1ª Lista de Exercícios – Introdução à Álgebra Linear
Matrizes
1) Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i2 – j2
e bij = - i2 + j2, qual é o valor de A - B :
2) Encontre a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de formação é dada abaixo:
⎧3i + j , se i ≠ j
a ij = ⎨
⎩ 2i − 3 j , se i = j
3) Sabendo-se que a matriz A é igual à sua transposta, encontre x e y.
36 − 7 ⎞
⎛ y
⎜ 2
⎟
A=⎜ x
0
5x ⎟
⎜ 4 − y − 30 3 ⎟
⎝
⎠
4) Qual o valor de a para que a igualdade matricial abaixo seja verdadeira?
⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1 1⎠ ⎝ − 1 a ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
5) Escrever a matriz A = (aij) nos seguintes casos:
(a) i ∈ { 1,2 ,3 } e j ∈ {1,2}
(b) A é do tipo 3 x 2, com aij = 5 para i ≠ j e aij = 3 para i = j;
(c) A é de 3a ordem, com aij = 1 para i = j e aij = 0 para i ≠ j;
(d) A é uma matriz do tipo 2x3, com aij = 4 para i > j, aij = 5 para i < j
e aij = 8 para i = j.
6) Determinar os valores de x, y, z e v para que as matrizes sejam iguais.
⎛ 2x
8 ⎞
⎛ 10
¶ ⎜⎜ 36 v − 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ 2
⎝z
⎝
v⎠
y − 2⎞
⎟
3 ⎟⎠
7) Dadas as seguintes matrizes:
⎛ 3 ,5
⎜
A=⎜ 1
⎜
⎝ 4
8 ⎞⎟
− 7 ⎟⎟
⎠
e
⎛ 2 ,4
⎜
B=⎜ 3
⎜
⎝ 5
2 ⎞⎟
,
− 2 ⎟⎟
⎠
calcular:
(a) A + B;
(b) A - B;
(c) Determinar o triplo da matriz :
⎛4
A=⎜1
⎜
⎝2
⎛ 3
5⎞
− 3⎞
⎟
1,4 ⎟
⎠
⎛ − 1 − 3⎞
⎟
7 ⎟⎠
⎟⎟ e B = ⎜⎜
(d) Dadas as matrizes: A = ⎜⎜
⎝− 2 4⎠
⎝6
determinar a matriz X, tal que X = 2A - 4B.
8) Durante a campanha eleitoral, o prefeito eleito prometeu a construção de
casas populares. O povo sugeriu a construção de dois tipos de casas: média e
grande. As casas do tipo média têm 5 portas, 6 janelas e 6 caixas de luz. As
casas do tipo grande têm 8 portas, 9 janelas e 10 caixas de luz. Numa primeira
etapa deverão ser construídas 500 casas do tipo média e 200 do tipo grande;
numa segunda etapa, 600 do tipo média e 400 do tipo grande. Quanto de cada
material será necessário em cada etapa?
9) Uma indústria automobilística produz X e Y nas versões standard, luxo e
superluxo. Peças A, B e C são utilizadas na montagem desses carros. Para
certo plano de montagem, é dada a seguinte informação:
Quantas peças de cada modelo, cada versão vai
recisar?
10) Imagine um laboratório que fabrica, dentre outros, os remédios A, B, C.
Para a produção Imagine um laboratório que fabrica, dentre outros, os
remédios A, B, C. Para a produção de uma unidade do remédio A são
necessários 3g do ingrediente x, 7g do ingrediente y e 10g do ingrediente z.
Com relação ao remédio B são necessários 2g de x, 4g de y e 5g de z. E
para o remédio C precisamos de 5g de x, 1g de y e 6g de z. Admitamos que
o consumo dos três remédios, nos meses de agosto e setembro seja:
Agosto: 80 unidades de A, 100 de B e 150 de C;
Setembro: 50 unidades de A, 120 de B e 90 de C.
Determine a quantidade de cada ingrediente necessária em cada mês.
11) Uma indústria fabrica três modelos diferentes de televisores.
A tabela mostra o número de teclas e alto-falantes usados em cada
aparelho A, B e C.
Tabela 1: Quantidade teclas e alto-falantes por televisor
A tabela seguinte mostra a estimativa de produção da fábrica os próximos
dois meses.
Tabela 2 Estimativa de produção de televisores para dois meses
Quantas teclas e quantos alto-falantes serão necessários para a produção
dos dois meses?
12) Determine a matriz inversa das matrizes abaixo
⎛4 5⎞
⎟⎟
⎝3 4⎠
⎛ −1 0⎞
⎟⎟
b) B = ⎜⎜
⎝ − 10 1 ⎠
a) A = ⎜⎜
⎛1 0⎞
⎟⎟
c) C = ⎜⎜
⎝0 1⎠
Respostas:
⎛0 0 ⎞
⎟⎟
⎝0 0 ⎠
1) ⎜⎜
10)
⎛−1 5 6⎞
⎟⎟
⎝ 7 − 2 9⎠
2) A = ⎜⎜
3)x = -6 e y = 11
11)
4) a = 2
5)
12)
⎛ 4
a) A −1 = ⎜⎜
⎝− 3
− 5⎞
⎟
4 ⎟⎠
⎛ −1
6)
⎛1 0⎞
⎟⎟
c) C −1 = ⎜⎜
⎝0 1⎠
7)
8)
9)
0⎞
⎟⎟
b) B −1 = ⎜⎜
⎝ − 10 1 ⎠