ESCOLA SECUNDÁRIA DE MAXIMINOS
m axi
minus
escola sec.
de maximinos
FICHA DE TRABALHO
TRIGONOMETRIA
π
π

1. Calcula o valor exacto da expressão:  cos − sen 
6
6

2. Sabendo que cos
π
5
=
2
1+ 5
π
, calcula o valor exacto de sen
4
5
3. Leonardo de Pisa [séc. XII), mais conhecido por Fibonacci, pôs o problema
seguinte:
“Dois postes de madeira, um de 30 pés e o outro de 40 pés, estão à
distância de 50 pés. Entre os postes há um fontanário para o centro
do qual dois pombos, descendo dos seus topos, se dirigem à mesma
velocidade, partindo e chegando ao mesmo tempo.”
a) Determine a distância do centro do fontanário, F, às bases dos postes.
b) Determine o ângulo α segundo o qual se vê, do centro do fontanário, os topos dos dois
postes.
4. Em relação à figura ao lado, sabe-se que:
- o ponto A tem abcissa 2, ordenada 2
e cota positiva;
- o ângulo que AO faz com Oz é
π
6
Determina a cota do ponto A
5. Desenhou-se o esquema de um terreno de forma triangular
anotando as suas dimensões numa folha de papel que,
entretanto, ardeu parcialmente. Só foi possível recuperar o
que se vê na figura ao lado.
Qual o comprimento dos outros lados do terreno?
6. Pretende-se fabricar uma peça metálica com a forma de um triângulo
Isósceles como o representado na figura seguinte, na qual AB = BC = 2 cm .
a) Prove que a área A da peça metálica, em função de θ, é dada (em cm 2 )
por:
A(θ ) = 4 senθ cos θ .
b) Prove que o perímetro da peça, em função de θ, é (em cm 2 ) dado po
P(θ ) = 4 + 4 cos θ
7. A jarra da figura tem a forma de uma pirâmide quadrangular regular.
Sabendo que o ângulo α tem 60° de amplitude e que a aresta
lateral tem 30 cm de comprimento, determina, em litros, a capacidade
da jarra, com aproximação às centésimas.
Nota:
1l = 1 dm 3
8. Determina o intervalo de variação das expressões:
a) y =
1
+ cos x
2
b) y = 1 − 2 sen 2 x
c) y = −2 + 3tg 2 x
9. Considere o quadrado [ABCD]. Sabe-se que DE =
DC
3
Determine a amplitude do ângulo CAE.
(Apresente o resultado com uma casa decimal.)
10. Determina o valor da expressão sen 2θ − 3 cos (π − θ ) , sabendo que tg (π − θ ) = 3 e θ ∈ ]0; π [
11. Resolve as equações:
2
b) sen(2 x) + cos π + 1 = 0
3
e) 2 sen 2 x + 3senx + 1 = 0
a) 4 sen 2 x − 3 = 0
d) 2 cos 2 x + cos x = 0
c) cos x.senx − 2 senx = 0
f) 2 cos 2 t + sent + 1 = 0
12. Resolve as equações do ex. 1.) no intervalo ]− π ; 2π ]
13. Recorrendo ao círculo trigonométrico, determina θ ∈ ]0;2π [ , tal que:
a) cos θ ≤ −0,5
b) sen θ > 0,8
c) tg θ ≤ 1
d) sen θ ≤ −0,5 ∧ cos θ ≤ 0
14. A figura representa um corte transversal de uma cadeira.
θ
a) Mostra que a área da secção da cadeira pode ser expressa
em função de θ por
A(θ ) = 100 senθ (cosθ + 1), com 0º < θ < 90º
b) Aprenderás mais tarde que, para encontrar o ângulo θ que torna a área máxima, terás
de resolver a equação cos(2θ ) + cosθ = 0, com 0º < θ < 90º
Resolve-a, determina aquele valor de θ e encontra o valor máximo da área.
θ
15. Na figura:
-
o triângulo [ABC] é isósceles ( AB = BC )
-
[DEFG] é um rectângulo
-
DG = 2 e DE = 1
-
x designa a amplitude do ângulo BAC.
E
Mostra que a área do triângulo [ABC] é dada, em
função de x, por f ( x ) = 2 + tgx +
1
tgx
B

 π 
 x ∈  0 ;  
 2 

H
F
x
A
D
I
G
C
16. Na figura está representado um quadrado [ABCD], de lado 1.
O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F desloca-se
sobre o lado [AD], de tal forma que se tem sempre AE = AF .
Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo

π π 
BEC  x ∈  ;   .
 4 2 

Mostre que o perímetro do quadrilátero [CEAF] é dado, em função
de x, por f ( x) = 2 −
2
2
+
tg x sen x
17. Na figura está representado o polígono [ABEG].
Tem-se que:
- [ABFG] é um quadrado de lado 2.
- FO é um arco de circunferência de centro em B;
o ponto E move-se ao longo desse arco;
em consequência, o ponto C desloca-se sobre o
segmento [BO], de tal forma que se tem sempre [EC] ⊥ [BO].

 π 
- x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE  x ∈ 0;   .
 2 

a) Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por
A(x) = 2(1 + sen x + cos x)
(Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG])
π 
b) Determine A(0) e A  . Interprete, geometricamente, cada um dos valores obtidos.
2
Bom trabalho!