Enfoque Geométrico dos Métodos Matriciais Iterativos
Luciana da Silva Azevedo 1 e Rubén Panta Pazos 2
UNISC – Departamento de Matemática,
Av. Independência, 2293, Bairro Universitário,
96815-900, Santa Cruz do Sul, RS,
Telefone: (51) 37177384
e-mail:1. [email protected] , 2. [email protected]
O estudo dos métodos iterativos matriciais para
resolver os sistemas lineares tem sido estimulados
pelo avanço tecnológico durante o século XX.
Os métodos iterativos matriciais, como os
estacionários, ou seja os métodos de Jacobi, de
Gauss-Seidel, SOR [2-3], ou os não estacionários,
entre eles o método do gradiente conjugado ou o
método GMRES [1-2].
Um resultado conhecido é que a convergência dos
métodos estacionários está garantida se a matriz do
sistema é diagonal-dominante, isto é que qualquer
elemento da diagonal principal seja maior que a soma
dos outros elementos da fila( ou coluna) da matriz.
Nosso interesse é trabalhar com matrizes próximas as
matrizes
fundamentais
das
transformações
bidimensionais e tridimensionais, e para isso definese uma métrica para estabelece o conceito de
proximidade entre matrizes.
Um resultado conhecido é que qualquer matriz
num espaço finito dimensional pode se decompor
numa composição de matrizes fundamentais (no caso
2d, a rotação, cisalhamento, etc.)
A análise das trajetórias de aproximação dos
métodos iterativos matriciais permite visualizar
padrões especiais quando as matrizes dos sistemas
lineares são matrizes básicas. Desta forma se uma
matriz é próxima de uma matriz de rotação, as
trajetórias de aproximação são espirais no método de
Jacobi.
tentar classificar as matrizes dos sistemas lineares
pela sua proximidade às matrizes básicas.
Figura 2: Diagrama das trajetórias no método
iterativo de Gauss-Seidel.
No conjunto de matrizes quadradas podemos
estabelecer a ideia de aproximação sempre que
definamos um conceito de distância entre duas
matrizes quadradas da mesma ordem. Uma matriz
quadrada de ordem n pode-se identificar com um
nxn
ponto em R ,onde existem muitas métricas entre
as quais a métrica de Euclides. Desta forma:
  a11
d  
 a 21
a12  b11
,
a 22  b21
b21  
=
b22  
= a11 − b11 2 + a12 − b12 2 + a 21 − b21 2 + a 22 − b22
2
Numa vizinhança de uma matriz fundamental para
matrizes quadradas de ordem n (n pode ser grande), o
comportamento das trajetórias de uma matriz dada é
muito aproximado às trajetórias da matriz elementar.
Os resultados foram obtidos mediante um sistema
de computação algébrica.
Referências
[l] Araújo, E. R., Métodos Iterativos en Álgebra
Linear Computacional, 2a Escola de Verão em
Computação Científica, Laboratório Nacional de
Computação Científica, Petrópolis, RJ, (1997).
Figura l: Diagrama espiral das trajetórias no
método iterativo de Jacobi.
Este enfoque de estudar as trajetórias e a análise da
convergência dos métodos iterativos matriciais
denominamos o enfoque geométrico, pelo fato de
[2] Cunha, M. Cristina C., Métodos Numéricos,
Editora Unicamp, Campinas, SP, (2000)
[3] Ruggiero Márcia Gomes, Lopes Vera Lúcia da
Rocha, Cálculo Numérico, Makron Books Editora
Lta., São Paulo, SP, 1996.