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Estudos Básicos em Mecânica Quântica:
Operadores Auto-Adjuntos
TATIANE P. DOS SANTOS*
E-mail: [email protected]
e
Alejandro López-Castillo
E-mail: [email protected]
Universidade Federal do ABC
CENTRO DE MATEMÁTICA, COMPUTAÇÃO E COGNIÇÃO
I. INTRODUÇÃO
UM dos modelos mais estudados na Mecânica Quântica é o
átomo de hidrogênio. Resolve-se a equação de Schroedinger
para o caso da interação de um elétron com um próton para
obter as autofunções do átomo de hidrogênio. Essa equação
diferencial é de segunda ordem e, portanto, comporta duas
soluções [1]. Geralmente, uma delas é descartada. Entretanto,
aqui vamos ilustrar que essa solução descartada pode ter uma
interpretação física [2]. Essa segunda solução é aquela que
considera os polinômios de Legendre da segunda espécie.
II. O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
1
𝑑𝑑
(𝑟𝑟 2 𝑅𝑅′) −
𝛷𝛷′′ = −𝑏𝑏𝑏𝑏
sin 𝜃𝜃
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝜇𝜇𝜇𝜇 ²
ℏ²
{𝑉𝑉(𝑟𝑟) − 𝐸𝐸} = 𝑎𝑎
(sin 𝜃𝜃 𝛩𝛩′) + (sin² 𝜃𝜃 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)𝛩𝛩 = 0
(1)
(2)
(3)
sendo 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 as constantes de separação, 𝜇𝜇 a massa reduzida do
sistema, ℏ a constante de Planck dividida por 2π, 𝑉𝑉(𝑟𝑟) a
energia potencial e 𝐸𝐸 a energia total [1] com função de onda
total Ψ=RΘΦ.
As soluções para estas equações podem ser encontradas em [3]
e não serão demonstradas aqui. Essas são as seguintes:
𝛼𝛼 3 (𝑛𝑛−𝑙𝑙−1)!
𝑅𝑅(𝑟𝑟) = �
𝛷𝛷(𝜙𝜙) =
1
2𝑛𝑛(𝑛𝑛+𝑙𝑙)!
√2𝜋𝜋
𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜙𝜙 e
|𝑚𝑚 |
𝛩𝛩(𝜃𝜃) = 𝑃𝑃𝑙𝑙
𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑒𝑒 − 2 (𝛼𝛼𝛼𝛼)𝑙𝑙 𝐿𝐿2𝑙𝑙+1
𝑛𝑛 −𝑙𝑙−1 (𝛼𝛼𝛼𝛼),
(𝑙𝑙−|𝑚𝑚 |)!(2𝑙𝑙+1)
(cos 𝜃𝜃)�
2(𝑙𝑙+|𝑚𝑚 |)!
*Bolsista PDPD-UFABC
.
III. FUNÇÃO DE ONDA COM A FUNÇÃO DE LEGENDRE
SEGUNDA ESPÉCIE
Seja 𝑙𝑙 e 𝑚𝑚 nulos, então a equação de 𝛩𝛩(𝜃𝜃) pode ser reduzida
a:
1
𝑑𝑑
sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑
�sin 𝜃𝜃
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
� = 0.
(7)
As soluções normalizadas são [2]:
A equação Schroedinger para o átomo de hidrogênio é uma
equação diferencial parcial separável em três equações
diferenciais ordinárias, i.e.,
𝑅𝑅(𝑟𝑟) 𝑑𝑑𝑑𝑑
Sabendo-se que 𝑛𝑛, 𝑙𝑙 < 𝑛𝑛 − 1 e |𝑚𝑚| ≤ 𝑙𝑙| são os números
quânticos principal, azimutal e magnético. 𝐿𝐿 é a função de
Laguerre e P a função de Legendre de Primeira Espécie [1].
Θl=0 (θ) = √2/2
e
𝜉𝜉𝑙𝑙=0 (𝜃𝜃) =
(8)
𝜃𝜃
√6
ln tan .
𝜋𝜋
2
(9)
A função de Legendre de segunda espécie é geralmente
descartada por divergir para |cos 𝜃𝜃| = 1 (θ→0 ou θ→π).
Porém, ela é quadraticamente integrável, ou seja:
𝜋𝜋
∫0 sin 𝜃𝜃 |𝜉𝜉𝑙𝑙=0 (𝜃𝜃)|2 𝑑𝑑𝑑𝑑 < ∞.
(10)
Multiplicando 𝜉𝜉𝑙𝑙=0 (𝜃𝜃) e 𝛩𝛩𝑙𝑙=0 (𝜃𝜃) por 𝛷𝛷𝑚𝑚 =0 (𝜙𝜙) e 𝑅𝑅n=1 (𝑟𝑟)
obtêm-se os orbitais 1s’ e 1s, respectivamente, que são
exibidos abaixo:
(4)
(5)
(6)
Figura 1: Orbital 1s
2
Figura 2: orbital 1s’
Figura 4: P(N=10,t=0)²
Pode-se observar que esse orbital tem um aspecto quase
unidimensional. Essa função de onda do átomo de hidrogênio
com 𝑛𝑛 = 1 é dada por:
𝛯𝛯1,0,0 (𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜙𝜙) = 𝜉𝜉𝑙𝑙=0 (𝜃𝜃)𝑅𝑅𝑛𝑛=1 (𝑟𝑟)𝛷𝛷𝑚𝑚 =0 (𝜙𝜙)
(11)
𝛯𝛯1,0,0 e Ѱ𝑛𝑛,𝑙𝑙,0 não são ortogonais [2]. Ao escrever 𝛯𝛯1,0,0 como
combinação linear dos autovetores Ѱ𝑛𝑛 ,𝑙𝑙,0 [2], tem-se que:
〈𝛯𝛯1,0,0 | =
𝑛𝑛−1
∑∞
𝑛𝑛=1 ∑𝑙𝑙=0 �𝛯𝛯1,0,0 �Ѱ𝑛𝑛 ,𝑙𝑙,0 �〈Ѱ𝑛𝑛,𝑙𝑙,0 | + �𝛯𝛯1,0,0 �Ѱ𝑅𝑅 �〈Ѱ𝑅𝑅 |
(12)
𝑃𝑃(𝑁𝑁, 𝑡𝑡) = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃Ѱ𝑛𝑛 ,𝑙𝑙,0 �𝛯𝛯1,0,0 �τ(t) =
𝑛𝑛−1
∑𝑁𝑁
𝑛𝑛=1 ∑𝑙𝑙=0 �𝛯𝛯1,0,0 �Ѱ𝑛𝑛 ,𝑙𝑙,0 ��Ѱ𝑛𝑛,𝑙𝑙,0 �τ(t)
(13)
As Figuras de 3 e 4 representam gráficos de contorno
tridimensionais de uma superfície de densidade de
probabilidade P(N,t)² [4].
Devido a simetria em torno do eixo z da função de onda, foi
possível construir gráficos de contorno que melhor represente
P(N,t)², projetando-o sobre o plano xz.
sendo Ѱ𝑅𝑅 uma função Resto que não pertence ao espectro
discreto de Ѱ𝑛𝑛 ,𝑙𝑙,0 , ou seja, está no espectro contínuo. A
evolução de 〈𝛯𝛯1,0,0 | em termos de Ѱ𝑛𝑛,𝑙𝑙,0 pode ser dada por:
𝑖𝑖𝑖𝑖
sendo N o valor máximo de 𝑛𝑛 e τ(t) = 𝑒𝑒 − ℏ 𝑡𝑡 . A densidade de
probabilidade pode ser dada por: 𝑃𝑃(𝑁𝑁, 𝑡𝑡)2 = 𝑟𝑟² sin 𝜃𝜃 |𝑃𝑃(𝑁𝑁)|2 .
Alguns exemplos de 𝑃𝑃(𝑁𝑁, 𝑡𝑡)2 são dados a seguir:
Figura 5: 𝑃𝑃𝑦𝑦 =0 (𝑁𝑁 = 5, 𝑡𝑡 = 26,4)2
Figura 3: P(N=5,t=50)²
Figura 6: 𝑃𝑃𝑦𝑦 =0 (𝑁𝑁 = 10, 𝑡𝑡 = 100)2
*Bolsista PDPD-UFABC
3
IV. CONCLUSÕES
A partir das projeções em função de N foi possível estudar
com mais atenção tal solução e sua relação com a função de
onda usual do hidrogênio. Também foi observado que
estruturas fractais podem aparecer analisando P(N,t)² [5].
Entretanto, para isso deveremos ter N>>1.
Algumas observações foram feitas acerca do comportamento
unidimensional do orbital 1s´, porém, há ainda algumas
relações a serem estudadas na etapa final do projeto.
V. REFERÊNCIAS
[1] Arfken, G. B.; Weber, H. J. Mathematical methods for
physicists. 6.ed. Amsterdam: Elsevier, 2005.
[2] López-Castillo, A.; Oliveira, C. R., J. Phys. A, 39 (2006)
3447.
[3] Pauling, L.; Wilson Jr, B. E. Introduction to quantum
mechanics: with applications to chemistry. New York:
Dover, 1935.
[4] Wolfram Mathematica Documentation Center:
http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ContourPlo
t3D.html?q=ContourPlot3D&lang=en
[5] Berry, M.V. J., Phys. A, 29 (1996) 6617.
*Bolsista PDPD-UFABC