a
a 3 - a 2 - 2a a 3 - 3a + 1 - a 2 + a - 1 a 2 - a + 1
=
=
=
a +1
3
-3
-3
a)
P (x ) = x 3 + 4x 2 - 16x - 64
g) Sol . : {(3, -2); (- 2,3)}
7.
8.
Sugestão: S2 = x12 + x22 + x32 = s 12 - 2 × s 2
b) P (x ) = x 3 + 3x 2 + 27x + 81
45
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
46
CONCLUSÃO
O estudo realizado ao longo da elaboração deste trabalho e os
resultados alcançados são satisfatórios apesar dos esforços despendidos, pois
permitiu-me alargar os meus horizontes de conhecimentos.
A abordagem teórica dos polinómios feita a nível da Álgebra Superior,
vai permitir àqueles que vão consultar este trabalho, ter um conhecimento mais
sólido, que lhes dão a capacidade de criar os seus próprios exercícios para
motivar os alunos e aprofundar os seus conhecimentos.
Os exercícios apresentados acerca das equações do 2º grau devem ser
introduzidos paulatinamente aumentando os seus graus de dificuldades. Há um
leque de exercícios que permite a criação de vários outros, dando possibilidades
aos professores de diversificar os problemas de acordo com as características
dos seus formandos.
A metodologia apresentada para racionalização do denominador de uma
fracção vai ajudar na resolução de vários exercícios, elevando o nível de
conhecimentos dos alunos e dos professores. No entanto, esses exercícios devem
ser apresentados aos alunos com noção clara acerca do Teorema de Viett.
O método de resolução dos sistemas simétricos está ao alcance dos
alunos de nível igual ou superior ao 9º ano, só que os exercícios devem ser
adequados a esses níveis, pelo que, se for introduzido lhes vai dar possibilidades
de resolução de vários sistemas, que muitas vezes parecem de resolução
impossível.
Os exercícios aqui apresentados podem ser aproveitados para os vários
níveis de ensino, conforme for o grau de conhecimentos adquiridos pelos alunos;
permitem uma relação entre os diferentes conteúdos estudados ao longo do
Ensino Secundário.
Aplicação de “Polinómios” na Resolução de Problemas da “Matemática Elementar”
47
FONTES BIBLIOGRAFICOS
1.
ÁVILA, Geraldo. Variáveis Complexas e Aplicações. Brasília. 3ª Edição. JC
Editora. 2000
2.
GARCIA, Maria Madalena, DOS ANJOS; Alfredo Osório, RUIVO; António
Fernando. Compêndio de Matemática. Porto. 1976.
3.
FADEEV, D. K., LYASCHENCO, N. N., NIKULINE, M. C., SOKOLOVSKY, J. F.,.
Problemas algébricos de 6 a 8 anos de escolaridade. Moscovo. 1988.
4.
SKANAVI, M. I. Coletânea dos Problemas Matemático para os Candidatos para
o Ensino Superior. 3ª edição. Moscovo. 1978.
5.
KOSFRIKIN, A. Introdução à Álgebra Superior. Moscovo. Editora Nauka. 1977.
6.
ZAVALO, S., HATZET, B., KASTARCHUK, V.. Álgebra e Teoria dos Números, II
Parte. Kiev. Vuschaya Skala. 1980.
7.
KUROSH, A.. Curso da Álgebra Superior. Moscovo. Editora Nauka. 1975.
8.
MONTEIRO, António I., MATOS, Isabel Teixeira. Álgebra - Um Primeiro Curso.
Escolar Editora. 1995.
9.
CABRAL, Manuela. Álgebra. Universidade Aberta. 1996.
10.
FADIEEV, I., SAMINSKI, I.. Problemas da Álgebra Superior. Moscovo. Editora
Mir. 1980.