MATEMÁTICA
Função Afim
o
Função polinomial do 1º grau
F: IR  IR
com a, b Є IR
F(x) = ax + b
a≠0
 para b = 0
f(x) = ax  linear
 para b ≠ 0
f(x) = ax + b  afim
f(x) = 2x + 1
h(x) = -5x + 3
k(x) = 3x
 se admitirmos a hipótese a = 0, a função f(x) = b é dita CONSTANTE
f(x) = 5
f(1) = 5; f(0) = 5; f(-1000) = 5
 raiz da função
o
-
Valores que tornam a função nula
queremos encontrar o número x tal que f(x) = 0
ax + b = 0
ax = - b
x = -b/a
IMPORTANTE!
O gráfico da função de 1º grau sempre contém o ponto (-b/a, 0)
 coeficientes
f(x) = ax + b
f(x) = ax + b
quanto maior o "a" maior o
ângulo formado com o eixo x
a  coeficiente angular ou taxa de crescimento
-
se a > 0, f é crescente
se a < 0, f é decrescente
 coeficiente linear
Suponha que uma corrida de taxi custe R$ 5,00 a bandeirada mais R$3,00 por quilometro
corrido. Escreva uma lei matemática que forneça o preço de uma corrida em função da
quantidade x de quilômetros rodados
quilômetros: x
crescente
Função: y = 3x + 5
x
0
1
2
3
4
y
5
8
11
14
17
Certo veículo 0km custa hoje R$50000,00 e sofre uma depreciação anual de
R$3000,00. Determine o valor de venda desse veículo após x anos de uso
tempo: x
Função: y = 50000 – 3000x
valor: y
decrescente
x
0
1
2
3
4
Y
50
47
44
41
38
 gráficos
o o gráfico da função afim é uma reta
o
o
o
o
a função contém os pontos (-b/a, 0) e (0, b)
basta ligar os pontos acima para obtermos o gráfico
com dois pares ordenados pode-se traçar o gráfico
o crescente angular a é responsável pela inclinação da reta em relação ao eixo x
obtuso
agudo
Imagem em: http://alfaconnection.net/images/FUN020303a.gif
IMPORTANTE: a = Ig α
ex1: y = x – 2
Raíz: y = 0  x = 2
α
eixo x  (2,0)
2
x=0 y=2
-2
eixo y  (0,2)
a = +1 (/)
a = Tg α
Tg α = 1  α = 45º
 para y = x – 1
y=x–3
y=x–4
*** temas ***
feixo de paralelas
ex2: -√3x + 1
eixo x  y = 0, x = 1/√3 = √3/3
1
(√3/3, 0)
α
eixo y  x = 0, y = 1
(0.1)
√3/3
tg α = a
tg α = -√3
α = 120º
 estudo do sinal
o
valores de x para os quais a função é positiva, é negativa ou se anula
a>0
para x > -b/a, y < 0
para x < -b/a, y > 0
-b/a
 exemplo de inequação
f: x+ 2/ g: x – 3  0
f: R: X = -2
g: R: x = 3
-2
3
a>0
-
a>0
+
-
3
+
-
-2
x–3≠0
x≠3
S = { x Є IR / x ≤ - 2 ou x > 3 }
S = ( - ∞, -2 ] U (3, + ∞]
Função Quadrática
o F: IR  IR
 f(x) = ax2 + bx + c
o
a,b,c Є IR, a ≠ 0
Ex: f(x) = 2x2 – 4x + 1
g(x) = -x2 + 5x
y = 10x2 -7/3
 RAÍZES
o para b = c = 0
0
y = ax2
ax2 = 0  x = 0
o
para b = 0, c ≠ 0
y = ax2 + c
ax2 + c = 0
ax2 = -c
x2 = -c/a  x = +- √-c/a
-c/a > 0  duas raízes reais
-c/a < 0 duas raízes complexas (imaginárias)
o
para b ≠ 0, c = 0
y = ax2 + bx
ax2 + bx = 0
x (ax + b) = 0
x = 0 ou ax +b = 0
x = -b/a
o
para b ≠ 0 e c ≠ 0
ax2 + bx + c = 0

x = [-b +-√(b2 -4ac)]/2a
fórmula quadrática
- o número b2 – 4ac é chamado de discriminante
Δ = b2 - 4ac
o
o
o
Δ > 0  duas raízes reais e diferentes
Δ = 0  duas raízes reais e iguais (raiz dupla)
Δ < 0  não há raiz real (duas raízes complexas)
Ex: x2 – 3x + 2 = 0
Δ = (-3)2 -4.1.2 = 1
xl = 2
x = [- (-3) +- √1]/ 2 = (3+- 1)/2
xll = 1
 SOMA E PRODUTOS DAS RAÍZES
o
as raízes de ax2 + bx + c são
[-b - √ Δ]/ 2a
o
[-b + √ Δ]/ 2ª
a soma S e o produto P das raízes são dados por:
S = -b/a
o
e
P = c/a
logo, podemos reescrever a equação abaixo:
ax2 + bx + c = 0 (dividindo tudo por a)
x2 + (b/a)x + c/a = 0
x2 - Sx + P = 0
Ex: Determine a soma e o produto das raízes de cada equação
a) x2 + 7x – 5 = 0
b) 3x2 –x – 1 = 0
S = -7/1 = -7
S = 1/3
P = -5/1 = -5
P = -1/3
 FORMA CANÔNICA
o
a função f(x) = ax2 + bx + c pode ser reescrita sob a forma
f(x) = a (x + b/2a)2 – Δ/4a
o
o
o
Forma canônica
para a > 0, o número – Δ/4a é o valor mínimo que f pode assumir
para a < 0, o número – Δ/4ª é o valor máximo que f pode assumir
f assume seu valor mínimo ou máximo quando
x = -b/2a
 Extremo (vértice): (-b/2a, - Δ/4a)


Xv
Yv
 GRÁFICO
o
o
gráfico da função quadrática é uma parábola
definição: dados um ponto F e uma reta d, chama-se parábola de ponto F e diretriz d os
pontos p do plano tais que a distância de P a F seja igual a distância de P a d
 ESBOÇO DO GRÁFICO
Ex: x2 – 5x + 6
S=5 P=6
xl = 2 xll = 3
o
o
o gráfico corta o eixo y no ponto (O,C)
x = 0  y = 6  (0,6)
como a > 0 a função possui mínimo
Xv = -b/2a = 5/2
o
Yv = - Δ/4a = -1/4
análise da concavidade
a>0
mínimo
a<0
máximo
(0,6)
6
(3,0)
(2,0)
5/2
3
2
-1/4
(5/2, -1/4)
o
o
para valores de x a direita de Xv, a curva é crescente
para valores de x a esquerda de Xv, a curva é decrescente
 ESTUDO DO SINAL
a>0 e Δ>0
a<0 e Δ<0
a>0 e Δ=0
a<0 e Δ=0
a>0 e Δ<0
a<0 e Δ<0
Δ > 0  xl ≠ xll Є IR
Δ = 0  xl = xll Є IR
Δ < 0  xl, xll ∉ IR
 INEQUAÇÃO
(x2 + 1N)/ (x2 – 10x + 21D) > 0
a)
N: raízes
D: raízes
x2 + 1 = 0
x2 – 10x + 21 = 0
Δ = 02 – 4.1.1 = -4
S = 10
Δ<0
x1 = 3 x2 = 7 Δ = 16
P = 21
3
7
S = {x Є IR/ x < 3 ou x > 7}
3
7
N
+
D
+
-
N/D
+
-
+
Operações
*Função Inversa
Função: cada elemento do conjunto partida se relacionará com o conjunto chegada
B
A
1
a
2
2
3
3
b
○ elementos exclusivos
○ todos se relacionam
c
INJETIVA
SOBREJETIVA
B
A
1
2
23
B
A
a
b
c
1
a
2
b
d
3
c
3
f
f
A--------------->B
A-------------------->B
X ----->A
B--------- --------->A
B------
X
-1
f-1
f
BIJETIVA
B
A
1
a
Inversa bijetiva
2
2
3
b
c
*uma função para ser inversivel deve
3
f
A-------------------->B
B-------------------->A
f-1
ser bijetiva
*Função Composta
B
A
C
1
2
3
2
23
4
5
6
7
3
x-------------------->2x(y)--------------------->y + 1
g
f
x------------------------------------------------->2x + 1
h
h(x) = 2x + 1  composição entre duas funções
f(x) = 2x
g(x) = x + 1
h(x) = 2x + 1
NOMECLATURA
f.g(x) = f(g(x))
g.f(x) = g(f(x))
g.f(x) =g(f(x))
EXEMPLO
g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 1
f(x) = 2x + 1
g(x) = x2 + 1
f. g(x) = f(g(x))
f(x2 + 1) – 2(x2 + 1) + 1
f.g(x) = 2x2 + 3
*FUNÇÃO INVERSA
f(x) = 2x + 7
g.f(x) = 4x2 +4x + 1 + 1
g.f(x) = 4x2 +4x + 2
y = 2x + 7  x = 2y + 7  f-1(x) = (x – 7)/2
y = (x – 7)/ 2
f(x) = (x + 1)/(2x + 4)  D = IR - {-2}
y = (x + 1)/ !2x + 4)  x = (y + 1)/ (2y + 4)  f-1(x) = (1 – 4x)/ (2x -1)
y(2x – 1) = 1 – 4x
y = (1 – 4x)/ (2x – 1)
 D = IR – {1/2}