Matemática I

Prof. Laurence D. Hoffmann.

Prof. GeraLd L. Bradley

Professora. Patrícia Carly
Limite de uma função

Se f(x) tende a um número L quando x tende a
um número c tanto pela esquerda como pela
direita, L é limite de f(x) quando x tende a c, o
que, em notação matemática, é escrito como:
Lim f(x)= L
x
c


Para as três
funçoes , o
limite de f(x)
quando x
F(c)=4
tende
Para as três
funções, o limite
de f(x) quando x
tende a 3 é igual
a 4.
F ( c)=é
diferente
de 4
F(c)= não é
definido
Propriedade algébrica dos limites:
se lim f(x) e lim g(x) existem
x c
x c
Limite de duas funções lineares

Para qualquer constante k.
Lim k = k
x c

e lim x = c
x c
O limite de uma constante é a própria
constante.
 o limite de f(x)=x quando x tende a c é c.

Limite de duas funções lineares
y
y
Y=k
c
(c,k )
x c x
(c,c)
x
x c x
Lim k = k
lim x = c
x
x
c
c
x
Calcule o limite
A)Lim 2

x 1

B) lim x

x 2

Solução
y
y
Y=2
2
(1,2 )
x 1 x
(2,2)
x
x 2 x
A)Lim 2
B) lim x
x 1
x
2
Lim k = k
lim x = c
x
x
c
c
x
Calcule lim (3x³-4x +8)
x -1
Solução:
 Usando a propriedade e limite

p
lim (3x³-4x +8)= 3(lim x)³- 4(lim x) + lim 8
p
x -1
p
x
-1
= 3(-1)
x -1
x -1
³ - 4(-1) + 8 = 9
Calcule lim (2x³+4x +7)
x -1
Calcule lim (2x³+4x +7)
x -1
Solução:
 Usando a propriedade e limite

p
p
p
lim (2x³+4x +7)= 2(lim x)³+ 4(lim x) + lim 7
x -1
x -1
= 2(-1)
x -1
³ + 4(-1) + 7= 1
x -1
Calcule lim 3x³ -8/ x-2
x 1

Lim

X

Lim
3x³ -8 = 3( lim x)³ -lim 8

x
x–2


(x-2)= o
1
1
x
1
lim x
x
x
1
1
lim 2
x
1
=3-8 / 1-2 = 5
Calcule lim 3x³ -8/ x-3
x
2
solução

Lim

X
(x-3)= o
2

Lim
3x³ -8 = 3( lim x)³ -lim 8

x
x–3


2
x
2
lim x
x
2
x
-
2
lim3
x
2
=24-8 / 2-3 = 16/-1=- 16
Limite de Polinômio e funções Racionais
Se p(x) e q(x) são polinômios,
 Lim p(x)=p(c )


X
c
 Lim

x c
p(x) = p(c )
q(x) q(c )
se q( c) = 0
Calcule lim x+1
x 2
x-2
Solução
 A regra do quociente não se aplica, neste
caso, o limite do denominador é
 lim(x-2)=0


X 2

O limite do numerador é lim(x+1) =3


X 2
Que é diferente de zero, chegamos à
conclusão que o limite não existe.
Calcule lim
x²-1
x 1 x²-3x+2
Solução
 Tanto o numerador quanto o denominador
de uma fração dada tende a zero. Quando
isso acontece, muitas vezes é possível
simplificar algebricamente a fração para
obter o limite desejado.

solução





Calcule lim
x²-1
x 1 x²-3x+2
=(x-1)(x+1) x=1
(x-1)(x-2)
=lim(x+1)
x 1
lim (X-2)
x 1
=2/-1=-2

b 
 x1 

b  b 2  4ac
x

2a

 x  b 
 2
b 2  4ac
2a
b 2  4ac
2a
ax 2  bx  c  a (x  x1 )(x  x2 )
Método para determinar o Limite no
Infinito de f(x) =p(x) /q(x)

1 passo: divida todos os termos de f(x)
pela maior potência de x que aparece no
polinômio do denominador, q(x).

2 passo: calcule lim f(x) ou lim f(x)

x

+∞
x
-∞
usando as propriedades algébricas dos
limites e as regras das potências inversas.
Calcule lim 2x²+3x+1
x +∞ 3x²-5x+2
Solução:
 A maior potência de x no denominador é
x². dividindo o numerador e denominador
por x², obtemos:

Calcule lim 2x²+3x+1
x +∞ 3x²-5x+2
Solução:
 A maior potência de x no denominador é
x², obtemos:

lim
2x²+3x+1
x +∞ 3x²-5x+2
=lim
2x²/x²+3x/x²+1/x²
x +∞ 3x²/x²-5x/x²+2/x²
=2/3
Limite Infinito



Dizemos que lim f(x) é um um
limite infinito se f(x) aumenta ou
diminui sem limite quando x c.
escrevemos
Se f(x) aumenta sem limite
quando x c e
Se f(x) diminui sem limite
quando x c
Lim f(x) =+ ∞
X
c
Lim f(x) =- ∞
X
c
Exemplo calcule lim - x³+2x+1
x +∞ x-3
lim
- x³+2x+1
 x
+∞ x-3

= lim
- x²x+2+1/x
x +∞ 1-3/x
lim
x
- 1 -3/x
=- ∞
=1
+∞
lim
- x³+2x+1
x +∞
x-3
=- ∞
= lim
- x³/x+2x/x+1/x
x +∞ x/x-3/x
Limites unilaterais e continuidade
Limites Unilateria
 Se f(x) tende a L quando x tende a c
pela esquerda (x<c), escrevemos
 lim f(x)=L

 x
c-
Se f(x) tende a M quando x tende a c
pela direita (x>c), escrevemos
 lim f(x)=M

 x
c+
Exemplo limite uniliterais envolvendo
um estoque just in time.
Lim I(t)= L2
t
t1-
e
lim I(t) =L1
t
t2+
Exemplo de limite unilaterias
1-x² para 0≤x <2

2x+ para x≥2
 Determine os limites lim f(x) e lim f(x)


F(x) =
x
2‾
x
2†
solução

y
f(x)= 1-x² para 0≤x <2 temos:
5



lim f(x) = lim (1-x²) = 1-4 = -3
x 2‾
x 2‾
1
Como f(x)=2x+1 para x≥2, temos:
2
x


lim f(x) = lim (2x+1)= 4+1 =5
x 2†
x 2†
3
Existência de um limite

O limite limf(x) existe se e apenas se os limites
uniliterais

lim f(x) e lim f(x)

x

Lim f(x) = lim f(x) = lim f(x)

X
c‾
c
x
x
existem e são iguais,caso que
c†
c‾
x
c†

Exemplo determine se lim f(x) existe, onde
x 1

F(x) =

x+1 para x<1
-x²+4x -1 para x≥1
Solução calculando os limites unilateria
em x=1

F(x)= x+1 x<1
lim f(x) = lim (x+1) =1+1=2
x 1‾
x 1‾
F(x) = -x²+4x-1 x≥1
Lim f(x) =lim (-x²+4x-1)=-(-1)²+4(-1)-1=2
x 1†
x 1†

Lim f(x) = lim f(x)= lim f(x)=2

X





1
x
1‾
x
1†
Exercício determine se lim f(x) existe, onde
x 3


F(x) =
x²+1 para x≤3
2x+4 para x>3
solução
Lim (x²+1)=9+1=10
x 3

Lim (2x+4)=6+4=10
x 3

2x+4
10
4
x²+1
1
3







Continuidade: Uma função f é continua no Ponto c se três
condições são satisfeitas.
A) f(c ) é definida.
B) Lim f(x)=f(c )
x c
C) lim f(x) existe
x c
Se f(x) não é contínua no ponto c, dizemos que o ponto c é um
ponto de descontinuidade.
exempo: mostre que a função racional
f(x)=(x+1)/(x-2) é continua em x=3
Solução: f(x)=(x+1)/(x-2) é continua em
x=3


Observe que
f(3)=(3+1)/(3-2)=4
Com lim (x-2)=0
lim f ( x)  (3  1)  4
(3  2)
x 3
lim( x  2)  0
x 3
lim ( x  1) 4
lim f ( x)  x 3
  4  f (3)
x 3
lim ( x  2) 1
x 3