Matemática Elementar III – Equações e inequações modulares
TEMA 20
INEQUAÇÕES MODULARES
Chamamos de inequações modulares as
inequações em que aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.
Representando geometricamente, o módulo de
um número real x é igual à distância do ponto
que representa, na reta real, o número x ao
ponto de origem, como sabemos. Assim:
Resposta: S = {x∈IR|2 < x < 4}
2. Dê o conjunto-solução da inequação
|x2 − 2x + 3| ≤ 4.
• Se |x| < a (com a > 0), significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto
é, x deve estar entre −a e a, ou seja,
|x| < a ⇔ −a < x < a.
Resolução:
|x2 − 2x + 3| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x2 − 2x + 3 ≤ 4.
Então, temos duas inequações (que devem ser
satisfeitas ao mesmo tempo):
• Se |x| > a (com a > 0), significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto
é, deve estar à direita de a ou à esquerda de
−a na reta real, ou seja:
Resolvendo a inequação 1:
|x| > a ⇔ x < −a ou x > a.
x2 − 2x + 3 ≤ −4
x2 − 2x + 3 + 4 ≥ 0
x2 − 2x + 7 ≥ 0
Δ = (−2)2 − 4.1.7
Δ = 4 − 28 = −26
Como Δ < 0, ou seja, x2 − 2x + 7 = 0 não possui raízes reais e o coeficiente do termo x2 é 1
(que é maior que zero) a solução da inequação
x2 − 2x + 7 ≥ 0 é S1 = IR.
1. Resolver a inequação |2x − 6| < 2.
Para resolver essa equação, apresentamos
dois métodos diferentes:
Resolvendo a inequação 2:
Resolução:
x2 − 2x + 3 ≤ 4
Método 1:
x2 − 2x + 3 − 4 ≤ 0
|2x − 6| < 2 ⇔ −2 < 2x − 6 < 2
x2 − 2x − 1 ≤ 0
−2 + 6 < 2x < 2 + 6
Δ = (−2)2 − 4.1.(−1)
4 < 2x < 8
Δ = 4+ 4 = 8
2<x<4
Método 2:
|2x − 6| < 2 ⇔ −2 < 2x − 6 < 2 ⇔
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