RELATO DE EXPERIÊNCIA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM
SITUAÇÕES QUE ENVOLVEM DIVISÃO
Ana Regina Zubiolo
[email protected]
André Luis Trevisan
[email protected]
RESUMO
Este artigo tem por objetivo relatar uma experiência de ensino na qual buscou-se trabalhar a
linguagem matemática presente na operação da divisão, utilizando-se das diferentes mídias
tecnológicas como uma possível alternativa para promover a aprendizagem desta operação, de
modo a possibilitar ao indivíduo sua utilização crítica e consciente, quando necessária. Entre
os resultados deste estudo, destacamos: o reconhecimento da calculadora e/ou computador
como uma ferramenta, a necessidade de conhecer o significado do valor numérico trabalhado
e a importância da interpretação dos resultados obtidos na calculadora e/ou computador. Este
trabalho faz parte das atividades desenvolvidas no Programa de Capacitação PDE do Governo
do Estado do Paraná.
Palavras-chave: Matemática; Divisão; Mídias Tecnológicas.
1. INTRODUÇÃO
Nos últimos oito anos de magistério, nos quais trabalhei quase que exclusivamente
com quintas séries, venho me deparando com uma afirmação: “Divisão com um número na
chave eu sei fazer, com dois eu não sei”. Isso me fez pensar se era o conceito de divisão que
não havia sido compreendido ou se o que não se sabia era dar o resultado daquela operação,
já que números maiores demandam processos mais demorados, sejam eles mentais ou com
uso de papel e lápis.
Em 2008 tive a oportunidade de participar do Programa de Desenvolvimento
Educacional (PDE), programa implementado pela Secretaria de Estado da Educação, em
parceria com Secretaria de Estado da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior e Instituições de
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Ensino Superior, e que tem por objetivo proporcionar aos professores da Rede Pública
Estadual subsídios teórico-metodológicos para o desenvolvimento de ações educacionais
sistematizadas, e que resultem em um redimensionamento de sua prática. Nesta perspectiva,
desenvolvi meu projeto tendo em vista a compreensão do por que daquela afirmação feita
pelos alunos.
Neste trabalho, uma das hipóteses levantadas foi a de que a facilidade e a influência da
imagem, do som, do movimento e da velocidade com que surgem as informações e inovações
atualmente, fizeram com que tempo e espaço passassem por uma nova conceituação. Neste
sentido, levantei a possibilidade de que esta nova geração de alunos, inserida no contexto
audiovisual, processa de maneira diferenciada os conhecimentos já adquiridos pela
humanidade historicamente, se comparada à geração da qual pertencem seus professores.
Segundo Babin & Kouloumdjian (apud. PENTEADO, 1999, p. 298), inovações trazem
mudanças no comportamento intelectual e afetivo que se modelam nos estudantes, através do
seu uso cotidiano fora da escola, uma vez que máquinas informatizadas, principalmente o
computador, oferecem recursos para densenvolver atividades com os estudantes dentro da
escola.
Boa parte dos alunos são capazes de manipular os símbolos da operação de divisão,
conforme determinadas regras, sem se deterem ao significado dos mesmos. Desse modo,
levanta-se a seguinte questão: Como trabalhar com alunos na era do audiovisual, de modo
que usem significativamente a linguagem matemática presente na divisão?
Nosso objetivo geral, neste trabalho, é realizar uma investigação que focaliza o ensino
da Matemática na escola fundamental, como forma de promover a melhoria do processo de
ensino e aprendizagem desta disciplina.
Os objetivos específicos são:
• apresentar estratégias para a utilização das mídias tecnológicas disponíveis na Rede
Pública Estadual no processo de ensino-aprendizagem;
• por meio de atividades de investigações matemáticas e resolução de problemas, com
auxílio dessas mídias, promover a aprendizagem da linguagem da divisão.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
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No ensino da Matemática é comum, muitas vezes, a utilização de técnicas e
procedimentos que fazem uso de uma linguagem simplificada em relação aquilo que se está
trabalhando. Parte disso deve-se ao fato de, por uma questão de economia, utilizarmos
apenas algoritmos e também às alterações de sentido cometidas quando “da cópia, da cópia,
da cópia” dos conhecimentos matemáticos (RICIERI, 2008).
Colocando que, tradicionalmente, o ensino da Matemática tivesse como objetivo
fundamental o ensino da sua linguagem, Gómez-Granell (2006, p. 263) diz que não há como
negar a sua função constitutiva no pensamento matemático, porém, sempre que possível
devemos atribuir um significado aos símbolos que manipulamos. Afinal, as ferramentas e
noções elaboradas em determinada época refletem um contexto sócio-econômico-cultural
que não é o vivenciado por nossos alunos.
Gómez-Granell (2006, p. 260) coloca que na História da Matemática encontram-se
muitos exemplos demonstrando como a elaboração de linguagens mais complexas exigia a
formulação de linguagens mais abstratas que, em função disso, possibilitavam novos
modelos de cálculos e conclusões.
Segundo Santaló (1996, p. 18), é preciso:
educar o aluno na linguagem adequada para compreender a nomenclatura e
funcionamento da tecnologia atual, assim como na base científica que o
sustenta. [...] Mais importante é ir aprendendo as leis do raciocínio de
maneira natural, como algo inerente à linguagem, da mesma maneira que se
aprende a falar sem conhecer a etimologia das palavras.
Charnay (1996, p. 37) considera que uma das grandes dificuldades do ensino da
Matemática é tornar o conteúdo carregado de significação, de modo que tenha sentido para o
aluno. Assim, o aluno deve “... ser capaz não só de repetir ou refazer, mas também de
ressignificar em situações novas, de adaptar, de transferir seu conhecimento para resolver
problemas.”
Nessa mesma perspectiva, Gómez-Granell (2006, p. 274) expõe que:
saber matemática implica em dominar os símbolos formais
independentemente das situações específicas e, ao mesmo tempo, poder
devolver a tais símbolos o seu significado referencial e então usá-los nas
situações problemas que assim o requeiram.
Não é uma tarefa fácil para o professor dar sentido aos conhecimentos e, sobretudo,
reconhecê-los. Em geral, o ensino da operação da divisão está baseado na apresentação de
um método de cálculo associado a um pequeno universo de problemas que, pressupõe-se,
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“darão conta” do significado do conceito. Qualquer algoritmo, e em especial no caso o da
divisão, isolado do contexto, converge para uma resposta de perguntas futuras que não são
conhecidas previamente. O algoritmo é “aprendido” para servir na resolução de problemas,
porém não se conhece de que problema se trata.
A divisão, na antiguidade, era uma operação realizada apenas por sábios. Havia
numerosos métodos, em geral difíceis, que só eram assimilados com muito trabalho e depois
de uma prolongada prática. Atualmente, utilizamos um algoritmo rápido e eficaz para
calcular a divisão, com qualquer quantidade numérica, e, ainda, podendo contar com
máquinas (calculadoras e computadores) que resolvem cálculos, em menos tempo que as
pessoas. Mesmo assim, existem, nas escolas, crianças que já tiveram contato com a divisão e
mesmo assim assumem a falta do “saber dividir”, já que não atribuem significado ao
algoritmo ou ao resultado obtido.
Assim:
A representação da divisão não pode reduzir-se ao conhecimento de uma
estratégia de solução acompanhada de um suposto “sentido” ou significado
da operação que permita aplicá-la, porém implica a capacidade de controlar
as várias estratégias, passando de uma a outra, segundo as circunstâncias
(SAIZ, 1996, p. 170).
A tendência à economia, seja no ensino como na aprendizagem, favorece a aplicação
de algoritmos que geralmente acarretam uma perda de significado. Este trabalho pretende
trabalhar a operação da divisão, utilizando-se das mídias tecnológicas disponíveis na Rede
Estadual de Ensino, permitindo que os alunos comprovem seus próprios métodos, suas
próprias soluções, atribuindo um significado a cada etapa do cálculo para resolver os
problemas.
3. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
A proposta de trabalho foi ancorada na utilização de mídias, em especial, a calculadora
e o computador, na resolução de problemas para alunos de 5ªs séries. Mediante orientação, foi
elaborada pela pesquisadora a produção didática com cinco atividades que contemplam
conceitos associados à divisão.
As atividades planejadas foram executadas ao longo dos meses de março e abril do ano
de 2009. Participaram desta pesquisa 64 crianças cursando a 5ª série do Ensino Fundamental,
oriundos de duas turmas, 5ªA e 5ªB, cada uma delas com 32 alunos. Durante a realização de
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cada atividade, os alunos das duas classes eram divididos em grupos com quatro elementos
cada, sendo este distinto do grupo formado na atividade anterior. Durante a realização das
atividades 1, 2, 3 e 5, a separação das equipes foi feita pela professora de forma aleatória. A
quarta atividade foi resolvida em duplas escolhidas pelos próprios alunos e realizada no
laboratório de informática da escola.
Faziam-se intervenções nos grupos quando solicitado por estes, ou para classe toda,
quando a professora julgava necessário. Em aula subsequente à resolução da atividade,
levantava-se uma discussão com a turma, na qual expunham suas estratégias, o que
possibilitava compreender qual era o significado que aquilo tinha para os alunos.
Vale mencionar que havia um combinado e que a calculadora faria parte do material
escolar. Além disso, as estratégias de resolução eram livres para os grupos, não sendo
imposta nenhuma condição ou operação que devesse constar obrigatoriamente em seus
registros.
O fato de ser “liberado” o uso da calculadora nas aulas fez com que os alunos ficassem
bem à vontade, já que, num primeiro momento, “fazer as contas” não seria mais uma tarefa
enfadonha. A utilização do laboratório de informática também foi um grande atrativo,
considerando que para muitos alunos, a escola é o único ambiente onde se pode ter acesso a
esse recurso.
4. ANÁLISE DA IMPLEMENTAÇÃO
Apresentaremos a seguir situações importantes observadas ao desenvolver as
atividades1, buscando verificar qual a contribuição que este tipo de trabalho trouxe na
formação do conceito da divisão.
4.1. Atividade 1
Paulo trabalha como repositor no Supermercado Bomdipreço. Seu trabalho hoje foi
empilhar 580 latas de leite em pó em 13 camadas. Seu chefe pediu que todas as camadas
tivessem a mesma quantidade de latas. Para saber quantas latas teria que colocar em cada
camada foi buscar sua calculadora. Ele conseguiu empilhar as 580 latas de leite conforme
seu chefe pediu? Como?
1
Apresentamos aqui apenas um recorte de algumas partes das atividades, que possibilitem ao leitor ter
uma visão como um todo do trabalho desenvolvido.
897
Após cada grupo ter recebido sua atividade, os integrantes acompanharam a leitura dela
feita pela professora. Esclarecida a dúvida sobre o significado da palavra “repositor”, que
aparecia no texto, deu-se início aos trabalhos.
Os alunos logo perceberam que se tratava de uma divisão, porém, ao efetuá-la com a
calculadora surgiram questionamentos por todos os lados. A divisão proposta tinha como
quociente um número decimal, porém não o reconheciam como tal. Pensaram ser um número
“muito grande” e não sabiam lê-lo, já que no visor da calculadora aparecia apenas um ponto
para a separação das classes. Refaziam a conta e o resultado era sempre o mesmo. Não havia
compreensão do significado daquele resultado; porém, todos acreditavam que a calculadora
sabia fazer contas e que não errava, mas, naquela situação, a resposta apresentada parecia
“absurda”. A maioria dos grupos fez, então, o cálculo manualmente e isso os intrigou ainda
mais, pois não aparecia agora a parte decimal que se obtivera anteriormente.
Aproveitando essa perturbação, foi lançado pela professora o seguinte questionamento:
“A calculadora erra?”. Tal pergunta levou-os a refletir e comparar o resultado conseguido
pela calculadora com aquele encontrado utilizando-se lápis e papel. Houve grupos que
perceberam que o valor anotado antes do ponto do visor da calculadora era o mesmo que
aparecia como quociente, ou seja, “o número debaixo da chave”.
Após a realização desta atividade houve uma intervenção na qual a professora
pretendia conhecer qual o significado dado pelos alunos aos valores numéricos presentes no
problema e àqueles obtidos após a realização dos cálculos.
4.2. Atividade 2
Os oito netos da vovó Maria fazem aniversário no mês de fevereiro. Ela fez um
plano para presentear igual todos os netos. Começou a guardar uma moeda de 1 real por
dia. No dia 31 de janeiro ela já tinha guardado 58 moedas. Vó Maria pediu que seu neto
mais velho fizesse uma tabela para poder escolher o dia de fevereiro que daria de presente
as moedas. Organize na tabela abaixo as informações que vó Maria pediu para seu neto:2
Dia/mês
31/01
01/02
2
28/02.
Quant. de moedas
Quant. de netos
Moedas de cada neto
Sobra de moedas
Na atividade originalmente proposta aos alunos constavam, na coluna dia/mês, datas entre 31/01 e
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Novamente, feita a leitura com a professora, as equipes logo foram fazendo seus
cálculos com auxílio da calculadora. O mesmo impasse envolvendo o resto, já observado na
primeira atividade, apareceu aqui. Foram então estimulados pela professora a executarem os
cálculos manualmente. Os grupos que realizaram mais de um cálculo manualmente
perceberam que existia uma sequência no resto. Apesar disso, alguns foram afoitos e não
analisaram a situação, fazendo-a mecanicamente de modo que o resto sempre foi aumentando
uma unidade. Abaixo, algumas observações dos grupos sobre as sobras das moedas:
“Que vai de 0 a 7 e quando acaba a sequência começa tudo de novo.”
“Percebemos que cada moeda que ela colocava sobrava uma.”
“Que a quantia de moedas que sobram não eram iguais todos os dias.”
“Não tem nenhum maior que 8.”
“Eu percebi que cada dia sobrava mais moedas.”
“Percebi que a cada 8 dias aumentava uma quantidade de moedas para cada neto.”
Nesta atividade muitos grupos já utilizavam a calculadora para obter a parte inteira do
quociente e depois realizavam uma subtração para a obtenção do resto. Outros, ao
perceberem que na coluna da sobra de moedas aparecia uma sequência de 0 a 7, repetindo-se
periodicamente, completaram a tabela sem a necessidade de executar cálculos.
4.3. Atividade 3
O tio de Carlos trabalha numa fábrica que neste ano realizou uma festa de Páscoa
para os familiares de seus funcionários. No final da festa as 18 crianças receberam a mesma
quantidade de bombons de chocolate com recheio variado. Se você fosse o dono da fábrica
quantos bombons você compraria? Quantos bombons cada criança receberia? Escolha com
seu grupo dez quantidades diferentes de bombons e preencha a tabela abaixo:3
Quantidade de
bombons
Quantidade de
crianças
Quantidade de
bombons por
crianças
Sobra de
bombons
Como a atividade permitia a escolha de quantidades, alguns grupos procuraram escapar
da existência de resto na divisão. A maioria dos alunos que buscavam as respostas já sabia
como utilizar-se da calculadora para descobrir a parte inteira do quociente. Porém, insistiam
3
Na atividade originalmente proposta aos alunos constavam dez linhas em branco a serem completadas.
899
em utilizar a parte decimal como a representação do resto. Mesmo já tendo feito as outras
atividades, foi observado que ainda não associavam as mesmas atitudes já feitas a estas
situações.
Uma nova intervenção foi feita com a classe. Para tal, a professora escreveu uma
divisão qualquer de números naturais no quadro, contendo no divisor dois algarismos. A
partir daí perguntou o que deveria fazer para efetuar aquela divisão; então os alunos
oralmente foram orientando a realização daquela operação, descrevendo o processo longo da
divisão. A cada fala dos alunos a professora as repetia, porém, utilizando a linguagem
matemática. Cada passo do processo foi detalhado até obter-se o resto. Depois disso, foi
mostrado para a classe como a calculadora fazia a divisão. Perceberam que enquanto havia
resto, a calculadora fazia a partilha. Foi então que observaram que quando a resposta era um
número decimal é que existia resto na divisão e que este resto não era a parte decimal que a
calculadora apresentava.
Depois desta intervenção apenas uma equipe continuou considerando o resto como a
parte decimal do quociente da divisão realizada. As demais equipes já utilizavam a
calculadora para determinar a parte inteira do quociente com segurança, adotando o seguinte
procedimento: descobriam a parte inteira do quociente, fazendo a divisão na calculadora,
depois utilizavam este valor multiplicando-o pelo divisor e, por último, subtraiam o
dividendo pelo produto obtido.
4.4. Atividade 4
A impressora do colégio tem capacidade para imprimir 16 folhas em 27 segundos.
No início do ano, a secretaria fez a impressão de 800 folhas, incluindo matrículas e
rematrículas. Queremos determinar quanto tempo foi necessário para imprimir essas folhas.
Para facilitar seu trabalho, será utilizada uma planilha eletrônica chamada BrCalc. Você
construirá uma tabela, indicando inicialmente qual será o tempo gasto para imprimir 0, 16,
32, ... folhas. Siga as instruções e bom trabalho.4 Qual foi o tempo total para imprimir as
800 folhas? Explique como você descobriu a resposta.
Aqui o problema teve a intenção de trabalhar como um manual de instruções,
4
São fornecidas instruções para construção de uma tabela com duas entradas (número de folhas x
tempo), com auxílio da planilha eletrônica BrCalc. Inserindo-se um número inicial de folhas igual a zero na
célula A2, fazia-se a variação de 16 em 16 por meio da fórmula = A2+16 e arrastando-se o cursor.
Analogamente, trabalhava-se com a variação de tempo.
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permitindo que os alunos percebessem o que uma planilha de cálculo pode realizar. Neste
contexto a divisão não aparecia explicitamente, mas sim a multiplicação (como sucessão de
somas de parcelas iguais). Quando da leitura da situação proposta muitos dos alunos
solicitaram se poderiam buscar a calculadora, já que o problema induzia a elaboração de uma
tabela que, aparentemente, teria que chegar até o número 800. Neste momento, houve a
intervenção da professora, sempre para duas duplas de cada vez, solicitando que seguissem
as instruções dadas. Ao acatarem o que lhes foi sugerido, as duplas ficavam impressionadas
com a capacidade de aparecer os resultados prontos na coluna, sem ter que fazer os cálculos
um a um e digitá-los, bem como por serem eles os agentes daquela transformação. Ficaram
entusiasmados ao terem a sensação de estarem ensinando uma máquina que até então era
considerada muito poderosa e capaz. Abaixo transcrevo alguns registros dos alunos.
“Nós ensinamos o computador a fazer as questões que precisávamos.”
“Foi 1.350 segundos, arrastamos o cursor até chegar ao número 800, e fizemos o
mesmo com o B, assim olhamos na frente do número 800 e vimos que deu 1.350.”
“O tempo total para imprimir as folhas foi de 1.350. Eu fiz =A2+16 e = B2 +27.”
“Conforme a gente puxava, a máquina dava a resposta e o total de folhas 1.350.”
“Deu 22 e meio, eu dividi 1.350 por 60 e daí deu 22 minutos e meio. A gente puxou
o número de folhas até o número 52 e puxou o número de tempo para 52 e dividiu o
resultado por 60, que deu 22 minutos e meio.”5
4.5. Atividade 5
Complete os problemas abaixo com as quantidades que o grupo escolher e em
seguida resolva-os.
1) Na gincana da escola uma das tarefas era arrecadação de alimentos. A equipe da 5ª série
arrecadou no total_______ kg de alimento e compareceram _____ alunos.
A) Todos os alunos presentes arrecadaram a mesma quantidade de alimento?
Justifique sua resposta.
B) A comissão organizadora distribuiu igualmente entre os alunos presentes da 5ª
série os alimentos por eles arrecadados, a quantidade de quilos inteiro por aluno seria a
quantidade de pontos da equipe. Quantos pontos fez a equipe da 5ª série?
5
Vale mencionar que 52 corresponde ao número da linha que contém os números 800 e 1350.
901
2) Foram cadastradas 25 famílias por equipe para receber os alimentos. Para receber os
alimentos um representante da família deveria estar presente no dia marcado pela comissão
organizadora da gincana. Os alimentos arrecadados pela equipe da 6ª série foram
distribuídos para os _____ representantes presentes e cada um recebeu _______ kg de
alimento.
A) Quantos quilos de alimento esta equipe arrecadou?
B) Quantos quilos de alimento seriam entregue para cada família se no dia da
entrega comparecessem _____ representantes?
Foi observado, durante esta atividade, que os alunos de uma maneira geral possuíam
mais autonomia ao realizar seus trabalhos, em relação às atividades anteriores, e ouviam-se
comentários que esta era uma atividade muito fácil. Poucos foram os questionamentos. Para
responder o item 1A, a maioria pensou em quantidades iguais, como se isso fosse
obrigatório. Faziam uma multiplicação para escolher os valores para completar o problema e
depois justificavam com uma conta de dividir. Já o item 1B gerou dúvida; só depois de
entenderem o significado de “quilos inteiros” perceberam que já tinham a resposta feita no
item anterior. As expressões ouvidas foram do tipo: “Mas é só isso”, “Mas isso eu já fiz”.
Isso parece sugerir que para o aluno tudo tem que ser difícil; se for muito fácil significa que
não houve o entendimento correto, gera desconfiança.
Nesses problemas observou-se que os valores escolhidos buscavam escapar do resto,
porém, por simples facilidade. Isso mostrou que o fato de se evitar o resto implica que é
conhecido o seu significado. A presença do resto implicaria num quociente decimal, que para
esta atividade não parecia ser um bom valor a ser aceito pelos alunos, que, nesta fase, ainda
tem muito presente o número natural, ficando o decimal associado apenas a questões
monetárias. Uma das equipes trabalhou com a divisão com quociente decimal e soube
expressar-se corretamente sem nenhum problema. Trabalhar a divisão com a calculadora
associada à multiplicação entre o divisor e a parte inteira do quociente, mostrou-se bastante
positiva pelos resultados apresentados.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os registros obtidos ao longo das atividades mostraram, de maneira geral, uma
902
evolução na compreensão da divisão, bem como sua relação com o resto, a multiplicação e
subtração, além da relação entre produto (divisor x quociente) e dividendo.
A obrigação de justificar e explicar o porquê daquilo que se estava fazendo,
situação pouco vivenciada pela maioria dos alunos no ambiente escolar, aos poucos fez com
que estes questionassem mais e se tornassem mais conscientes de que é sua ação que gera o
“reconhecimento” daquele conhecimento já produzido pela humanidade.
O uso da calculadora pelos alunos sugere a possibilidade de testar com maior
facilidade e agilidade suas ideias para confirmar ou não suas estratégias. Neste sentido,
observou-se também a sua utilização na verificação das ideias propostas pela professora.
Além disso, os registros das atividades levam a sugerir que a compreensão entre a
divisão inexata, feita na calculadora, teve como apoio a execução com lápis e papel para,
posteriormente, reutilizar a máquina com capacidade de crítica. Entretanto o seu uso parece
estimular novos questionamentos e reconhecimentos sobre o que se fazer com o resto ou
como determiná-lo.
Este estudo não possui a pretensão de tirar conclusões gerais sobre o tema, no
entanto, podemos procurar fornecer outros recursos capazes de permitir ao aluno a
comprovação de suas estratégias e soluções, sem ter que, obrigatoriamente, passar pelos
algoritmos tradicionais.
Aliado a isso devemos considerar que a compreensão do enunciado de um problema
não se resume apenas à interpretação de palavras, mas também à capacidade de se produzir
uma maneira de responder, mesmo que parcialmente, apoiado num conhecimento preexistente, e poder construir sua estratégia.
Desta forma, a calculadora e o computador, utilizados nesse estudo, levam a
considerar que sua utilização no contexto escolar pode propiciar um ambiente de
reconstrução e significação de maneira mais atrativa e estimulante.
REFERÊNCIAS
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SAIZ, Irma (Orgs.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. LLORENS, Juan
Acuña (Trad.). Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 48-72.
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903
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alfabetização: a aprendizagem fonológica, ortográfica, textual e matemática. São Paulo:
Ática, 2006. p. 257-295.
•
PENTEADO, Miriam Godoy. Novos atores, novos cenários: discutindo a inserção dos
computadores na profissão docente. In: Maria A. V. Bicudo (Org.). Pesquisa em Educação
Matemática: Concepções e Perspectivas. 3. reimp. São Paulo: UNESP, 1999. p. 297-313.
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RICIERI,
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Descomplicando
matemática.
Disponível
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<http://br.youtube.com/watch?v=rMk039KvynU>. Acesso em: 09 mar. 2008.
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Acuña (Trad.). Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 156-185.
•
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Irma (Orgs.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. LLORENS, Juan Acuña
(Trad.). Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 11-25.
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