MECÂNICA CLÁSSICA I
5a. folha de problemas de 2007/2008
(1) Calcule os ângulos de Euler que correspondem à transformação x, y, z → x′ , y ′ , z ′ em que
(a) x′ = −z e y ′ = y;
(b) x′ se encontra no plano xz entre os eixos −x e z, fazendo um ângulo de 30◦ com o eixo z e
y ′ = −y;
(2) Obtenha os elementos da matriz rotação geral em termos dos ângulos de Euler, efectuando a multiplicação das três matrizes rotação correspondentes. Verifique por cálculo directo que a matriz é
ortogonal própria.
(3) Escreva as componentes do vector velocidade angular de rotação ~ω de um corpo rı́gido segundo o
sistema de eixos ligado ao corpo, em termos dos ângulos de Euler e das suas derivadas temporais.
Resolva o mesmo problema para os eixos espaciais.
(4) Três massas iguais e pontuais estão localzadas nos pontos de coordenadas (a, 0, 0), (0, a, 2a) e
(0, 2a, a). Calcule os momentos principais de inércia em relação à origem e um conjunto de eixos
principais de inércia.
(5) Calcule os momentos principais de inércia relativamente ao centro de massa de
(a) um anel homogénio de espessura desprezável de massa m e raio R;
(b) uma vara homogénia de espessura desprezável de massa m e comprimento ℓ;
(c) um disco homogénio de espessura desprezável de massa m e raio R;
(d) Uma esfera homogénia de massa m e raio R;
(e) um cilindro homogénio de massa m, raio da base R e altura h;
(f) um cone homogénio de massa m, raio da base R e altura h;
(g) um cubo homogénio de massa m e lado ℓ;
(h) um paralelipı́pedo homogénio de massa m e arestas a, b e c;
(6) Calcule a energia cinética de um cilindro homogénio de massa m, raio da base a e altura h que rola
sem escorregar no interior de uma superfı́cie cilı́ndrica de raio R > a como mostra a figura 1.
(7) Um cone homogénio de massa m, raio da base R e altura h roda com velocidade angular ω em torno
do seu eixo de simetria. Calcule a energia cinética e o momento angular do cone em relação ao seu
vértice.
(8) Um cilindro homogénio de massa m, raio da base R e altura h, inicialmente em repouso, rola sem
escorregar sobre um plano inclinado que faz um ângulo α com a horizontal segundo a direcção de
maior inclinação. Qual a velocidade do centro de massa do cilindro depois de ter percorrido a
distância d no plano inclinado.
(9) Determine a frequência das pequenas oscilações de um pêndulo fı́sico plano suspenso pelo ponto O
a uma distância d do centro de massa como mostra a figura 2. Mostre que o pêndulo tem o mesmo
perı́odo para dois valores diferentes d1 e d2 de d e que a soma d1 + d2 é igual ao comprimento do
pêndulo simples equivalente.
R
d
a
y
C M
x
F ig . 1
1
F ig . 2