DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DO CCE/UFES
XXV Olimpíada Capixaba
de Matemática
2011
Nível 1 - (6o e 7o anos)
2a Fase – 19/11/11
Duração: 3,5 horas
SOLUÇÕES DAS QUESTÕES
1) Uma folha de papel retangular tem um lado branco e o outro lado cinza. Faz-se uma dobra reta
que passa num canto da folha e no ponto médio do lado oposto e a folha é dobrada por cima da
parte branca, como mostra a figura abaixo. Que fração da área ocupa a parte cinza dobrada em
relação à parte branca que restou?
Resposta: A fração da parte cinza dobrada em relação à parte branca que restou é igual a ½.
Solução: A dobra corresponde à metade da metade da folha, logo corresponde a ¼ da folha inteira.
Assim, a parte da folha sem a dobra mede ¾ de toda a folha. Depois da folha ser dobrada, resta uma
parte branca que mede ¾ - ¼ = ½ da folha.
Como a parte cinza dobrada ocupa ¼ da folha e a parte branca ocupa ½ da folha, então a fração da
parte cinza dobrada em relação a parte branca que restou é ½.
2) Clara e Márcia terminaram de ler o mesmo livro. Clara lia 20 páginas por dia e Márcia lia 16
páginas por dia. Sabendo-se que Clara gastou 5 dias a menos que Márcia, quantas páginas tem o
livro?
Resposta: O livro tem
400 páginas
Solução 1. Se Clara precisou de n dias para ler o livro então Márcia gastou
Clara leu
(n + 5) dias. Como
20 páginas por dia, o livro possui 20n páginas. Márcia leu 16 páginas por dia, logo o livro
possui
16(n + 5) páginas. Igualando o número de páginas obtém-se 20n = 16(n + 5) . Resolvendo
n = 20 . Portanto o livro possui 20n = 20 × 20 = 400 páginas.
esta equação encontramos
Solução 2. Como Márcia precisou de 5 dias a mais do que Clara, ela leu 5 × 16 = 80 páginas
nestes 5 dias. Clara leu 4 páginas a mais por dia do que Márcia, logo as 80 páginas
correspondem a 80 / 4 = 20 dias de leitura de Clara. Logo o livro tem 20 × 20 = 400 páginas.
mmc(20,16) = 80 e os quocientes 80 ÷ 20 = 4 e 80 ÷ 16 = 5 . Logo cada 80
páginas do livro eram lidas em 4 dias por Clara e em 5 dias por Márcia. Logo Márcia atrasava 1 dia
na leitura de cada 80 páginas. Como Márcia atrasou 5 dias, o livro tinha 80 × 5 = 400 páginas.
Solução 3: Tem-se
3) Numa adega há 21 garrafas de vinho, das quais 7 estão cheias de vinho, 7 estão pela metade e
7 estão vazias. Como dividir entre três pessoas todo o vinho e todas as garrafas, sem abri-las, de
modo que cada pessoa receba quantidades iguais, tanto de garrafas quanto de vinho?
Resposta: Essencialmente, há dois modos de se fazer a distribuição.
Solução: A quantidade vinho da adega é igual a 7 + 7 / 2 = 10,5 litros que estão distribuídos em 21
garrafas. Logo, cada pessoa deve receber 3,5 litros de vinho e 7 garrafas. Uma forma de distribuir
em partes iguais de garrafas e de vinho é dar 3 garrafas cheias, 3 vazias e 1 pela metade para o
primeiro. Dar 3 garrafas cheias, 3 vazias e 1 pela metade para o segundo. O restante irá para o
terceiro que ficará com 1 cheia, 1 vazia e 5 pela metade. A tabela abaixo mostra esta distribuição.
Cheias
3
3
1
Metade
1
1
5
Vazias
3
3
1
Metade
1
3
3
Vazias
3
2
2
Outra forma de distribuição é dada pela tabela
Cheias
3
2
2
Estas são as únicas formas de distribuir as garrafas de acordo com as condições do problema,
porque cada pessoa deve receber 1 garrafa de vinho pela metade, senão ela não atinge 3 litros e
meio. Logo sobram 4 garrafas de vinho pela metade que devem ser distribuídas de 2 em 2, ou as 4
para uma única pessoa. Estas duas formas são as que estão descritas acima.
4) Quantas números de 4 algarismos podem ser formados utilizando apenas os algarismos 1 , 2 ou
3 (podendo repeti-los)? Qual a soma de todos eles?
Resposta: Existem 81 números de 4 algarismos formados como os algarismos 1, 2 ou 3 e a soma
de todos eles é 179.982 .
Solução: Em cada casa decimal há 3 possibilidades de escolhas dos números 1, 2 e 3. Logo há um
total de 3 × 3 × 3 × 3 = 81 modos de se formar os números. Em cada casa decimal os números 1, 2 e
3 aparecem igualmente cada um 81 / 3 = 27 vezes. Portanto a soma dos algarismos das unidades é
igual a 27(1 + 2 + 3) = 162 . Esta é a mesma soma dos algarismos das dezenas, das centenas e
também dos milhares. Portanto a soma de todos os números de 4 algarismos que podem ser
formados com os algarismos 1, 2 ou 3 é igual a 162 + 1620 + 16200 + 162000 = 179.982
5) Seis equipes participaram de um torneio de futebol. Cada equipe jogou com todas as outras
equipes exatamente uma vez e recebeu 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto
por derrota. No final do torneiro as equipes acabaram com pontuações diferentes e exatamente 6
partidas terminaram empatadas. A equipe com o menor número de pontos ficou com 4 pontos. Em
quantas partidas houve vitória de um dos times? Com quantos pontos terminou o time campeão?
Quantas vitórias, no mínimo, obteve o campeão? Qual o número máximo de vitórias do campeão?
Resposta: O time campeão terminou com 35 pontos e teve no mínimo 2 e no máximo 3 vitórias.
Solução: Cada equipe jogou com outras 5 equipes. Logo o torneio teve 6 × 5 / 2 = 15 jogos. O
torneio teve 6 empates, logo houve 15 − 6 = 9 vitórias (e 9 derrotas). Nas partidas empatadas
foram distribuídos 1 + 1 = 2 pontos. Nas partidas em que houve vencedor foram distribuídos
2 + 1 = 3 pontos. Assim o total de pontos distribuídos no torneio foi de 6 × 2 + 3 × 9 = 12 + 27 = 39
pontos. As pontuações finais das equipes foram diferentes, começando de 4 , a última colocada.
Logo os pontos distribuídos para as 6 equipes foram no mínimo: 4 , 5, 6, 7, 8, 9 . Como
4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39 , estas são exatamente as pontuações das equipes ao final do torneio.
Logo o campeão terminou com 9 pontos.
Se o campeão teve v vitórias, e empates e d derrotas então v + e + d = 5 e 3v + e = 9 .
Subtraindo as equações encontra-se 2v = 4 + d . Segue-se que 2 ≤ v ≤ 3 . As duas possibilidades
são v = 2 , e = 3 e d = 0 ou v = 3 , e = 0 e d = 2 . Logo o campeão terminou com no mínimo 2 no
máximo 3 vitórias.
Para mostrar que, que de fato esta pontações são possíveis, As tabelas abaixo representam
os resultados de dois torneios contendo as pontuações citadas acima.
O campeão teve 3 vitórias e 2 derrotas
Equipe
jogou contra a equipe
B
C
D
E
d
d
v
v
e
e
d
e
e
e
e
e
e
v
e
e
d
e
d
v
A
A
B
C
D
E
F
v
v
d
d
d
F
v
v
e
v
d
Pontos
9
8
7
6
5
4
O campeão teve 2 vitórias e 3 empates
A
B
C
D
d
e
e
jogou contra a equipe
B
C
D
E
v
e
e
e
v
e
e
d
v
d
e
d
v
E
F
e
d
e
d
Equipe
A
v
d
d
e
F
v
v
v
e
d
v
Pontos
9
8
7
6
5
4