Razão e Proporção
Razão: comparação
usando uma divisão.
de
quantidades
Chama-se razão de dois números racionais
a e b (com b ≠ 0) ao quociente do primeiro
pelo segundo.
Indica-se: a/b ou a : b e,
lê-se: " razão de a para b " ou, " a está
para b “ ou, " a para b ".
Proporção
A proporção é uma igualdade entre duas
ou mais razões.
Propriedade Fundamental:
A propriedade fundamental da proporção
diz que o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
a
c
=
⇒ a ⋅d = b ⋅c
b
d
Divisão Proporcional
Definição: Chamamos de constante de
proporcionalidade (K), a razão entre o
número a ser dividido e a soma das partes.
N
K=
a1 + a2 + a3 + ... + an
Exemplos
1) Em uma sociedade Paulo entrou com R$
3.000,00, Carlos com R$ 1.500,00 e André
com R$ 2.400,00. Após um mês o lucro foi
de R$ 1.380 que será dividido entre os seus
sócios em partes proporcionais aos seus
investimentos. Quanto cabe a cada um?
2) O diretor de uma empresa resolve dividir
R$ 3.800,00 entre seus três empregados
em partes inversamente proporcionais as
suas faltas. Beto faltou 4 dias, Diogo 5 dias
e Thais 2 dias. Quanto cada um recebeu?
Regra de Três
Estuda-se em proporção a relação entre
grandezas. Em alguns casos vemos que as
grandezas são diretamente proporcionais, ou
seja, o aumento de uma implica o aumento da
outra,
em
outros,
inversamente
proporcionais, isto é, o aumento de uma
implica a redução da outra. Seja em
quaisquer dos casos anteriores, podemos
resolver grande parte dos problemas
relacionados às grandezas proporcionais
utilizando regra de três simples ou
composta.
Exemplos
1) Com a velocidade média de 42 km/h um
carro percorre uma distância em 6 horas e
30 minutos. Que velocidade deverá
desenvolver para fazer o mesmo trajeto
em 5 horas e 15 minutos?
2) Três torneiras enchem uma piscina em
10 horas. Quantas horas levarão 10
torneiras para encher 2 piscinas?
Porcentagem
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos
ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre
tomando por base 100 unidades:
• A
gasolina
teve
um
aumento
de
15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de
R$15,00
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as
mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de
R$10,00
• Dos jogadores que jogam no Avaí, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Avaí,
90 são craques.
Exemplos
6
2
X
=
9
−
+
5
− 4, 8 . Então, o valor
1) Se
5
de 0,3% de x é:
a) 0,66 b) 0,066 c) 2,2 d) 6,6 e) 3,3
2) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros
de gasolina. A porcentagem de gasolina na
mistura é igual a:
a) 10%
b) 20
c) 30% d) 40% e) 50%
Equação do 1º grau:
É toda sentença do tipo ax + b = 0, onde
a e b ϵ IR e a≠0.
Exemplo:
As idades de três irmãos somam 99 anos.
Sabendo-se que o mais jovem tem um
terço da idade do mais velho e o segundo
irmão tem a metade da idade do mais
velho, qual a idade do mais velho?
Sistemas de equações do 1ºgrau:
Um sistema de equações do 1° grau é um
conjunto de equações, todas de 1° grau, cuja
solução satisfaz todas essas
equações
simultaneamente.
Exemplo:
Um livreiro vende, num dia, 3 exemplares de
Língua Portuguesa e 7 de Matemática,
recebendo R$3.240,00. No dia seguinte, vende 2
exemplares de Língua Portuguesa e 5 de
Matemática e então recebe R$2.260,00. Qual é
o preço de cada exemplar?
Equação 2º grau:
Denomina-se equação do 2° grau, qualquer
sentença matemática que possa ser reduzida
à forma ax2 + bx + c = 0, onde x é a
incógnita e a, b e c são números reais, com a
≠ 0.
Para a resolução de uma equação do segundo
grau completa ou incompleta, podemos
recorrer à fórmula geral de resolução:
x =
−b ±
b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
2 ⋅a
Esta fórmula também é conhecida como
fórmula de Bhaskara.
Exemplo: O índice I de massa corporal de uma
pessoa adulta é dado pela fórmula: I = M/h²
onde M é a massa do corpo, dada em
quilogramas, e h é a altura da pessoa, em
metros. O índice I permite classificar uma
pessoa adulta, de acordo com a seguinte
tabela:
a) Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é de
64,0kg e cuja altura 1,60m. Classifique-a segundo a
tabela anterior.
b) Qual é a altura mínima para que o homem cuja massa
é de 97,2kg não seja considerado obeso?