Dinâmica de Sistemas e
Controlo de Processos
Problemas
Mestrado Integrado em Engenharia Química
2012-2013
Problema 1 - Revisão de Conceitos Matemáticos – Séries de Maclaurin
As aproximações em série de Taylor, com a forma geral

1  d i f ( x) 
i
f ( x)   
 x  x0 
i
i  0 i!  dx
 x  x0
são muito importantes para aproximar funções por funções polinomiais, nomeadamente
quando são necessárias aproximações lineares Um caso particular das séries de Taylor
são as expansões em série em torno do ponto 0, caso em que as séries se designam por
séries de Maclaurin. Obtenha a expressão geral para as séries de Maclaurin para as
seguintes funções:
a) ex
b) sen(x)
c) cos(x)
Problema 2 - Revisão de Conceitos Matemáticos – Números Complexos
A fórmula de Euler
e jx  cosx   jsenx 
permite relacionar a função exponencial de um número imaginário com as funções seno
e co-seno. A partir das expansões em série de Maclaurin deduzidas no problema anterior
deduza a fórmula de Euler.
Problema 3 - Revisão de Conceitos Matemáticos – Integração Numérica
Num reactor que opera em fase líquida e sob pressão e pode ser considerado, pelo
menos numa primeira aproximação, como perfeitamente agitado, ocorre uma reacção,
irreversível e de 1ª ordem em relação ao reagente que é fortemente exotérmica. O
reactor é arrefecido por uma serpentina de arrefecimento onde circula água que entra à
uma temperatura de 298 K; sendo o caudal de água muito elevado pode considerar-se
que esta é a temperatura relativamente à qual ocorre a transferência de calor do reactor
para o exterior. Por motivo de falha da bomba que alimenta a água de refrigeração o
arrefecimento foi cortado e a temperatura dentro do reactor começou a subir. Estime
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quanto tempo irá decorrer até que a temperatura exceda os 500 K caso não seja possível
reiniciar o processo de refrigeração ou interromper a operação.
Dados:
V=
18000 l
Cp =
800 cal/l/K
k450 =
20 min-1
Q=
120 l/min
ΔHr =
-90 kcal/mol
Ea =
Ce =
3 M
UA =
125 kcal/min/K
Cs =
0,00126 M
Te =
300 K
Text =
298 K
Ts =
445,41 K
20000 cal/mol
Problema 4 - Integração de Sistemas de Equações Diferenciais –
Transformada de Laplace
A isomerização da glucose em frutose, catalisada por um enzima imobilizado, a 50 ºC,
(ver tabela 2 de Int. J. Eng. Technol 10(3) (2010) 1-5) é levada a cabo num reactor
descontínuo:
Glucose ↔ Frutose
Sabendo que se parte somente de uma concentração de 1M em glucose, calcule as
concentrações de glucose e de frutose em função do tempo, e os respectivos valores
limite para t → ∞.
Dados: kdirecto = 0,0310 h-1; kinverso = 0,0653 h-1.
Problema 5 – Funções de Transferência e Resposta a Perturbações
Um tanque onde ocorre uma esterilização contínua tem de ser mantido a uma
temperatura constante de 95 ºC, sendo o aquecimento garantido por uma resistência
eléctrica com uma potência máxima de 5000 kcal/min. O líquido a esterilizar é
alimentado com um caudal de cerca de 50 kg/min e uma temperatura de 25 ºC. A
capacidade calorífica do líquido em causa é de 1,1 kcal/kg/ºC.
Assuma que o tanque em causa é perfeitamente agitado, que se encontra sempre cheio,
com uma capacidade de 100 kg, e ainda que a densidade do líquido em causa é
independente da temperatura. Considere também que o tanque não apresenta trocas de
calor pelas paredes, que o calor específico do líquido é independente da temperatura na
gama de temperaturas utilizadas, e ainda que o calor fornecido à resistência de
aquecimento é instantaneamente transmitido à solução.
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a) Utilizando a informação fornecida, escreva a equação que descreve a variação da
temperatura do líquido no tanque em função do tempo, e obtenha as funções de
transferência que relacionam a temperatura de saída com a temperatura de entrada, o
caudal de entrada e a potência de aquecimento, identificando os respectivos ganhos
estacionários e tempo(s) característico(s).
b) Calcule a influência de um aumento de caudal de 50 kg/min para 55 kg/min na
temperatura de saída do tanque utilizando tanto a função de transferência como a
equação diferencial exacta.
Problema 6 – Controlo Proporcional
Utilizando o sistema, e respectivas funções de transferência, do problema 5
a) Proponha um esquema de controlo que garanta que a temperatura de saída seja
rigorosamente constante utilizando uma estratégia previsional e estabeleça a
respectiva lei de controlo. Assuma que as únicas fontes de perturbação são o caudal
de alimentação e a temperatura de entrada e que a variável manipulada é a
quantidade de calor a fornecer ao sistema.
b) Utilizando um controlador de re-alimentação somente com modo proporcional
actuando na quantidade de calor fornecida ao sistema, calcule o ganho que o
controlador deve utilizar para garantir que, para a perturbação considerada na alínea
b) do problema 5, a temperatura nunca desce abaixo dos 94 ºC.
c) Sabendo que a cadeia de controlo apresenta, no global, um atraso de 0,2 min, estime
o valor do ganho máximo que se pode utilizar para o controlador proporcional de
forma a garantir que o sistema não é instável em cadeia fechada.
Problema 7 – Controlo Proporcional-Integral-Derivativo
Um sistema de primeira ordem é descrito, em cadeia aberta, pela seguinte equação no
espaço de Laplace
C' 
1
0,1
L'
M'
1  20s
1  20s
Para regular a variável de saída, C, foi instalado um controlador, que recebe o valor da
variável através de um sensor que apresenta uma resposta de primeira ordem, com uma
dinâmica dada por
3
C*' 
1
C'
1  0,1s
Pretende-se afinar o controlador para regular de forma eficiente o valor de C.
a) Calcule o intervalo de valores para o qual o ganho de um controlador proporcional
conduzirá a um sistema estável.
b) Assumindo que o ganho do controlador é Kc=2000, calcule, se existir, o valor limite
que poderá ser utilizado para o tempo integral se se utilizar um controlador PI.
c) Calcule a nova gama de estabilidade para o tempo integral assumindo que utiliza um
controlador PID com o mesmo ganho que o da alínea anterior e com um tempo
derivativo de 0,05.
Problema 8 – Desenho de Controladores
Considere o sistema de descrito, em cadeia aberta, pela seguinte equação no espaço de
Laplace
C' 
0,1 e 0, 2 s
e 0, 2 s
L'
M'
1  20s 1  s  1  20s 1  s 
Para regular a variável de saída, C, foi instalado um controlador. Assumindo que a
dinâmica dos sensores e actuadores já está incorporada no termo de atraso nas funções
de transferência dadas,
a) Obtenha os parâmetros para um controlador, pelo método da síntese directa, que
assegure um tempo característico de 0,1, em cadeia fechada.
b) Utilizando uma aproximação adequada, obtenha os parâmetros para um controlador
para o sistema pelo método de Cohen e Coon.
c) Compare os dois controladores utilizando o critério ITAE para uma perturbação em
degrau unitária, quer para perturbações na carga quer no set-point.
Problema 9 – Resposta às Frequências
Para se analisar um dado sistema foi feita uma perturbação na variável manipulada,
tendo-se medido a resposta no sensor correspondente à variável regulada. Obteve-se a
seguinte função de transferência, onde todos os tempos são dados em minutos:
G
51  0,5s e 0, 2 s
1  10s 1  9s 1  5s 1  0,05s 
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Uma vez que as medidas foram feitas utilizando quer o actuador quer o sensor, e que as
ligações ao controlador serão eléctricas, esta função de transferência inclui já tanto a
dinâmica do sensor como do actuador.
Este sistema vai ser regulado com um controlador PID.
a) Trace os diagramas de Bode e de Nyquist para a função de transferência que
descreve o processo (incluindo já as funções de transferência do sensor e do
actuador).
b) Qual teria de ser a frequência mínima que teria de ser utilizada como perturbação
para que o tempo característico mais curto do denominador da função de
transferência do processo tivesse alguma influência significativa na razão de
amplitudes medida para o sistema?
c) Utilizando o critério de estabilidade de Bode calcule o valor máximo que um
controlador unicamente proporcional poderá ter de forma a garantir que o sistema
em cadeia fechada é estável.
d) Skogestad propôs um conjunto de relações para um controlador PID para um
sistema de segunda ordem com atraso (ver tabela abaixo).
Condição
Kc
τI
τD
 1  80
0,5 1   2 
K
1  2
 1 2
1  2
 1  80
0,5 1  8   2 


K  8 
8   2
8 2
8   2
Utilizando estas relações obtenha os parâmetros para um controlador para o sistema
acima (utilize a regra das metades de Skogestad para aproximar a função de
transferência num modelo de segunda ordem com atraso) e verifique se o
controlador obtido conduz a um sistema estável em cadeia fechada e, em caso
afirmativo, calcule as respectivas margens de ganho e de fase, comentando quando à
estabilidade relativa desse sistema.
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