Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o
Software Winplot
Silvia Cristina Freitas Batista
Gilmara Teixeira Barcelos
Campos dos Goytacazes /RJ
2008
1
Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o Software
Winplot
Seção 1
A primeira seção deste material contém algumas informações básicas sobre a
utilização do software Winplot.
Conhecendo o Software Winplot
O Winplot é um programa gráfico de propósito geral, que permite o traçado e
animação de gráficos em 2D e em 3D, através de diversos tipos de equações (explícitas,
implícitas, paramétricas e outras). Possui inúmeros recursos e ainda assim é pequeno,
cabendo
em
um
disquete.
É
um
programa
gratuito,
disponível
em
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html .
. Com isso, se abrirá a janela
Para abrir o Winplot, clique duas vezes no ícone
Winplot.lnk
inicial do software:
Clicando em Janela, aparecerão as seguintes opções:
Para visualizar o gráfico de uma função de uma variável y = f(x), escolhe-se opção 2dim. Assim, será apresentada a seguinte janela:
2
Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita,
será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada:
Para digitar as formulas das funções é preciso respeitar as regras de sintaxe do
software. Clicando em Equação e, em seguida, em Biblioteca, obtém-se informações sobre
a forma de digitar diversas funções. Na tabela abaixo apresentamos a sintaxe de algumas
funções elementares:
Função
xn
ax
Sintaxe
x^ n
a^ n
x
sqrt(x)
n
x
root(n, x)
log x
ln x
x
sen x
cos x
log(x)
ln(x)
abs (x)
sin(x)
cos(x)
Para personalizar seu plano cartesiano, clique em Ver (no alto da janela principal) e,
em seguida, selecione Grade. Isso abrirá uma janela na qual é possível fazer algumas
escolhas:
setas
rótulos
Exibe os eixos com setas
escala
Exibe as escalas nos eixos
Exibe os rótulos x e y, nos
respectivos eixos
grade
Exibe linhas de grade no plano
do gráfico
Para alterar a cor do fundo da janela principal, clique em Misc (no alto da janela
principal), em seguida deslize o cursor até Cores e, então, selecione Fundo.
Tomemos, como exemplo, a função f ( x) = x 4 + x 2 + x − 1 , para analisarmos outros
recursos do Winplot.
Aumentando o valor na
caixa “espessura da
linha”, obtém-se gráficos
com linhas mais
“grossas”.
É possível visualizar a equação do gráfico
construído, na cor do gráfico, e no local desejado.
Para visualizar a equação, clique em equação na
janela inventário. Para arrastar a equação pela tela
e colocá-la no local desejado, clique em Mouse (no
alto da janela principal) e, em seguida, selecione
Texto. Clique, então, sobre a equação, com o botão
esquerdo do mouse e arraste.
3
Para encontrar os zeros ou raízes de uma função entre em Um (no alto da janela
principal) e, a seguir, em zeros. Para descobrir outras raízes da função, caso existam, basta
clicar em próximo. Considerando a função f ( x) = x 4 + x 2 + x − 1 , temos:
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, caso existam, entre em
Um e a seguir em Extremos. Para descobrir um outro ponto extremante, caso exista, basta
clicar em próximo extremo de. Considerando a função f ( x) = x 4 + x 2 + x − 1 , temos:
Para encontrar a imagem de um determinado valor de x, clique em Um e, a seguir, em
Traço. Digite o valor de x na linha onde se vê “x =” e tecle enter.
Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de duas curvas clique em Dois
(no alto da janela principal) e, a seguir, em Interseções. Para descobrir um segundo ponto
de interseção, caso exista, basta clicar em prox interseção. Considerando as funções
f ( x) = x 4 + x 2 + x − 1 e g ( x) = 3 x 2 + 1 , temos:
4
È possível ampliar ou reduzir o gráfico através das teclas Page Up e Page Down,
respectivamente. É possível modificar a posição da superfície através das teclas:
.
Para visualizar o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, clique
em Equação e, em seguida, em Explícita. No campo “f(x) =”, digite joinx (lei 1| a, lei
2| b,..., lei n). O Winplot interpreta Lei 1 no intervalo x ≤ a , lei 2 no intervalo a < x ≤ b ,
e assim sucessivamente, até a última lei Lei n no intervalo formado pelos demais
valores. Consideremos o seguinte exemplo:
 x + 1, se x ≤ −1

f ( x) =  x 2 − 1, se − 1 < x ≤ 2
− 2 x + 7, se x > 2

Se desejar limitar um intervalo de x, à esquerda e à direita, para a função
considerada, preencha os campos x mín e x máx e, a seguir, marque travar intervalo.
No exemplo abaixo a função foi restrita ao intervalo [-3,3].
5
Para visualizar o gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y), utiliza-se a
opção Janela, na tela inicial do software e, em seguida, seleciona-se a opção 3-dim na
coluna de comandos.
Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita,
será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada. Como
exemplo, consideremos a função dada por f ( x, y ) = x 2 .
z
x
y
É possível rotacionar o gráfico em 3-dim, utilizando as setas
.
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2ª Parte
A 2ª parte deste material é composta de atividades abordando função do 2º grau
(transformações gráficas), a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.
Função do 2º Grau - Transformações Gráficas
1. Comparação da função y = x2 com as funções da forma y = x2 + p, sendo p ∈ IR.
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um
mesmo plano cartesiano.
1.1 y = x^2
1.2 y = x^2 + 2
1.3 y = x^2 + 4
1.4 y = x^2 – 3
1.5 y = x^2 – 1
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das
parábolas esboçadas.
1.1 __________________________________ 1.4 ________________________________
1.2 __________________________________ 1.5_________________________________
1.3 __________________________________
c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções
y = x2 + p (p ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.
d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções
do tipo y = x2 + p (p ∈ IR).
e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o
parâmetro p, das funções da forma y = x2 + p (p ∈ IR), causa sobre o gráfico da
função y = x2 ?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = (x + h)2 sendo h∈ IR.
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um
mesmo plano cartesiano.
2.1 y = x^2
2.2 y = (x + 1)^2
2.3 y = (x - 1)^2
2.4 y = (x - 3)^2
2.5 y = (x + 4)^2
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das
parábolas esboçadas.
2 1 _______________________________ 2.4__________________________________
2.2 _______________________________ 2.5___________________________________
2.3 _______________________________
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c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = (x + h)2
(h ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.
d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções do
tipo y = (x + h)2 (h ∈ IR).
e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o
parâmetro h, das funções da forma y = (x + h)2 (h ∈ IR), causa sobre o gráfico da
função y = x2 ?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
3. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = ax2 sendo a ∈ IR*+
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um
mesmo plano cartesiano.
3
1
3.1 y = x^2
3.3 y = x ^ 2
3.5 y = x^2
2
2
2
3.2 y = 2x^2
3.4 y = x^2
3
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das
parábolas esboçadas.
3.1
________________________________ 3.4 _________________________________
3.2
________________________________ 3.5_________________________________
3.3
________________________________
c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = ax2
(a ∈ IR*+). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.
d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções
do tipo y = ax2 (a ∈ IR+*).
e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o
parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a ∈ IR+*), causa sobre o gráfico da função
y = x2?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
4. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = ax2 sendo a ∈ IR-*.
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um
mesmo plano cartesiano.
4.1
y = x^2
4.3 y = - 2x^2
4.2
y = - x^2
4.4 y = -
1
x ^2
2
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das
parábolas esboçadas.
4.1 ________________________________ 4.3 __________________________________
4.2 ________________________________ 4.4 __________________________________
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c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = ax2
(a ∈ IR-*). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.
d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções do
tipo y = ax2 (a ∈ IR-*).
e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o
parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a ∈ IR-*), causa sobre o gráfico da função
y = x2?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
5. Determine o que se pede em cada item :
a)
b)
c)
d)
utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir;
determine as coordenadas do vértice de cada parábola;
determine o conjunto imagem de cada uma das funções;
indique as transformações que ocorreram em relação à função y = x2.
5.1 y = (x – 3)2 + 2
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
5.2 y = (x + 1)2 – 4
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
5.3 y = 2(x + 1)2 + 1
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
5.4 y = -
1
(x – 2)2 + 3
4
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
6. A partir das observações feitas nos exercícios anteriores, determine as coordenadas
do vértice das parábolas que representam as funções da forma y = a (x + i)2 + p,
sabendo que a ∈ IR*, i ∈ IR e p ∈ IR.
__________________________________________________________________________
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7. (UFJF) O esboço do gráfico que melhor representa uma função f: IR → IR definida por
f(x) = (x – a)2 – b , onde a e b são números reais positivos, é:
a)
c)
b)
e)
d)
3ª Parte
A 3ª parte deste material contém teoria sobre análise gráfica de sistemas lineares e
atividades sobre o tema a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.
Sistemas Lineares – Análise Gráfica
1. Sistemas Lineares com Duas Equações e Duas Incógnitas
Seja o sistema linear S1:
 a1 x + b1 y = c1

a 2 x + b2 y = c 2
No qual a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , c 2 são números reais.
Consideremos:
l1 = (a1 , b1 ) e l 2 = (a 2 , b2 ) ;
L1 = (a1 , b1 , c1 ) e L2 = ( a 2 , b2 , c 2 ) ,
com l1 e l2 não nulos e, conseqüentemente, L1 e L2 também não nulos. As duas
equações do sistema S1 representam retas, que chamaremos r 1 e r2 .
São três as posições relativas de duas retas no plano. Cada uma dessas posições
é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir.
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Posições Relativas de Duas Retas no Plano e Condições Algébricas
a) As duas retas coincidem.
r1 = r 2
Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y) da reta
r 1 (ou r2 , já que são coincidentes). O sistema é possível e indeterminado.
Condição algébrica:
Existe k, real não nulo, tal que:
L2 = kL1
(ou seja, L2 é múltiplo de L1).
b) As duas retas são paralelas.
r1
r2
Nesse caso, o sistema não tem solução, ou seja, é impossível.
Condição algébrica:
Existe k, k ∈ R*, tal que l2 = kl1 mas, L2 ≠ kL1 .
c) As duas retas são concorrentes.
r1
r
r2
Nesse caso, o sistema admite uma única solução, que é o ponto comum entre as
duas retas. Logo, o sistema é possível e determinado.
Condição algébrica:
Para todo k, k ∈ R, l2 ≠ kl1 (ou seja, l2 não é múltiplo de l1).
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2. Sistemas Lineares com Três Equações e Três Incógnitas
Seja o sistema linear S2:
 a1 x + b1 y + c1 z = d1

a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3
No qual a1 , a 2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c 2 , c3 , d1 , d 2 , d 3 são números reais.
Consideremos:
l1 = (a1 , b1 , c1 ) , l 2 = (a 2 , b2 , c 2 ) e l3 = (a3 , b3 , c3 ) ;
L1 = (a1 , b1 , c1 , d1 ) , L2 = ( a 2 , b2 , c 2 , d 2 ) e L3 = ( a3 , b3 , c3 , d 3 ) ,
com l1, l2 e l3 não nulos e, conseqüentemente, L1, L2 e L3 também não nulos. As três
equações do sistema S2 representam planos, que chamaremos π 1 , π 2 e π 3 .
São oito as posições possíveis de três planos no espaço, um em relação aos outros.
Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme
descrito a seguir.
Posições Relativas dos Planos e Condições Algébricas
a) Os três planos coincidem.
Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) do plano
π 1 (ou π 2 ou π 3 , já que são coincidentes). O sistema é indeterminado de grau 2.
Condição algébrica:
Existem k e p, reais não nulos, tais que:
L2 = kL1 e L3 = pL1
(ou seja, L1, L2 e L3 são múltiplos um do outro).
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b)
Dois desses planos coincidem e são paralelos ao terceiro
Nesse caso, o sistema não tem solução.
Condição algébrica:
Existe k, k ∈ R*, tal que L2 = kL1 e existe p, p ∈ R*, tal que l3 = pl1, mas, L3 ≠ pL1.
c)
Dois desses planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta
Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, formadas pelos pontos (x, y, z) da reta
comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.
Condição algébrica:
Existe k, k ∈ R*, tal que L2 = kL1 e para todo p, p ∈ R, l3 ≠ pl1.
d)
Os três planos são paralelos entre si
Nesse caso, o sistema não tem solução.
Condição algébrica:
Existe k, k ∈ R*, tal que l2 = kl1 mas, L2 ≠ kL1 e existe p, p ∈ R*, tal que l3 = pl1, mas, L3 ≠ pL1.
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e)
Dois desses planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas
Nesse caso, o sistema não tem solução.
Condição algébrica:
Existe k, k ∈ R*, tal que l2 = kl1 mas L2 ≠ kL1 e para todo p, p ∈ R, l3 ≠ pl1.
f)
Os três planos têm exatamente uma reta comum
Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) da reta
comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.
Condição algébrica:
l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, mas L3 = kL1 + pL2
(isto é, L3 é uma combinação linear de L1 e L2, sendo k ∈ R* e p ∈ R*).
g) Os três planos se intersectam dois a dois segundo retas paralelas
Nesse caso, o sistema não tem solução.
Condição algébrica:
l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, mas existem k e p, reais
não nulos, tais que l3 = kl1 + pl2 e L3 ≠ kL1 + pL2.
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h)
Os três planos têm exatamente um ponto em comum
Nesse caso, o sistema admite uma única solução.
Condição algébrica:
l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Isso
significa que o determinante formado pelas componentes de l1, l2 e l3 é diferente de zero:
a1
a2
b1
b2
c1
c2 ≠ 0
a3
b3
c3
Bibliografia
LIMA, E. L. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 1992.
MACHADO, A. S., Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual, 1982.
Atividades
1. Com auxílio do programa Winplot, analise geometricamente os sistemas abaixo,
classificando-os em possível e determinado; possível e indeterminado ou
impossível.
Obs.: do item a até c, a atividade será desenvolvida na janela 2-dim; de d até l, na
janela 3-dim .
 x − 2 y = −1
a) 
5 x + 3 y = 8
4 x + 2 y − 6 z = 8

e) 6 x + 3 y − 9 z = 12
2 x + 2 y − 3 z = 4

2 x + 3 y + 4 z = 2

i)  x − 2 y − 3 z = 1
3 x + y + z = 5

− 2 x + 3 y = 1
b) 
10 x − 15 y = 4
4 x + 2 y − 6 z = 10

f) 6 x + 3 y − 9 z = 12
2 x + y − 3 z = 5

2 x + 3 y + 4 z = 2

j)  x − 2 y − 3 z = 1
3 x + y + z = 3

2 x − 2 y = 6
c) 
x − y = 3
x − 2 y + 3 z = 4

g) 2 x − 4 y + 6 z = 5
2 x − 6 y + 4 z = 12

x + 2 y + z = 7

l) 2 x + 3 y − z = −1
4 x − y + 2 z = 12

x − y + z = 1

d) 2 x − 2 y + 2 z = 2
3 x − 3 y + 3 z = 3

x − 2 y + 3 z = 4

h) 2 x − 4 y + 6 z = 8
2 x − 6 y + 4 z = 12

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2. Em cada item, monte um sistema linear atendendo às condições dadas e,
utilizando o Winplot, verifique se o sistema elaborado realmente corresponde ao
que foi pedido. Classifique o sistema em possível e determinado (SPD), possível e
indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
a) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja
um par de retas concorrentes;
b) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja
um par de retas paralelas;
c) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja
composta de 2 planos coincidentes, paralelos a um terceiro plano;
d) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja
composta de 3 planos paralelos entre si;
e) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja
composta de 2 planos coincidentes e um terceiro plano intersectando-os;
f)
um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja
composta de 2 planos paralelos e um terceiro plano intersectando-os;
g) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja
composta de 3 planos que possuem em comum apenas uma reta.
h) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja
composta de 3 planos concorrentes em um único ponto.