PROVA OPCIONAL DE MATEMÁTICA
TURMAS DO 3o ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2011.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Questão 01.
Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os
algarismos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6 podem ser usados e um mesmo algarismo não pode aparecer
mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número
13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras
distintas Maria pode escolher sua senha?
01) 312
02) 324
03) 336
04) 348
05)NRA
RESOLUÇÃO:
Número de casos possíveis: A 6 , 4 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 .
Números de casos favoráveis à senha apresentar na susa formação o número 13:
UM
1
C
3
UM
2,4,5 ou 6
D
2,4,5 ou 6
C D
1 3
U
4, 5 ou 6
U
4, 5 ou 6
Casos possíveis
4 × 3= 12
Casos possíveis
4 × 3= 12
UM
C
D U Casos possíveis
2,4,5 ou 6
1 3 4 × 3= 12
4, 5 ou 6
Maria pode escolher a sua senha de (360 – 36) = 324.
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 02.
Um salão de festas tem a forma de um hexágono regular de lado 12m. A área hachurada
representa uma pista de dança. Calcule a área desta pista sabendo que M, N, P e Q são
pontos médios dos lados do hexágono.
01) 96
02) 144
03) 72 3
04) 32 3
05) 48 2
1
RESOLUÇÃO:
O segmento AB é uma das diagonais maiores do hexágono regular, então sua medida é
o dobro da medida do lado, 24m.
O segmento MN é a base média do trapézio isósceles ABCD, logo sua medida é igual à
semisoma das bases, (12 + 24) : 2 = 18m.
No triângulo retângulo BEC, o cateto EB = BC × cos 60° = 6m.
No mesmo triângulo, EC = BC × sen 60° = 6 3 m
A medida do segmento GN é a metade da medida de EB, então 3m e a medida de CG é
a metade de CE, ou seja 3 3 m
Os lados do retângulo GHIJ medem:
GH = MN – 2x = 18 – 6 = 12m e GJ = 2y = 6 3 m.
A área do retângulo é S = 12 × 6 3 = 72 3 m2.
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 03.
Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 , calcule quantos algarismos tem o número
1245 .
01) 46
02) 47
03) 48
04) 49
05) 50
RESOLUÇÃO:
x = 1245 ⇒ log x = 45 × log 12 ⇒ log x = 45 × (2 log 2 + log 3) ⇒
log x = 45 × (0,602 + 0,477 ) = 45 × 1,079 = 48,555
Como a característica do logaritmo de x é 48, então x tem 48 + 1 = 49 algarismos.
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 04.
Numa PA de 6 termos, a soma dos termos de ordem par é igual a 39 e a soma dos
termos de ordem ímpar é 24.
Calcule a razão dessa progressão.
01) 6
02) 5
03) 4
04) 3
05) 8
2
RESOLUÇÃO:
a + r + a + 3r + a + 5r = 39 3a + 9r = 39 3r = 15
⇒
⇒

a + a + 2r + a + 4r = 24
3a + 6r = 24 r = 5
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 05.
Quatro rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os sete, lado a lado, na
mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de
modo que os quatro rapazes fiquem juntos, um ao lado do outro, é igual a
01) 120
02) 144
03) 480
04) 576
05) 720
RESOLUÇÃO:
R1
R2
R3
R4
M1
M2
M3
M1
R1
R2
R3
R4
M2
M3
M1
M2
R1
R2
R3
R4
M3
M1
M2
M3
R1
R2
R3
R4
Como os quatro rapazes devem sentar sempre juntos, resolve-se a questão, calculando
4! ×4! = 24 × 24 = 576.
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 06.
Numa PG de 11 termos, o segundo termo é igual a 16 vezes o termo central. Calcule o
quarto termo sabendo que a soma do segundo termo com o terceiro é igual a 12.
01) 2
02) 1/2
03) 8
04) 1/4
05) 1/8
RESOLUÇÃO:
Se a PG tem 11 termos, então o termo central é o de número 6
1

3a = 48
q = 2
aq = 16aq 5
16q 4 = 1

⇒
⇒
⇒ a = 16

2
2
aq + aq = 12 aq + aq = 12  a a
+ = 12 aq 3 = 2
 2 4
RESPOSTA: Alternativa 01.
3
Questão 07.
Num determinado sorteio, o número n sorteado tinha três algarismos distintos e não
nulos (x, y e w) . A pessoa que possuísse o número sorteado só poderia receber o
prêmio, que era em dólar, se soubesse calcular o valor desse prêmio.
Sabendo que:
I. o valor do prêmio era igual à soma de todos os números de 3 algarismos que se
obtém permutando-se os algarismos de n (x, y e w) ;
II. S = x + y + w (Soma dos algarismos de n).
Então, o valor do prêmio em função de S é igual a:
01) 111S
02) 222S
03) 333S
04) 666S
RESOLUÇÃO:
O total de números que podem ser formados é 3! =6
C
D
x
y
x
w
y
x
y
w
w
x
w
y
TOTAL 2×100(x+y+z) = 200S
2×10(x+y+z) = 20S
Então o valor do prêmio é 222S
05) NRA
U
w
y
w
x
y
x
2 (x+y+z) = 2S
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 08.
A reta r, definida pela equação, 2x + y – 16 = 0 passa nos pontos A = (2, m) e
B = (m, n).
A reta t é perpendicular à reta r e passa no ponto médio M do segmento AB .
Sendo C = (p, 0) o ponto de interseção da reta t com o eixo dos x, calcule p.
01) −1
02) 1
03) 3
04) 4
05) −2
RESOLUÇÃO:
x
y
2x + y – 16 = 0
2
m
4+m – 16 = 0 ⇒ m = 12
m
n
2m + n – 16 = 0 ⇒ 24 + n = 16 ⇒ n = – 8
Os pontos A e B são, respectivamente, determinados pelos pares ordenados (2, 12) e
(12, –8).
A equação reta AB na forma reduzida é y = −2x + 16 ⇒ que o coeficiente angular da
1
2 + 12 12 − 8 
reta t é a ' = . Esta reta passa por M = 
,
 = (7,2 ) , ponto médio do segmento
2

2
2

AB .
4
1
2
Então a equação da reta t é: y − 2 = (x − 7 ) ⇒ 2 y − 4 = x − 7 ⇒ 2 y − x + 3 = 0 .
A interseção da reta t com o eixo dos x é o ponto C = (p, 0), assim:
0–p+3=0⇒p=3
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 09.
Analise as afirmações, classificando-as em verdadeiras ou falsas:
I)
O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios iguais para 8 pessoas,
de modo que cada pessoa premiada receba no máximo um prêmio é 56.
II) O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios iguais para 8 pessoas,
de modo que 4, e apenas 4, sejam premiadas é 280.
III) O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios, sendo 2 carros iguais
e 3 motos iguais, para 8 pessoas, de modo que cada pessoa premiada receba no
máximo um prêmio é 560.
Você conclui que:
01) apenas a afirmativa I é falsa.
02) apenas a afirmativa II é falsa.
03) apenas a afirmativa III é falsa.
04) apenas uma afirmativa é verdadeira.
05) todas as afirmativas são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
I)
VERDADEIRA.
n = C8,5 = C8,3 =
II)
VERDADEIRA.
n = 4 × C 8, 4 = 4 ×
III)
8× 7× 6
= 56
3× 2
8× 7× 6×5
= 4 × 70 = 280
4 × 3 × 2 ×1
VERDADEIRA.
n = C8,2 × C 6,3 =
8× 7 6×5× 4
×
= 28 × 20 = 560 .
2 ×1 3 × 2 ×1
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 10.
O triângulo A1B1C1 é o transformado do triângulo de vértices A = (0, 0), B = (2, 0) e
C = (0, 4) por uma translação de vetor v = (3, 0).
O triângulo A 2B2C 2 é o transformado do triângulo A1B1C1 por uma simetria de eixo Oy.
O triângulo A 3B3C3 é o transformado do triângulo A 2B2C 2 por uma simetria de eixo
y = −1.
Pode-se afirmar que o triângulo A 3B3C3 está contido no:
01) 1o quadrante
02) 2o quadrante
03) 3o quadrante
04) 4o quadrante
05) semiplano y ≥ −2
5
RESOLUÇÃO:
Analiticamente:
A1 = (0+3, 0+0) = (3 , 0); B1 = (2 + 3, 0) = (5, 0)
e C1 = (0+3, 4+0) = (3, 4).
2c – x
A2 = (2.0 – 3;2.0 – 0) = (– 3; 0).
B2 = (2.0 – 5; 2.0 – 0) = (– 5; 0) .
C2 = (2. 0 – 3; 2. 4 – 4) = (–3, 4)
Graficamente:
A3 = (2.( –3) – (– 3); 2.( –1) – 0) = (–3; –2)
B3 = (2. (–5) –(–5); 2. (–1) – 0) = (–5, –2)
C3 = (2.( –3) – (–3); 2. (–1) – 4) = (–3; –6)
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 11.
Um banco contratou 9 funcionários novos para três de suas agências, sendo que cada
uma delas vai receber três destes funcionários. Entre os novos funcionários contratados
estão os irmãos José e João e o banco não deseja que eles fiquem na mesma agência.
Levando isto em consideração, de quantas formas esta distribuição pode ser feita?
01) 1260
02) 1440
03) 1560
04) 1680
05) NRA
RESOLUÇÃO:
Número de casos possíveis: n = C 9,3 × C 6,3 × C3,3 =
9×8× 7 6×5× 4
×
× 1 = 84 × 20 = 1680
3 × 2 ×1 3 × 2 ×1
Casos favoráveis a João e José trabalharem na mesma agência:
6×5× 4
× 1 = 7 × 20 = 140 .
3 × 2 ×1
6×5× 4
José e João juntos na segunda agência: p = C 7,1 × C 6,3 × C3,3 = 7 ×
× 1 = 7 × 20 = 140 .
3 × 2 ×1
6×5× 4
José e João juntos na terceira agência: q = C 7,1 × C 6,3 × C3,3 = 7 ×
× 1 = 7 × 20 = 140 .
3 × 2 ×1
José e João juntos na primeira agência: m = C 7,1 × C 6,3 × C 3,3 = 7 ×
Total: 3× 140 = 420.
Existem (1680 – 420) = 1260 formas de João e José não trabalharem na mesma agência.
RESPOSTA: Alternativa 01.
6
Questão 12.
Qual o conjunto
imagem
f(x) = – x2 + 10x + 16 ?
01) [ 5 ; 37 ]
02) ] – ∞ ; 37 ]
da
função
f: [ – 1 ; 7 ] → R
03) [ 5 ; 41 ]
04) ] – ∞ ; 41 ]
definida
pela
lei
05) NRA
RESOLUÇÃO:
Sendo o coeficiente de x² menor que zero, a concavidade da
parábola está voltada para baixo e y assume valor màximo no
vértice dessa parábola.
xv =
−10
−(100 + 64)
= 5 e yv =
= 41 .
−2
−4
f(−1) = −1 − 10 + 16 = 5 e f(7) = −49 + 70 + 16 = 37.
O conjunto imagem da função é o intervalo [5; 41].
RESPOSTA: Alternativa 03.
7